資源簡介

1．1　空間向量及其運算
1.1.1空間向量及其線性運算(1)
1. 運用類比方法，經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程．
2. 理解空間向量及相關概念，掌握空間向量的線性運算及其性質，借助圖形理解空間向量線性運算及其運算的意義．
3. 理解空間向量共線的充要條件．
活動一 回顧平面向量的相關內容
1. 基本概念：
(1) 向量的定義：
(2) 向量的模：
(3) 零向量、單位向量、平行向量：
(4) 相等向量、共線向量、相反向量：
2. 平面向量a(a≠0)與b共線的充要條件：
3. 平面向量的加法、減法、數乘運算的定義及運算法則：
幾何方法 坐標方法 運算性質
向量的加法 (1) 平行四邊形法則 (2) 三角形法則
向量的減法 三角形法則
向量的數乘 λa是一個向量，則 (1) |λa|＝|λ||a| (2) 若a≠0，則 當λ>0時，λa與a同向； 當λ<0時，λa與a反向； 特別地， 當λ＝0時，λa＝0； 當a＝0時，λa＝0
活動二 類比平面向量探究空間向量的概念及運算
1. 空間向量的概念：
(1) 定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2) 長度或模：空間向量的大小．
(3) 表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可記作，其模記為|a|或 ||.　
(4) 幾類特殊的空間向量：
名稱 定義及表示
零向量 規定長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量 模為1的向量叫做單位向量
相反向量 與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記為－a
共線向量 (平行向量) 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量 規定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.
相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量
2. 空間向量的加減法運算與數乘運算律：
空間向量的線性運算 類型 表示方法 圖示
加法 a＋b＝＋＝
減法 a－b＝－＝
數乘 當λ＞0時，λa＝λ＝； 當λ＜0時，λa＝λ＝； 當λ＝0時，λa＝0
運算律 加法 運算律 交換律：a＋b＝b＋a 結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
數乘 運算律 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)； (λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R) 結合律：λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)
思考1
如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，分別標出＋＋，＋＋表示的向量．從中你能體會向量加法運算的交換律和結合律嗎？一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關系？
3. 空間向量共線的充要條件：
思考2
類似平面向量共線的充要條件，你能給出空間向量共線的充要條件嗎？
思考3
如何用向量來表示直線的方向？
思考4
除了由兩點確定一條直線外，還可以由什么來確定一條直線？
思考5
平面向量與空間向量有哪些相同點與不同點？
活動三　空間向量的運算　
例1　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中點，化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量：
(1) ＋；
(2) ＋＋；
(3) －－.
空間向量加法、減法運算的兩個技巧：
(1) 巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接；
(2) 巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加法、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．
利用數乘運算進行向量表示的技巧：
(1) 數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用向量的三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量；
(2) 明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質．
　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運算結果為的是(　　)
①－－；
②＋－；
③－－；
④－＋.
A. ①②　　　　　　B. ②③　　　　　　C. ③④　　　　　　D. ①④
例2　(2023江蘇專題練習)已知O，A，B，C，D，E，F，G，H為空間的9個點(如圖所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.求證：AC∥EG.
1. (2023日照階段練習)下列命題中，為真命題的是(　　)
A. 向量與的長度相等
B. 將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓
C. 空間非零向量就是空間中的一條有向線段
D. 不相等的兩個空間向量的模必不相等
2. 如圖，在三棱錐O-ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，設＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則等于(　　)
A. (－a＋b＋c) B. (a＋b－c)
C. (a－b＋c) D. (－a－b＋c)
3. (多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AC1的中點為O，則下列互為相反向量的是(　　)
A. ＋與＋
B. －與－
C. －與－
D. ＋＋＋與＋＋＋
4. (2023漯河階段練習)如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，與是________向量，與是________向量(用“相等”“相反”填空).
5. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡下列向量表達式：
(1) ＋＋＋；
(2) ＋＋.
【參考答案與解析】
【活動方案】
1. (1) 我們把既有大小又有方向的量叫做向量．
(2) 向量的大小稱為向量的長度(或稱為模).
(3) 長度為0的向量叫做零向量．長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．
(4) 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．平行向量也叫做共線向量．我們把與向量a長度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．
2. 存在唯一一個實數λ，使b＝λa(a≠0).
3. 填表略
思考1：可以發現，＋＋＝＋＋＝.一般地， 對于三個不共面的向量a，b，c，以任意點O為起點，a，b，c為鄰邊作平行六面體，則a，b，c的和等于以O為起點的平行六面體對角線所表示的向量．另外，利用向量加法的交換律和結合律，還可以得到：有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變．
思考2：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
思考3：在直線上任取一個非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量都稱為該直線的方向向量，則直線的方向向量的方向就可以表示直線的方向．
思考4：直線上一點和它的方向向量確定．
思考5：略
例1 　(1) ＋ ＝.
(2) ＋ ＋ ＝ ＋ ＝.
(3) － － ＝ － ＝ .
跟蹤訓練　A　①－－＝－＝；②＋－＝＋＝；③－－＝－＝－＝≠；④－＋＝＋＋＝＋≠.
例2　因為＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m，所以＝－＋m(－)＝k(－)＋km(－)＝k＋km＝k(＋m)＝k，所以∥.因為AC，EG無公共點，所以AC∥EG.
【檢測反饋】
1. A　對于A，因為空間向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，故A正確；對于B，將空間中所有的單位向量平移到同一個起點，則它們的終點構成一個球面，故B錯誤；對于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，故C錯誤；對于D，兩個空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量與的模相等，故D錯誤．
2. B　 ＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c).
3. ACD　如圖，設M，N分別為AD，B1C1的中點，O1，O2分別為上、下底面的中心. ＋＝2，1＋＝2，互為相反向量，故A正確； －＝，－＝，互為相等向量，故B錯誤；－＝，－＝，互為相反向量，故C正確；＋＋＋＝2，＋＋＋＝2，互為相反向量，故D正確．故選ACD.
4. 相等　相反　在三棱柱ABC-A′B′C′中，四邊形ACC′A′是平行四邊形，則＝，即與是相等向量；四邊形ABB′A′是平行四邊形，＝＝－，即與是相反向量．
5. (1) ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝－＝0.
(2) ＋＋＝＋＋＝.

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