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專題02 因式分解
目錄
【考點(diǎn)一 判斷是否是因式分解】 1
【考點(diǎn)二 已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】 3
【考點(diǎn)三 找公因式】 4
【考點(diǎn)四 判斷能否用公因式法分解因式】 5
【考點(diǎn)五 綜合提公因式和公式法分解因式】 6
【考點(diǎn)六 利用因式分解求代數(shù)式的值】 8
【考點(diǎn)七 十字相乘法】 9
【考點(diǎn)八 分組分解法】 13
【考點(diǎn)九 因式分解法的應(yīng)用】 16
【過關(guān)檢測】 19
1.因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式.
2.因式分解的方法：
考點(diǎn)剖析
【考點(diǎn)一 判斷是否是因式分解】
例題：（23-24八年級上·陜西渭南·期末）下面從左到右的變形，進(jìn)行因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．
本題考查了因式分解的定義，熟記定義是解本題的關(guān)鍵，
【詳解】解：A、屬于整式的乘法計(jì)算，不符合題意；
B、因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；
C、屬于因式分解，符合題意；
D、因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；；
故選：C．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23七年級上·新疆烏魯木齊·期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了因式分解的定義，因式分解是整式的變形，注意結(jié)果是整式的乘積的形式，并且變形前后值不變．把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式，根據(jù)定義即可判斷．
【詳解】解：A、，結(jié)果不是整式的乘積的形式，不是因式分解，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是因式分解，選項(xiàng)正確；
C、，左右兩邊不相等，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、結(jié)果不是整式的乘積的形式，不是因式分解，選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
2．（23-24八年級上·四川綿陽·期末）下列各式的變形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解．根據(jù)定義逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】解：A．的右邊不是積的形式，不是因式分解；
B．的右邊不是積的形式，不是因式分解；
C．是因式分解；
D．的右邊不是積的形式，不是因式分解；
故選C．
【考點(diǎn)二 已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】
例題：（23-24八年級上·福建泉州·期末）若多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，且其中一個(gè)一次因式為，則a的值為（ ）
A． B．5 C．1 D．
【答案】C
【分析】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，整式乘法與因式分解的關(guān)系，理解題意得出多項(xiàng)式的另一個(gè)因式為是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)，
則，
∴，
解得：，
故選C．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·安徽蕪湖·期末）因式分解，其中m、n都為整數(shù)，則m的值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】本題主要考查了因式分解與多項(xiàng)式乘法之間的關(guān)系，根據(jù)多項(xiàng)式乘法把等式右邊展開得到，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
2．（22-23八年級上·河北張家口·期末）若，則、的值分別為（ ）
A．，2 B．4， C． ， D．4，2
【答案】B
【分析】把式子展開，根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，列式求解即可得到、的值．
【詳解】解：，
，
，，
，
，
、的值分別為：4，．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的意義；根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，再根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求解是解本題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)三 找公因式】
例題：（23-24八年級上·山東威海·期末）在多項(xiàng)式中，各項(xiàng)的公因式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式的公因式，根據(jù)多項(xiàng)式的公因式定義來進(jìn)行求解．
【詳解】解：在多項(xiàng)式中，各項(xiàng)的公因式是，
故選：A．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·貴州安順·期末）把分解因式，應(yīng)提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了提公因式法分解因式，根據(jù)即可得出答案，找出公因式是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
把分解因式，應(yīng)提取的公因式是，
故選：C．
2．（23-24八年級上·山東濟(jì)寧·期末）下列各組中的兩個(gè)代數(shù)式，沒有公因式的一組是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】本題考查了公因式的概念，正確理解公因式是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)公因式的概念逐一判斷選項(xiàng)即可．
【詳解】A、和的公因式是，不符合題意；
B、和，沒有公因式，符合題意；
C、和的公因式是，不符合題意；
D、和的公因式是5，不符合題意；
故選B．
【考點(diǎn)四 判斷能否用公因式法分解因式】
例題：（22-23七年級下·湖南益陽·期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)完全平方公式以及平方差公式的特征，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：A. ，不是完全平方公式，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. ，不是完全平方公式也不符和平方差公式，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. ，是完全平方公式，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D. ，不能用完全平方公式或平方差公式因式分解，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了公式法因式分解，熟練掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·山東泰安·期末）下列多項(xiàng)式中，不能用公式法進(jìn)行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
利用平方差公式，以及完全平方公式判斷即可．
【詳解】解：A、不能用公式法因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；
B、，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
2．（22-23八年級上·浙江臺(tái)州·期末）下列各式能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平方差公式分析判斷即可．
【詳解】解：A、不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
3．（22-23七年級下·山東聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行判斷，即可．
【詳解】解：①，不能用完全平方公式分解因式；
②；
③，不能用完全平方公式分解因式；
④；
⑤．，
所以能用完全平方公式分解因式的有3個(gè)．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解——運(yùn)用公式法：如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：．
【考點(diǎn)五 綜合提公因式和公式法分解因式】
例題：（23-24八年級上·新疆喀什·期末）分解因式：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）首先提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行分解即可；
（2）首先提取公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可．
本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．
【詳解】（1）原式；
（2）原式．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·河南南陽·期末）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查因式分解．
（1）先提公因式后，運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行分解；
（2）先提公因式后，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解．
【詳解】（1）
；
（2）
．
2．（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）利用平方差公式分解即可；
（2）利用完全平方公式分解即可；
（3）整理后，利用完全平方公式分解即可；
（4）整理后，利用提公因式法分解即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【考點(diǎn)六 利用因式分解求代數(shù)式的值】
例題：（22-23七年級下·湖南益陽·期末）若，則的值為 ．
【答案】
【分析】因式分解：先提公式，再運(yùn)用公式法，將待求的代數(shù)式用已知的代數(shù)表示，代入求解．
【詳解】解：∵，
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式值，掌握因式分解的步驟，公式的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23七年級下·安徽六安·期末）已知，則代數(shù)式 ．
【答案】
【分析】把所求式子因式分解為，再把已知條件整體代入求解即可．
【詳解】解：∵，
∴
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，正確把所求式子因式分解為是解題的關(guān)鍵．
2．（23-24八年級上·四川成都·期末）已知，則代數(shù)式的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了因式分解、分母有理化、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)分母有理化化簡成為解題的關(guān)鍵．
由分母有理化可得，然后再對因式分解，最后代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴．
故答案為：．
【考點(diǎn)七 十字相乘法】
例題：（23-24八年級上·北京東城·期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D2，則．
根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識(shí)的掌握與運(yùn)用．
（1）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；
（2）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；
（3）先分組，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23七年級下·湖南岳陽·期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．
第一步：二次項(xiàng)；
第二步：常數(shù)項(xiàng)，畫“十字圖”驗(yàn)算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項(xiàng)．
即．
像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
運(yùn)用結(jié)論：
(1)將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以表示為_______________；
(2)若可分解為兩個(gè)一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．
【答案】(1)
(2)圖見解析，，，，16
【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可；
（2）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可．
【詳解】（1）解：，常數(shù)項(xiàng)，
，
，
故答案為：；
（2）解：，常數(shù)項(xiàng)，
畫“十字圖”如下：
，，，16．
【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關(guān)鍵．
2．（22-23八年級下·四川達(dá)州·期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、添項(xiàng)拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．
①分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式．
分解步驟：
1．分解二次項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；
2．分解常數(shù)項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；
3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)；
4．觀察得出原二次三項(xiàng)式的兩個(gè)因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：

觀察得出：兩個(gè)因式分別為與
解：原式
③添項(xiàng)拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項(xiàng)法．
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分組分解法）______；
②（十字相乘法）______；
(2)已知：a、b、c為的三條邊，，判斷的形狀．
【答案】(1)①；②
(2)是直角三角形
【分析】（1）①把原式分組成，然后提公因式法分解因式即可；②直接利用十字相乘法分解即可；
（2）把原式進(jìn)行因式分解得到，進(jìn)而求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可．
【詳解】（1）解：①
，
故答案為：；
②
，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問題中的應(yīng)用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)八 分組分解法】
例題：（23-24八年級上·陜西西安·期末）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確分組分解是解題關(guān)鍵．
（1）首先將前兩項(xiàng)組合提取公因式，后兩項(xiàng)組合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先分別將與組合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）
．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·山東濱州·期末）在“探究性學(xué)習(xí)”小組的甲、乙兩名同學(xué)所進(jìn)行的因式分解：
甲： （分成兩組） （直接提公因式） ， 乙： （分成兩組） （直接運(yùn)用公式）
請?jiān)谒麄兊慕夥▎l(fā)下解答下面各題：
(1)因式分解：；
(2)若，求式子的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，巧妙的運(yùn)用分組分解因式解答問題．
（1）可先利用完全平方公式計(jì)算，再利用平方差公式因式分解；
（2）的公因式是，再次提公因式后代入數(shù)值計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴
2．（23-24八年級上·陜西商洛·期末）閱讀材料，拓展知識(shí)．
第一步：要把多項(xiàng)式分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，再把它的后兩項(xiàng)分成一組，提出公因式b，從而可得：，這種方法稱為分組法．
第二步：理解知識(shí)，嘗試填空．
（1）______．
第三步：應(yīng)用知識(shí)，解決問題．
（2）因式分解：
①______．
②______．
第四步：提煉思想，拓展應(yīng)用．
（3）已知三角形的三邊長分別是a、b、c，且滿足，試判斷這個(gè)三角形的形狀，并說明理由．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）這個(gè)三角形為等邊三角形，理由見解析
【分析】本題考查了因式分解的分組分解方法，等邊三角形的判定，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）仿照例題，先分組，再利用提取公因式法分解即可；
（2）①先分組，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
②先分組，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
（3）移項(xiàng)后分解因式，可得出，則可得出答案．
【詳解】解：（1）
故答案為：；
（2）①
；
②
；
（3）這個(gè)三角形為等邊三角形．
理由如下：
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴這個(gè)三角形是等邊三角形．
【考點(diǎn)九 因式分解法的應(yīng)用】
例題：（22-23八年級上·北京朝陽·期末）在“整式乘法與因式分解”這一章的學(xué)習(xí)過程中，我們常采用構(gòu)造幾何圖形的方法對代數(shù)式的變形加以說明．例如，利用圖1中邊長分別為，的正方形，以及長為，寬為的長方形卡片若干張拼成圖2（卡片間不重疊、無縫隙），可以用來解釋完全平方公式：
請你解答下面的問題：
(1)利用圖1中的三種卡片若干張拼成圖3，可以解釋等式： ；
(2)利用圖1中三種卡片若干張拼出一個(gè)面積為的長方形，請你分析這個(gè)長方形的長和寬．
【答案】(1)；
(2)圖形見解析，長方形的長為，寬為．
【分析】（1）本題考查多項(xiàng)式乘法的幾何形式，根據(jù)圖形，利用直接求和間接求兩種方法，列出等式即可；
（2）本題考查考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)已知等式畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)圖形寫出長方形的長和寬即可．
【詳解】（1）解：由圖知，；
故答案為：．
（2）解：，
由圖知，長方形的長為，寬為．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·山東東營·期末）先閱讀下列材料，再解答下列問題：
材料：因式分解：．
解：將“”看成整體，設(shè)，則原式．
再將代入，得原式．
上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．
請你完成下列各題：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）將看成整體，令代入原式即可求解；
（）將看成整體，令代入原式即可求解；
本題考查了整體代入的思想，運(yùn)用完全平方公式因式分解，整體代入是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）設(shè)，
則原式，
，
把代入得，
原式，
；
（2）設(shè)，
則原式，
，
，
把代入得，
原式，
，
．
2．（23-24八年級上·四川南充·期末）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把和這樣的式子叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項(xiàng)式（b、c為常數(shù)）寫成（h、k為常數(shù)）的形式，配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題及求代數(shù)式最大、最小值等問題．
例1：分解因式：；
原式；
例2：求代數(shù)式的最小值．
原式，所以當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是－6．請根據(jù)材料用配方法解決下列問題：
(1)分解因式：______；
(2)求多項(xiàng)式的最小值；
(3)已知，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)m的值為，n的值為3
【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)完全平方公式和平方差公式即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)完全平方公式即可得到結(jié)論；
（3）把原式配方，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解： ；
（2）解：原式
，
∵
多項(xiàng)式 有最小值，最小值是；
（3）解：，
，
即，
，，
解得：，，
的值為，的值為3．
1
【過關(guān)檢測】
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（23-24八年級上·浙江臺(tái)州·期末）單項(xiàng)式與的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查公因式，熟練掌握如何去找公因式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公因式的概念分別求得系數(shù)的最大公因數(shù)，相同字母的次數(shù)的最低次數(shù)即可．
【詳解】解：單項(xiàng)式與的公因式是．
故選：C．
2．（22-23八年級下·山東濟(jì)南·期末）下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了因式分解的意義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．直接利用因式分解的意義分析得出答案．
【詳解】解：A、，從左到右是整式的乘法運(yùn)算，不合題意；
B、，右邊不是乘積形式，不合題意；
C、，從左到右是整式的乘法運(yùn)算，，不合題意；
D、，從左到右是因式分解，符合題意．
故選：D．
3．（22-23八年級下·四川成都·期末）已知長方形的長和寬分別是a，b，周長是20，面積是15．則的值是（　　）
A．35 B．150 C．300 D．600
【答案】B
【分析】本題主要考查了已知式子的值求代數(shù)式的值，提公因式分解因式，先根據(jù)長方形的周長和面積求出和的值，然后代入化簡后的代數(shù)值求解即可．
【詳解】解：∵長方形周長為20，
∴，
∴．
∵長方形的面積為15，
∴，
∴．
故選：B．
4．（23-24八年級上·湖北荊門·期末）下列因式分解：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】A
【分析】本題主要考查提公因式法，公式法，十字相乘法進(jìn)行因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)因式分解的方法一一判斷即可求解．
【詳解】解：①，故原式錯(cuò)誤；
②，故原式正確；
③，故原式錯(cuò)誤；
④，故原式錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的有②，共個(gè)，
故選：．
5．（23-24八年級上·四川宜賓·期末）已知，直角三角形的兩直角邊為，斜邊為，滿足且，則此直角三角形的面積為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此題考查了平方差公式的應(yīng)用、直角三角形的面積等知識(shí)，利用已知條件變形得到，，得到，，即可得到直角三角形的面積．
【詳解】解：∵，
∴，
∴為直角三角形的兩直角邊，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
解得（負(fù)值舍去），
∴，
∴此直角三角形的面積為
故選：A
二、填空題
6．（23-24八年級上·云南昆明·期末）分解因式： ．
【答案】/
【分析】
本題考查因式分解．先提公式后，再用平方差公式即可分解因式．
【詳解】．
故答案為：
7．（23-24八年級上·吉林長春·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查了分解因式，能熟記是解此題的關(guān)鍵．
根據(jù)十字相乘法分解因式即可．
【詳解】解： ．
故答案為：．
8．（23-24八年級上·山東日照·期末）若多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果為，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了因式分解與多項(xiàng)式乘法之間的關(guān)系，根據(jù)題意可得，據(jù)此可推出，再代值計(jì)算即可．
【詳解】解：∵多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果為，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
9．（23-24八年級上·山東煙臺(tái)·期末）已知，，則多項(xiàng)式的值為 ．
【答案】88
【分析】本題考查因式分解和代數(shù)式求值，將多項(xiàng)式分解為含有，的式子，再將，代入整理后的式子求解，即可解題．
【詳解】解：
，
，，
上式，
故答案為：88．
10．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）的三邊a，b，c為互不相同的整數(shù)，且，則的周長為 ．
【答案】13
【分析】將原式變形后進(jìn)行因式分解可得到，再利用三角形的三邊關(guān)系以及三邊都是互不相同的整數(shù)這兩個(gè)條件加以分析即可得出答案．
【詳解】解：
∴
，，為互不相同的整數(shù)，且是的三邊
，，也是互不相同的正整數(shù)，且都大于1．
故可分為以下3種情況：
（1），即的三邊長分別為1，6，8；由三角形的三邊關(guān)系可知不合題意，舍去．
（2），即的三邊長分別為2，5，6；由三角形的三邊關(guān)系可知符合題意．
（3），即的三邊長分別為1，2，20；由三角形的三邊關(guān)系可知不合題意，舍去．
∴綜上所述：的周長為
綜上可知，的周長為13．
故答案為13．
【點(diǎn)睛】本題是一道結(jié)合因式分解和三角形三邊關(guān)系的綜合性題目，有一定難度，能將原式變形后進(jìn)行因式分解是解出此題的關(guān)鍵．考生們也應(yīng)該多加練習(xí)這種形式的因式分解習(xí)題，做到熟能生巧．
三、解答題
11．（23-24八年級上·山東威海·期末）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了因式分解；
（1）先提公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解即可求解；
（2）將看作整體，根據(jù)完全平方公式因式分解，即可求解．
【詳解】（1）解：原式=．
（2）解：原式．
12．（23-24八年級上·河南安陽·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題主要考查了因式分解,掌握運(yùn)用提取公因式法、公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．
（1）先寫出完全平方的形式，然后運(yùn)用完全平方公式分解即可；
（2）先提取公因式，然后再運(yùn)用平方差公式因式分解即可．
【詳解】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
．
13．（23-24八年級上·遼寧盤錦·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用提取公因式法以及公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．
（1）利用提取公因式法分解因式解答即可；
（2）利用公式法分解因式解答即可；
【詳解】（1）原式
（2）原式
14．（23-24八年級上·天津和平·期末）分解因式：
(1)___________；
(2)___________；
(3)（要求寫過程）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解；
（2）先去括號(hào)，再根據(jù)公式法進(jìn)行因式分解；
（3）提公因式，再根據(jù)公式法進(jìn)行因式分解．
【詳解】（1）解：根據(jù)十字相乘法，得
原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
15．（23-24八年級上·黑龍江綏化·期末）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本題主要考查的就是因式分解．如果有公因式，我們首先都需要進(jìn)行提取公因式，然后再利用別的方法進(jìn)行因式分解．
（1）先分組，再利用提取公因式進(jìn)行因式分解；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式分解即可；
（3）先運(yùn)用完全平方公式因式分解，然后再利用平方差公式進(jìn)行分解解題即可．
【詳解】（1）
（2）
（3）
16．（22-23八年級上·河南洛陽·期末）閱讀以下材料
材料：因式分解：
解：將“”看成整體，令，則原式
再將“A”還原，得原式
上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：
(1)因式分解：______；
(2)因式分解：；
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．
（1）將“”看成整體，得原式，利用完全平方公式因式分解即可；
（2）將“”看成整體，令，則原式，再將“A”還原，得：原式．
【詳解】（1）解：
＝
＝；
故答案為：；
（2）解：設(shè)，
原式，
將A還原，則原式．
17．（23-24八年級上·北京東城·期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D2，則．
根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識(shí)的掌握與運(yùn)用．
（1）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；
（2）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；
（3）先分組，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
18．（23-24八年級上·河南商丘·期末）【材料閱讀】
若，求m和n的值．
解：由題意得．
．
解得，．
【問題解決】
(1)對于代數(shù)式，存在最大值還是最小值？此時(shí)x，y分別取何值？并求出該代數(shù)式的最大值或最小值；
(2)已知的邊長a，b，c滿足，若c是最長邊且為偶數(shù)，求的周長．
【答案】(1)，代數(shù)式存在最小值為4
(2)14
【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，學(xué)會(huì)使用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最小值和最大值，三角形三邊關(guān)系在題目中的運(yùn)用．
（1）利用配方法將代數(shù)式配方成偶次方，再確定代數(shù)式取最大值還是最小值，讓后計(jì)算出此時(shí)，的值；
（2）先使用配方法計(jì)算出中的，值，其次根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，確定邊長的取值范圍，最后根據(jù)題意確定邊長和的周長．
【詳解】（1）解：代數(shù)存在最小值，
，
，
，
代數(shù)式，存在最小值，
當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，，
代數(shù)式的最小值為4，
答：代數(shù)式存在最小值，，代數(shù)式存在最小值為4；
（2）解：，
，
解得：
的邊長a，b，c，
，
是最長邊且為偶數(shù)，
，
的周長為，
答：的周長為14．
19．（23-24八年級上·山東濟(jì)南·期末）閱讀材料：教科書中提到和這樣的式子叫做完全平方式．有些多項(xiàng)式不是完全平方式，我們可以通過添加項(xiàng)，湊成完全平方式，再減去這個(gè)添加項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這樣也可以將多項(xiàng)式進(jìn)行分解，并解決一些最值問題．
例如：（1）分解因式：
（2） 求代數(shù)式 的最小值．
∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值
結(jié)合以上材料解決下面的問題：
(1)若二次三項(xiàng)式 恰好是完全平方式，k的值是 ；
(2)分解因式：；
(3)當(dāng)x為何值時(shí)，有最小值 最小值是多少
【答案】(1)或
(2)
(3)時(shí)，最小值
【分析】本題考查完全平方式、因式分解：
（1）利用完全平方式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)求解；
（2）仿照材料中方法進(jìn)行因式分解；
（3）仿照材料中方法將變形為，即可求解．
【詳解】（1）解： 恰好是完全平方式，
，
即k的值是或；
（2）解：
，
，
；
（3）解：
，
，
∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值．
20．（23-24八年級上·云南昆明·期末）【閱讀材料】
配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法．它是指將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．
①用配方法分解因式
例1：分解因式．
解：．
②用配方法求值
例2：已知求的值．
解：原方程可化為，，即，
，，，，．
③用配方法確定范圍
例3：，利用配方法求M的最小值．
解：
，當(dāng)時(shí)，M有最小值．
請根據(jù)上述材料解決下列問題：
(1)用配方法分解因式；
(2)已知的三邊長a，b，c，且滿足，求邊c的取值范圍；
(3)已知，．試比較P，Q的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，分解因式，構(gòu)成三角形的條件：
（1）仿照題意進(jìn)行配方得到，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）把原式變形為，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，再根據(jù)構(gòu)成三角形的條件進(jìn)行求解即可；
（3）利用作差法求出，進(jìn)而得到，即．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即
∴；
（3）解：∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題02 因式分解
目錄
【考點(diǎn)一 判斷是否是因式分解】 1
【考點(diǎn)二 已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】 3
【考點(diǎn)三 找公因式】 4
【考點(diǎn)四 判斷能否用公因式法分解因式】 5
【考點(diǎn)五 綜合提公因式和公式法分解因式】 6
【考點(diǎn)六 利用因式分解求代數(shù)式的值】 8
【考點(diǎn)七 十字相乘法】 9
【考點(diǎn)八 分組分解法】 13
【考點(diǎn)九 因式分解法的應(yīng)用】 16
【過關(guān)檢測】 19
1.因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式.
2.因式分解的方法：
考點(diǎn)剖析
【考點(diǎn)一 判斷是否是因式分解】
例題：（23-24八年級上·陜西渭南·期末）下面從左到右的變形，進(jìn)行因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23七年級上·新疆烏魯木齊·期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年級上·四川綿陽·期末）下列各式的變形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【考點(diǎn)二 已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】
例題：（23-24八年級上·福建泉州·期末）若多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，且其中一個(gè)一次因式為，則a的值為（ ）
A． B．5 C．1 D．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·安徽蕪湖·期末）因式分解，其中m、n都為整數(shù)，則m的值是（ ）
A． B． C． D．4
2．（22-23八年級上·河北張家口·期末）若，則、的值分別為（ ）
A．，2 B．4， C． ， D．4，2
【考點(diǎn)三 找公因式】
例題：（23-24八年級上·山東威海·期末）在多項(xiàng)式中，各項(xiàng)的公因式是( )
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·貴州安順·期末）把分解因式，應(yīng)提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年級上·山東濟(jì)寧·期末）下列各組中的兩個(gè)代數(shù)式，沒有公因式的一組是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【考點(diǎn)四 判斷能否用公因式法分解因式】
例題：（22-23七年級下·湖南益陽·期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·山東泰安·期末）下列多項(xiàng)式中，不能用公式法進(jìn)行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年級上·浙江臺(tái)州·期末）下列各式能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23七年級下·山東聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【考點(diǎn)五 綜合提公因式和公式法分解因式】
例題：（23-24八年級上·新疆喀什·期末）分解因式：
(1)
(2)．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·河南南陽·期末）分解因式：
(1)
(2)
2．（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【考點(diǎn)六 利用因式分解求代數(shù)式的值】
例題：（22-23七年級下·湖南益陽·期末）若，則的值為 ．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23七年級下·安徽六安·期末）已知，則代數(shù)式 ．
2．（23-24八年級上·四川成都·期末）已知，則代數(shù)式的值為 ．
【考點(diǎn)七 十字相乘法】
例題：（23-24八年級上·北京東城·期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D2，則．
根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23七年級下·湖南岳陽·期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．
第一步：二次項(xiàng)；
第二步：常數(shù)項(xiàng)，畫“十字圖”驗(yàn)算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項(xiàng)．
即．
像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
運(yùn)用結(jié)論：
(1)將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以表示為_______________；
(2)若可分解為兩個(gè)一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．
2．（22-23八年級下·四川達(dá)州·期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、添項(xiàng)拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．
①分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式．
分解步驟：
1．分解二次項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；
2．分解常數(shù)項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；
3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)；
4．觀察得出原二次三項(xiàng)式的兩個(gè)因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：

觀察得出：兩個(gè)因式分別為與
解：原式
③添項(xiàng)拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項(xiàng)法．
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分組分解法）______；
②（十字相乘法）______；
(2)已知：a、b、c為的三條邊，，判斷的形狀．
【考點(diǎn)八 分組分解法】
例題：（23-24八年級上·陜西西安·期末）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·山東濱州·期末）在“探究性學(xué)習(xí)”小組的甲、乙兩名同學(xué)所進(jìn)行的因式分解：
甲： （分成兩組） （直接提公因式） ， 乙： （分成兩組） （直接運(yùn)用公式）
請?jiān)谒麄兊慕夥▎l(fā)下解答下面各題：
(1)因式分解：；
(2)若，求式子的值．
2．（23-24八年級上·陜西商洛·期末）閱讀材料，拓展知識(shí)．
第一步：要把多項(xiàng)式分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，再把它的后兩項(xiàng)分成一組，提出公因式b，從而可得：，這種方法稱為分組法．
第二步：理解知識(shí)，嘗試填空．
（1）______．
第三步：應(yīng)用知識(shí)，解決問題．
（2）因式分解：
①______．
②______．
第四步：提煉思想，拓展應(yīng)用．
（3）已知三角形的三邊長分別是a、b、c，且滿足，試判斷這個(gè)三角形的形狀，并說明理由．
【考點(diǎn)九 因式分解法的應(yīng)用】
例題：（22-23八年級上·北京朝陽·期末）在“整式乘法與因式分解”這一章的學(xué)習(xí)過程中，我們常采用構(gòu)造幾何圖形的方法對代數(shù)式的變形加以說明．例如，利用圖1中邊長分別為，的正方形，以及長為，寬為的長方形卡片若干張拼成圖2（卡片間不重疊、無縫隙），可以用來解釋完全平方公式：
請你解答下面的問題：
(1)利用圖1中的三種卡片若干張拼成圖3，可以解釋等式： ；
(2)利用圖1中三種卡片若干張拼出一個(gè)面積為的長方形，請你分析這個(gè)長方形的長和寬．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·山東東營·期末）先閱讀下列材料，再解答下列問題：
材料：因式分解：．
解：將“”看成整體，設(shè)，則原式．
再將代入，得原式．
上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．
請你完成下列各題：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
2．（23-24八年級上·四川南充·期末）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把和這樣的式子叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項(xiàng)式（b、c為常數(shù)）寫成（h、k為常數(shù)）的形式，配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題及求代數(shù)式最大、最小值等問題．
例1：分解因式：；
原式；
例2：求代數(shù)式的最小值．
原式，所以當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是－6．請根據(jù)材料用配方法解決下列問題：
(1)分解因式：______；
(2)求多項(xiàng)式的最小值；
(3)已知，求m，n的值．
【過關(guān)檢測】
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（23-24八年級上·浙江臺(tái)州·期末）單項(xiàng)式與的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年級下·山東濟(jì)南·期末）下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23八年級下·四川成都·期末）已知長方形的長和寬分別是a，b，周長是20，面積是15．則的值是（　　）
A．35 B．150 C．300 D．600
4．（23-24八年級上·湖北荊門·期末）下列因式分解：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
5．（23-24八年級上·四川宜賓·期末）已知，直角三角形的兩直角邊為，斜邊為，滿足且，則此直角三角形的面積為（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空題
6．（23-24八年級上·云南昆明·期末）分解因式： ．
7．（23-24八年級上·吉林長春·期末）分解因式： ．
8．（23-24八年級上·山東日照·期末）若多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果為，則的值為 ．
9．（23-24八年級上·山東煙臺(tái)·期末）已知，，則多項(xiàng)式的值為 ．
10．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）的三邊a，b，c為互不相同的整數(shù)，且，則的周長為 ．
三、解答題
11．（23-24八年級上·山東威海·期末）因式分解：
(1)
(2)
12．（23-24八年級上·河南安陽·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
13．（23-24八年級上·遼寧盤錦·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
14．（23-24八年級上·天津和平·期末）分解因式：
(1)___________；
(2)___________；
(3)（要求寫過程）．
15．（23-24八年級上·黑龍江綏化·期末）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
16．（22-23八年級上·河南洛陽·期末）閱讀以下材料
材料：因式分解：
解：將“”看成整體，令，則原式
再將“A”還原，得原式
上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：
(1)因式分解：______；
(2)因式分解：；
17．（23-24八年級上·北京東城·期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D2，則．
根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：．
18．（23-24八年級上·河南商丘·期末）【材料閱讀】
若，求m和n的值．
解：由題意得．
．
解得，．
【問題解決】
(1)對于代數(shù)式，存在最大值還是最小值？此時(shí)x，y分別取何值？并求出該代數(shù)式的最大值或最小值；
(2)已知的邊長a，b，c滿足，若c是最長邊且為偶數(shù)，求的周長．
19．（23-24八年級上·山東濟(jì)南·期末）閱讀材料：教科書中提到和這樣的式子叫做完全平方式．有些多項(xiàng)式不是完全平方式，我們可以通過添加項(xiàng)，湊成完全平方式，再減去這個(gè)添加項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這樣也可以將多項(xiàng)式進(jìn)行分解，并解決一些最值問題．
例如：（1）分解因式：
（2） 求代數(shù)式 的最小值．
∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值
結(jié)合以上材料解決下面的問題：
(1)若二次三項(xiàng)式 恰好是完全平方式，k的值是 ；
(2)分解因式：；
(3)當(dāng)x為何值時(shí)，有最小值 最小值是多少
20．（23-24八年級上·云南昆明·期末）【閱讀材料】
配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法．它是指將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．
①用配方法分解因式
例1：分解因式．
解：．
②用配方法求值
例2：已知求的值．
解：原方程可化為，，即，
，，，，．
③用配方法確定范圍
例3：，利用配方法求M的最小值．
解：
，當(dāng)時(shí)，M有最小值．
請根據(jù)上述材料解決下列問題：
(1)用配方法分解因式；
(2)已知的三邊長a，b，c，且滿足，求邊c的取值范圍；
(3)已知，．試比較P，Q的大小．

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