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第四章 數列 章末重難點歸納總結
考點一 等差等比基本量的計算
【例1-1】（2022·陜西）等差數列的首項為1，公差不為0.若，，成等比數列，則的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2022·江蘇）記為等比數列的前項和.若，則___________.
【一隅三反】
1．（2022·甘肅）等差數列的首項為5,公差不等于零．若，，成等比數列，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龍江齊齊哈爾）已知等比數列的前n項和，則______.
3．（2022·吉林）已知等比數列的公比，，，則___________.
考點二 等差等比數列的性質
【例2-1】（2022·福建漳州·高二期中）已知等差數列中，是函數的兩個零點，則=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【例2-2】（2022·福建）在等比數列中，若，是方程的根，則的值為（ ）
A． B． C． D．或
【例2-3】（2022·江蘇省震澤中學高二階段練習）已知分別是等差數列與的前項和，且，則（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（2022·北京）若等差數列滿足，則當的前項和的最大時，的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
【一隅三反】
1．（2022·陜西）已知a是4與6的等差中項，b是與的等比中項，則（ ）
A．13 B． C．3或 D．或13
2．（2022·黑龍江齊齊哈爾）已知數列是等差數列，數列是等比數列，，且，（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海市行知中學）正項等比數列中，存在兩項使得，且，則最小值____.
4．（2022·浙江·嘉興一中高二期中）已知數列的前n項的和，若數列為等比數列，則的值為___________．
考點三 求通項與求和
【例3-1】（2023·云南）已知數列的首項.
(1)求；
(2)記，設數列的前項和為，求.
【例3-2】（2022·河南）已知正項數列的前項和為，且滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
.
【一隅三反】
1．（2022·寧夏·石嘴山市第三中學高二階段練習（理））已知數列中，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·甘肅·天水市第一中學高二階段練習）（多選）已知數列滿足，，則下列結論中錯誤的有（ ）
A．為等比數列 B．的通項公式為
C．為遞增數列 D．的前項和為
3．（2022·上海市松江二中高二期中）設數列的前項和為，且，則數列的通項公式為___________.
4．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列的前n項和為 ；各項均為正數的等比數列 滿足， ．
(1)求數列和的通項公式；
(2)求數列 的前n項和 ．
5．（2023·廣西）已知等差數列的前項和為，且關于的不等式的解集為.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前項和
6．（2022·福建泉州）已知等差數列的前項和為，其中，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
考點四 數列的實際應用
【例4-1】（2022·福建）把120個面包全部分給5個人，使每人所得面包個數成等差數列，且較大的三份之和是較小的兩份之和的7倍，則最小一份的面包個數為（ ）
A．2 B．5 C．6 D．11
【例4-2】（2022·天津）中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.”則該人第一天走的路程為（ ）
A．63里 B．126里 C．192里 D．228里
【一隅三反】
1．（2022·安徽·六安一中）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不為難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關.要見每朝行里數，請公仔細算相還.”意思是：有一個人要走441里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完.則此人最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．14里 C．21里 D．112里
2（2022·湖南）農民收入由工資性收入和其它收入兩部分構成.2003年某地區農民人均收入為3150元（其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元），預計該地區自2004年起的5年內，農民的工資性收入將以每年的年增長率增長，其它收入每年增加160元．根據以上數據，2008年該地區農民人均收入介于（ ）
A．4200元~4400元 B．4400元~4600元 C．4600元~4800元 D．4800元~5000元
3．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時期的數學著作《孫子算經》.1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.此定理講的是關于整除的問題，現將1到2031這2031個數中，能被2除余1且被5除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，則該數列共有（ ）
A．202項 B．203項 C．204項 D．205項
第四章 數列 章末重難點歸納總結
考點一 等差等比基本量的計算
【例1-1】（2022·陜西）等差數列的首項為1，公差不為0.若，，成等比數列，則的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因為，，成等比數列，則
即，將代入計算
可得或（舍）
則通項公式為
故選:A.
【例1-2】（2022·江蘇）記為等比數列的前項和.若，則___________.
答案：
【解析】公比，
則故答案為：
【一隅三反】
1．（2022·甘肅）等差數列的首項為5,公差不等于零．若，，成等比數列，則（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由題可知等差數列的首項為,設的公差為d，
由，，成等比數列得，
即，
解得，
因而，
故.
故選:D
2．（2022·黑龍江齊齊哈爾）已知等比數列的前n項和，則______.
答案：9
【解析】因為當等比數列的公比時，，
又，故可得，解得，
故，則.
故答案為：.
3．（2022·吉林）已知等比數列的公比，，，則___________.
答案：
【解析】由得
由等比數列得，所以，即
解得或，則或，由，可得，即
所以.故答案為：.
考點二 等差等比數列的性質
【例2-1】（2022·福建漳州·高二期中）已知等差數列中，是函數的兩個零點，則=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
答案：D
【解析】由題意知，又是等差數列，
所以.
故選：D
【例2-2】（2022·福建）在等比數列中，若，是方程的根，則的值為（ ）
A． B． C． D．或
答案：C
【解析】顯然方程有兩個正實根，依題意，有，，
等比數列公比，，所以.
故選：C
【例2-3】（2022·江蘇省震澤中學高二階段練習）已知分別是等差數列與的前項和，且，則（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】因為數列是等差數列，所以，
所以，
又因為分別是等差數列與的前項和，且，
所以,
故選：.
【例2-4】（2022·北京）若等差數列滿足，則當的前項和的最大時，的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
答案：B
【解析】因為，所以，
因為，所以，
所以當的前項和的最大時，的值為8.
故選：B.
【一隅三反】
1．（2022·陜西）已知a是4與6的等差中項，b是與的等比中項，則（ ）
A．13 B． C．3或 D．或13
答案：D
【解析】a是4與6的等差中項，故，
b是與的等比中項，則，則，或.
故選：D
2．（2022·黑龍江齊齊哈爾）已知數列是等差數列，數列是等比數列，，且，（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】因為數列是等差數列，，
所以，，
因為數列是等比數列，，
所以，，
所以.
故選：D.
3．（2022·上海市行知中學）正項等比數列中，存在兩項使得，且，則最小值____.
答案：
【解析】在正項等比數列中有，由等比數列的性質知，即，解得或（舍），
則，可得，其中.
所以，當且僅當，即時等號成立.
故的最小值為：.
4．（2022·浙江·嘉興一中高二期中）已知數列的前n項的和，若數列為等比數列，則的值為___________．
答案：
【解析】數列為等比數列，則其前項成等比數列，即，
由，，
，，故，
解得. 此時，時，
當，，故符合，于是時，，數列為等比數列.
故答案為：
考點三 求通項與求和
【例3-1】（2023·云南）已知數列的首項.
(1)求；
(2)記，設數列的前項和為，求.
答案：(1)
(2)
【解析】（1）由題意可得，，，
所以數列是以3為首項，3為公比的等比數列，
所以，故.
（2）由（1）得，
所以
令①，則，
因為②，
①-②得，
所以，
所以.
【例3-2】（2022·河南）已知正項數列的前項和為，且滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
答案：(1)
(2)
【解析】（1）解：因為，即①，
當時，解得或（舍去），
當時②，
①②時，即，
即，即，
因為，所以，即，
所以是以為首項，為公差的等差數列，
所以.
（2）解：由（1）可得，
所以
.
【一隅三反】
1．（2022·寧夏·石嘴山市第三中學高二階段練習（理））已知數列中，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】
所以所以數列是一個以2為首項，以4為公比的等比數列，
所以.
故選：C
2．（2022·甘肅·天水市第一中學高二階段練習）（多選）已知數列滿足，，則下列結論中錯誤的有（ ）
A．為等比數列 B．的通項公式為
C．為遞增數列 D．的前項和為
答案：AD
【解析】由題意得，則，而，
故是首項為，公比為的等比數列，
，得，為遞減數列，故A正確，B，C錯誤，
對于D，，的前項和為，故D正確，
故選：AD
3．（2022·上海市松江二中高二期中）設數列的前項和為，且，則數列的通項公式為___________.
答案：
【解析】由題意得：
則當時，
于是
又當時，
故數列是首項為公比為的等比數列
所以
故答案為：
4．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列的前n項和為 ；各項均為正數的等比數列 滿足， ．
(1)求數列和的通項公式；
(2)求數列 的前n項和 ．
答案：(1) ； ；
(2) ．
【解析】（1）設等差數列的首項為 ，公差為d，
由，得 ，解得,
∴ ；
設等比數列的公比為q（），
由， ，得 ，解得 ,
∴ ；
（2）
由（1）知：,
令 的前n項和為 ，則 ，
所以 ，
兩式作差可得： ，
∴ ，
則數列的前n項和 ．
5．（2023·廣西）已知等差數列的前項和為，且關于的不等式的解集為.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前項和
答案：(1)
(2)
【解析】（1）設等差數列的公差為，
因為關于的不等式的解集為，
所以的根為，
所以，所以，，
又，所以
所以數列的通項公式為；
（2）由（1）可得，
因為，所以，
所以數列的前項和
6．（2022·福建泉州）已知等差數列的前項和為，其中，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
答案：(1)
(2)
【解析】（1）由題設，，可得，又，所以公差，
所以，
所以的通項公式．
（2）由（1）知：，
令，
，
所以．
考點四 數列的實際應用
【例4-1】（2022·福建）把120個面包全部分給5個人，使每人所得面包個數成等差數列，且較大的三份之和是較小的兩份之和的7倍，則最小一份的面包個數為（ ）
A．2 B．5 C．6 D．11
答案：A
【解析】設等差數列的首項為，公差為，由條件可知，
，，即，
即 ，解得：，，
所以最小一份的面包個數為個.
故選：A
【例4-2】（2022·天津）中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.”則該人第一天走的路程為（ ）
A．63里 B．126里 C．192里 D．228里
答案：C
【解析】由已知，設等比數列首項為，前n項和為， 公比為,，
則 ，等比數列首項.故選：C.
【一隅三反】
1．（2022·安徽·六安一中）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不為難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關.要見每朝行里數，請公仔細算相還.”意思是：有一個人要走441里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完.則此人最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．14里 C．21里 D．112里
答案：A
【解析】設為公比為的等比數列，則，
解得，則，故選：A
2（2022·湖南）農民收入由工資性收入和其它收入兩部分構成.2003年某地區農民人均收入為3150元（其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元），預計該地區自2004年起的5年內，農民的工資性收入將以每年的年增長率增長，其它收入每年增加160元．根據以上數據，2008年該地區農民人均收入介于（ ）
A．4200元~4400元 B．4400元~4600元 C．4600元~4800元 D．4800元~5000元
答案：B
【解析】由題知：2004年農民收入；
2005年農民收入；
所以2008年農民收入
故選：B．
3．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時期的數學著作《孫子算經》.1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.此定理講的是關于整除的問題，現將1到2031這2031個數中，能被2除余1且被5除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，則該數列共有（ ）
A．202項 B．203項 C．204項 D．205項
答案：C
【解析】將被5除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，則，
由可得數列的奇數項能被2除余1，
所以，
由可得，
故選：C.

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