資源簡(jiǎn)介

壓軸題03不等式壓軸題十三大題型匯總
命題預(yù)測(cè) 本專題考查類型主要涉及點(diǎn)等式與基本不等式的內(nèi)容，其中涉及了基本不等式與三角函數(shù)，正余弦定理，解析幾何，集合，函數(shù)等內(nèi)容的結(jié)合。 預(yù)計(jì)2024年后命題會(huì)在上述幾個(gè)方面進(jìn)行，尤其是多圓不等式的考查。
高頻考法 題型01多元不等式最值、取值范圍問(wèn)題 題型02基本不等式提升 題型03基本不等式與三角函數(shù)結(jié)合 題型04基本不等式與解析幾何結(jié)合 題型05基本不等式與向量結(jié)合 題型06基本不等式新考點(diǎn) 題型07基本不等式與正余弦定理結(jié)合 題型08指對(duì)函數(shù)與不等式 題型09基本不等式與立體幾何結(jié)合 題型10基本不等式與集合、函數(shù)新定義 題型11不等式與數(shù)列結(jié)合 題型12基本不等式與函數(shù)結(jié)合 題型13不等式新考點(diǎn)
01多元不等式最值、取值范圍問(wèn)題
利用基本不等式求最值時(shí)，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，有時(shí)可乘以一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，以及“1”的代換等應(yīng)用技巧.
1. （2024·貴州·三模）以表示數(shù)集中最大（小）的數(shù).設(shè)，已知，則 .
2. （2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足，，則的最小值為 .
3.（多選） （2024·浙江·二模）已知正實(shí)數(shù)，，，且，，，為自然數(shù)，則滿足恒成立的，，可以是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4. （2024·河北邯鄲·三模）記表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)，，則的最大值為 ．
5. （2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值是 .
02基本不等式提升
在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
6.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足條件：，則的最大值是 ．
7. （2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
8. （2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知“”與“”互為充要條件，則“”和“”的最小值之和為 ．
9. （2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的最小值為 ．
10. （2023·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則最小值為 .
03基本不等式與三角函數(shù)結(jié)合
據(jù)三角恒等變換結(jié)合基本不等式求最值需要注意去等條件是否滿足，去等條件不滿足時(shí)，也可以通過(guò)對(duì)勾函數(shù)進(jìn)行求解
11.（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知均是銳角，設(shè)的最大值為，則=（ ）
A． B． C．1 D．
12. （2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，面積為的扇形中，分別在軸上，點(diǎn)在弧上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），分別在點(diǎn)作扇形所在圓的切線，且與交于點(diǎn)，其中與軸交于點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．2
13. （2023·江西·二模）在中，則的最小值為（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
14. （23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）若，則的最大值為 ．
15. （22-23高三上·江蘇·階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)，分別在，邊上．
(1)若，，求面積的最大值；
(2)設(shè)四邊形的外接圓半徑為，若，且的最大值為，求的值．
04基本不等式與解析幾何結(jié)合
16.（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是圓 C 上的任意一點(diǎn)，則 的最大值為（ ）
A．25 B．24 C．23 D．22
17. （2024·浙江·一模）已知分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，是雙曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線，與交于兩點(diǎn)，的外接圓面積分別為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
18. （2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A在的漸近線上，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn))，記四邊形OAFB的面積為，四邊形OAFB的外接圓的面積為，則的最大值為 ，此時(shí)雙曲線的離心率為 .
19. （2023·上海崇明·一模）已知正實(shí)數(shù)滿足則當(dāng) 取得最小值時(shí)，
20. （2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）我們將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系”．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為．
(1)若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，求常數(shù)的值；
(2)設(shè)橢圓，過(guò)作斜率為的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值，并求其最小值；
(3)若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，橢圓上的任意一點(diǎn)記為求證：的垂心必在橢圓上．
05基本不等式與向量結(jié)合
21.（2024·河北邯鄲·二模）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義：，．若平面向量滿足，且和都在集合中，則（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
22. （2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，向量，滿足，且，其中，當(dāng)取到最小時(shí)， ．
23. （23-24高三下·天津和平·開(kāi)學(xué)考試）在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn)．設(shè)，，記，則 ；若，的面積為，則當(dāng) 時(shí)，取得最小值．
24. （2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，，，當(dāng)取到最大值時(shí)，等于（ ）
A． B． C． D．
25. （2023·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)， ，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則 ；為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，且，軸上點(diǎn)滿足，，則的最小值為 ．
06基本不等式新考點(diǎn)
26.（2024·廣東湛江·二模）當(dāng)，時(shí)，.這個(gè)基本不等式可以推廣為當(dāng)x，時(shí)，，其中且，.考慮取等號(hào)的條件，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，.用這個(gè)式子估計(jì)可以這樣操作：，則.用這樣的方法，可得的近似值為（ ）
A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039
27. （2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）任意大于1的正整數(shù)m的三次冪均可“分裂”成m個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如：，，，…，按此規(guī)律，若分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是2019，則m的值是（ ）
A．46 B．45 C．44 D．43
28. （2024·廣東廣州·二模）設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值的概率也均為0.2，若記分別為的方差，則（ ）
A．
B．
C．
D．與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)
29. （2023·山東·二模）已知隨機(jī)變量，且，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
30. （23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲 乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對(duì)抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過(guò)關(guān)；否則不過(guò)關(guān).若甲 乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過(guò)關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來(lái)看，甲 乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（ ）
A．27 B．24 C．32 D．28
07基本不等式與正余弦定理結(jié)合
求解三角形中有關(guān)邊、角、面積的最值（范圍）問(wèn)題，常利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式等建立，（為三角形的邊）等之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)知識(shí)或基本不等式求解.
31.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角的對(duì)邊分別為．若為的重心，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
32. （2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來(lái)測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（ ）

A． B．
C． D．
33. （2024·四川瀘州·二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為 ．
34. （2024·四川瀘州·二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為 ．
35. （2024·福建莆田·二模）如圖，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正六邊形的中心，是過(guò)點(diǎn)的任一直線，將此正六邊形沿著折疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值為 ．

08指對(duì)函數(shù)與不等式
36.（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方的初始兵力，為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方時(shí)刻的兵力；正實(shí)數(shù)，分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定：當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為．則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．若且，則
B．若且，則
C．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利
D．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利
37. （2024·北京豐臺(tái)·一模）目前發(fā)射人造天體，多采用多級(jí)火箭作為運(yùn)載工具．其做法是在前一級(jí)火箭燃料燃燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級(jí)火箭開(kāi)始工作，使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度時(shí)將人造天體送入預(yù)定軌道．現(xiàn)有材料科技條件下，對(duì)于一個(gè)級(jí)火箭，在第級(jí)火箭的燃料耗盡時(shí)，火箭的速度可以近似表示為，
其中．
注：表示人造天體質(zhì)量，表示第（）級(jí)火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量．
給出下列三個(gè)結(jié)論：
①；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，若，則．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
38. （2023·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
39. （2021·陜西安康·三模）若對(duì)任意，總存在，使得成立，則m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
40. （2023·天津?yàn)I海新·三模）已知正實(shí)數(shù)m，n，滿足，則的最小值為 .
09基本不等式與立體幾何結(jié)合
41.（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)與為兩個(gè)正四棱錐，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為且，點(diǎn)M在線段AC上，且，將異面直線PD，QM所成的角記為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
42. （2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（ ）
A． B． C． D．
43. （23-24高三下·山西·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球半徑的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
44. （2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，底面為矩形，，頂點(diǎn)S在底面的射影為H，當(dāng)H落在上時(shí)，四棱錐體積的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
45.（多選） （2024·河南信陽(yáng)·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，為的中點(diǎn)．，過(guò)作平面的垂線，垂足為，連，，設(shè)，的交點(diǎn)為，在中過(guò)作直線交，于，兩點(diǎn)，，，過(guò)作截面將此四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A． B．
C． D．的最小值為
10基本不等式與集合、函數(shù)新定義
函數(shù)新定義問(wèn)題，命題新穎，常常考慮函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，奇偶性，值域等，且存在知識(shí)點(diǎn)交叉，會(huì)和導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列等知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識(shí)遷移，綜合運(yùn)用能力，對(duì)于此類問(wèn)題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問(wèn)題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決.
46.（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個(gè)拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對(duì)中的部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個(gè)方程組，如下：
，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)．的值代入到中即為極值．
補(bǔ)充說(shuō)明：【例】求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)．即：將變量當(dāng)做常數(shù)，即：，下標(biāo)加上，代表對(duì)自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)．
(1)求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)處的導(dǎo)數(shù)值．
(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求的最大值．
(3)①若為實(shí)數(shù)，且，證明：．
②設(shè)，求的最小值．
47. （多選）（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）定義函數(shù)的曲率函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），函數(shù)在處的曲率半徑為該點(diǎn)處曲率的倒數(shù)，曲率半徑是函數(shù)圖象在該點(diǎn)處曲率圓的半徑，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若曲線在各點(diǎn)處的曲率均不為0，則曲率越大，曲率圓越小
B．函數(shù)在處的曲率半徑為1
C．若圓為函數(shù)的一個(gè)曲率圓，則圓半徑的最小值為2
D．若曲線在處的彎曲程度相同，則
48. （2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“讓式子丟掉次數(shù)”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見(jiàn)的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出：對(duì)實(shí)數(shù)，在時(shí)，有不等式成立；在時(shí)，有不等式成立．
(1)猜想伯努利不等式等號(hào)成立的條件；
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)伯努利不等式進(jìn)行證明；
(3)考慮對(duì)多個(gè)變量的不等式問(wèn)題．已知是大于的實(shí)數(shù)（全部同號(hào)），證明
49. （2024·海南海口·一模）在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，維數(shù)組是一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在各種編程語(yǔ)言中被廣泛使用．對(duì)于維數(shù)組，定義與的差為與之間的距離為．
(1)若維數(shù)組，證明：；
(2)證明：對(duì)任意的數(shù)組，有；
(3)設(shè)集合，若集合中有個(gè)維數(shù)組，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明：．
50. （2020·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）定義：設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)記為.若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.已知在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
11不等式與數(shù)列結(jié)合
數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題的常見(jiàn)題型 1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題主要有以下兩類： ①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題； ②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形． 2.數(shù)列常與不等式結(jié)合，如比較大小、不等式恒成立、求參數(shù)范圍等問(wèn)題，需要熟練應(yīng)用不等式知識(shí)解決數(shù)列中的相關(guān)問(wèn)題．
51.（多選）（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．
C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減 D．當(dāng)時(shí)，恒有
52. （2024·廣東·一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)象包括向量和矩陣.對(duì)于平面向量，其模定義為.類似地，對(duì)于行列的矩陣，其模可由向量模拓展為（其中為矩陣中第行第列的數(shù)，為求和符號(hào)），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.
(1)，，矩陣，求使的的最小值.
(2)，，，矩陣 求.
(3)矩陣，證明：，，.
53. （23-24高三下·安徽·開(kāi)學(xué)考試）基本不等式可以推廣到一般的情形：對(duì)于個(gè)正數(shù)，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．若無(wú)窮正項(xiàng)數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)：①；②為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．
(1)若，求數(shù)列的最小項(xiàng)；
(2)若，記，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
(3)若，求證：數(shù)列具有性質(zhì)．
54. （2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）已知等比數(shù)列的公比，成公差為的等差數(shù)列．
(1)求的最小值；
(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求集合中所有元素之和．
55. （2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問(wèn)題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問(wèn)一月共施幾何？在這個(gè)問(wèn)題中，以一個(gè)月31天計(jì)算，記此人第日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前項(xiàng)和為.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．15 B．20 C．24 D．27
12基本不等式與函數(shù)結(jié)合
56.（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（ ）
A．12 B．24 C． D．
57. （2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）若為函數(shù)（其中）的極小值點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
58. （2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）表示兩個(gè)實(shí)數(shù)，中的較小數(shù)．已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的最小值為 ．
59. （2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在不同兩點(diǎn)，處的切線互相平行，則這兩條平行線間距離的最大值為 .
60. （2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為 ．
13不等式新考點(diǎn)
61.（2024·全國(guó)·二模）已知為實(shí)數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值是 .
62. （2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：（其中均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：，已知，若關(guān)于的不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
63. （2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）從古至今，中國(guó)人一直追求著對(duì)稱美學(xué)．世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)——故宮：金黃的宮殿，朱紅的城墻，漢白玉的階，琉璃瓦的頂……沿著一條子午線對(duì)稱分布，壯美有序，和諧莊嚴(yán)，映襯著藍(lán)天白云，宛如東方仙境．再往遠(yuǎn)眺，一線貫穿的對(duì)稱風(fēng)格，撐起了整座北京城．某建筑物的外形輪廓部分可用函數(shù)的圖像來(lái)刻畫，滿足關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且（其中），則的值為（ ）
A． B．
C． D．
64. （多選）（2023·浙江·二模）已知時(shí)，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，
65. （2022·山東德州·二模）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段：操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次從左到右第三個(gè)區(qū)間為 ，若使前n次操作去掉的所有區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為 ．(，)
66. （2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，x，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．4
67. (多選)（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，x，y，．，則以下說(shuō)法正確的有（ ）
A．的最大值為
B．的最大值為
C．的最大值為0
D．恒小于0
68. （2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最小值為 ．
69. （2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為 .
70. （2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是 ．壓軸題03不等式壓軸題十三大題型匯總
命題預(yù)測(cè) 本專題考查類型主要涉及點(diǎn)等式與基本不等式的內(nèi)容，其中涉及了基本不等式與三角函數(shù)，正余弦定理，解析幾何，集合，函數(shù)等內(nèi)容的結(jié)合。 預(yù)計(jì)2024年后命題會(huì)在上述幾個(gè)方面進(jìn)行，尤其是多圓不等式的考查。
高頻考法 題型01多元不等式最值、取值范圍問(wèn)題 題型02基本不等式提升 題型03基本不等式與三角函數(shù)結(jié)合 題型04基本不等式與解析幾何結(jié)合 題型05基本不等式與向量結(jié)合 題型06基本不等式新考點(diǎn) 題型07基本不等式與正余弦定理結(jié)合 題型08指對(duì)函數(shù)與不等式 題型09基本不等式與立體幾何結(jié)合 題型10基本不等式與集合、函數(shù)新定義 題型11不等式與數(shù)列結(jié)合 題型12基本不等式與函數(shù)結(jié)合 題型13不等式新考點(diǎn)
01多元不等式最值、取值范圍問(wèn)題
利用基本不等式求最值時(shí)，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，有時(shí)可乘以一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，以及“1”的代換等應(yīng)用技巧.
1. （2024·貴州·三模）以表示數(shù)集中最大（小）的數(shù).設(shè)，已知，則 .
【答案】
【分析】
由，得，設(shè)，則，再結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】由，得，
設(shè)，則，
由
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，由已知得出，進(jìn)而得出是解決本題的關(guān)鍵.
2. （2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足，，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】把給定條件兩邊平方，代入結(jié)論構(gòu)造基本不等式，再分析計(jì)算，并求出最小值作答.
【詳解】由，得，，
則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，有時(shí)可乘以一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，以及“1”的代換等應(yīng)用技巧.
3.（多選） （2024·浙江·二模）已知正實(shí)數(shù)，，，且，，，為自然數(shù)，則滿足恒成立的，，可以是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】BC
【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到，進(jìn)而得到只需即可，再依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】要滿足，只需滿足，
其中正實(shí)數(shù)，，，且，，，為正數(shù)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
觀察各選項(xiàng)，故只需，故只需即可，
A選項(xiàng)，，，時(shí)，，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，，時(shí)，，B正確；
C選項(xiàng)，，，時(shí)，，C正確；
D選項(xiàng)，，，時(shí)，，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
4. （2024·河北邯鄲·三模）記表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)，，則的最大值為 ．
【答案】2
【分析】分是否大于進(jìn)行討論，由此即可簡(jiǎn)化表達(dá)式，若，則可以得到，并且存在，，使得，，同理時(shí)，我們可以證明，由此即可得解.
【詳解】若，則，此時(shí)，
因?yàn)椋院椭兄辽儆幸粋€(gè)小于等于2，
所以，又當(dāng)，時(shí)，，
所以的最大值為2．
若，則，此時(shí)，
因?yàn)椋院椭兄辽儆幸粋€(gè)小于2，
所以．
綜上，的最大值為2．
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是分是否大于進(jìn)行討論，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可順利得解.
5. （2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值是 .
【答案】
【分析】
因式分解得到，變形后得到，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，
故，
即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，此時(shí)，
所以的最小值為.
故答案為：
02基本不等式提升
在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
6.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足條件：，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】由基本不等式可得.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，進(jìn)而，則，解出a、，得，再次利用基本不等式計(jì)算即可求解.
【詳解】由基本不等式，得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
設(shè)，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則，即，
令，得，所以，
解得，由，得．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)．
故的最大值是．
故答案為：
7. （2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由基本不等式和可得，化簡(jiǎn)可得，令，利用換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以．
因?yàn)?，
令，則，，
所以，
由對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)函數(shù)取到最小值，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以.
故選：B．
8. （2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知“”與“”互為充要條件，則“”和“”的最小值之和為 ．
【答案】23
【分析】根據(jù)配湊原式，使得相乘可得一個(gè)常數(shù)，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，
解得或時(shí)取等號(hào)，
所以和的最小值之和為5+18=23.
故答案為：23.
9. （2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】將變形為，然后利用基本不等式求解得，再根據(jù)取等號(hào)的條件可得，判斷出的范圍，進(jìn)而判斷得的范圍，可得，可得所求最小值.
【詳解】 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”，
此時(shí)，∵，，
∴，∴，∴，
∴原式，此時(shí)，，．
故答案為：
【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是將原式變形為，根據(jù)基本不等式求最值，由取等號(hào)的條件，化簡(jiǎn)得，從而求解的范圍.
10. （2023·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則最小值為 .
【答案】6
【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算找出，的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，再利用基本不等式即可求出最值.
【詳解】由，，，
得，所以，即，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
即，
令，，則，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
所以時(shí)，取最小值3，即.
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，且，
即，，時(shí)等號(hào)成立；
故的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有三個(gè)：一是利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出的關(guān)系；二是利用導(dǎo)數(shù)求出的范圍；三是利用放縮法及基本不等式求出最小值.
03基本不等式與三角函數(shù)結(jié)合
據(jù)三角恒等變換結(jié)合基本不等式求最值需要注意去等條件是否滿足，去等條件不滿足時(shí)，也可以通過(guò)對(duì)勾函數(shù)進(jìn)行求解
11.（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知均是銳角，設(shè)的最大值為，則=（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合基本不等式求最值可得，然后由求解即可
【詳解】由基本不等式可得，，，
三式相加，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)均為時(shí)等號(hào)成立，
所以，
則．
故選：B
12. （2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，面積為的扇形中，分別在軸上，點(diǎn)在弧上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），分別在點(diǎn)作扇形所在圓的切線，且與交于點(diǎn)，其中與軸交于點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用扇形面積公式求出，設(shè)，利用三角函數(shù)的定義和切線的性質(zhì)用和表示，，，再根據(jù)基本不等式求最小值即可.
【詳解】解析：因?yàn)樯刃蔚拿娣e為，即，所以，
設(shè)，則在中，，
連接，根據(jù)切線的性質(zhì)知，
則在中，，
所以，
令，則，且，
所以原式 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
又，所以時(shí)，取得最小值，為，
故選：B
13. （2023·江西·二模）在中，則的最小值為（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】利用和差角公式及二倍角公式得到，即可得到，從而得到，再令，則，利用基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，即，
因?yàn)椋?br/>所以
，
所以，
又，所以，
所以
即，
所以，
設(shè)，則，顯然，，即，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.
故選：B
14. （23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）若，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】借助基本不等式有消去、，對(duì)求最大值即可，再應(yīng)用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得.
【詳解】由題意得：，，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，
即，
則有，則，,
有在單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，即、時(shí)，
有最大值，
即的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于如何將多變量求最值問(wèn)題中的多變量消去，結(jié)合基本不等式與題目條件可將、消去，再結(jié)合三角函數(shù)的值域與單調(diào)性即可求解.
15. （22-23高三上·江蘇·階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)，分別在，邊上．
(1)若，，求面積的最大值；
(2)設(shè)四邊形的外接圓半徑為，若，且的最大值為，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值為1，再利用面積公式即可求解；
（2）由四邊形存在外接圓，知四邊形為等腰梯形，連接，設(shè)，，利用正弦定理，表示，進(jìn)而利用基本不等式求解.
【詳解】（1）由已知，
在中，利用余弦定理知，
結(jié)合基本不等式有，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為1，
所以面積的最大值為
（2）四邊形存在外接圓，
又，，，
，所以四邊形為等腰梯形，
連接，設(shè)，，
在中，由正弦定理得，，
，
同理，在中，由正弦定理得，，
所以
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即
，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，即
04基本不等式與解析幾何結(jié)合
16.（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是圓 C 上的任意一點(diǎn)，則 的最大值為（ ）
A．25 B．24 C．23 D．22
【答案】A
【分析】設(shè) 代入算式中由倍角公式化簡(jiǎn)，利用基本不等式求積的最大值.
【詳解】點(diǎn)是圓 C 上的任意一點(diǎn)，設(shè)
則
，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.
的最大值為25.
故選：A
17. （2024·浙江·一模）已知分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，是雙曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線，與交于兩點(diǎn)，的外接圓面積分別為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】容易知道，設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，則，設(shè)的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，可知，再利用基本不等式即可求值.
【詳解】由已知得，，，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，
所以，，
所以，
設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，
同時(shí)令，則，，
所以，
設(shè)的外接圓的半徑分別為，，
由正弦定理得，
，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以.

故選：A
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若、分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線的斜率之積為定值.
18. （2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A在的漸近線上，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn))，記四邊形OAFB的面積為，四邊形OAFB的外接圓的面積為，則的最大值為 ，此時(shí)雙曲線的離心率為 .
【答案】
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)到漸近線的距離為，可得，可得，利用基本不等式求的最大值，進(jìn)而可得離心率.
【詳解】由題意可知：，漸近線，即，
則點(diǎn)到漸近線的距離為，
因?yàn)椋芍?br/>則，可得，
則，
由題意可知：四邊形OAFB的外接圓即為以O(shè)F為直徑的圓，
則，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可知的最大值為，此時(shí)雙曲線的離心率為.
故答案為：；.
19. （2023·上海崇明·一模）已知正實(shí)數(shù)滿足則當(dāng) 取得最小值時(shí)，
【答案】
【分析】設(shè)出點(diǎn)之間的距離，由基本不等式求出最值，利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系確定自變量取值，代入求解即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為，則，
易知的幾何意義是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的平方，
點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，又，則，
設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為，則，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
此時(shí)取得最小值，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得，此時(shí)，
代入得，.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是利用基本不等式找到關(guān)于的取值．再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系確定此時(shí)也取得最小值，然后將代入目標(biāo)式，得到所要求的結(jié)果即可．
20. （2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）我們將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系”．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為．
(1)若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，求常數(shù)的值；
(2)設(shè)橢圓，過(guò)作斜率為的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值，并求其最小值；
(3)若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，橢圓上的任意一點(diǎn)記為求證：的垂心必在橢圓上．
【答案】(1)或1
(2)當(dāng)時(shí)，取得最小值
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）計(jì)算橢圓離心率的等量關(guān)系，求解即可.
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可得出與的關(guān)系，結(jié)合不等式可求出最小值；
（3）先由“一簇橢圓系”定義計(jì)算橢圓的方程，再根據(jù)垂心的性質(zhì)計(jì)算垂心與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入點(diǎn)滿足的橢圓方程，即可證明.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率，故由條件得，
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得．
綜上，或1．
（2）易得，
所以直線的方程分別為，
由，得，
又直線與橢圓相切，則，
又，即．
由，得，
又直線與橢圓相切，則，
又，即，
故，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．

（3）顯然橢圓．
因?yàn)闄E圓上的任意一點(diǎn)記為，
所以．①
設(shè)的垂心的坐標(biāo)為，
連接，因?yàn)椋?br/>故由得．
又，所以，（*）
將代入（*），得，②
由①②得．
將，代入①得，
即的垂心在橢圓上．

【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：垂心是三角形三條高線的交點(diǎn)，通常有兩種方法進(jìn)行求解，其一是向量法，即兩個(gè)互相垂直的向量的數(shù)量積為零；其二是利用直線的斜率公式，即兩條互相垂直的直線的斜率之積為．
05基本不等式與向量結(jié)合
21.（2024·河北邯鄲·二模）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義：，．若平面向量滿足，且和都在集合中，則（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】D
【分析】根據(jù)，得到，再利用題設(shè)中的定義及向量夾角的范圍，得到，，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>設(shè)向量和的夾角為，因?yàn)椋裕?br/>得到，
又，所以，
又在集合中，所以，即，得到，
又因?yàn)椋曰颍?br/>所以或，
故選：D.
22. （2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，向量，滿足，且，其中，當(dāng)取到最小時(shí)， ．
【答案】0
【分析】由平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律、結(jié)合基本不等式求解
【詳解】由題意得，故，
又，，故，，
同理得，
故，
顯然，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)取到最小值2，，得，得．
故答案為：0
23. （23-24高三下·天津和平·開(kāi)學(xué)考試）在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn)．設(shè)，，記，則 ；若，的面積為，則當(dāng) 時(shí)，取得最小值．
【答案】 /0.5 2
【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面積公式得到，結(jié)合和平面向量數(shù)量積公式，基本不等式得到的最小值，此時(shí)，由余弦定理得到.
【詳解】由題意得
，
故，故；
由三角形面積公式得，
故，
其中，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)
，
故.
故答案為：，2
24. （2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，，，當(dāng)取到最大值時(shí)，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量運(yùn)算，由米勒最大角定理分析運(yùn)算可得結(jié)果，或者直接建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)結(jié)合基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意：與共線，點(diǎn)位于的等分點(diǎn)處(靠近點(diǎn))
解法一：欲使最大，根據(jù)“米勒最大角定理”，此時(shí)以為弦圓與相切，根據(jù)切割弦定理：,故 .
解法二：設(shè)，則，有=
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.
故選:A
25. （2023·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)， ，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則 ；為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，且，軸上點(diǎn)滿足，，則的最小值為 ．
【答案】 4
【分析】第一空：利用橢圓與雙曲線的定義及性質(zhì)，結(jié)合圖形建立方程，求出，在利用余弦定理建立關(guān)于離心率的齊次方程解出即可；
第二空：由為的內(nèi)心，得出角平分線，利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平面向量得出及，代入中利用基本不等式求最值即可.
【詳解】①由題意得橢圓與雙曲線的焦距為，
橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，
不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義：，
由橢圓的定義：，
可得：，
又，由余弦定理得：
，
即，
整理得：，
所以：；
②為的內(nèi)心，
所以為的角平分線，則有，同理：，
所以，
所以，即，
因?yàn)椋?br/>所以，故，
為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，
即為的角平分線，則有，又，
所以，即，
因?yàn)椋?br/>所以，故，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為，
故答案為：4，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：離心率的求解方法，
（1）直接法：由題意知道利用公式求解即可；
（2）一般間接法：由題意知道或利用的關(guān)系式求出，在利用公式計(jì)算即可；
（3）齊次式方程法：建立關(guān)于離心率的方程求解.
06基本不等式新考點(diǎn)
26.（2024·廣東湛江·二模）當(dāng)，時(shí)，.這個(gè)基本不等式可以推廣為當(dāng)x，時(shí)，，其中且，.考慮取等號(hào)的條件，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，.用這個(gè)式子估計(jì)可以這樣操作：，則.用這樣的方法，可得的近似值為（ ）
A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的信息，求出的近似值，進(jìn)而求出的近似值.
【詳解】依題意，，則.
故選：C
27. （2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）任意大于1的正整數(shù)m的三次冪均可“分裂”成m個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如：，，，…，按此規(guī)律，若分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是2019，則m的值是（ ）
A．46 B．45 C．44 D．43
【答案】B
【分析】
將題目中的規(guī)律總結(jié)為含未知數(shù)的一般形式，然后解不等式即可.
【詳解】題目所給規(guī)律可以表示為等式，
故由題目條件知，即且.
故，，
這得到，從而.
故選：B.
28. （2024·廣東廣州·二模）設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值的概率也均為0.2，若記分別為的方差，則（ ）
A．
B．
C．
D．與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)
【答案】C
【分析】根據(jù)期望的公式推出，再根據(jù)方差的計(jì)算公式可得的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可判斷的大小，即得答案.
【詳解】由題意得，
，
故，
記
則
同理
因?yàn)椋瑒t，，，
故 ，
即得，與的大小關(guān)系與的取值無(wú)關(guān)，
故選：C
29. （2023·山東·二模）已知隨機(jī)變量，且，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出的值，則，令，，則，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，
所以，即，所以，
所以
令，，
所以，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，
即的最大值為.
故選：D.
30. （23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲 乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對(duì)抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過(guò)關(guān)；否則不過(guò)關(guān).若甲 乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過(guò)關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來(lái)看，甲 乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（ ）
A．27 B．24 C．32 D．28
【答案】A
【分析】先求得每一輪訓(xùn)練過(guò)關(guān)的概率，利用二項(xiàng)分布的期望列方程，結(jié)合基本不等式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】設(shè)每一輪訓(xùn)練過(guò)關(guān)的概率為，
則
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，
所以，
依題意，，則，
，所以至少需要輪.
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)事件結(jié)合的問(wèn)題，要注意區(qū)別兩者的不同，相互獨(dú)立事件的概率可以不相同，獨(dú)立重復(fù)事件概率是相同的.求最值的方法可以考慮二次函數(shù)的性質(zhì)，也可以考慮基本不等式，利用基本不等式時(shí)，要注意“一正二定三相等”.
07基本不等式與正余弦定理結(jié)合
求解三角形中有關(guān)邊、角、面積的最值（范圍）問(wèn)題，常利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式等建立，（為三角形的邊）等之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)知識(shí)或基本不等式求解.
31.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角的對(duì)邊分別為．若為的重心，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)已知條件，利用正弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出角，然后利用余弦定理、基本不等式求出，并且結(jié)合得到的表達(dá)式，即可求得的表達(dá)式，同理可得的表達(dá)式，進(jìn)而得到的最小值.
【詳解】由及可得，由正弦定理可得，
又，故,即，而,故；
由余弦定理得，故，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；
設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則G在上，
則，，
由可得，
則，
同理可得，
故
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
故的最小值為，
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解三角形中有關(guān)邊、角、面積的最值（范圍）問(wèn)題，常利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式等建立，（為三角形的邊）等之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)知識(shí)或基本不等式求解.
32. （2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來(lái)測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求周長(zhǎng)的最大值.
【詳解】因?yàn)樗倪呅文景宓囊粋€(gè)內(nèi)角滿足，如圖，

設(shè)，由題設(shè)可得圓的直徑為，
故，因，為三角形內(nèi)角，故，
故，
故，
故，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
同理，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
故四邊形周長(zhǎng)的最大值為，
故選：A.
33. （2024·四川瀘州·二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用正余弦定理，結(jié)合三角恒等變換得到，再利用基本不等式即可得解.
【詳解】由余弦定理得，
兩式相減得，
因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理得，
即，
所以 ，
則，
因?yàn)樵谥校煌瑫r(shí)為，，故，
所以，
又，所以，則，故，則，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
則的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
34. （2024·四川瀘州·二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用正余弦定理，結(jié)合三角恒等變換得到，再利用基本不等式即可得解.
【詳解】由余弦定理得，
兩式相減得，
因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理得，
即，
所以 ，
則，
因?yàn)樵谥校煌瑫r(shí)為，，故，
所以，
又，所以，則，故，則，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
又，所以，即的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
35. （2024·福建莆田·二模）如圖，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正六邊形的中心，是過(guò)點(diǎn)的任一直線，將此正六邊形沿著折疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和對(duì)稱性，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形面積最大值問(wèn)題，結(jié)合基本不等式求出最值即可.
【詳解】

如圖，由對(duì)稱性可知，折疊后的圖形與另外一半不完全重合時(shí)比完全重合時(shí)面積大，
此時(shí)，折疊后面積為正六邊形面積的與面積的3倍的和.
由正六邊形的性質(zhì)和對(duì)稱性知，，，
在中，由余弦定理可得：
，
得，
由基本不等式可知，則，
故，
因，，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故，
又正六邊形的面積，
所以折疊后的面積最大值為：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，分析得折疊后所成圖形的面積要取得最大值時(shí)的狀態(tài)，從而得解.
08指對(duì)函數(shù)與不等式
36.（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方的初始兵力，為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方時(shí)刻的兵力；正實(shí)數(shù)，分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定：當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為．則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．若且，則
B．若且，則
C．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利
D．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利
【答案】C
【分析】對(duì)于A根據(jù)已知條件利用作差法比較大小即可得出，對(duì)于B，利用A中結(jié)論可得藍(lán)方兵力先為0，即解得；對(duì)于C和D，若要紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，分別解出紅、藍(lán)兩方兵力為0時(shí)所用時(shí)間、，比較大小即可.
【詳解】對(duì)于A，若且，則，
即，所以，
由可得，即A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)根據(jù)A中的結(jié)論可知，所以藍(lán)方兵力先為，
即，化簡(jiǎn)可得，
即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，
即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為，所以B正確；
對(duì)于C，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時(shí)間大于藍(lán)方即可，
設(shè)紅方兵力為時(shí)所用時(shí)間為，藍(lán)方兵力為時(shí)所用時(shí)間為，
即，可得
同理可得，即，解得，
又因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；
所以可得C錯(cuò)誤，D正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題給的信息比較多，關(guān)鍵是理解題意，然后利用相應(yīng)的知識(shí)（作差法、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）進(jìn)行判斷.
37. （2024·北京豐臺(tái)·一模）目前發(fā)射人造天體，多采用多級(jí)火箭作為運(yùn)載工具．其做法是在前一級(jí)火箭燃料燃燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級(jí)火箭開(kāi)始工作，使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度時(shí)將人造天體送入預(yù)定軌道．現(xiàn)有材料科技條件下，對(duì)于一個(gè)級(jí)火箭，在第級(jí)火箭的燃料耗盡時(shí)，火箭的速度可以近似表示為，
其中．
注：表示人造天體質(zhì)量，表示第（）級(jí)火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量．
給出下列三個(gè)結(jié)論：
①；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，若，則．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【答案】②③
【分析】只需證明每個(gè)都大于1即可判斷①錯(cuò)誤；直接考慮時(shí)的表達(dá)式即可判斷②正確；時(shí)，將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式，再得到一個(gè)不等關(guān)系，即可證明，推出③正確.
【詳解】首先，對(duì)，有，故，，這推出.
由于，故每個(gè)都大于1，從而，①錯(cuò)誤；
由于當(dāng)時(shí)，有，故②正確；
由于當(dāng)時(shí)，，若，則.
從而，故.
這意味著，即，從而我們有
.等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，
故，即，即，
分解因式可得，再由即知，故，③正確.
故答案為：②③.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷第三問(wèn)的關(guān)鍵是得到條件等式，結(jié)合基本不等式即可順利得解.
38. （2023·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先把指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式，表示出.選項(xiàng)A，取倒數(shù)再根據(jù)換底公式可以判斷A；選項(xiàng)B，根據(jù)換底公式轉(zhuǎn)化為比較的大小關(guān)系；選項(xiàng)C，同樣根據(jù)換底公式轉(zhuǎn)化為比較底數(shù)的大小關(guān)系；選項(xiàng)D，把利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合基本不等式得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，則，，.
選項(xiàng)A，，，，則，故A正確；
選項(xiàng)B，，，，
下面比較的大小關(guān)系，
因?yàn)椋裕矗郑?br/>所以，即，故B不正確；
選項(xiàng)C，，，，
因?yàn)椋郑裕矗蔆正確；
選項(xiàng)D，，
因?yàn)椋裕?br/>又，所以，故D正確；
故選：B.
【點(diǎn)睛】指數(shù)和對(duì)數(shù)的比較大小問(wèn)題，通常有以下方法：
（1）利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，底數(shù)不一樣時(shí)可以化成一樣的再比較；
（2）比較與0，1的關(guān)系，也可以找中間值比較大小；
（3）當(dāng)真數(shù)一樣時(shí)，可以考慮用換底公式，換成底數(shù)一樣，再比較大小；
（4）去常數(shù)再比較大小，當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，需要將對(duì)數(shù)進(jìn)行分離常數(shù)再比較；
（5）也可以結(jié)合基本不不等式進(jìn)行放縮，再比較大小；
（6）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
39. （2021·陜西安康·三模）若對(duì)任意，總存在，使得成立，則m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，從而得到，
再利用函數(shù)的單調(diào)性求出的值域?yàn)椋容^端點(diǎn)值，列出不等式組，
求出m的最小值.
【詳解】因?yàn)椋裕瑒t為對(duì)勾函數(shù)，
在處取得最小值，，
又因?yàn)椋?br/>所以．
由，得．
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值域?yàn)椋?br/>即的值域?yàn)椋?br/>則，解得．
所以m的最小值為.
故選：B
40. （2023·天津?yàn)I海新·三模）已知正實(shí)數(shù)m，n，滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】，利用函數(shù)單調(diào)性可得，又注意到，后由基本不等式可得答案.
【詳解】，構(gòu)造函數(shù)，則，即在上單調(diào)遞增，
則.則 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故答案為：.
09基本不等式與立體幾何結(jié)合
41.（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)與為兩個(gè)正四棱錐，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為且，點(diǎn)M在線段AC上，且，將異面直線PD，QM所成的角記為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立適當(dāng)空間站直角坐標(biāo)系后，借助空間向量表示出的余弦值，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可得解.
【詳解】連接交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，所以，
因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，
設(shè)，在直角中，有，故，
所以，
則，
所以，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，
因此的最小值為.

故選：A.
42. （2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先得的軌跡方程，進(jìn)一步作二面角的平面角為，結(jié)合軌跡的參數(shù)方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等條件.
【詳解】因?yàn)椋裕c(diǎn)的軌跡方程為（橢球），

又因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡方程為，（雙曲線的一支）

過(guò)點(diǎn)作，而面，
所以面，

設(shè)為中點(diǎn)，則二面角為，
所以不妨設(shè)，
所以，
所以，令，
所以，
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是用定義法作出二面角的平面角，結(jié)合軌跡方程設(shè)參即可順利得解.
43. （23-24高三下·山西·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球半徑的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中點(diǎn)，根據(jù)題意分析可知：三棱錐外接球的球心在過(guò)垂直于平面的直線上，設(shè)，建系，結(jié)合空間兩點(diǎn)距離公式可得，進(jìn)而利用基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】連接，取的中點(diǎn)，可知為的外心，
過(guò)作平面的垂線，可知三棱錐外接球的球心在該垂線上，
設(shè)，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)椋矗?br/>整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以三棱錐外接球半徑的最小值為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意分析可知三棱錐外接球的球心在過(guò)垂直于平面的直線上，再以空間直角坐標(biāo)系為依托，分析求解.
44. （2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，底面為矩形，，頂點(diǎn)S在底面的射影為H，當(dāng)H落在上時(shí)，四棱錐體積的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】取BC的中點(diǎn)E，連接，根據(jù)垂直關(guān)系可知平面，進(jìn)而可得為的中點(diǎn)，結(jié)合錐體的體積公式以及基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】取BC的中點(diǎn)E，連接，
因?yàn)闉榈冗吶切危瑒t，
又因?yàn)槠矫妫矫妫瑒t，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
如圖，則 ，可知為的中點(diǎn)，
在為等邊三角形，可知，則，
在中，可知，，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為1.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)垂直關(guān)系分析可知平面，進(jìn)而可得為的中點(diǎn).
45.（多選） （2024·河南信陽(yáng)·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，為的中點(diǎn)．，過(guò)作平面的垂線，垂足為，連，，設(shè)，的交點(diǎn)為，在中過(guò)作直線交，于，兩點(diǎn)，，，過(guò)作截面將此四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A． B．
C． D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】過(guò)作平面的垂線，垂足為，連接、、，設(shè)、的交點(diǎn)為，在中，過(guò)作直線交，于，，由相交直線確定平面，得到四邊形是過(guò)的截面，結(jié)合平面向量基本定理，基本不等式及體積求解逐項(xiàng)判斷能求出結(jié)果．
【詳解】由題意可知，四棱錐為正四棱錐，
過(guò)作平面的垂線，垂足為，則O為底面中心，連接、、，
設(shè)、的交點(diǎn)為，在中，過(guò)作直線交，于，，
由相交直線確定平面，得到四邊形是過(guò)的截面，
由題意得，是等邊三角形，是的重心，
則，故A正確；
又設(shè)，， ，，
，由三點(diǎn)共線得，解得，故B正確；
易知 平面,故平面，
則E到平面的距離為，同理G到平面的距離為2,
又為的中點(diǎn)，則到平面的距離為1，
，
，故C錯(cuò)誤;
易知，
故，
，
，，，
當(dāng)且僅當(dāng)．取等號(hào)，
，
．故D正確.
故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正棱錐性質(zhì)及向量應(yīng)用，解決問(wèn)題關(guān)鍵是利用向量共線得結(jié)合基本不等式求最值.
10基本不等式與集合、函數(shù)新定義
函數(shù)新定義問(wèn)題，命題新穎，常常考慮函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，奇偶性，值域等，且存在知識(shí)點(diǎn)交叉，會(huì)和導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列等知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識(shí)遷移，綜合運(yùn)用能力，對(duì)于此類問(wèn)題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問(wèn)題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決.
46.（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個(gè)拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對(duì)中的部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個(gè)方程組，如下：
，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)．的值代入到中即為極值．
補(bǔ)充說(shuō)明：【例】求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)．即：將變量當(dāng)做常數(shù)，即：，下標(biāo)加上，代表對(duì)自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)．
(1)求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)處的導(dǎo)數(shù)值．
(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求的最大值．
(3)①若為實(shí)數(shù)，且，證明：．
②設(shè)，求的最小值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)①證明見(jiàn)解析；②4.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，對(duì)變量求導(dǎo)并求值.
（2）利用拉格朗日乘數(shù)法求出極值，再判斷并求出最大值.
（3）①利用換元法，結(jié)合平方數(shù)是非負(fù)數(shù)推理即得；②利用二次函數(shù)、均值不等式求出最小值.
【詳解】（1）函數(shù)，對(duì)變量求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，.
（2）令，
則，解得或，
于是函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)是，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)極值為函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)極值為函數(shù)，
方程視為關(guān)于x的方程：，則，解得，
視為關(guān)于y的方程：，則，解得，
因此函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形是封閉的，而，
所以的最大值為.
（3）①由，，設(shè)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以.
②當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以時(shí)，取得最小值4.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用基本不等式最值的方法與技巧：
①在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的條件；
②利用基本不等式求最值時(shí)，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，有時(shí)可乘以一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，以及“1”的代換等應(yīng)用技巧.
47. （多選）（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）定義函數(shù)的曲率函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），函數(shù)在處的曲率半徑為該點(diǎn)處曲率的倒數(shù)，曲率半徑是函數(shù)圖象在該點(diǎn)處曲率圓的半徑，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若曲線在各點(diǎn)處的曲率均不為0，則曲率越大，曲率圓越小
B．函數(shù)在處的曲率半徑為1
C．若圓為函數(shù)的一個(gè)曲率圓，則圓半徑的最小值為2
D．若曲線在處的彎曲程度相同，則
【答案】ABD
【分析】直接根據(jù)倒數(shù)的性質(zhì)即知A正確；直接根據(jù)曲率半徑的定義計(jì)算函數(shù)在處的曲率，再取倒數(shù)得到曲率半徑即可判斷B正確；使用三元均值不等式可以證明函數(shù)的曲率圓的半徑一定大于2，從而C錯(cuò)誤；設(shè)，，然后將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式，再使用基本不等式進(jìn)行處理，即可證明D正確.
【詳解】對(duì)于A，若曲線在各點(diǎn)處的曲率均不為0，顯然，由知，
由于曲線在處的曲率為，曲率圓的半徑為，
所以曲率圓的半徑等于曲率的倒數(shù). 而曲率大于0，所以曲率越大，曲率圓越小，A正確；
對(duì)于B，若，直接計(jì)算知，所以，
從而函數(shù)在處的曲率為1，從而函數(shù)在處的曲率半徑為1的倒數(shù)，即1，B正確；
對(duì)于C，若，直接計(jì)算知，這里.
所以處的曲率圓半徑，
從而我們有，
所以圓的半徑一定大于2，不可能以2為最小值，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，在C選項(xiàng)的過(guò)程中已經(jīng)計(jì)算得知，
現(xiàn)在如果曲線在處的彎曲程度相同，則，故，
所以，即.
設(shè)，，則，，，將兩邊展開(kāi)，
得到，從而.
故，而，
故，這意味著，從而.
定義函數(shù)，則，由于，函數(shù)在上遞增，
故，所以，D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候使用均值不等式是解決本題C，D選項(xiàng)的關(guān)鍵.
48. （2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“讓式子丟掉次數(shù)”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見(jiàn)的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出：對(duì)實(shí)數(shù)，在時(shí)，有不等式成立；在時(shí)，有不等式成立．
(1)猜想伯努利不等式等號(hào)成立的條件；
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)伯努利不等式進(jìn)行證明；
(3)考慮對(duì)多個(gè)變量的不等式問(wèn)題．已知是大于的實(shí)數(shù)（全部同號(hào)），證明
【答案】(1)，或
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)不等式特征猜想出等號(hào)成立的條件；
（2）設(shè)，注意到，求導(dǎo)得到，二次求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值最值情況，證明出結(jié)論；
（3）當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造數(shù)列：，作差法得到是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列（），結(jié)合，得到，證明出結(jié)論.
【詳解】（1）猜想：伯努利不等式等號(hào)成立的充要條件是，或．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，其他值均不能保證等號(hào)成立，
猜想，伯努利不等式等號(hào)成立的充要條件是，或；
（2）當(dāng)時(shí)，我們需證，
設(shè)，注意到，
，令得，
即，是的一個(gè)極值點(diǎn)．
令，則，
所以單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以在處取得極小值，
即恒成立，．
伯努利不等式對(duì)得證．
（3）當(dāng)時(shí)，原不等式即，顯然成立．
當(dāng)時(shí)，構(gòu)造數(shù)列：，
則，
若，由上式易得，即；
若，則，所以，
故，
即此時(shí)也成立．
所以是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列（），
由于，所以，
故原不等式成立．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)新定義問(wèn)題，命題新穎，常常考慮函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，奇偶性，值域等，且存在知識(shí)點(diǎn)交叉，會(huì)和導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列等知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識(shí)遷移，綜合運(yùn)用能力，對(duì)于此類問(wèn)題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問(wèn)題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決.
49. （2024·海南海口·一模）在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，維數(shù)組是一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在各種編程語(yǔ)言中被廣泛使用．對(duì)于維數(shù)組，定義與的差為與之間的距離為．
(1)若維數(shù)組，證明：；
(2)證明：對(duì)任意的數(shù)組，有；
(3)設(shè)集合，若集合中有個(gè)維數(shù)組，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明：．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合新定義判斷證明；
（2）根據(jù)新定義，因?yàn)椋趾蛢煞N情況證明；
（3）根據(jù)題意結(jié)合排列組合的知識(shí)表示的式子，然后結(jié)合組合數(shù)和基本不等式進(jìn)行放縮即可證得結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)與中對(duì)應(yīng)項(xiàng)中同時(shí)為0的有個(gè)，同時(shí)為1的有個(gè)，
則對(duì)應(yīng)項(xiàng)不同的為個(gè)，所以．
所以；
（2）設(shè)，
因?yàn)椋?br/>，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以；
（3）記集合中所有兩個(gè)元素間距離的總和為，
則．
設(shè)集合中所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字共有個(gè)個(gè)0，
則，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：
（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.
50. （2020·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）定義：設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)記為.若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.已知在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意對(duì)函數(shù)求二階導(dǎo)函數(shù)，令在區(qū)間恒成立，分離參數(shù)，解得實(shí)數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】
在區(qū)間上為“凸函數(shù)”
在上恒成立
上恒成立
設(shè)，，
則
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義“凸函數(shù)”，考查了分離參數(shù)法解決恒成立問(wèn)題和基本不等式，屬于中檔題.
11不等式與數(shù)列結(jié)合
數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題的常見(jiàn)題型 1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題主要有以下兩類： ①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題； ②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形． 2.數(shù)列常與不等式結(jié)合，如比較大小、不等式恒成立、求參數(shù)范圍等問(wèn)題，需要熟練應(yīng)用不等式知識(shí)解決數(shù)列中的相關(guān)問(wèn)題．
51.（多選）（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．
C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減 D．當(dāng)時(shí)，恒有
【答案】ACD
【分析】由題意可得：，，對(duì)于AB：利用作差法分析判斷；對(duì)于C：分析可知是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析判斷；對(duì)于D：分析可得，結(jié)合等比數(shù)列運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，，
由可知：，但，
可知對(duì)任意的，都有，
對(duì)于選項(xiàng)A：若，
則，
即，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：，
即，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br/>則，且，
可知是等比數(shù)列，則，
設(shè)，，
可得，，
因?yàn)椋芍獮檫f增數(shù)列，
所以數(shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br/>由，可得，即，則，即；
由，可得，即，則，即；
以此類推，可得對(duì)任意的，都有，
又因?yàn)椋瑒t，
所以，故D正確.
故選：ACD.
52. （2024·廣東·一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)象包括向量和矩陣.對(duì)于平面向量，其模定義為.類似地，對(duì)于行列的矩陣，其模可由向量模拓展為（其中為矩陣中第行第列的數(shù)，為求和符號(hào)），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.
(1)，，矩陣，求使的的最小值.
(2)，，，矩陣 求.
(3)矩陣，證明：，，.
【答案】(1)10
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和一元二次不等式的求解即可；
（2）總結(jié)得第對(duì)角線上的平方和為，再代入化簡(jiǎn)即可；
（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化結(jié)合放縮法得證明成立，再利用換元法和導(dǎo)數(shù)證明即可.
【詳解】（1）由題意得.
若，則，即.
因式分解得.因?yàn)椋?
所以使的的最小值是10.
（2）由題得第1對(duì)角線上的平方和為，
第2對(duì)角線上的平方和為
，
第對(duì)角線上的平方和為
，
第對(duì)角線上的平方和為，
所以
所以.
（3）由題意知，證明
等價(jià)于證明，
注意到左側(cè)求和式，
將右側(cè)含有的表達(dá)式表示為求和式有
故只需證成立，
即證成立，令，
則需證成立，
記，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以在上恒成立，即成立，
所以原不等式成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三小問(wèn)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明，再結(jié)合放縮法轉(zhuǎn)化為證明，最后利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
53. （23-24高三下·安徽·開(kāi)學(xué)考試）基本不等式可以推廣到一般的情形：對(duì)于個(gè)正數(shù)，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．若無(wú)窮正項(xiàng)數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)：①；②為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．
(1)若，求數(shù)列的最小項(xiàng)；
(2)若，記，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
(3)若，求證：數(shù)列具有性質(zhì)．
【答案】(1)最小項(xiàng)為
(2)數(shù)列具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析．
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用，結(jié)合三個(gè)數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均求解；
（2）變形，再利用等比數(shù)列求和證明性質(zhì)①，利用證明②；
（3）結(jié)合二項(xiàng)式定理及n元基本不等式求解.
【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
數(shù)列的最小項(xiàng)為．
（2）數(shù)列具有性質(zhì)．
，
，
數(shù)列滿足條件①．
為單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列滿足條件②．
綜上，數(shù)列具有性質(zhì)．
（3）先證數(shù)列滿足條件①：
．
當(dāng)時(shí)，
則，
數(shù)列滿足條件①．
再證數(shù)列滿足條件②：
（，等號(hào)取不到）
為單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列滿足條件②．
綜上，數(shù)列具有性質(zhì).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列求和及二項(xiàng)式定理，證明性質(zhì)①均需要放縮為可求和數(shù)列.
54. （2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）已知等比數(shù)列的公比，成公差為的等差數(shù)列．
(1)求的最小值；
(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求集合中所有元素之和．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）由條件代入進(jìn)行基本量運(yùn)算，將用替代消元,再湊項(xiàng)運(yùn)用基本不等式即得；
（2）將表示為的函數(shù)，借助于求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值點(diǎn)，再按照集合的要求取舍元素即得.
【詳解】（1）由題設(shè)知，即 ，化簡(jiǎn)得：；
而．
于是當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
故的最小值為3．
（2）由，令，．
，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則時(shí)，取最小值，
從而取最小值時(shí)，．代入中，解得：，
又則，．
因不是偶數(shù)，故，則，因此當(dāng)時(shí)，．
所以當(dāng)取最小值時(shí)，A中所有元素之和為．
55. （2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問(wèn)題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問(wèn)一月共施幾何？在這個(gè)問(wèn)題中，以一個(gè)月31天計(jì)算，記此人第日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前項(xiàng)和為.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．15 B．20 C．24 D．27
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而得到，然后將分離出來(lái)，再結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可知，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故，所以2.
由，得，
整理得對(duì)任意，且恒成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，即實(shí)數(shù)的最大值為27.
故選：D.
12基本不等式與函數(shù)結(jié)合
56.（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】B
【分析】令，不等式變形為，求出的最小值，從而得到實(shí)數(shù)的最大值.
【詳解】，，變形為，
令，
則轉(zhuǎn)化為
，即，
其中

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，可知.
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題，先分離參數(shù)后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
57. （2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）若為函數(shù)（其中）的極小值點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】時(shí)為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)不符合題意；令有兩根為或，分、討論，根據(jù)為極小值點(diǎn)需滿足的條件，結(jié)合不等式性質(zhì)可得答案.
【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故.
由于，且，故有兩根為或
①當(dāng)時(shí)，若為極小值點(diǎn)，則需滿足：，故有，
可得；
②當(dāng)時(shí)，若為極小值點(diǎn)，則需滿足：，故有：，
可得.
故A，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，綜合①②有：.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)為極小值點(diǎn)得到的關(guān)系再結(jié)合不等式的性質(zhì)解題.
58. （2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）表示兩個(gè)實(shí)數(shù)，中的較小數(shù)．已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的最小值為 ．
【答案】16
【分析】先分情況討論得出 ，然后根據(jù)單調(diào)性得出若，，則，，最后根據(jù)基本不等式即得的最小值為16.
【詳解】，
當(dāng)，即時(shí)，，
而當(dāng)，即時(shí)，，
即 .
作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由于在上遞增，在上遞減，
從而若，，則，，即.
所以，當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．
故答案為：16.
59. （2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在不同兩點(diǎn)，處的切線互相平行，則這兩條平行線間距離的最大值為 .
【答案】
【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，由在A，B兩點(diǎn)處切線互相平行，可得，計(jì)算原點(diǎn)O到點(diǎn)A處切線的距離的最大值后可得兩條平行線距離最大值.
【詳解】由題意有，設(shè)，
所以函數(shù)在點(diǎn)A處的切線方程為，
所以原點(diǎn)O到點(diǎn)A處切線的距離為，
因?yàn)椋?br/>所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在A，B兩點(diǎn)處切線互相平行，
所以，即在A，B兩點(diǎn)處切線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以這兩條平行線間的距離的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用是偶函數(shù)，得到兩條切線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故兩條平行線距離最大值即為原點(diǎn)O到點(diǎn)A處切線的距離最大值的2倍.
60. （2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為 ．
【答案】18
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得的表達(dá)式，由此化簡(jiǎn)推出，結(jié)合說(shuō)明，繼而利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】由于，
故，
故，，
則
，
由，得，
由，即，知位于之間，
不妨設(shè)，則，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故則的最小值為18，
故答案為：18
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式求最值的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式推出，并說(shuō)明，然后利用基本不等式求最值即可.
13不等式新考點(diǎn)
61.（2024·全國(guó)·二模）已知為實(shí)數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值是 .
【答案】6
【分析】先對(duì)不等式等價(jià)變換為，令得，構(gòu)造函數(shù)，從而，又，利用不等式性質(zhì)即可求解范圍.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>則不等式等價(jià)于，
等價(jià)于，令，則，
從而，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，
因?yàn)椋矗裕?br/>令，則，解得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
故的最大值是6.
故答案為：6
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)合函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對(duì)不等式等價(jià)變形，利用換元法結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)范圍，最后利用不等式性質(zhì)求解即可.
62. （2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：（其中均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：，已知，若關(guān)于的不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知得出關(guān)于的方程組，求出，再代入不等式組求出解集，再根據(jù)已知條件得到取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，解得，
所以，，
因?yàn)椴坏仁浇M恰有3個(gè)整數(shù)解，
所以，
故答案為：.
63. （2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）從古至今，中國(guó)人一直追求著對(duì)稱美學(xué)．世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)——故宮：金黃的宮殿，朱紅的城墻，漢白玉的階，琉璃瓦的頂……沿著一條子午線對(duì)稱分布，壯美有序，和諧莊嚴(yán)，映襯著藍(lán)天白云，宛如東方仙境．再往遠(yuǎn)眺，一線貫穿的對(duì)稱風(fēng)格，撐起了整座北京城．某建筑物的外形輪廓部分可用函數(shù)的圖像來(lái)刻畫，滿足關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且（其中），則的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先確定函數(shù)的對(duì)稱性，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性確定根，從而列出關(guān)于的方程組，解方程組即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以關(guān)于對(duì)稱，所以的根應(yīng)成對(duì)出現(xiàn)，
又因?yàn)榈姆匠糖∮腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根且，
所以該方程的一個(gè)根是，得，且，
所以，由得，
當(dāng)，即，即時(shí)，，①
則，②
由①②得，解得，所以；
當(dāng)，即，即時(shí)，，③
，④
由③④得，即，
解得，此時(shí)，不合題意，舍去，
綜上，.
故選：B.
64. （多選）（2023·浙江·二模）已知時(shí)，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，
【答案】BCD
【分析】本題考慮到不等式可以用，，這3個(gè)函數(shù)進(jìn)行表示，可將不等式轉(zhuǎn)化為這三個(gè)函數(shù)在時(shí)的大小位置關(guān)系.可結(jié)合，進(jìn)行初步判斷函數(shù)的大小關(guān)系，結(jié)合的變化對(duì)，的相對(duì)位置的變化影響可解得本題.
【詳解】設(shè)，，，
由得，
所以時(shí)，或.
A和B選項(xiàng)：
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
即當(dāng)時(shí)，，
故.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.
故，即，
所以有，
即，.
設(shè)，由題意可知，，
，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
所以，
得，
由得，
，
當(dāng)時(shí)，由得，
則，故B正確，
取，，，則，故A錯(cuò)誤；
C和D選項(xiàng)：
當(dāng)時(shí)，
由題意，恰為，兩交點(diǎn)，所在直線，
則
則
由對(duì)數(shù)平均不等式知，
.
故，
故CD正確
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考察用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是從不等式中能抽象出來(lái)，，這三個(gè)函數(shù)，然后根據(jù)不等式得到三個(gè)函數(shù)的圖象在不同位置時(shí)的聯(lián)系進(jìn)而去解決問(wèn)題.
65. （2022·山東德州·二模）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段：操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次從左到右第三個(gè)區(qū)間為 ，若使前n次操作去掉的所有區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為 ．(，)
【答案】 ； .
【分析】先根據(jù)題意把第次操作所去掉的長(zhǎng)度和求出來(lái)，然后再求和即可得到前次操作所去掉的長(zhǎng)度，再建立不等式即可求出的最小值.
【詳解】第一次操作去掉了區(qū)間長(zhǎng)度的，剩下的區(qū)間：，
第二次去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，即長(zhǎng)度和為，剩下的區(qū)間：，，，
第三次去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，即長(zhǎng)度和為，剩下的區(qū)間：，，，， .
以此類推，
第次將去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，即長(zhǎng)度和為，
則的前項(xiàng)和可表示為
由題意知，，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，即，
解得：
故答案為：；.
66. （2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，x，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】構(gòu)造，變形，然后用基本不等式求出結(jié)果即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以．
因?yàn)椋裕?br/>所以，即．
當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為．
故選：C．
67. (多選)（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，x，y，．，則以下說(shuō)法正確的有（ ）
A．的最大值為
B．的最大值為
C．的最大值為0
D．恒小于0
【答案】CD
【分析】由可得，而，可判斷C正確；從而得到中至少有一個(gè)為，不妨令，則且，從而可判斷A,B,D選項(xiàng).
【詳解】，，
對(duì)于C，
，
，C正確；
由C選項(xiàng)可知，，
所以中至少有一個(gè)為，不妨令，則且，
對(duì)于A，，
所以，A錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，而，
所以，即，D正確；
對(duì)于B，
而，所以，
即，B錯(cuò)誤.
故選：CD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
這道題的關(guān)鍵是先由可得，從而得到，進(jìn)而得到中至少有一個(gè)為，其他兩個(gè)互為相反數(shù)，從而可解.
68. （2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】先求得的取值范圍，再把整體代換構(gòu)造均值不等式即可.
【詳解】由已知得，所以，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，
故答案為：
69. （2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】設(shè)，結(jié)合立方和公式得出，由，解關(guān)于的不等式，再利用基本不等式，再解關(guān)于的不等式得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得：，即，
設(shè)，
則：，，
，
，，
解得或，
又，
，化簡(jiǎn)得，
①當(dāng)時(shí)，不等式不成立；
②當(dāng)時(shí)，，即，
，又恒成立，可得，
的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤
70. （2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)轉(zhuǎn)化后可構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)可得，由指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)后由均值不等式求解.
【詳解】由原式可得，且
令，則原式即為，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)所給方程，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到方程右邊為，構(gòu)造函數(shù)得出是解題關(guān)鍵.

展開(kāi)更多......

收起↑