資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題03 分式與分式方程
目錄
【考點一 分式、最簡分式、分式方程的定義】 2
【考點二 分式有無意義及分式的值為0】 4
【考點三 利用分式的基本性質判斷分式值的變化】 6
【考點四 求使分式值為整數時未知數的整數值】 8
【考點五 求分式值為正、負數時未知數的取值范圍】 9
【考點六 分式加減乘除混合運算】 11
【考點七 分式化簡求值】 13
【考點八 與分式有關的新定義型問題】 14
【考點九 解分式方程】 18
【考點十 根據分式方程有增根求參數】 20
【考點十一 根據分式方程有無解求參數】 21
【考點十二 根據分式方程根的情況求參數的范圍】 23
【考點十三 不等式組與分式方程綜合的參數問題】 24
【考點十四 與分式、分式方程有關的規律探究問題】 27
【考點十五 不等式與分式方程的實際問題】 33
【過關檢測】 36
1.分式的意義
2.分式的基本性質
3.分式的運算
4.分式方程
5.列一分式方程解實際問題的一般步驟：
（1）審題；（2）設未知數，找等量關系式；（3）設元，根據等量關系式列分式方程 ；（4）解分式方程，檢驗并作答。
考點剖析
【考點一 分式、最簡分式、分式方程的定義】
例題1：（23-24八年級上·貴州銅仁·期末）在，，，，，中，分式的個數有（ ）．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
例題2：（22-23八年級上·山東濟寧·期末）下列各分式中，是最簡分式的是（ ）
A． B． C． D．
例題3：（22-23八年級上·遼寧葫蘆島·期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）下列代數式：①；②；③；④；⑤．其中分式的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）下列各式，，，，，中，最簡分式的個數是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（22-23八年級上·河南開封·期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【考點二 分式有無意義及分式的值為0】
例題：（23-24八年級上·河南駐馬店·期末）若分式有意義，下列說法錯誤的是（ ）．
A．當時，分式的值為正數 B．當時，分式無意義
C．當時，分式的值為0 D．當時，分式的值為1
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·天津紅橋·期末）若分式有意義，則該分式中的字母x滿足的條件是（　　）
A． B． C． D．
2．（23-24八年級上·甘肅定西·期末）已知某個分式，當時，分式無意義，當時，分式的值為0，則該分式可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22八年級上·貴州銅仁·期末）下列關于分式的判斷，正確的是（ ）
A．當時，的值為0 B．當時，有意義
C．無論x為何值，的值不可能是正整數 D．無論x為何值，總有意義
【考點三 利用分式的基本性質判斷分式值的變化】
例題：（22-23八年級上·內蒙古烏海·期末）下列各式中從左到右的變形正確的是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·浙江臺州·期末）下列等式中，從左向右的變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年級上·山東德州·期末）把分式中的和分別擴大為原來的2倍，則分式的值（ ）
A．擴大為原來的2倍 B．擴大為原來的4倍
C．縮小為原來的 D．不變
3．（23-24八年級上·四川瀘州·期末）如果把分式中的m，n都變為原來的2倍，那么分式的值（　　）
A．變為原來的2倍 B．變為原來的4倍
C．變為原來的 D．不變
【考點四 求使分式值為整數時未知數的整數值】
例題：（23-24八年級上·北京朝陽·期末）若分式的值為整數，則的整數值為 ．
【變式訓練】
1．（23-24七年級上·上海浦東新·期末）如果分式的值為正整數，則所有滿足的整數x的值的和為 ．
2．（22-23八年級下·福建泉州·期末）已知為大于1的正整數，且代數式的值也是整數，則可取的最大整數值是 ．
【考點五 求分式值為正、負數時未知數的取值范圍】
例題：（23-24八年級上·陜西延安·期末）若分式的值為正數，則的取值范圍是 ．
【變式訓練】
1．（22-23七年級下·黑龍江綏化·期末）若分式的值為負數，則的取值范圍是 ．
2．（22-23八年級上·黑龍江大慶·期末）已知分式的值為正數，則a的取值范圍 ．
【考點六 分式加減乘除混合運算】
例題：（23-24九年級上·四川瀘州·期末）化簡：
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）化簡：
(1)； (2)．
2．（23-24八年級上·寧夏固原·期末）下面是某分式化簡過程，請認真閱讀并完成任務．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任務一：填空
①以上化簡步驟中，第______步是通分，通分的依據是______．
②第______步開始出現錯誤，錯誤的原因是______．
任務二：直接寫出該分式化簡后的正確結果．
【考點七 分式化簡求值】
例題：（23-24八年級上·寧夏石嘴山·期末）先化簡再求值：，其中．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·廣東東莞·期末）先化簡：，再從中選擇合適的a的值代入求值．
2．（23-24八年級上·山東濰坊·期末）先化簡，再求值：，其中使得分式的值為．
【考點八 與分式有關的新定義型問題】
例題：（23-24七年級上·上海奉賢·期末）定義：如果分式與分式的和等于它們的積，即，那么就稱分式與分式“互為關聯分式”，其中分式是分式的“關聯分式”．
例如分式與分式 ，因為，，所以，所以分式與分式“互為關聯分式”．
(1)請通過計算判斷分式與分式是不是“互為關聯分式”？
(2)小明在研究“互為關聯分式”是發現：
因為，又因為都不為0，
所以，所以，
也就是“互為關聯分式”的兩個分式，將它們各自分子和分母顛倒位置后相加，和為1．
請你根據小明發現的“互為關聯分式”的這個特征，求分式的“關聯分式”．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·河南商丘·期末）定義：若兩個分式的和為（為正整數），則稱這兩個分式互為“階分式”．
例如，分式與互為“3階分式”．
(1)分式與___________互為“6階分式”．
(2)若正數互為倒數，求證：分式與互為“5階分式”．
2．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可化為帶分數．如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．
如，這樣的分式就是假分式；，這樣的分式就是真分式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．
如：．
解決下列問題：
(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)將假分式化為帶分式；
(3)求所有符合條件的整數x的值，使得的值為整數．
【考點九 解分式方程】
例題：（23-24八年級上·寧夏石嘴山·期末）解分式方程
(1) (2)
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·四川涼山·期末）解分式方程
(1)； (2)；
2．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）解分式方程
(1)； (2)．
【考點十 根據分式方程有增根求參數】
例題：（23-24八年級上·山東泰安·期末）若關于的分式方程有增根，則的值是 ．
【變式訓練】
1．（22-23八年級下·山東濟南·期末）若關于x的分式方程有增根，則的值是 ．
2．（23-24八年級上·湖南湘潭·期末）已知關于x的分式方程有增根，則方程的增根為 ．
【考點十一 根據分式方程有無解求參數】
例題：（22-23八年級下·陜西西安·期末）若關于的分式方程無解，則 ．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·湖北襄陽·期末）若關于x的方程無解，則m的值為 ．
2．（23-24八年級上·甘肅武威·期末）若關于的分式方程無解，則 ．
【考點十二 根據分式方程根的情況求參數的范圍】
例題：（23-24八年級上·四川涼山·期末）分式方程的解是非負數，則的取值范圍為
【變式訓練】
1．（22-23八年級下·江蘇蘇州·期末）如果關于x的方程的解是正數，那么m的取值范圍是 ．
2．（23-24八年級上·山東東營·期末）已知關于的分式方程，若此方程的解為正數，則的取值范圍為 ．
【考點十三 不等式組與分式方程綜合的參數問題】
例題：（23-24八年級上·河南周口·期末）若整數使得關于的不等式組有解，且使得關于的分式方程有正整數解，則符合條件的所有整數的和為 ．
【變式訓練】
1．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·期末）若關于x的一元一次不等式組的解集為，且關于y的分式方程有非負數解，則滿足條件的所有整數a的和為 ．
2．（23-24九年級上·重慶銅梁·期末）關于的分式方程的解為整數，且關于的不等式組有且僅有3個整數解，則所有滿足條件的整數的值之和為 ．
【考點十四 與分式、分式方程有關的規律探究問題】
例題1：（23-24八年級上·廣東汕頭·期末）把一個分式寫成兩個分式的和叫作把這個分式表示成“部分分式”，請解答下列問題：
(1)若，分別求、的值；
(2)根據（1）中的規律，求的值．
例題2：（22-23八年級上·河北石家莊·期末）解方程：
①的解是；
②的解是；
③的解是；
④的解是 ；
（1）請完成上面的填空；
（2）根據你發現的規律直接寫出第⑤個方程和它的解 ；
（3）請你用一個含正整數 的式子表述上述規律，并寫出它的解 ．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·北京石景山·期末）小明根據學習“數與式”積累的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究分式的運算規律．下面是小明的探究過程，請補充完整：
(1)具體運算，發現規律．
第1個：；
第2個：；
第3個：；
第4個：；
第5個：______．
……
(2)觀察、歸納，發現規律，得出猜想：
第n個等式可以表示為：______（n為正整數）．
(3)證明（2）中的猜想．
2．（23-24八年級上·北京朝陽·期末）下面是一些方程和它們的解．
的解為，；
的解為，；
的解為，；
……
根據上面的方程和它們的解所反映的規律，解答下面問題：
(1)的解為_______；
(2)關于x的方程的解為_______；
(3)關于x的方程的解為_______．
3．（23-24七年級上·上海金山·期末）閱讀下面的材料，然后回答問題：
方程的解為；方程的解為；方程的解為……．
(1)觀察上述方程的解，猜想關于的方程的解是_________；
(2)根據上述的規律，猜想關于的方程的解是______；
(3)由（2）可知，在解方程：時，可變形轉化為的形式求值，按要求寫出你的變形求解過程．
【考點十五 不等式與分式方程的實際問題】
例題：（23-24八年級上·湖北隨州·期末）“垃圾分一分，環境美十分”．某社區為積極響應有關垃圾分類的號召，從百貨商場購進了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個貴40元，用3000元購買A品牌垃圾桶的數量是用2000元購買B品牌垃圾桶數量的2倍．
(1)購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶各需多少元？
(2)若該社區決定再用不超過6000元購進A，B兩種品牌垃圾桶共60個，恰逢百貨商場對這兩種品牌垃圾桶的售價進行調整：A品牌按上一次購買時售價的七折出售，B品牌比上一次購買時售價提高了．那么該社區此次最多可購買多少個B品牌垃圾桶？
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·寧夏固原·期末）依據最新出臺的寧夏初中體育與健康學業水平考試方案，自2024年起，寧夏中考體育成績將以70分計入總成績中．必考項目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分鐘跳繩，每項滿分15分．男生選考項目包括立定跳遠、50米跑、單杠引體向上、前擲實心球，女生選考項目包括立定跳遠、50米跑、1分鐘仰臥起坐、前擲實心球．為適應學生體育課學習（課時數、考勤等）、日常參與體育鍛煉．我校用3000元購買大、小跳繩共110根，且購買大跳繩與小跳繩的費用相同，大跳繩的單價是小跳繩單價的1.2倍．
(1)求大、小兩種跳繩的單價各是多少？
(2)若學校計劃用不超過7000元的資金再次購買這兩種跳繩共260根，已知兩種跳繩的價格不變，求大跳繩最多可購買多少根？
2．（23-24八年級上·天津紅橋·期末）為加快公共領域充電基礎設施建設，某停車場計劃購買A，B兩種型號的充電柱．已知A型充電樁比B型充電樁的單價少萬元，且用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數量相等．
(1)A，B兩種型號充電樁的單價各是多少？
(2)該停車場計劃共購買25個A，B型充電樁，購買總費用不超過26萬元，且B型充電樁的購買數量不少于A型充電樁購買數量的．請問A，B型充電樁各購買多少個可使購買總費用最少？
【過關檢測】
過關檢測
一、單選題
1．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（23-24八年級上·湖南懷化·期末）如果分式中的x、y都擴大到原來的3倍，那么下列說法中，正確的是（ ）
A．分式的值不變 B．分式的值縮小為原來的
C．分式的值擴大為原來的3倍 D．分式的值擴大為原來的9倍
3．（22-23八年級下·河北邢臺·開學考試）對于分式下列說法不正確的是（　　）
A．時，分式值為0 B．3時，分式無意義
C．時，分式值為負數 D．時，分式的值為正數
4．（23-24八年級上·山東聊城·期末）下列說法正確的是（ ）
A．分式是最簡分式 B．根據分式的基本性質，可以變形為
C．分式中的，都擴大為原來的3倍，分式的值不變 D．分式的值為零，則的值為
5．（23-24八年級上·陜西渭南·期末）若關于的方程無解，那么的值是（ ）
A．4 B． C． D．3
6．（22-23八年級下·重慶開州·期末）若關于x的一元一次不等式組的解集為，且關于y的分式方程有非負數解，則符合條件的所有整數a的和為（　　）
A． B．3 C．6 D．2
二、填空題
7．（23-24八年級上·吉林長春·期末）函數自變量x的取值范圍是 ．
8．（23-24八年級上·湖南婁底·期末）若分式方程有增根，則 ．
9．（22-23八年級下·福建泉州·期末）已知為大于1的正整數，且代數式的值也是整數，則可取的最大整數值是 ．
10．（23-24七年級上·江蘇揚州·期末）觀察下列分式：按此規律第10個分式是 ．
11．（23-24八年級上·山東日照·期末）已知關于的方程的解為正數，則的取值范圍是 ．
12．（20-21八年級上·廣東潮州·期末）式子稱為二階行列式，規定它的運算法則為，則二階行列式 ．
三、解答題
13．（23-24八年級上·河南周口·期末）解分式方程∶
(1)
(2)
14．（22-23八年級上·貴州銅仁·期末）先化簡再求值，其中．
15．（23-24八年級上·山東聊城·期末）（1）計算：；
（2）先化簡，然后從，0 ，1 ，2 中選取一個你喜歡的數作為 x的值代入求值．
16．（23-24八年級上·廣西賀州·期末）某校為響應政府號召，準備購買甲，乙兩種型號的分類垃圾桶．購買時發現，甲種型號的單價比乙種型號的單價少50元，用3000元購買甲種垃圾桶的個數與用3300元購買乙種垃圾桶的個數相同．
(1)求甲、乙兩種型號垃圾桶的單價各是多少元？
(2)若某校需要購買分類垃圾桶6個，總費用不超過3100元，求所有不同的購買方式．
17．（23-24八年級上·浙江臺州·期末）如果兩個分式的和為常數，我們稱這兩個分式互為“和美”分式，這個常數為“和美”值．
如，所以與互為“和美”分式．
(1)已知，，，判斷A和B是不是互為“和美”分式？若是，請證明，并求出“和美”值；若不是，請說明理由；
(2)已知，，m、n、p為非零常數，若C、D互為“和美”分式，求的值．
18．（2021·廣東深圳·一模）“菊潤初經雨，橙香獨占秋”，如圖，橙子是一種甘甜爽口的水果，富含維生素．某水果商城為了了解兩種橙子市場銷售情況，購進了一批數量相等的“血橙”和“臍橙”供客戶對比品嘗，其中購買“臍橙”用了420元，購買“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”進價比每千克“臍橙”貴8元．

(1)求每千克“血橙”和“臍橙”進價各是多少元？
(2)若該水果商城決定再次購買同種“血橙”和“臍橙”共40千克，且再次購買的費用不超過600元，且每種橙子進價保持不變．若“血橙”的銷售單價為24元，“臍橙”的銷售單價為14元，則該水果商城應如何進貨，使得第二批的“血橙”和“臍橙”售完后獲得利潤最大？最大利潤是多少？
19．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）先閱讀下面的材料，然后回答問題：
方程的解為，；
方程的解為，；
方程的解為，；
…
(1)根據上面的規律，猜想關于x的方程的解是 ；
(2)利用（1）的結論解關于x的方程：；
(3)利用（1）的結論解關于x的方程：．
20．（22-23八年級上·江蘇鹽城·期末）我們規定：分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數低于分母的次數，稱這樣的分式為真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次數不低于分母的次數，稱這樣的分式為假分式．例如，分式，是假分式．一個假分式可以化為一個整式與一個真分式的和．
例如，①，
②，
③．
(1)將假分式化為一個整式與一個真分式的和；
(2)已知假分式．
①將該假分式化成一個整式與一個真分式的和的形式．
②直接寫出當整數a為何值時，分式為正整數；
(3)自然數A是的整數部分，則A的數字和為 ．（把組成一個數的各個數位上的數字相加，所得的和，就叫做這個數的數字和．例如：148的數字和就是1＋4＋8＝13）．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題03 分式與分式方程
目錄
【考點一 分式、最簡分式、分式方程的定義】 2
【考點二 分式有無意義及分式的值為0】 4
【考點三 利用分式的基本性質判斷分式值的變化】 6
【考點四 求使分式值為整數時未知數的整數值】 8
【考點五 求分式值為正、負數時未知數的取值范圍】 9
【考點六 分式加減乘除混合運算】 11
【考點七 分式化簡求值】 13
【考點八 與分式有關的新定義型問題】 14
【考點九 解分式方程】 18
【考點十 根據分式方程有增根求參數】 20
【考點十一 根據分式方程有無解求參數】 21
【考點十二 根據分式方程根的情況求參數的范圍】 23
【考點十三 不等式組與分式方程綜合的參數問題】 24
【考點十四 與分式、分式方程有關的規律探究問題】 27
【考點十五 不等式與分式方程的實際問題】 33
【過關檢測】 36
1.分式的意義
2.分式的基本性質
3.分式的運算
4.分式方程
5.列一分式方程解實際問題的一般步驟：
（1）審題；（2）設未知數，找等量關系式；（3）設元，根據等量關系式列分式方程 ；（4）解分式方程，檢驗并作答。
考點剖析
【考點一 分式、最簡分式、分式方程的定義】
例題1：（23-24八年級上·貴州銅仁·期末）在，，，，，中，分式的個數有（ ）．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】本題主要考查了分式的定義．判斷一個式子是否為分式，關鍵在于看其分母是否含有字母，然后對題中的式子進行判斷即可．
【詳解】解：，，的分母中都不含字母，都不是分式，
，，的分母中都含字母，都是分式，共3個，
故選：B．
例題2：（22-23八年級上·山東濟寧·期末）下列各分式中，是最簡分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了分式的基本性質和最簡分式，能熟記分式的化簡過程是解此題的關鍵，首先要把分子分母分解因式，然后進行約分．
最簡分式的標準是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進行約分．
【詳解】解：．是最簡分式；
B.，不符合題意；
C.，不符合題意；
D.，不符合題意；
故選A．
例題3：（22-23八年級上·遼寧葫蘆島·期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據分母中含有未知數的方程叫做分式的定義進行判斷即可．
【詳解】解：A.該方程是一元一次方程，不符合；
B.該方程是分式方程，符合；
C.該方程是一元一次方程，不符合；
D.該方程是二元一次方程，不符合；
故選：B．
【點睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解決問題的關鍵．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）下列代數式：①；②；③；④；⑤．其中分式的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題主要考查分式的定義，熟練掌握分式的定義是解答本題的關鍵．判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．注意π不是字母，是常數．
【詳解】解：①是分式，符合題意；
②不是分式，不符合題意；
③是分式，符合題意；
④不是分式，不符合題意；
⑤不是分式，不符合題意；
∴分式一共有2個，
故選：B．
2．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）下列各式，，，，，中，最簡分式的個數是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本題主要考查最簡分式，熟練掌握最簡分式的概念是解題的關鍵；因此此題可根據“分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式”進行求解即可
【詳解】解：，，，都不是最簡分式，
，，是最簡分式，
故選：B．
3．（22-23八年級上·河南開封·期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據分式方程的定義判斷即可．
【詳解】解：A，B，D選項中的方程，分母中不含未知數，所以不是分式方程，故不符合題意；
C選項方程中的分母中含未知數，是分式方程，故符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分母中含有未知數的方程叫做分式方程是解題的關鍵．
【考點二 分式有無意義及分式的值為0】
例題：（23-24八年級上·河南駐馬店·期末）若分式有意義，下列說法錯誤的是（ ）．
A．當時，分式的值為正數 B．當時，分式無意義
C．當時，分式的值為0 D．當時，分式的值為1
【答案】A
【分析】本題考查了分式的值，分式的值為零，分式有意義的條件，分式的值為正，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
根據分式的值為0的條件，分式有意義的條件，分式的值為正，分式的值，逐項判斷即可．
【詳解】解：A、當時，分母，但的值可能是正數也可能是負數，根據“兩數相除同號得正，異號得負”可判定分式的值可能是正數，也可能是負數，還可能是0，故此選項錯誤，符合題意；
B、當時，分母，所以當時，分式無意義，故此選項正確，不符合題意；
C、當時，分母，分子，當時，分式的值為0，故此選項正確，不符合題意；
D、當時，分母，，當時，分式的值為1，故此選項正確，不符合題意．
故選：A．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·天津紅橋·期末）若分式有意義，則該分式中的字母x滿足的條件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查分式有意義的條件，根據分式有意義，分母不等于0求解即可得到答案；
【詳解】解：∵分式有意義，
∴，
解得：，
故選：C．
2．（23-24八年級上·甘肅定西·期末）已知某個分式，當時，分式無意義，當時，分式的值為0，則該分式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了分式無意義，分式求值，解題的關鍵掌握分式代值的計算方法．先根據當時，分式無意義，排除選項C、D，然后把代入A、B選項計算即可判斷．
【詳解】解：當時，，則分式，無意義；，則分式，有意義，故排除選項C、D，
當時，，，故選項A符合題意，選項B不符合題意，
故選：A．
3．（21-22八年級上·貴州銅仁·期末）下列關于分式的判斷，正確的是（ ）
A．當時，的值為0 B．當時，有意義
C．無論x為何值，的值不可能是正整數 D．無論x為何值，總有意義
【答案】D
【分析】本題考查分式有無意義的條件，分式值為0的條件，平方的非負性．掌握分式的分母不能為0是解題關鍵．根據當時，分式無意義可判斷A；根據當時，分式無意義可判斷B；根據當時，分式可判斷C；根據平方的非負性可知，即無論x為何值，總有意義可判斷D．
【詳解】解：A．當時，分式無意義，故該選項錯誤，不符合題意；
B．當時，分式無意義，故該選項錯誤，不符合題意；
C．當時，分式，為正整數，故該選項錯誤，不符合題意；
D．因為無論x為何值，即，
所以分式總有意義，故該選項正確，符合題意．
故選D．
【考點三 利用分式的基本性質判斷分式值的變化】
例題：（22-23八年級上·內蒙古烏海·期末）下列各式中從左到右的變形正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了分式的基本性質，解題的關鍵是掌握分式的基本性質．根據分式的基本性質逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，故此選項不符合題意；
B、，故此選項不符合題意；
C、，故此選項符合題意；
D、，故此選項不符合題意；
故選：C．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·浙江臺州·期末）下列等式中，從左向右的變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了分式的基本性質，分式的分子或分母同時乘以或除以一個相同的不為0的數或式子，分式的值不變，據此求解即可．
【詳解】解：A、，原式變形錯誤，不符合題意；
B、，原式變形錯誤，不符合題意；
C、，原式變形錯誤，不符合題意；
D、，原式變形正確，符合題意；
故選：D．
2．（23-24八年級上·山東德州·期末）把分式中的和分別擴大為原來的2倍，則分式的值（ ）
A．擴大為原來的2倍 B．擴大為原來的4倍
C．縮小為原來的 D．不變
【答案】C
【分析】本題考查了分式的基本性質，熟記性質是解題的關鍵．將原式中的a換為，將b換為，根據分式的性質進行化簡即可．
【詳解】解：把分式中的a和b分別擴大為原來的2倍，
即，
則分式的值縮小為原來的，
故選：C．
3．（23-24八年級上·四川瀘州·期末）如果把分式中的m，n都變為原來的2倍，那么分式的值（　　）
A．變為原來的2倍 B．變為原來的4倍
C．變為原來的 D．不變
【答案】C
【分析】本題考查分式的性質，根據分式的性質計算即可．
【詳解】解：
，
即分式的值變為原來的，
故選：C．
【考點四 求使分式值為整數時未知數的整數值】
例題：（23-24八年級上·北京朝陽·期末）若分式的值為整數，則的整數值為 ．
【答案】0或/或0
【分析】本題主要考查了分式的值、解一元一次方程等知識，根據題意確定的值是解題關鍵．根據題意，若分式的值為整數，則或或，
然后分別求解，即可確定的整數值．
【詳解】解：若分式的值為整數，
則或或，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
若取整數，
則的整數值為0或．
故答案為：0或．
【變式訓練】
1．（23-24七年級上·上海浦東新·期末）如果分式的值為正整數，則所有滿足的整數x的值的和為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了分式的值，分式的值為正整數，則或或或，據此求出滿足題意的整數x的值，再求和即可．
【詳解】解：∵分式的值為正整數，
∴或或或，
∴或或或，
∴所有滿足的整數x的值的和為，
故答案為：．
2．（22-23八年級下·福建泉州·期末）已知為大于1的正整數，且代數式的值也是整數，則可取的最大整數值是 ．
【答案】8
【分析】化簡得到，根據題意得到或7，即可得到答案．
【詳解】解：，
∵代數式的值也是整數，為大于1的正整數，
∴或7，
當時，，
當時，，
∴可取的最大整數值是，
故答案為：．
【點睛】此題考查了分式的值，解一元一次方程等知識，準確變形是解題的關鍵．
【考點五 求分式值為正、負數時未知數的取值范圍】
例題：（23-24八年級上·陜西延安·期末）若分式的值為正數，則的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】根據分式的值為負數，得到關于x的不等式組，解不等式組即可得到答案，此題考查了分式的值、解一元一次不等式組等知識，根據題意得到關于x的兩個不等式組是解題的關鍵．
【詳解】解：∵分式的值為正數，
∴或，
解得或，
故答案為：或．
【變式訓練】
1．（22-23七年級下·黑龍江綏化·期末）若分式的值為負數，則的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】根據分式的分母不能為0得出，再根據分式的值為負數得出，進行計算即可得到答案．
【詳解】解：根據題意得：，
，
分式的值為負數，
，
，
的取值范圍是且，
故答案為：且．
【點睛】本題主要考查了分式有意義的條件、分式值為負數時未知數的取值范圍，熟練掌握以上知識點，準確進行計算是解題的關鍵．
2．（22-23八年級上·黑龍江大慶·期末）已知分式的值為正數，則a的取值范圍 ．
【答案】且
【分析】根據分式的值為正數，那么分子與分母的符號相同，結合分子大于等于0進行求解即可．
【詳解】解：∵分式的值為正數，，
∴，
∴且，
故答案為：且．
【點睛】本題主要考查了根據分式值的情況求參數，正確理解題意是解題的關鍵．
【考點六 分式加減乘除混合運算】
例題：（23-24九年級上·四川瀘州·期末）化簡：
【答案】
【分析】本題考查分式的混合運算，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．根據分式的基本性質和運算法則即可求解．
【詳解】解：
原式
．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）化簡：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了分式的化簡計算．
（1）按照通分，約分，化簡計算即可．
（2）按照通分，約分，化簡計算即可．
【詳解】（1）
．
（2）
．
2．（23-24八年級上·寧夏固原·期末）下面是某分式化簡過程，請認真閱讀并完成任務．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任務一：填空
①以上化簡步驟中，第______步是通分，通分的依據是______．
②第______步開始出現錯誤，錯誤的原因是______．
任務二：直接寫出該分式化簡后的正確結果．
【答案】任務一：①一，分式的基本性質；②二，去括號沒有變號；任務二：．
【分析】本題考查了分式的化簡，掌握相關運算法則是解題關鍵．
任務一：①根據通分的定義判斷即可；②根據去括號法則判斷即可；
任務二：根據分式的混合運算法則計算即可．
【詳解】解：任務一：①以上化簡步驟中，第一步是通分，通分的依據是分式的基本性質，
故答案為：一，分式的基本性質；
②第二步開始出現錯誤，錯誤的原因是去括號沒有變號，
故答案為：二，去括號沒有變號；
任務二：
．
【考點七 分式化簡求值】
例題：（23-24八年級上·寧夏石嘴山·期末）先化簡再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本題考查了分式的化簡求值，根據分式的混合運算進行計算后，再代值計算即可．掌握分式的混合運算法則，正確的計算，是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
當時，原式．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·廣東東莞·期末）先化簡：，再從中選擇合適的a的值代入求值．
【答案】；當時，原式
【分析】本題考查分式的化簡求值，先根據分式的混合運算法則，進行化簡，再根據分式的分母不為0，選取合適的的值，求值即可．掌握分式的混合運算法則，正確的計算，是解題的關鍵．
【詳解】解：原式
，
∵，
∴，
當時，原式．
2．（23-24八年級上·山東濰坊·期末）先化簡，再求值：，其中使得分式的值為．
【答案】，
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，分式值為0的條件，先根據分式的混合計算法則化簡，再根據分式值為0的條件是分子為0，分母不為0求出x的值，最后代值計算即可．
【詳解】解：
，
∵使得分式的值為，
∴，
∴，
∴原式
【考點八 與分式有關的新定義型問題】
例題：（23-24七年級上·上海奉賢·期末）定義：如果分式與分式的和等于它們的積，即，那么就稱分式與分式“互為關聯分式”，其中分式是分式的“關聯分式”．
例如分式與分式 ，因為，，所以，所以分式與分式“互為關聯分式”．
(1)請通過計算判斷分式與分式是不是“互為關聯分式”？
(2)小明在研究“互為關聯分式”是發現：
因為，又因為都不為0，
所以，所以，
也就是“互為關聯分式”的兩個分式，將它們各自分子和分母顛倒位置后相加，和為1．
請你根據小明發現的“互為關聯分式”的這個特征，求分式的“關聯分式”．
【答案】(1)不是“互為關聯分式”
(2)
【分析】本題主要考查了新定義下的分式運算，分式的加減計算，分式的乘法，
（1）根據關聯分式的定義判斷即可；
（2）根據“互為關聯分式”的特征，假設其“關聯分式”通過分式的運算即可求得答案．
【詳解】（1）解：
．
．
所以．
所以分式與分式不是“互為關聯分式”．
（2）設分式的“關聯分式”為．
那么．所以．
所以．
即分式的“關聯分式”為．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·河南商丘·期末）定義：若兩個分式的和為（為正整數），則稱這兩個分式互為“階分式”．
例如，分式與互為“3階分式”．
(1)分式與___________互為“6階分式”．
(2)若正數互為倒數，求證：分式與互為“5階分式”．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題主要考查了分式的加法，正確理解題意并掌握分式通分、約分運算方法是解決本題的關鍵．
（1）根據題中的新定義列出關系式，然后根據分式的加法進行通分計算即可；
（2）根據題意首先利用倒數關系，將、進行消元，然后兩分式相加計算得到結果，利用新定義即可判斷；
【詳解】（1）∵，
∴分式與互為“6階分式”．
故答案為：
（2）證明：∵正數x，y互為倒數，
∴，即 ，
∴
則分式與互為“5階分式”；
2．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可化為帶分數．如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．
如，這樣的分式就是假分式；，這樣的分式就是真分式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．
如：．
解決下列問題：
(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)將假分式化為帶分式；
(3)求所有符合條件的整數x的值，使得的值為整數．
【答案】(1)真；
(2)；
(3)．
【分析】本題主要考查了分式的化簡運算，正確理解題意中的新定義、掌握分式的化簡方法是解題的關鍵．
（1）根據“真分式”和“假分式”定義判斷即可；
（2）將分子寫成，然后進行變形即可解答；
（3）先將分式化為帶分式，根據為整數，分式的值為整數即可得到x的值．
【詳解】（1）解：∵的次數為0，x的次數為1，
∴是真分式．
故答案為：真．
（2）解：．
（3）解：
，
∵與x均為整數，
∴或或1或，
∴或或0或，
∵ ，，，，
∴，0，，1．
∴．
【考點九 解分式方程】
例題：（23-24八年級上·寧夏石嘴山·期末）解分式方程
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查分式方程的解法；
（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】（1）解：
去分母得：
解得：
經檢驗是原方程的解，
所以原方程的解為．
（2）解：
去分母得：
解得：
經檢驗是原方程的解,
所以原方程的解為．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·四川涼山·期末）解分式方程
(1)； (2)；
【答案】(1)
(2)無解
【分析】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是掌握分式方程的解法．
（1）根據去分母，去括號，合并同類項，化系數為，即可求解；
（2）去分母，去括號，合并同類項，化系數為，即可求解．
【詳解】（1）解：
經檢驗，是原分式方程的解；
（2）解：
經檢驗，是原分式方程的增根，
∴原分式方程無解．
2．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）解分式方程
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了解分式方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）先把分式方程化為整式方程，再解的值，最后驗根，即可作答．
（2）先把分式方程化為整式方程，再解的值，最后驗根，即可作答
【詳解】（1）解：
經檢驗：是原分式方程的解
（2）解：
經檢驗：是原分式方程的解
【考點十 根據分式方程有增根求參數】
例題：（23-24八年級上·山東泰安·期末）若關于的分式方程有增根，則的值是 ．
【答案】/
【分析】此題考查了分式方程的增根，方程第二個分母提取變形后，去分母轉化為整式方程，表示出方程的解，令方程的解為，即可求出的值．
【詳解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵方程有增根，
∴，即，
解得：，
故答案為：．
【變式訓練】
1．（22-23八年級下·山東濟南·期末）若關于x的分式方程有增根，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了分式方程的增根．熟練掌握分式方程的增根的解題思路是關鍵．
增根是化為整式方程后產生的不適合分式方程的根．所以應先確定增根的可能值，讓最簡公分母，得到，然后代入整式方程，算出的值．
【詳解】解：，
方程兩邊都乘，
得，
原方程有增根，
最簡公分母，
解得，
當時，，
故答案為：．
2．（23-24八年級上·湖南湘潭·期末）已知關于x的分式方程有增根，則方程的增根為 ．
【答案】
【分析】本題考查了分式方程的增根．熟練掌握分式方程的增根是解題的關鍵．
根據分式方程的增根的定義進行求解即可．
【詳解】解：∵分式方程有增根，
∴，
解得，
故答案為：．
【考點十一 根據分式方程有無解求參數】
例題：（22-23八年級下·陜西西安·期末）若關于的分式方程無解，則 ．
【答案】或/或1
【分析】本題考查了分式方程無解問題，分兩種情況分別計算，①當時，該整式方程無解，②當時，由分式方程無解得到增根或，代入整式方程即可求解．
【詳解】解：去分母并整理得（），
①當時，該整式方程無解，
此時；
②當時，要使原方程無解，
則（），即或，
把代入整式方程，的值不存在，
把代入整式方程，得．
綜合①②得或．
故答案為：或．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·湖北襄陽·期末）若關于x的方程無解，則m的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了根據分式方程的無解求參數的值，是需要識記的內容．分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【詳解】解：
，
，
∵關于x的方程無解，
∴或，
∴或，
∴．
故答案為
2．（23-24八年級上·甘肅武威·期末）若關于的分式方程無解，則 ．
【答案】2或6
【分析】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，掌握分式方程無解的條件是解題的關鍵．解分式方程得，由題意得或，從而求出m的值．
【詳解】解：原方程去分母得：，
解得：，
∵分式方程無解，
∴或，
∴
∴或，
故答案為2或6
【考點十二 根據分式方程根的情況求參數的范圍】
例題：（23-24八年級上·四川涼山·期末）分式方程的解是非負數，則的取值范圍為
【答案】，且
【分析】此題考查了分式方程的解，需注意在任何時候都要考慮分母不為．分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解，由解為非負數求出的范圍即可．
【詳解】解：
，
，
分式方程的解是非負數，
，且，
解得：，且，
故答案為：，且．
【變式訓練】
1．（22-23八年級下·江蘇蘇州·期末）如果關于x的方程的解是正數，那么m的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題考查了分式方程的解，一元一次不等式，正確得出方程的解，并注意增根的情形是解題的關鍵；
先把分式方程化為整式方程，在求出方程的解，利用和得出不等式組，解不等式組即可．
【詳解】
，
，
關于x的方程的解是正數，
，
解得：，
m的取值范圍是且．
故答案為：且．
2．（23-24八年級上·山東東營·期末）已知關于的分式方程，若此方程的解為正數，則的取值范圍為 ．
【答案】且
【分析】本題主要考查分式方程，根據分式方程的解，可知，且．
【詳解】解關于的分式方程，得
根據題意，得
，且
解得
且
故答案為：且
【考點十三 不等式組與分式方程綜合的參數問題】
例題：（23-24八年級上·河南周口·期末）若整數使得關于的不等式組有解，且使得關于的分式方程有正整數解，則符合條件的所有整數的和為 ．
【答案】36
【分析】本題主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式（組）等知識，正確掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式（組）的方法是解題的關鍵．根據不等式組有解，得到關于的一元一次不等式，求出的取值范圍；解分式方程可且，根據“為整數，且分式方程有正整數解”，找出符合條件的的值，相加后即可得到答案．
【詳解】解：解不等式組，
可得 ，
∵該不等式組有解，
∴，解得，
解分式方程，
可得，且，
∵為整數，且分式方程有正整數解，
∴的值為9，12，15，
∵，
∴滿足條件的所有整數的和為36．
故答案為：36．
【變式訓練】
1．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·期末）若關于x的一元一次不等式組的解集為，且關于y的分式方程有非負數解，則滿足條件的所有整數a的和為 ．
【答案】8
【分析】
本題主要考查一元一次不等式組的解集，分式方程的解以及解分式方程．
由關于x的一元一次不等式組的解集為，可得，由關于y的分式方程有非負數解，可得且，從而滿足條件的所有整數a，再求它們的和即可得出答案．
【詳解】，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵關于x的一元一次不等式組的解集為，
∴，
解分式方程，得，
∵該分式方程有非負數解，
∴當時，且
∴且，
∴且，
∴滿足條件的所有整數a為：，，，，，，
它們的和為：．
故答案為：8
2．（23-24九年級上·重慶銅梁·期末）關于的分式方程的解為整數，且關于的不等式組有且僅有3個整數解，則所有滿足條件的整數的值之和為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查解分式方程和一元一次不等式方程組，首先解得不等式方程組的解，根據題意找到a的范圍，再解的分式方程的解，結合分式方程的解和a的范圍求得a的可能值即可．
【詳解】解：
由，解得，
由，解得，
則不等式方程組的解為，，
∵關于的不等式組有且僅有3個整數解，
∴，解得，
去分母得，，
去括號、移項得，，
系數化為1得，，
∵為分式方程的增根，
∴，解得，
∵關于的分式方程的解為整數，
∴當時，；
當時，，舍去；
當時，舍去；
當時，；
則所有滿足條件的整數的值之和為．
故答案為：．
【考點十四 與分式、分式方程有關的規律探究問題】
例題1：（23-24八年級上·廣東汕頭·期末）把一個分式寫成兩個分式的和叫作把這個分式表示成“部分分式”，請解答下列問題：
(1)若，分別求、的值；
(2)根據（1）中的規律，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查找規律，涉及異分母分式加減運算、解方程組等知識，讀懂題意，準確找到規律是解決問題的關鍵．
（1）通分，將化為同分母得分式運算，根據等式關系列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）中規律，由將式子各部分表示成“部分分式”，消去中間項即可得到答案．
【詳解】（1）解：
，
解得；
（2）解：由（1）中可得
．
例題2：（22-23八年級上·河北石家莊·期末）解方程：
①的解是；
②的解是；
③的解是；
④的解是 ；
（1）請完成上面的填空；
（2）根據你發現的規律直接寫出第⑤個方程和它的解 ；
（3）請你用一個含正整數 的式子表述上述規律，并寫出它的解 ．
【答案】 3 的解是 第n個方程為，其解為
【分析】本題考查分式方程的解以及規律的探索，熟練掌握分式方程的解的求法并觀察出方程的解與分子的關系是解題的關鍵．
（1）由題意把方程兩邊都乘以把分式方程化為整式方程，然后求解即可；
（2）由題意先觀察①②③④中的方程的解；根據前四個方程的規律可得第⑤個方程及其解；
（3）根據題干中各個方程的規律，可寫出含正整數n的方程，求解即可．
【詳解】解：（1）
去分母得，
去括號得：
移項得：，
合并同類項得：．
檢驗，當時，，
∴是原方程的解，
故答案為：3；
（2）由題意得，第⑤個方程為，其解為，
故答案為：的解是；
（3）①的解是；
②的解是；
③的解是；
④的解是，
……，
以此類推，可知，第n個方程為，其解為，
故答案為：第n個方程為，其解為．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·北京石景山·期末）小明根據學習“數與式”積累的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究分式的運算規律．下面是小明的探究過程，請補充完整：
(1)具體運算，發現規律．
第1個：；
第2個：；
第3個：；
第4個：；
第5個：______．
……
(2)觀察、歸納，發現規律，得出猜想：
第n個等式可以表示為：______（n為正整數）．
(3)證明（2）中的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】本題考查了分式的規律探索，分式加減運算，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．
（1）根據前4個等式的規律即可得；
（2）根據前5個等式，歸納類推出一般規律即可得；
（3）根據分式的減法、二次根式的性質化簡即可得證．
【詳解】（1）解：第1個：；
第2個：；
第3個：；
第4個：；
第5個： ；
故答案為：．
（2）解：歸納類推得：如果為正整數，用含的式子表示上述的運算規律為：
；
故答案為：．
（3）證明：∵，
，
∴．
2．（23-24八年級上·北京朝陽·期末）下面是一些方程和它們的解．
的解為，；
的解為，；
的解為，；
……
根據上面的方程和它們的解所反映的規律，解答下面問題：
(1)的解為_______；
(2)關于x的方程的解為_______；
(3)關于x的方程的解為_______．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)，．
【分析】本題考查了解分式方程．
（1）觀察閱讀材料中的方程解過程，歸納總結得到結果；
（2）仿照方程解方程，歸納總結得到結果；
（3）方程變形后，利用得出的規律得到結果即可；
【詳解】（1）解：猜想關于x的方程的解是；
故答案為：；
（2）解：猜想關于x的方程的解是，；
故答案為：，；
（3）解：方程變形得：，
∴，
可得或，
解得：，．
3．（23-24七年級上·上海金山·期末）閱讀下面的材料，然后回答問題：
方程的解為；方程的解為；方程的解為……．
(1)觀察上述方程的解，猜想關于的方程的解是_________；
(2)根據上述的規律，猜想關于的方程的解是______；
(3)由（2）可知，在解方程：時，可變形轉化為的形式求值，按要求寫出你的變形求解過程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此題考查了解分式方程，讀懂題意并靈活變形是解題的關鍵．
（1）根據已知材料即可得出答案；
（2）根據已知材料即可得出答案；
（3）把方程轉化成，由材料得出，，求出方程的解即可．
【詳解】（1）解：關于x的方程的解是：，，
故答案為：，；
（2）關于x的方程的解是：，，
故答案為：，；
（3）解：
，
，
，
即，，
解得：，，
經檢驗：，是方程的解.
【考點十五 不等式與分式方程的實際問題】
例題：（23-24八年級上·湖北隨州·期末）“垃圾分一分，環境美十分”．某社區為積極響應有關垃圾分類的號召，從百貨商場購進了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個貴40元，用3000元購買A品牌垃圾桶的數量是用2000元購買B品牌垃圾桶數量的2倍．
(1)購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶各需多少元？
(2)若該社區決定再用不超過6000元購進A，B兩種品牌垃圾桶共60個，恰逢百貨商場對這兩種品牌垃圾桶的售價進行調整：A品牌按上一次購買時售價的七折出售，B品牌比上一次購買時售價提高了．那么該社區此次最多可購買多少個B品牌垃圾桶？
【答案】(1)購買一個A品牌需要120元，購買一個B品牌的垃圾桶需160元
(2)該學校此次最多可購買10個B品牌垃圾桶
【分析】本題考查分式方程和一元一次不等式的應用，找出等量關系即可列出方程，或找到不等關系列出不等式：
（1）設一個A品牌的垃圾桶需要x元，則一個B品牌的垃圾桶需要元，根據“用3000元購買A品牌垃圾桶的數量是用2000元購買B品牌垃圾桶數量的2倍”即可列出分式方程，求解后檢驗即可解答；
（2）設該學校此次購買n個B品牌垃圾桶，則購買個A品牌垃圾桶，根據“該校決定再用不超過6000元購進A，B兩種品牌垃圾桶”即可列出不等式，求解后取最大值即可解答．
【詳解】（1）解：設一個A品牌的垃圾桶需要x元，則一個B品牌的垃圾桶需要元．根據題意，得：
，
解得：，
經檢驗，是該分式方程的解．
∴
答：購買一個A品牌需要120元，購買一個B品牌的垃圾桶需160元．
（2）解：設該學校此次購買n個B品牌垃圾桶，則購買個A品牌垃圾桶．根據題意，得
，
解得：，
∵n取整數，
∴n的最大值為10，
答：該學校此次最多可購買10個B品牌垃圾桶．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·寧夏固原·期末）依據最新出臺的寧夏初中體育與健康學業水平考試方案，自2024年起，寧夏中考體育成績將以70分計入總成績中．必考項目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分鐘跳繩，每項滿分15分．男生選考項目包括立定跳遠、50米跑、單杠引體向上、前擲實心球，女生選考項目包括立定跳遠、50米跑、1分鐘仰臥起坐、前擲實心球．為適應學生體育課學習（課時數、考勤等）、日常參與體育鍛煉．我校用3000元購買大、小跳繩共110根，且購買大跳繩與小跳繩的費用相同，大跳繩的單價是小跳繩單價的1.2倍．
(1)求大、小兩種跳繩的單價各是多少？
(2)若學校計劃用不超過7000元的資金再次購買這兩種跳繩共260根，已知兩種跳繩的價格不變，求大跳繩最多可購買多少根？
【答案】(1)小跳繩單價是元，大跳繩單價是元；
(2)大跳繩最多可購買根．
【分析】
本題考差了分式方程的應用，以及一元一次不等式的應用，根據題意找出數量關系是解題關鍵．
（1）由題意可知，購買大跳繩與小跳繩的費用均為元，設小跳繩單價是元，則大跳繩單價是元，根據題意列分式方程求解，檢驗后即可得到答案；
（2）設大跳繩購買根，則小跳繩購買根，根據題意列一元一次不等式求解，最大整數解即為答案．
【詳解】（1）解：由題意可知，購買大跳繩與小跳繩的費用相同，均為元，
設小跳繩單價是元，則大跳繩單價是元，
則，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，
，
答：小跳繩單價是元，大跳繩單價是元；
（2）解：設大跳繩購買根，則小跳繩購買根，
由題意得：，
解得：，
可取的最大整數為，
答：大跳繩最多可購買根．
2．（23-24八年級上·天津紅橋·期末）為加快公共領域充電基礎設施建設，某停車場計劃購買A，B兩種型號的充電柱．已知A型充電樁比B型充電樁的單價少萬元，且用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數量相等．
(1)A，B兩種型號充電樁的單價各是多少？
(2)該停車場計劃共購買25個A，B型充電樁，購買總費用不超過26萬元，且B型充電樁的購買數量不少于A型充電樁購買數量的．請問A，B型充電樁各購買多少個可使購買總費用最少？
【答案】(1)型充電樁的單價為萬元，型充電樁的單價為萬元
(2)購買16個A型充電樁、9個B型充電樁總費用最少
【分析】本題考查了分式方程的應用及一元一次不等式組的應用，找到題目中的數量關系是解本題關鍵．
（1）設型充電樁的單價為萬元，則B型充電樁的單價萬元，根據“用15萬元購買型充電樁與用20萬元購買型充電樁的數量相等”列出方程，求解并檢驗方程的根即可；
（2）設購買型充電樁個，則購買型充電樁個，根據總費用型單價型數量型單價型數量，列出不等式組，求出的解集，取符合題意的整數解，即可得出各購買方案，再對方案分析即可得購買總費用最少的方案．
【詳解】（1）解：設型充電樁的單價為萬元，則B型充電樁的單價萬元，
根據題意得：，
解得：，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
，
答：型充電樁的單價為萬元，型充電樁的單價為萬元．
（2）解：設購買型充電樁個，則購買型充電樁個，
根據題意得：，
解得：，
∵為整數，
或15或16，
∴該停車場共有3種購買方案：
方案一：購買14個型充電樁、11個型充電樁；
方案二：購買15個型充電樁、10個型充電樁；
方案三：購買16個型充電樁、9個型充電樁；
∵型充電樁的單價低于型充電樁的單價，
∴購買A型充電樁越多總費用越低，
∴購買16個型充電樁、9個型充電樁總費用最少．
【過關檢測】
過關檢測
一、單選題
1．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題主要考查了分式的定義：形如，且B中含有字母，這樣的式子叫做分式．注意π是常數，不是字母．掌握分式的定義是解題的關鍵．根據分式的概念依次判斷即可．
【詳解】解：，形式為，且B中含有字母，是分式；
，形式為，但B中不含字母，不是分式；
，形式為，且B中不含有字母，不是分式；
，形式為，且B中含有字母，是分式；
故一共有2個分式．
故選B
2．（23-24八年級上·湖南懷化·期末）如果分式中的x、y都擴大到原來的3倍，那么下列說法中，正確的是（ ）
A．分式的值不變 B．分式的值縮小為原來的
C．分式的值擴大為原來的3倍 D．分式的值擴大為原來的9倍
【答案】B
【分析】本題考查了分式的基本性質，把分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變．分別用和去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質化簡即可．
【詳解】解：∵，
∴分式的值縮小為原來的．
故選B．
3．（22-23八年級下·河北邢臺·開學考試）對于分式下列說法不正確的是（　　）
A．時，分式值為0 B．3時，分式無意義
C．時，分式值為負數 D．時，分式的值為正數
【答案】C
【分析】
根據分式的分子與分母的不同取值，進行判斷即可．
【詳解】A、時，分式，A正確，但不符合題意；
B、時，分式的分母為0，故分式無意義，B正確，但不符合題意；
C、時，，則分式，分式值為正數，C不正確，但符合題意；
D、時，，且，于是， D正確，但不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了分式的值為0、為正數、為負數、無意義的條件，解題的關鍵是熟知分式在分母為0時無意義．
4．（23-24八年級上·山東聊城·期末）下列說法正確的是（ ）
A．分式是最簡分式 B．根據分式的基本性質，可以變形為
C．分式中的，都擴大為原來的3倍，分式的值不變 D．分式的值為零，則的值為
【答案】A
【分析】本題考查了分式的有意義的概念，最簡分式的概念，分式的基本性質，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵．根據分式的有意義的概念，最簡分式的概念及分式的基本性質，即可判斷答案．
【詳解】選項A，正確，符合題意；
選項B，當時，x不能出現在分母上，B選項錯誤，不符合題意；
選項C，當，都擴大為原來的3倍時，分式的值也擴大為原來的3倍，所以C選項錯誤，不符合題意；
選項D，當分式的值為零時，，所以D選項錯誤，不符合題意；
故選：A．
5．（23-24八年級上·陜西渭南·期末）若關于的方程無解，那么的值是（ ）
A．4 B． C． D．3
【答案】A
【分析】本題考查了分式方程根的情況，解題的關鍵是明確分式方程無解的條件：①去分母后的整式方程無解；②解出的根為增根．
將分式方程化成整式方程，求出使最簡公分母為0的x的值，代入整式方程或根據整式方程無解，進行計算即可；
【詳解】解：將分式方程變為整式方程得：．
整理得：，
∵原分式方程無解，
∴，
∴，
解得：．
故選A．
6．（22-23八年級下·重慶開州·期末）若關于x的一元一次不等式組的解集為，且關于y的分式方程有非負數解，則符合條件的所有整數a的和為（　　）
A． B．3 C．6 D．2
【答案】C
【分析】此題考查了分式方程的解，解一元一次不等式組，以及一元一次不等式組的整數解，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．
不等式組整理后，根據已知解集確定出a的范圍，分式方程去分母轉化為整式方程，根據分式方程有非負數解確定出整數a的值，進而求出之和即可．
【詳解】解：解不等式組得：，
由不等式組的解集為，得到，
分式方程去分母得：，
解得：，
，
解得：
由分式方程有非負數解，得到之和為6．
故選：C．
二、填空題
7．（23-24八年級上·吉林長春·期末）函數自變量x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】此題考查了自變量的取值范圍，利用二次根式和分式有意義的條件得到，即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，，
解得，
故答案為：．
8．（23-24八年級上·湖南婁底·期末）若分式方程有增根，則 ．
【答案】1
【分析】本題考查根據分式方程的解的情況求參數．先將分式方程轉化為整式方程，根據增根是使整式方程成立，使分式方程無意義的方程的解，得到，把代入整式方程，求出的值即可．掌握增根的定義，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵方程有增根，
∴，
∴，
∴；
故答案為：1．
9．（22-23八年級下·福建泉州·期末）已知為大于1的正整數，且代數式的值也是整數，則可取的最大整數值是 ．
【答案】8
【分析】化簡得到，根據題意得到或7，即可得到答案．
【詳解】解：，
∵代數式的值也是整數，為大于1的正整數，
∴或7，
當時，，
當時，，
∴可取的最大整數值是，
故答案為：．
【點睛】此題考查了分式的值，解一元一次方程等知識，準確變形是解題的關鍵．
10．（23-24七年級上·江蘇揚州·期末）觀察下列分式：按此規律第10個分式是 ．
【答案】
【分析】本題考查了分式的變化規律．根據題目所給的前幾個分式，總結出一般規律，即可解答．
【詳解】解：根據題意可得：
第1個分式：，
第2個分式：，
第3個分式：，
第4個分式：，
第5個分式：，
……
第n個分式：，
∴第10個分式為，
故答案為：．
11．（23-24八年級上·山東日照·期末）已知關于的方程的解為正數，則的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題主要考查了分式方程的解，解題關鍵是注意不能忽略分式方程的解必須使每個分式的分母不為0．先按照解分式方程的一般步驟解分式方程，再根據分式方程的解是正數，列出關于m的兩個不等式，求出m的取值范圍即可．
【詳解】解：，
方程兩邊同時乘得：
，
，
，
，
∵關于x的方程的解為正數，
∴，
解得：，
∵分式方程有解，
∴，即，
解得：，
∴m的取值范圍是：且，
故答案為：且．
12．（20-21八年級上·廣東潮州·期末）式子稱為二階行列式，規定它的運算法則為，則二階行列式 ．
【答案】
【分析】本題考查了分式的混合運算和新定義，能正確根據運算法則進行化簡是解此題的關鍵．
先根據題意進行變形，再根據分式的乘法法則和整式的乘法法則算乘法，最后算減法即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
三、解答題
13．（23-24八年級上·河南周口·期末）解分式方程∶
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的一般步驟，并記住要檢驗是解本題的關鍵．
（1）首先去分母，把分式方程化為整式方程，解出整式方程，再將所求的解代入最簡公分母中檢驗，即可得解；
（2）首先去分母，把分式方程化為整式方程，解出整式方程，再將所求的解代入最簡公分母中檢驗，即可得解．
【詳解】（1）
解：原方程可化為
方程兩邊乘，得
解得．
檢驗：當時，，
所以，原分式方程的解為．
（2）
解：原方程可化為
方程兩邊乘，得
解得
檢驗：當時，，
所以，原分式方程的解為
14．（22-23八年級上·貴州銅仁·期末）先化簡再求值，其中．
【答案】
【分析】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算是解題的關鍵；因此此題可先對分式進行化簡，然后再代值求解即可．
【詳解】解：原式
，
∵，
∴．
15．（23-24八年級上·山東聊城·期末）（1）計算：；
（2）先化簡，然后從，0 ，1 ，2 中選取一個你喜歡的數作為 x的值代入求值．
【答案】（1）；（2）；時，原式
【分析】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準確計算．
（1）根據分式加減運算法則進行計算即可；
（2）先根據分式混合運算法則進行化簡，然后再代入求值即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）
，
∵，，
∴，2，
把代入得：原式．
16．（23-24八年級上·廣西賀州·期末）某校為響應政府號召，準備購買甲，乙兩種型號的分類垃圾桶．購買時發現，甲種型號的單價比乙種型號的單價少50元，用3000元購買甲種垃圾桶的個數與用3300元購買乙種垃圾桶的個數相同．
(1)求甲、乙兩種型號垃圾桶的單價各是多少元？
(2)若某校需要購買分類垃圾桶6個，總費用不超過3100元，求所有不同的購買方式．
【答案】(1)甲種垃圾桶的單價為500元，乙種垃圾桶的單價為550元
(2)共有3種購買方式：①購買甲種型號的垃圾桶4個，乙種型號的垃圾桶2個；②購買甲種型號的垃圾桶5個，乙種型號的垃圾桶1個；③購買甲種型號的垃圾桶6個，乙種型號的垃圾桶0個
【分析】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．
（1）設甲種垃圾桶單價是元，則乙種垃圾桶單價是元，根據用3000元購買甲種垃圾桶的個數與用3300元購買乙種垃圾桶的個數相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）設購買甲種垃圾桶個，則購買乙種垃圾桶個，根據總費用不超過3100元，列出一元一次不等式組，解不等式組，得，即可解決問題．
【詳解】（1）解：設甲種垃圾桶單價為元，則乙種垃圾桶單價為元，
根據題意可得：，
解得：，
經檢驗：是所列方程的根，
則．
答：甲種垃圾桶的單價為500元，乙種垃圾桶的單價為550元；
（2）解：設購買甲種垃圾桶個，則購買乙種垃圾桶個，
根據題意得：，
解得：．
是正整數，
當時，；
當時，；
當時，；
∴共有3種購買方式：
①購買甲種型號的垃圾桶4個，乙種型號的垃圾桶2個；
②購買甲種型號的垃圾桶5個，乙種型號的垃圾桶1個；
③購買甲種型號的垃圾桶6個，乙種型號的垃圾桶0個．
17．（23-24八年級上·浙江臺州·期末）如果兩個分式的和為常數，我們稱這兩個分式互為“和美”分式，這個常數為“和美”值．
如，所以與互為“和美”分式．
(1)已知，，，判斷A和B是不是互為“和美”分式？若是，請證明，并求出“和美”值；若不是，請說明理由；
(2)已知，，m、n、p為非零常數，若C、D互為“和美”分式，求的值．
【答案】(1)是，3
(2)
【分析】本題考查分式的加減運算，掌握“和美”分式的定義是解題的關鍵．
（1）求出的和，即可得出結論；
（2）求出的和，根據“和美”分式的定義進行求解即可．
【詳解】（1）解：是；
；
∴A和B互為“和美”分式，值為3；
（2）
∵C、D互為“和美”分式，
∴為常數，
∴，
∴，
∴．
18．（2021·廣東深圳·一模）“菊潤初經雨，橙香獨占秋”，如圖，橙子是一種甘甜爽口的水果，富含維生素．某水果商城為了了解兩種橙子市場銷售情況，購進了一批數量相等的“血橙”和“臍橙”供客戶對比品嘗，其中購買“臍橙”用了420元，購買“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”進價比每千克“臍橙”貴8元．

(1)求每千克“血橙”和“臍橙”進價各是多少元？
(2)若該水果商城決定再次購買同種“血橙”和“臍橙”共40千克，且再次購買的費用不超過600元，且每種橙子進價保持不變．若“血橙”的銷售單價為24元，“臍橙”的銷售單價為14元，則該水果商城應如何進貨，使得第二批的“血橙”和“臍橙”售完后獲得利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)每千克“血橙”為18元，每千克“臍橙”為10元
(2)該水果商城購買25千克“血橙”，15千克“臍橙”，最大利潤是210元
【分析】本題考查了一次函數的應用，分式方程的應用及一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，找到不等關系及等量關系．
（1）設每千克“臍橙”為元，則每千克“血橙”為元，根據題意列方程求解即可；
（2）設可再購買千克“血橙”，則購買千克“臍橙”，根據題意求出的取值范圍；設總利潤為元，并求出與的關系式，再根據一次函數的性質解答即可．
【詳解】（1）解：設每千克“臍橙”為元，則每千克“血橙”是元，
根據題意，得，
解得，
經檢驗，是原方程的解，
，
答：每千克“血橙”為18元，每千克“臍橙”為10元；
（2）設可再購買千克“血橙”，則購買千克“臍橙”，
根據題意，得，
解得；
每千克“血橙”的利潤為：（元，
每千克“臍橙”的利潤為：（元，
設總利潤為元，根據題意，得，
因為，
所以最的增大而增大，
所以當時，有最大值，，
此時，，
答：該水果商城購買25千克“血橙”，15千克“臍橙”，獲得利潤最大，最大利潤是210元．
19．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）先閱讀下面的材料，然后回答問題：
方程的解為，；
方程的解為，；
方程的解為，；
…
(1)根據上面的規律，猜想關于x的方程的解是 ；
(2)利用（1）的結論解關于x的方程：；
(3)利用（1）的結論解關于x的方程：．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）仿照方程解方程，歸納總結得到結果；
（2）方程變形后，利用得出的規律得到結果即可．
（3）根據等式的性質，變形為，即可求解．
【詳解】（1）猜想關于x的方程的解是
故答案為：．
（2）解：
變形得，
∴或
解得：
（3）解：
∴
∴
∴或
解得：或
【點睛】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．弄清題中的規律是解本題的關鍵．
20．（22-23八年級上·江蘇鹽城·期末）我們規定：分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數低于分母的次數，稱這樣的分式為真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次數不低于分母的次數，稱這樣的分式為假分式．例如，分式，是假分式．一個假分式可以化為一個整式與一個真分式的和．
例如，①，
②，
③．
(1)將假分式化為一個整式與一個真分式的和；
(2)已知假分式．
①將該假分式化成一個整式與一個真分式的和的形式．
②直接寫出當整數a為何值時，分式為正整數；
(3)自然數A是的整數部分，則A的數字和為 ．（把組成一個數的各個數位上的數字相加，所得的和，就叫做這個數的數字和．例如：148的數字和就是1＋4＋8＝13）．
【答案】(1)
(2)①；②2或者6
(3)52
【分析】本題考查了分式的化簡求值，讀懂閱讀材料中的方法并熟練掌握分式加減的運算法則是解題的關鍵．
（1）先把分式的分子化為，再化為整式與真分式的和的形式即可；
（2）將分子轉化為的形式，再化成一個整式與一個真分式的和的形式；
（3）先把分子轉化為，再化成一個整數與一個真分數的和的形式，進而求出自然數A．
【詳解】（1）解：
（2）解：①；
②∵分式為正整數，
∴為整數且，
∴或6．
（3）解：
∴，
所以A的數字和為．
故答案為：52．

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