資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題15 導數的概念及運算（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 13
【考點1】導數的運算 13
【考點2】導數的幾何意義 16
【考點3】導數幾何意義的應用 20
【分層檢測】 25
【基礎篇】 25
【能力篇】 32
【培優篇】 35
考試要求：
1.通過實例分析，了解平均變化率、瞬時變化率，了解導數概念的實際背景.
2.通過函數圖象，理解導數的幾何意義.
3.了解利用導數定義求基本初等函數的導數.
4.能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數.5.能求簡單的復合函數(形如f(ax＋b))的導數.
1.導數的概念
(1)如果當Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(也稱瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝.
(2)當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數，我們稱它為y＝f(x)的導函數(簡稱導數)，記為f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
.
2.導數的幾何意義
函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導函數
f(x)＝c(c為常數) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.導數的運算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.復合函數的定義及其導數
(1)一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)與u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x)).
(2)復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.
1.f′(x0)代表函數f(x)在x＝x0處的導數值；(f(x0))′是函數值f(x0)的導數，則(f(x0))′＝0.
2.′＝－(f(x)≠0).
3.曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.
4.函數y＝f(x)的導數f′(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高考真題）當時，函數取得最大值，則（ ）
A． B． C． D．1
3．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
4．（2022·全國·高考真題）已知函數的圖像關于點中心對稱，則（ ）
A．在區間單調遞減
B．在區間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
5．（2022·全國·高考真題）已知函數，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
三、填空題
6．（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是 ．
7．（2022·全國·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為 ， ．
8．（2022·全國·高考真題）已知和分別是函數（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是 ．
9．（2021·全國·高考真題）已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是 ．
10．（2021·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為 ．
參考答案：
1．C
【分析】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線的斜率，代入所設方程即可求解.
【詳解】設曲線在點處的切線方程為，
因為，
所以，
所以
所以
所以曲線在點處的切線方程為.
故選：C
2．B
【分析】根據題意可知，即可解得，再根據即可解出．
【詳解】因為函數定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
3．D
【分析】解法一：根據導數幾何意義求得切線方程，再構造函數，利用導數研究函數圖象，結合圖形確定結果；
解法二：畫出曲線的圖象，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】在曲線上任取一點，對函數求導得，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由題意可知，點在直線上，可得，
令，則.
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當時，，當時，，作出函數的圖象如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數曲線的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內需要用到指數函數的增長特性進行估計，解法二是根據基于對指數函數的圖象的清晰的理解與認識的基礎上，直觀解決問題的有效方法.
4．AD
【分析】根據三角函數的性質逐個判斷各選項，即可解出．
【詳解】由題意得：，所以，，
即，
又，所以時，，故．
對A，當時，，由正弦函數圖象知在上是單調遞減；
對B，當時，，由正弦函數圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數的唯一極值點；
對C，當時，，，直線不是對稱軸；
對D，由得：，
解得或,
從而得：或,
所以函數在點處的切線斜率為，
切線方程為：即．
故選：AD．
5．AC
【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數的幾何意義判斷D.
【詳解】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以是極值點，故A正確；
因，，，
所以，函數在上有一個零點，
當時，，即函數在上無零點，
綜上所述，函數有一個零點，故B錯誤；
令，該函數的定義域為，，
則是奇函數，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.
故選：AC.
6．
【分析】設出切點橫坐標，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得的取值范圍.
【詳解】∵，∴，
設切點為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
7．
【分析】分和兩種情況，當時設切點為，求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；
【詳解】[方法一]：化為分段函數，分段求
分和兩種情況，當時設切點為，求出函數導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；
解： 因為，
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；
[方法二]：根據函數的對稱性，數形結合
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
因為是偶函數，圖象為：
所以當時的切線，只需找到關于y軸的對稱直線即可.
[方法三]：
因為，
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；.
8．
【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數與函數的圖象有兩個不同的交點，構造函數，利用指數函數的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導數的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據幾何意義可得出答案.
【詳解】[方法一]：【最優解】轉化法，零點的問題轉為函數圖象的交點
因為，所以方程的兩個根為，
即方程的兩個根為，
即函數與函數的圖象有兩個不同的交點，
因為分別是函數的極小值點和極大值點，
所以函數在和上遞減，在上遞增，
所以當時，，即圖象在上方
當時，，即圖象在下方
，圖象顯然不符合題意，所以．
令，則，
設過原點且與函數的圖象相切的直線的切點為，
則切線的斜率為，故切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
因為函數與函數的圖象有兩個不同的交點，
所以，解得，又，所以，
綜上所述，的取值范圍為．
[方法二]：【通性通法】構造新函數，二次求導
=0的兩個根為
因為分別是函數的極小值點和極大值點，
所以函數在和上遞減，在上遞增，
設函數，則，
若，則在上單調遞增，此時若，則在
上單調遞減，在上單調遞增，此時若有和分別是函數
且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；
若，則在上單調遞減，此時若，則在上單調遞增，在上單調遞減，令，則，此時若有和分別是函數且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.
【整體點評】法一：利用函數的零點與兩函數圖象交點的關系，由數形結合解出，突出“小題小做”，是該題的最優解；
法二：通過構造新函數，多次求導判斷單調性，根據極值點的大小關系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．
9．
【分析】結合導數的幾何意義可得，結合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.
【詳解】由題意，，則，
所以點和點，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：
解決本題的關鍵是利用導數的幾何意義轉化條件，消去一個變量后，運算即可得解.
10．
【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可．
【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．
求導得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
【考點1】導數的運算
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數恰有一個零點，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肅蘭州·三模）函數，若在是減函數，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·河南·模擬預測）已知函數，下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．點為圖象的一個對稱中心
C．若在上有兩個實數根，則
D．若的導函數為，則函數的最大值為
4．（2024·甘肅隴南·一模）已知函數有3個不同的零點,且，則（ ）
A． B．的解集為
C．是曲線的切線 D．點是曲線的對稱中心
三、填空題
5．（2024·遼寧·三模）已知拋物線，圓，直線與拋物線和圓分別切于、兩點，則點的縱坐標為 .
6．（22-23高三下·上海黃浦·開學考試）已知函數，則 ．
參考答案：
1．A
【分析】先將函數的零點問題轉化為函數圖象的交點問題，然后利用導數的幾何意義及建立關于的不等式，即可得解.
【詳解】由可得，要使恰有一個零點，只需函數的圖象與直線相切.
設切點坐標為.由，可得，則切線方程為，即，
故需使.
由可得，解得.
故選：A
2．C
【分析】求導，導函數小于等于0恒成立，分離參數求新函數最值即可求解．
【詳解】函數，
若函數在區間上是減函數，則在恒成立，
即在恒成立，
由對勾函數性質可知在單調遞減，故，所以.
故選：C.
3．ACD
【分析】對于A，直接由周期公式即可判斷；對于B，直接代入檢驗即可；對于C，畫出圖形，通過數形結合即可判斷；對于D，求得后結合輔助角公式即可得解.
【詳解】由題意可得，故A正確；
，所以不是圖象的一個對稱中心，故B錯誤；
令，由得，
根據題意可轉化為直線與曲線，有兩個交點，
數形結合可得，故C正確；
設為的導函數，
則，其中，
當且僅當，即當且僅當時等號成立，故D正確，
故選：ACD．
4．AC
【分析】利用三次函數的零點式，結合條件可求得，從而可判斷AB，利用導數的幾何意義可判斷C，舉反例排除D.
【詳解】對于A，因為有3個不同的零點,
所以不妨設，
易知展開式中的常數項為，故，
又，所以，解得，
所以，解得，故A正確；
對于B，因為，
令，即，
利用數軸穿根法，解得或，故B錯誤；
對于C，易得，
當切線斜率為時，令，解得或，
當時，，
此時切線為，即，故C正確；
對于D，因為，又，
所以，所以點是曲線的對稱中心，故D錯誤.
故選：AC.
5．
【分析】設，利用導數的幾何意義表示出切線方程，再利用圓心到直線的距離得到方程，求出，即可得解.
【詳解】由則，所以，設，
則，
所以切線方程為，即，
又與圓相切，
所以，解得或（舍去），
所以，即點的縱坐標為.
故答案為：
6．
【分析】對求導，再代入，從而求得，進而得到，由此計算可得.
【詳解】因為，所以，
則，解得：，
所以，則.
故答案為：.
反思提升：
1.求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導.
2.抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.
3.復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.
【考點2】導數的幾何意義
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預測）（ ）
A．72 B．12 C．8 D．4
2．（2023·四川成都·一模）與曲線在某點處的切線垂直，且過該點的直線稱為曲線在某點處的法線，若曲線的法線的縱截距存在，則其最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·遼寧·模擬預測）已知函數的圖象關于對稱，則（ ）
A．函數為奇函數 B．在區間有兩個極值點
C．是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
4．（2023·海南海口·一模）直線是曲線的切線，則實數的值可以是（ ）
A．3π B．π C． D．
三、填空題
5．（2024·江西·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知曲線的一條切線與軸、軸分別交于，兩點，則的面積的最大值為 ．
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數（是的導函數），則曲線在處的切線方程為 ．
參考答案：
1．B
【分析】令，根據導數的概念，可求解.
【詳解】令，根據導數的概念，
，
，所以.
故選：B．
2．A
【分析】在曲線上任取一點，求出曲線在點處的法線方程，可得出該直線的縱截距，再利用導數求出該法線縱截距的最小值.
【詳解】在曲線上任取一點，對函數求導得，則，
若曲線的法線的縱截距存在，則，
所以，曲線在點處的法線方程為，
即，所以，曲線在點處的法線的縱截距為，
令，令，其中，
則，令，可得，
當時，，此時，函數單調遞減，
當時，，此時，函數單調遞增，
所以，.
故選：A.
3．ACD
【分析】直接利用函數的對稱性求得，根據正弦函數的奇偶性判斷A；根據極值點的定義即可判斷B；根據正弦函數的對稱性即可判斷C；根據導數的幾何意義即可判斷D.
【詳解】因為函數的圖象關于對稱，
所以，則，即，
因為，所以，則，
對A，由得，定義域為R，且，
所以函數為奇函數，正確；
對B，當時，，
由正弦函數圖象知只有1個極值點，由，解得，
即為函數的唯一極值點，錯誤；
對C，當時，，，
所以是曲線的對稱中心，正確；
對D，由，得，
解得或，
從而得或，
所以函數在點處的切線斜率為，
此時切線方程為，即，
即直線是曲線的切線，正確.
故選：ACD
4．AB
【分析】設切點為，由題意可得，解得，由導數的幾何意義可得，即，即可得出答案.
【詳解】設切點為，∵直線恒過定點，
，∴，
∴，∴，
∵，∴可取，
由導數的幾何意義知，，
則，則，
所以，
∴當時，；當，，故A，B正確，C，D不正確.
故選：AB.
5．
【分析】設切點，求導，切線方程，求出,,得到,構造函數求解最值.
【詳解】設切點，，求導得，則切線方程，
由切線與軸、軸分別交于兩點，
則,,
得到,
構造函數,，
求導，
令，，
所以，單調遞增，，單調遞減，
所以.
故答案為：.
6．．
【分析】由導數的幾何意義先求出切線的斜率，再求出切點坐標，有點斜式求出切線方程即可.
【詳解】由題意設切點，因為 ，
令，得，
由導數幾何意義知：，
又，所以，
故曲線在處的切線方程為：，
整理得： .
故答案為：.
反思提升：
1.求曲線在點P(x0，y0)處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數在P處的導數，然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導數不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x＝x0.
2.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.過點處的切點坐標不知道，要設出切點坐標，根據斜率相等建立方程(組)求解，求出切點坐標是解題的關鍵.
【考點3】導數幾何意義的應用
一、單選題
1．（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．（2023·全國·模擬預測）若過點與曲線相切的直線只有2條，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·安徽淮南·一模）已知函數，則（ ）
A．的值域為
B．直線是曲線的一條切線
C．圖象的對稱中心為
D．方程有三個實數根
4．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數，，則（ ）
A．恒成立的充要條件是
B．當時，兩個函數圖象有兩條公切線
C．當時，直線是兩個函數圖象的一條公切線
D．若兩個函數圖象有兩條公切線，以四個切點為頂點的凸四邊形的周長為，則
三、填空題
5．（2024·遼寧·二模）已知函數的圖象與函數且的圖象在公共點處有相同的切線，則 ，切線方程為 .
6．（2022·全國·模擬預測）曲線在處的切線與直線平行，則 .
參考答案：
1．A
【分析】設直線的方程為，先根據直線和圓相切算出，在根據導數的幾何意義算.
【詳解】依題意得，設直線的方程為，
由直線和圓相切可得，，解得，
當時，和相切，
設切點為，根據導數的幾何意義，，
又切點同時在直線和曲線上，即，解得，
即和相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位，
和仍會保持相切狀態，即時，，
綜上所述，或.
故選：A
2．D
【分析】求得，求得切線方程,結合題意，轉化為方程有2個不等實根，根據二次函數的性質，即可求解.
【詳解】設過點的直線與曲線相切于點，
由，可得，所以切線的斜率，
整理得，
因為切線有2條，所以切點有2個，即方程有2個不等實根，
則，解得或，
所以的取值范圍是．
故選：D．
3．BD
【分析】A.分兩種情況求函數的值域；B.利用導數求函數的切線，判斷選項；C.利用平移判斷函數的對稱中心；D.首先求的值，再求解方程的實數根.
【詳解】A.時，，當時等號成立，
當時，，當時等號成立，故A錯誤；
B.令，得，，所以圖象在點處的切線方程是，得，，所以圖象在點處的切線方程是，得，故B正確；
C. 的對稱中心是，所以的對稱中心是，向右平移1個單位得，對稱中心是，故C錯誤；
D. ，解得：或，
當，得，，1個實根，當時，得或，2個實根，所以共3個實根，故D正確.
故選：BD
4．ACD
【分析】根據導數求解恒成立即可求解A，根據導數求解切線方程，根據公切線的性質即可結合選項求解BCD.
【詳解】對于A，若恒成立，即恒成立，
而恒成立，所以，解得，故A正確；
對于B，設切點,，,，，，
有，
①代入②，可得，
當時，代入方程解得：，
，方程無解，即兩個函數圖象無公切線，故B錯誤；
對于C，當時，代入方程得：，
，故，，
所以函數與的一條公切線為：，故C正確；
對于D，如圖，不妨設切線與切于，與切于，
設,，,，,，,，，，
故
所以，，
，同理，
則中點即可中點，
所以四邊形是平行四邊形，
由處的切線方程為，
處的切線方程為，
得，即，結合可知， 是方程的根，
由C選項可知：是的兩個切點，所以，也是方程的根，
所以,且,故，
則，，
，
，
令，則，
故，故D正確．
故選：ACD．
【點睛】關鍵點點睛：本題BC選項的關鍵是設切點，根據導數含義和斜率定義得到，再整理化簡代入值即可判斷.
5．
【分析】設公共點為，即可得到，再由導數的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點坐標，從而求出，再求出切線方程.
【詳解】設公共點為，則，即，所以，
所以，
由，，所以，，
又在公共點處有相同的切線，所以，即，所以，則，，
則，
則，所以切線方程為，即.
故答案為：；
6．
【分析】求得，得到，根據題意得到，即可求解.
【詳解】由題意，函數，可得，
可得，，
因為曲線在處的切線與直線平行，
可得，所以.
故答案為：
反思提升：
1.處理與切線有關的參數問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程(組)并解出參數：(1)切點處的導數是切線的斜率；(2)切點在切線上，故滿足切線方程；(3)切點在曲線上，故滿足曲線方程.
2.利用導數的幾何意義求參數問題時，注意利用數形結合，化歸與轉化的思想方法.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·吉林長春·模擬預測）利用導數的定義計算值為（ ）
A．1 B． C．0 D．2
2．（2024·全國·模擬預測）已知曲線在點處的切線為，則在軸上的截距為（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知函數，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·黑龍江·二模）函數在處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知函數，為的導函數，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江金華·模擬預測）（多選題）已知函數，則（ ）
A．函數在區間上單調遞減
B．函數在區間上的最大值為1
C．函數在點處的切線方程為
D．若關于的方程在區間上有兩解，則
7．（22-23高二下·江蘇蘇州·階段練習）為了評估某治療新冠肺炎藥物的療效，現有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度隨時間的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關系如圖所示．則下列結論正確的是（ ）

A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同
B．在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同
C．在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同
D．在和兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同
三、填空題
8．（2022·全國·模擬預測）過原點作曲線的切線l，并與曲線交于，兩點，若，則 ．
9．（2023·重慶·模擬預測）已知函數，若這兩個函數的圖象在公共點處有相同的切線，則 ．
10．（2024·廣西賀州·一模）已知直線與曲線的某條切線平行，則該切線方程為
四、解答題
11．（2024·湖北·模擬預測）已知函數，其中為常數.
(1)過原點作圖象的切線，求直線的方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
12．（2024·四川成都·一模）設函數，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
參考答案：
1．B
【分析】根據給定條件，求出函數的導數，再利用導數的定義直接計算作答.
【詳解】依題意，令函數，求導得，
所以.
故選：B
2．B
【分析】利用導數的幾何意義求出切線斜率，代入點斜式得直線方程，令即可求解.
【詳解】由得，所以直線的斜率，
又，所以直線的方程為，令，得，即在軸上的截距為.
故選：B
3．A
【分析】先由導數求切線的斜率，再求出切點，結合點斜式方程寫出即可.
【詳解】由，得，
所以，又，
故曲線在點處的切線的方程為，即.
故選：A.
4．D
【分析】當時，利用導數的幾何意義求出切線的斜率，再由點斜式求出切線方程.
【詳解】因為，則，
當時，則，所以，
所以切點為，切線的斜率為，
所以切線方程為，即.
故選：D
5．ABD
【分析】根據已知函數，求出導函數，依次代入驗證各選項的正確性即可.
【詳解】由已知得
，故A正確：
，故B正確；
，而，所以不成立，故C錯誤；
，故D正確：
故選：ABD
6．AC
【分析】利用導數分析函數的單調性，進而判斷AB選項；結合導數的幾何意義可判斷C選項；畫出函數大致圖象，結合圖象即可判斷D選項.
【詳解】因為，，
所以，
令，即；令，即，
所以函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，故A正確；
因為，，
所以函數在區間上的最大值為4，故B錯誤；
因為，，
所以函數在點處的切線方程為，
即，故C正確；
因為，函數大致圖象如圖，
要使方程在區間上有兩解，
則，故D錯誤.
故選：AC.
7．AC
【分析】利用圖象可判斷A選項；利用導數的幾何意義可判斷B選項；利用平均變化率的概念可判斷C選項；利用平均變化率的概念可判斷D選項.
【詳解】選項A，在時刻，兩圖象相交，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項A正確；
選項B，在時刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的不相等，
說明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，即選項B錯誤；
選項C，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在內，
血管中藥物濃度的平均變化率均為，即選項C正確；
選項D，在和兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為
和，顯然不相同，即選項D不正確．
故選：AC.
8．
【分析】首先求切線的方程，再利用點三點共線，利用斜率公式，轉化為方程，即可求解.
【詳解】，設切線與曲線相切于點，
則，切線過點，代入解得，
易知切線l的方程為，所以，由，解得，所以，即．
故答案為：
9．/
【分析】先根據和在公共點處有相同的切線得出在處兩函數的導數相等,再由在上,列方程組求解即可.
【詳解】因為，
所以，，
因為在公共點處有相同的切線，
所以即，
所以
故答案為：
10．
【分析】先求出切點，再根據導數的幾何意義即可得解.
【詳解】，設切點為，則，解得，所以切點為，
故切線方程為，即.
故答案為：.
11．(1)
(2).
【分析】（1）設切點，求導得出切線方程，代入原點，求出參數即得切線方程；
（2）由題意，將其等價轉化為在有解，即只需求在上的最小值，利用導數分析推理即得的最小值.
【詳解】（1）
設切點坐標為，則切線方程為，
因為切線經過原點，所以，解得，
所以切線的斜率為，所以的方程為.
（2），，即成立，
則得在有解，
故有時，.
令，，，
令得；令得，
故在單調遞減，單調遞增，
所以，
則，故的最小值為.
12．(1)，
(2)，
【分析】（1）求出函數的導函數，令求出，再令求出；
（2）由（1）可得，利用導數求出函數的單調性，即可求出函數的極值，再由區間端點的函數值，即可得解.
【詳解】（1）因為，
所以，取，則有，即；
所以，取，則有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
則，
所以、與，的關系如下表：
0 1 2
0
單調遞增 極大值 單調遞減
故，．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·內蒙古·三模）若過點可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·河北保定·二模）已知定義域為的函數滿足，則（ ）
A．
B．
C．是奇函數
D．存在函數以及，使得的值為
三、填空題
3．（2024·河南·二模）若兩個函數和存在過點的公切線，設切點坐標分別為，則 .
四、解答題
4．（2024·山東威?！ざ＃┮阎瘮担?br/>(1)求的極值；
(2)證明：．
參考答案：
1．C
【分析】設出切點，求導，利用導數幾何意義求出切線方程，代入，得到，構造，求導，得到函數單調性，從而得到，結合當時，，當時，，從而得到答案.
【詳解】在曲線上任取一點，對函數求導，得，
所以曲線在點處的切線方程為.
由題意可知，點在直線上，可得.
令，則.
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
所以，且當時，，當時，，
又直線與曲線的圖象有兩個交點，
所以的取值范圍為.
故選：C
2．ACD
【分析】根據題意，利用賦值法對選項逐一分析，即可判斷A,B,C,D.
【詳解】由，取，得，A正確．
取，得，解得．
取，得，
所以，B錯誤．
取，得，
所以是奇函數，C正確．
當時，在兩邊同時除以，
得，
令，則，
當時，，
所以，
所以，D正確．
故選：ACD
3．9
【分析】分別求出兩個函數的導函數，根據導函數的幾何意義求出斜率，由求出切點坐標得，利用斜率相等得，代入原式即得
【詳解】，設切點坐標為，切線斜率為，
切線方程為，將代入得，
即.
，設切點坐標為，切線斜率為，
切線方程為，將代入得，
即，
又因為，可得，即，
，
所以.
故答案為：9
4．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數的導數，利用導數與函數單調性以及極值的關系，即可求得答案；
（2）根據要證明的不等式的結構特點，設，求出其導數，利用導數判斷其單調性，結合其最值，即可證明結論.
【詳解】（1）由題意得的定義域為，
則，
當時，，在上單調遞增，無極值；
當時，令，則，令，則，
即在上單調遞增，在上單調遞減，
故為函數的極大值點，函數極大值為，無極小值；
（2）證明：設，
，令，
則，即在上單調遞增，
，
故，使得，即，
當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
故
即，即，則.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知過點的直線與函數的圖象有三個交點，則該直線的斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·河南·二模）已知函數為定義在上的函數的導函數，為奇函數，為偶函數，且，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·江西南昌·二模）如圖，有一張較大的矩形紙片分別為AB，CD的中點，點在上，.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB（被折起的部分）經過P點，記AB上與點重合的點為，折痕為.過點再折一條與BC平行的折痕，并與折痕交于點，按上述方法多次折疊，點的軌跡形成曲線.曲線在點處的切線與AB交于點，則的面積的最小值為 .
參考答案：
1．C
【分析】方法一：問題轉化為方程有三個不等的實數根.分離參數后構造函數，求導分析單調性后求出參數的范圍；方法二：分離函數，令，則方程變為，分別構造函數，求導分析的單調性和極值，再討論當時圖象的情況和當時設切點，利用導數的意義求出切線的斜率，再由點在直線上和點斜式方程寫出切線方程，求出斜率，最后綜合以上求出斜率范圍.
【詳解】問題轉化為方程有三個不等的實數根．
方法一：分離參數
因為，所以方程
有三個不等的實根等價于方程有兩個不等的實根．
令，
則．
令，則，即單調遞增．
又，所以當時，單調遞減，且；
當時，單調遞增，
且．
又因為當時，；當時，；當時，，
所以實數k的取值范圍是．
故選：C．
方法二：分離函數
令，則，所以．
令，則，解得，
令，得；令，得；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，有極小值；
而且，
所以方程有一解．
①當時，過一、三象限，兩圖象有兩個交點，不合題意；
②當時，過原點O作的切線，
設切點，則，
所以．
又，得，
所以，
所以．
故選：C．
【點睛】關鍵點點睛：方法一關鍵是能夠把問題轉化為方程有三個不等的實數根，再分離參數后由導數確定單調性和特殊值分析函數的最值情況.
2．ABD
【分析】由為偶函數可知函數的圖象關于對稱可判斷A；由由可得知函數的圖象對稱，可判斷B，由8為函數的一個周期，可判斷C；求出，可判斷D.
【詳解】由為奇函數，所以，
所以函數的圖象關于對稱，
由為偶函數，所以，
函數的圖象關于對稱，所以，故A正確；
由可得，
由可得，
所以函數的圖象關于和對稱，
所以，故B正確；
由可得：，
由可得：，所以，
即，所以，即，
由可得：，
由可得：，所以，
所以，即，即，
所以，
所以8為函數和的一個周期，，故錯誤；
，
，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：抽象函數的奇偶性、對稱性、周期性常有以下結論
（1）關于軸對稱，
（2）關于中心對稱，
（3）的一個周期為，
（4）的一個周期為.
可以類比三角函數的性質記憶以上結論.
3．/
【分析】先根據題意得出Q的軌跡是以P為焦點、直線AB為準線的拋物線，進而得出曲線E的方程，然后建立坐標系求出點Q處的切線方程進而求出點N，從而求出，再利用導數工具研究其最值問題即可求解.
【詳解】連接PQ，由題PQ與MQ關于對稱，，
所以Q在以P為焦點、直線AB為準線的拋物線上，
如圖，以PO中點G為原點，過G與AB平行的直線為軸，與AB垂直的直線為軸建立平面直角坐標系，
則，直線AB：，所以拋物線方程為：，即，
則，由上可設，則拋物線在Q點處切線斜率為，
所以拋物線在Q點處切線方程為，
則令，，
所以由題意，且
，
所以，
故對恒成立，
所以時單調遞減，又當時，，
故時，；時，，
所以時，單調遞增；時，單調遞減，
所以，則，
所以的面積的最小值為，
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：將求面積轉化成求面積是解決面積最值的關鍵.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題15 導數的概念及運算（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】導數的運算 4
【考點2】導數的幾何意義 5
【考點3】導數幾何意義的應用 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.通過實例分析，了解平均變化率、瞬時變化率，了解導數概念的實際背景.
2.通過函數圖象，理解導數的幾何意義.
3.了解利用導數定義求基本初等函數的導數.
4.能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數.5.能求簡單的復合函數(形如f(ax＋b))的導數.
1.導數的概念
(1)如果當Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(也稱瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝.
(2)當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數，我們稱它為y＝f(x)的導函數(簡稱導數)，記為f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
.
2.導數的幾何意義
函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導函數
f(x)＝c(c為常數) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.導數的運算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.復合函數的定義及其導數
(1)一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)與u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x)).
(2)復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.
1.f′(x0)代表函數f(x)在x＝x0處的導數值；(f(x0))′是函數值f(x0)的導數，則(f(x0))′＝0.
2.′＝－(f(x)≠0).
3.曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.
4.函數y＝f(x)的導數f′(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高考真題）當時，函數取得最大值，則（ ）
A． B． C． D．1
3．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
4．（2022·全國·高考真題）已知函數的圖像關于點中心對稱，則（ ）
A．在區間單調遞減
B．在區間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
5．（2022·全國·高考真題）已知函數，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
三、填空題
6．（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是 ．
7．（2022·全國·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為 ， ．
8．（2022·全國·高考真題）已知和分別是函數（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是 ．
9．（2021·全國·高考真題）已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是 ．
10．（2021·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為 ．
【考點1】導數的運算
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數恰有一個零點，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肅蘭州·三模）函數，若在是減函數，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·河南·模擬預測）已知函數，下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．點為圖象的一個對稱中心
C．若在上有兩個實數根，則
D．若的導函數為，則函數的最大值為
4．（2024·甘肅隴南·一模）已知函數有3個不同的零點,且，則（ ）
A． B．的解集為
C．是曲線的切線 D．點是曲線的對稱中心
三、填空題
5．（2024·遼寧·三模）已知拋物線，圓，直線與拋物線和圓分別切于、兩點，則點的縱坐標為 .
6．（22-23高三下·上海黃浦·開學考試）已知函數，則 ．
反思提升：
1.求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導.
2.抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.
3.復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.
【考點2】導數的幾何意義
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預測）（ ）
A．72 B．12 C．8 D．4
2．（2023·四川成都·一模）與曲線在某點處的切線垂直，且過該點的直線稱為曲線在某點處的法線，若曲線的法線的縱截距存在，則其最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·遼寧·模擬預測）已知函數的圖象關于對稱，則（ ）
A．函數為奇函數 B．在區間有兩個極值點
C．是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
4．（2023·海南?？凇ひ荒＃┲本€是曲線的切線，則實數的值可以是（ ）
A．3π B．π C． D．
三、填空題
5．（2024·江西·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知曲線的一條切線與軸、軸分別交于，兩點，則的面積的最大值為 ．
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數（是的導函數），則曲線在處的切線方程為 ．
反思提升：
1.求曲線在點P(x0，y0)處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數在P處的導數，然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導數不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x＝x0.
2.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.過點處的切點坐標不知道，要設出切點坐標，根據斜率相等建立方程(組)求解，求出切點坐標是解題的關鍵.
【考點3】導數幾何意義的應用
一、單選題
1．（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．（2023·全國·模擬預測）若過點與曲線相切的直線只有2條，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·安徽淮南·一模）已知函數，則（ ）
A．的值域為
B．直線是曲線的一條切線
C．圖象的對稱中心為
D．方程有三個實數根
4．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數，，則（ ）
A．恒成立的充要條件是
B．當時，兩個函數圖象有兩條公切線
C．當時，直線是兩個函數圖象的一條公切線
D．若兩個函數圖象有兩條公切線，以四個切點為頂點的凸四邊形的周長為，則
三、填空題
5．（2024·遼寧·二模）已知函數的圖象與函數且的圖象在公共點處有相同的切線，則 ，切線方程為 .
6．（2022·全國·模擬預測）曲線在處的切線與直線平行，則 .
反思提升：
1.處理與切線有關的參數問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程(組)并解出參數：(1)切點處的導數是切線的斜率；(2)切點在切線上，故滿足切線方程；(3)切點在曲線上，故滿足曲線方程.
2.利用導數的幾何意義求參數問題時，注意利用數形結合，化歸與轉化的思想方法.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·吉林長春·模擬預測）利用導數的定義計算值為（ ）
A．1 B． C．0 D．2
2．（2024·全國·模擬預測）已知曲線在點處的切線為，則在軸上的截距為（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知函數，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·黑龍江·二模）函數在處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知函數，為的導函數，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江金華·模擬預測）（多選題）已知函數，則（ ）
A．函數在區間上單調遞減
B．函數在區間上的最大值為1
C．函數在點處的切線方程為
D．若關于的方程在區間上有兩解，則
7．（22-23高二下·江蘇蘇州·階段練習）為了評估某治療新冠肺炎藥物的療效，現有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度隨時間的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關系如圖所示．則下列結論正確的是（ ）

A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同
B．在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同
C．在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同
D．在和兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同
三、填空題
8．（2022·全國·模擬預測）過原點作曲線的切線l，并與曲線交于，兩點，若，則 ．
9．（2023·重慶·模擬預測）已知函數，若這兩個函數的圖象在公共點處有相同的切線，則 ．
10．（2024·廣西賀州·一模）已知直線與曲線的某條切線平行，則該切線方程為
四、解答題
11．（2024·湖北·模擬預測）已知函數，其中為常數.
(1)過原點作圖象的切線，求直線的方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
12．（2024·四川成都·一模）設函數，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·內蒙古·三模）若過點可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·河北保定·二模）已知定義域為的函數滿足，則（ ）
A．
B．
C．是奇函數
D．存在函數以及，使得的值為
三、填空題
3．（2024·河南·二模）若兩個函數和存在過點的公切線，設切點坐標分別為，則 .
四、解答題
4．（2024·山東威海·二模）已知函數．
(1)求的極值；
(2)證明：．
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知過點的直線與函數的圖象有三個交點，則該直線的斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·河南·二模）已知函數為定義在上的函數的導函數，為奇函數，為偶函數，且，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·江西南昌·二模）如圖，有一張較大的矩形紙片分別為AB，CD的中點，點在上，.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB（被折起的部分）經過P點，記AB上與點重合的點為，折痕為.過點再折一條與BC平行的折痕，并與折痕交于點，按上述方法多次折疊，點的軌跡形成曲線.曲線在點處的切線與AB交于點，則的面積的最小值為 .
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑