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第五章 一元函數的導數及其應用 章末重難點歸納總結
考點一 函數求導
【例1-1】（2022·浙江）已知函數可導，且滿足，則函數在處的導數為（ ）
A． B． C．1 D．2
【例1-2】（2021·全國·高二單元測試）已知，則等于（ ）
A．-4 B．2 C．1 D．-2
【例1-3】（2022·全國·高二課時練習）求下列函數的導數：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
【一隅三反】
1．（2022·浙江）如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津市西青區楊柳青第一中學高二階段練習）求下列函數的導數
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
3．（2022·全國·高二課時練習）求下列函數的導數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
考點二 切線方程
【例2-1】（2022·陜西）曲線（）在點處的切線與直線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2022·陜西·咸陽市高新一中高二階段練習（文））直線是曲線y＝lnx（x>0）的一條切線，則實數b等于（ ）
A．－1＋ln2 B．1 C．ln2 D．1＋ln2
【例2-3】（2022·浙江省常山縣第一中學高二期中）已知，則在x＝1處的切線方程是______．
【例2-4】（2022·江西南昌）若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為___________.
【一隅三反】
1．（2022·陜西）已知函數在點處的切線斜率為7，則實數a的值為___________.
2．（2022·陜西）若直線和曲線相切，則實數的值為_________.
3．（2022·全國·高二單元測試）（多選）若直線是曲線的切線，則曲線的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
考點三 利用導數求函數的單調性
【例3-1】（2023·全國·專題練習）求下列函數的單調區間.
(1)；(2)
(3)；(4).
【例3-2】（2022·江西）已知定義在上的函數滿足，，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2022·江西 ）已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（廣東省2023屆高三上學期11月新高考學科綜合素養評價數學試題）若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是________．
【一隅三反】
1．（2022·陜西渭南 ）已知函數， 則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·單元測試）已知函數，則不等式的解集為__________．
3．（2022·陜西·西安中學高二期中）已知函數是定義在的奇函數，當時，，則不等式的解集為
4．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高三期中）已知函數，則不等式的解集為__________.
考點四 極值最值
【例4-1】（2022·河南）函數的極小值為（ ）
A． B．1 C． D．
【例4-2】（江西省西路片七校2023屆高三上學期第一次聯考數學（文）試題）已知函數在上有最小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時練習）已知函數在處取得極值0，則______．
2．（2022·全國·高二單元測試）若函數在區間上有極值點，則實數a的取值范圍為______．
3．（2022·上海市建平中學高三階段練習）已知函數在處取得極值，則實數_____.
4．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線的方程；
(2)若函數在處取得極大值，求a的取值范圍.
5．（2022·寧夏 ）已知函數
(1)若在處有極值，求實數的值和極值；
(2)討論函數的單調性.
第五章 一元函數的導數及其應用 章末重難點歸納總結
考點一 函數求導
【例1-1】（2022·浙江）已知函數可導，且滿足，則函數在處的導數為（ ）
A． B． C．1 D．2
答案：A
【解析】因為,
所以,故選:A.
【例1-2】（2021·全國·高二單元測試）已知，則等于（ ）
A．-4 B．2 C．1 D．-2
答案：B
【解析】，令得：，解得：，
所以， 故選：B
【例1-3】（2022·全國·高二課時練習）求下列函數的導數：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【解析】（1）函數可以看作函數和的復合函數，
∴．
（2）函數可以看作函數和的復合函數，
∴ .
（3）函數可以看作函數和的復合函數，
∴．
（4）函數可以看作函數和的復合函數，
∴．
（5）函數可以看作函數和的復合函數，
∴ ．
（6）函數可以看作函數和的復合函數，
∴．
【一隅三反】
1．（2022·浙江）如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，則（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】依題意可知切點，
函數的圖象在點處的切線方程是，
，即
又
即
故選：D.
2．（2022·天津市西青區楊柳青第一中學高二階段練習）求下列函數的導數
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
答案：(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）解：.
（2）解：.
（3）解：.
（4）解：.
3．（2022·全國·高二課時練習）求下列函數的導數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
答案：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】（1）
．
（2）方法一：
．
方法二：∵，∴．
（3）∵
，∴．
（4）∵，
∴．
（5）方法一：
．
方法二：∵，
∴．
考點二 切線方程
【例2-1】（2022·陜西）曲線（）在點處的切線與直線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】∵，∴，∴，即切線斜率為，
又∵曲線（）在點處的切線與直線垂直，
∴，即．
故選：A．
【例2-2】（2022·陜西·咸陽市高新一中高二階段練習（文））直線是曲線y＝lnx（x>0）的一條切線，則實數b等于（ ）
A．－1＋ln2 B．1 C．ln2 D．1＋ln2
答案：A
【解析】設直線與曲線y＝lnx相切于點，
由y＝lnx可得，于是有：，故選：A
【例2-3】（2022·浙江省常山縣第一中學高二期中）已知，則在x＝1處的切線方程是______．
答案：
【解析】已知當時，
由，得
根據點斜式可得：
故答案為:
【例2-4】（2022·江西南昌）若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為___________.
答案：
【解析】由已知，設點曲線上一點，則有，
因為，所以，所以，
所以曲線在處的切線斜率為，
則曲線在處的切線方程為，即．
要求得曲線上任意一點，到直線的最小距離即找到曲線上距離直線最近的點，即，解得或（舍去），
此時，以點為切點，曲線的切線方程為：，
此時，切點為曲線上距離直線最近的點，即點與點重合，
最小距離為直線與直線之間的距離，設最小距離為，
所以.故答案為：.
【一隅三反】
1．（2022·陜西）已知函數在點處的切線斜率為7，則實數a的值為___________.
答案：1
【解析】因為，所以由題意得，解得.故答案為：1
2．（2022·陜西）若直線和曲線相切，則實數的值為_________.
答案：1
【解析】已知，得，設切點為，
已知直線斜率，得，再將分別代入直線與曲線中
可得解得.
故答案為：
3．（2022·全國·高二單元測試）（多選）若直線是曲線的切線，則曲線的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
答案：AC
【解析】因為直線是曲線的切線，所以在某點處的導數值為．
對于A，由，可得，
令，即，
因為，所以有解，故A正確．
對于B，由，可得，
令，可得，無解，故B不正確．
對于C，，故有解，故C正確．
對于D，的定義域為，
令，可得，不符合，
所以無解，故D不正確．
故選：AC
考點三 利用導數求函數的單調性
【例3-1】（2023·全國·專題練習）求下列函數的單調區間.
(1)；(2)
(3)；(4).
答案：(1)增區間為 ，，減區間為；
(2)增區間為 ，，減區間為，；
(3)增區間為 ，，減區間為；
(4)增區間為 ，，減區間為；
【解析】（1）解：因為，所以，
由，得或，
由，得，
所以函數的增區間為 ，，減區間為；
（2）因為，所以，
由，得或，
由，得，，
所以函數的增區間為 ，，減區間為，；
（3）因為，所以，
由，得或，
由，得，
所以函數的增區間為 ，，減區間為；
（4）因為，所以，
由，得或，
由，得，
所以函數的增區間為 ，，減區間為；
【例3-2】（2022·江西）已知定義在上的函數滿足，，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】令，則，所以在單調遞減，
不等式可以轉化為，即，所以.故選：D.
【例3-3】（2022·江西 ）已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】設，則，
當得：，當時，，
所以在上單調遞增，上單調遞減，
又，所以，即c故選：D．
【例3-4】（廣東省2023屆高三上學期11月新高考學科綜合素養評價數學試題）若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是________．
答案：
【解析】，
若函數在上單調遞增，則在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
故的取值范圍是．
故答案為：．
【一隅三反】
1．（2022·陜西渭南 ）已知函數， 則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】函數定義域為R，求導得，
因此函數在R上單調遞減，而，則有，
所以的大小關系是，A正確.故選：A
2．（2022·全國·單元測試）已知函數，則不等式的解集為__________．
答案：
【解析】函數的定義域為，且，則是偶函數，，且，是奇函數，又，即是為增函數，當時，，即在上為增函數，則不等式等價于，，平方得，化簡得，解得或，
故答案為：
3．（2022·陜西·西安中學高二期中）已知函數是定義在的奇函數，當時，，則不等式的解集為
【解析】
【解析】令，
當時，，
當時，，
在上單調遞減；
又為的奇函數，
，即為偶函數，
在上單調遞增；
又由不等式得，
當，即時，不等式可化為，即，
由在上單調遞減得，解得，故；
當，即時，不等式可化為，即，
由在上單調遞增得，解得，故；
綜上所述，不等式的解集為：．
4．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高三期中）已知函數，則不等式的解集為__________.
答案：
【解析】定義域為，且，
所以是奇函數，又，所以在上單調遞增，
則不等式，即，
等價于，即，
令，，，
當時，，此時單調遞增，
當時，，此時單調遞減.
所以,又因為需要,所以
又，所以不等式的解集為.
故答案為：
考點四 極值最值
【例4-1】（2022·河南）函數的極小值為（ ）
A． B．1 C． D．
答案：C
【解析】因為，所以.
令得，
當時，，當時，.
故的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.
則當時，取得極小值，且極小值為.
故選：C
【例4-2】（江西省西路片七校2023屆高三上學期第一次聯考數學（文）試題）已知函數在上有最小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因為函數在上有最小值，
所以函數在上先減后增，
即在上先小于0，再大于0，
令，得，
，，
故只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，
設切點，則切線方程為：，
把代入切線方程可得，故切點為，切線斜率為，
故只需.
故選：A
【一隅三反】
1．（2022·全國·高二課時練習）已知函數在處取得極值0，則______．
答案：11
【解析】，則，即，解得或
當時，，不符合題意，舍去；
當時，，
令，得或；令，得．
所以在，上單調遞增，在上單調遞減，符合題意，則．
故答案為：11．
2．（2022·全國·高二單元測試）若函數在區間上有極值點，則實數a的取值范圍為______．
答案：
【解析】函數在區間上有極值點，
所以在區間上有變號零點．
且函數在區間上單調，所以，即，
解得．
故答案為：．
3．（2022·上海市建平中學高三階段練習）已知函數在處取得極值，則實數_____.
答案：
【解析】由題，有.則.
又時，，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；
則在處取得極值.
故答案為：
4．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線的方程；
(2)若函數在處取得極大值，求a的取值范圍.
答案：(1)
(2)
【解析】（1）由可得，
所以，，
故曲線在點處的切線的方程；
（2）由（1）可得
當時，，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；
所以此時在處取得極大值，滿足題意；
當時，令，解得
下面對進行分類討論
①當時，，在上單調遞增，無極值點，舍去；
②當時，
當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
此時在處取得極小值，故舍去；
③當時，
當或時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
此時在處取得極大值，滿足題意；
④當時，
當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
此時在處取得極大值，滿足題意；
綜上：的取值范圍為
5．（2022·寧夏 ）已知函數
(1)若在處有極值，求實數的值和極值；
(2)討論函數的單調性.
答案：(1)，極大值為0；
(2)答案見解析.
【解析】（1）函數定義域為，
，
在x=1處取到極值，∴，解得a=1，
.
當0當x>1時，，在上單調遞減，
因此在x=1處取得極大值，故a的值為1，且極大值為；
（2）∵x>0，，
當a≤0時，，在上單調遞減；
當a>0時，令，令，
在(0,a)上是増函數，在上是減函數.
綜上，當時，函數在上單調遞減；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.

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