資源簡介

專題05 三角函數
易錯點一：三角函數值正負判斷不清導致錯誤（任意角、弧度制及任意角的三角函數）
1．角的概念
（1）任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角．
（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是．
（3）象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2．弧度制
（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．
3．任意角的三角函數
（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．
（2）推廣：三角函數坐標法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設點到原點的距離為，則，，
三角函數的性質如下表：
三角函數 定義域 第一象限符號 第二象限符號 第三象限符號 第四象限符號
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
記憶口訣：三角函數值在各象限的符號規律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4．三角函數線
如下圖，設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T．
三角函數線 有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線
易錯提醒：（1）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數賦值來求得所需的角．
（2）確定的終邊位置的方法
先寫出或的范圍，然后根據的可能取值確定或的終邊所在位置．
（3）利用三角函數的定義，已知角終邊上一點的坐標可求的三角函數值；已知角的三角函數值，也可以求出角終邊的位置．
（4）判斷三角函數值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數值在各象限的符號確定所求三角函數值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況.
例 如圖，已知兩質點A，B同時從點P出發，繞單位圓逆時針做勻速圓周運動，質點A，B運動的角速度分別為3rad/s和5rad/s，設兩質點運動時這兩質點間的距離為．

(1)求的解析式；
(2)求這兩質點從點P出發后第n次相遇的時間（單位：s）．
變式1．如圖，在平面直角坐標系中，銳角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，.
(1)求的值；
(2)射線繞坐標原點按逆時針方向旋轉后與單位圓交于點，點與關于軸對稱，求的值.
變式2．角α的終邊與單位圓交于點，分別寫出點P關于x軸、y軸和原點對稱的點的坐標，并求角，，，的正弦函數值、余弦函數值．
變式3．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點，是扇形的內接矩形，設.

(1)若，求線段的長；
(2)已知當時，矩形的面積最大.求圓心角的大小，并求此時矩形面積的最大值是多少？
1．已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊經過點，則（ ）
A．2 B． C．或2 D．
2．在平面直角坐標系中，角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊過點，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐標系xOy中，若角以坐標原點為頂點，x軸非負半軸為始邊，且終邊過點，則取最小值時x的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
4．已知是第三象限角，則點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知角終邊上有一點，則為（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
6．已知角，終邊上有一點，則（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩個點，，且，則（ ）
A． B． C．或 D．或
8．已知角的終邊落在直線上，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．
9．已知角的終邊與單位圓的交點為，則（ ）
A． B． C． D．
10．下列說法正確的是（ ）
A．若，則與是終邊相同的角
B．若角的終邊過點，則
C．若扇形的周長為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度
D．若，則角的終邊在第一象限或第三象限
11．如圖所示，角的終邊與單位圓交于點，將繞原點按逆時針方向旋轉后與圓交于點.

(1)求；
(2)若的內角，，所對的邊分別為，，，，，，求.
易錯點二：誘導公式認識不清導致變形錯誤（同角三角函數的基本關系與誘導公式求值問題）
1．同角三角函數的基本關系
（1）平方關系：．
（2）商數關系：；
2．三角函數誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限
題型1．同角三角函數關系齊次化
（1）利用方程思想，對于，由公式，可以“知一求二”．對于，由下面三個關系式，可以“知一求二”．
（2）的齊次式的應用：分式中分子與分母是關于的齊次式，或含有及的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉化為“切”求解．
題型2．利用誘導公式化簡及其計算
（1）誘導公式的兩個應用
①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了；
②化簡：統一名，統一角，同角名少為終了．
（2）學會誘導公式的逆用，如等，再如，能將中的系數由負變正，且不改變“正弦”前面的符號．
（3）學會觀察兩角之間的關系，看看它們的和或差是否為的整數倍．
技巧：1．利用可以實現角的正弦、余弦的互化，利用可以實現角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．
易錯提醒：奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數式中的角統一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設三角函數在該象限的正負；（3）當為奇數是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數時，“偶不變”函數名保持不變即可。
例 ．已知．
(1)求的值． (2)求的值．
變式1．已知均為銳角，且．
(1)求的值； (2)求的值．
變式2．．已知，且，化簡并求的值.
變式3．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點.
(1)求的值；(2)若銳角滿足，求的值.
1．若，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐標系中，角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊過點，且，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．已知為銳角，，則（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
7．若，且，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，則 .
10．已知是第四象限角，且滿足，則 ．
11．若，且，則 ．
易錯點三：忽視三角函數圖象變換研究對象選取（三角函數的圖象和性質）
1．用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
（1）在正弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
（2）在余弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
函數
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間
遞減區間 無
對稱中心
對稱軸方程 無
2．正弦、余弦、正切函數的圖象與性質（下表中）
注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；
正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
3．與的圖像與性質
（1）最小正周期：．
（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．
（3）最值
假設．
①對于，
②對于，
（4）對稱軸與對稱中心．
假設．
①對于，
②對于，
正、余弦曲線的對稱軸是相應函數取最大（?。┲档奈恢茫?、余弦的對稱中心是相應函數與軸交點的位置．
（5）單調性．
假設．
①對于，
②對于，
（6）平移與伸縮
由函數的圖像變換為函數的圖像的步驟；
方法一：．先相位變換，后周期變換．
方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．
結論：關于三角函數對稱的幾個重要結論；
（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
題型1．研究三角函數的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）的前提是用公式把已給函數化成同一個角同一種類型的三角函數形式（簡稱：同角同函）或，常見方法有：
（1）用同角三角函數基本關系式或誘導公式將已給函數化成同函；
（2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數化成同角；
（3）用兩角和、差公式或輔助角公式將已給函數化成同函．
題型2．研究三角函數的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）時，一般是把已給函數化成同同角同函型，但未必所有三角函數都能化成上述或的形式，有時會化簡為二次函數型：或，這時需要借助二次函數知識求解，但要注意的取值范圍．
若將已給函數化簡為更高次的函數，如，則換元后可通過導數求解．如：解析式中同時含有和，令，由關系式得到關于的函數表達式．
題型3．求三角函數的值域（最值），通常利用正余弦函數的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型：
（1），令，則；
（2），引入輔助角，化為；
（3），令，則；
（4），令，
則，所以；
（5），根據正弦函數的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數形結合法求最值．
易錯提醒：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經常出現，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發生多大變化，而不是“角”變化多少.
例 ．定義在上的函數滿足在區間內恰有兩個零點和一個極值點，則下列說法不正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．將的圖象向右平移個單位長度后關于原點對稱
C．圖象的一個對稱中心為
D．在區間上單調遞增
變式1．已知函數，把函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若時，方程有實根，則實數的取值可以為（ ）
A． B． C． D．
變式2．已知函數的初相為，則下列結論正確的是（ ）
A．的圖象關于直線對稱
B．函數的一個單調遞減區間為
C．若把函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則為偶函數
D．若函數在區間上的值域為
變式3．已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數的最小正周期為
C．函數的圖象的對稱軸方程為
D．函數的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到
1．為了得到函數的圖象，可將函數的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
2．要得到函數的圖象，可以將函數的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
3．函數在區間上為單調函數，且圖象關于直線對稱，則（ ）
A．將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關于y軸對稱
B．函數在上單調遞減
C．若函數在區間上沒有最小值，則實數的取值范圍是
D．若函數在區間上有且僅有2個零點，則實數a的取值范圍是
4．已知函數的最小正周期是，把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應的函數為奇函數，下列正確的是（ ）
A．函數的圖象關于直線對稱 B．函數的圖象關于點對稱
C．函數在區間上單調遞減 D．函數在上有3個零點
5．已知函數，且對，都有，且把圖象上所有點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再把圖象右移，得到函數的圖像，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．為奇函數 D．在上有兩個零點
6．將函數的圖象向右平移個單位長度，再將得到的曲線上所有點的橫坐標變為原來的（），縱坐標不變，得到函數的圖象，若在上有且僅有兩個不同實數滿足，則的取值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知函數，，其中，則（ ）
A．與的圖像關于直線對稱
B．與的圖像關于點對稱
C．當與在區間上單調性相反時，的最大值為1
D．當與在區間上單調性相同時，的最大值為
8．已知函數，以下說法中，正確的是（ ）
A．函數關于點對稱
B．函數在上單調遞增
C．當時，的取值范圍為
D．將函數的圖像向左平移個單位長度，所得圖像的解析式為
9．已知，下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于軸對稱
C．若在區間上的最大值是，則的最小值為
D．若，則
10．已知函數，下列結論中正確的有（ ）
A．若，則是的整數倍
B．函數的圖象可由函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的，再向左平移單位得到
C．函數的圖象關于點對稱
D．函數在上單調遞增
11．已知是的導函數（ ）
A．是由圖象上的點橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移得到的
B．是由圖象上的點橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移得到的
C．的對稱中心坐標是
D．是的一條切線方程.
易錯點四： 求φ時忽略升降零點的區別（函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及其應用）
函數的物理意義
簡諧運動的圖象所對應的函數解析式，其中．在物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數有關：就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；這個簡諧運動的周期是，這是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間；這個簡諧運動的頻率由公式給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數；稱為相位；時的相位稱為初相．
題型1．已知的部分圖象求的方法：
（1）利用極值點的縱坐標求；（2）把某點的坐標代入求．
題型2．已知的部分圖象求的方法：
由，即可求出．常用結論：（1）相鄰兩個極大（?。┲迭c之間的距離為；（2）相鄰兩個零點之間的距離為（3）極值點到相鄰的零點，自變量取值區間長度為．
題型3．已知的部分圖象求的方法：
求的值時最好選用最值點求．
峰點：；谷點：．
也可用零點求，但要區分該零點是升零點，還是降零點．
升零點（圖象上升時與軸的交點）：；
降零點（圖象下降時與軸的交點）：（以上）．
易錯提醒：求的值時若用零點求時一定要明確該零點是升零點，還是降零點.
例 ．已知函數滿足．
(1)求函數的解析式及最小正周期；
(2)函數的圖象是由函數的圖象向左平移個單位長度得到，若，求的最小值．
變式1．已知函數的最小正周期為．
(1)求的值，并寫出的對稱軸方程；
(2)在中角的對邊分別是滿足，求函數的取值范圍．
變式2．已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)
求函數的解析式；
(2)若函數在區間上恰有兩個零點，求的值.
變式3．如圖為函數的部分圖象，且，．
(1)求，的值；
(2)將的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的3倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，討論函數在區間的零點個數．
1．將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，所得圖象在區間上恰有兩個零點，且在上單調遞減，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A．
B．函數的圖象關于對稱
C．函數在的值域為
D．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向左平移個單位
3．函數的部分圖像如圖所示，在上的極小值和極大值分別為..，，下列說法正確的是（ ）

A．的最小正周期為
B．
C．的圖像關于點對稱
D．在上單調遞減
4．已知函數，把的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則（ ）
A．是奇函數
B．的圖象關于直線對稱
C．在上單調遞增
D．不等式的解集為
5．將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，且，則下列結論中正確的是（ ）
A．為奇函數 B．當時，的值域是
C．的圖象關于點對稱 D．在上單調遞增
6．已知函數向左平移個單位長度，得到函數的圖像，若是偶函數，則（ ）
A．的最小正周期為
B．點是圖像的一個對稱中心
C．在的值域為
D．函數在上單調遞增
7．已知函數的最小正周期為，則（ ）
A．
B．的圖象在區間上存在對稱軸
C．在區間上單調遞增
D．將的圖象向左平移個單位長度可得到的圖象
8．已知函數在軸上的截距為，若函數在區間內有零點，無極值點，則的取值范圍是 ．
9．已知函數在區間上有且僅有3個對稱中心，給出下列四個結論：
①的值可能是3； ②的最小正周期可能是；
③在區間上單調遞減； ④圖象的對稱軸可能是.
其中所有正確結論的序號是 .
10．已知函數的部分圖象如圖所示．

(1)求函數的解析式；
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，求函數在上的單調遞減區間．
11．已知函數（且）的兩個相鄰的對稱中心的距離為．
(1)求在R上的單調遞增區間；
(2)將圖象縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數，若，，求的值．
12．已知函數的最小值周期為.
(1)求的值與的單調遞增區間；
(2)若且，求的值.
易錯點五： 遺忘非特殊角其實也是一種特殊角（三角恒等變換）
1．兩角和與差的正余弦與正切
①；
②；
③；
2．二倍角公式
①；
②；
③；
3．降次（冪）公式
4．半角公式
5．輔助角公式
（其中）．
結論：1．兩角和與差正切公式變形
；
．
2．降冪公式與升冪公式
；
．
3．其他常用變式
．
3．拆分角問題：①；；②；③；
④；⑤．
注意特殊的角也看成已知角，如．
易錯提醒：1．給角求值給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察會發現非特殊角與特殊角之間總有一定的關系．解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式將非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數，從而得解．
2．給值求值：已知三角函數值，求其他三角函數式的值的一般思路：
（1）先化簡所求式子．
（2）觀察已知條件與所求式子之間的聯系（從三角函數名及角入手）．
（3）將已知條件代入所求式子，化簡求值．
3．給值求角 通過求角的某種三角函數值來求角，在選取函數時，有以下原則：
（1）已知正切函數值，則選正切函數．
（2）已知正、余弦函數值，則選正弦或余弦函數．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好．
4．與三角函數的圖象及性質相結合的綜合問題
（1）利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數關系式轉化成或的形式．
（2）利用公式求周期．
（3）根據自變量的范圍確定的范圍，根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據所給關系式的特點，也可換元轉化為二次函數的最值．
（4）根據正、余弦函數的單調區間列不等式求函數或的單調區間．
例 ．下列各式計算正確的有（ ）
A． B．
C． D．
變式1．已知，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．下列各式的值是方程的根的為（ ）．
A． B．
C． D．
變式3．下列選項中，與的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
1．已知，則（ ）
A．，使得
B．若，則
C．若，則
D．若，，則的最大值為
2．已知，且，，，則（ ）
A．的取值范圍為 B．存在，，使得
C．當時， D．t的取值范圍為
3．下列化簡正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列化簡正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列等式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，，下列選項正確的有（ ）
A． B．
C． D．
7．下列化簡結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
9．下列計算或化簡結果正確的是（ ）
A．＝2 B．若，則
C．若，則＝1 D．
10．下列各式中，值為的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列化簡正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．專題05 三角函數
易錯點一：三角函數值正負判斷不清導致錯誤（任意角、弧度制及任意角的三角函數）
1．角的概念
（1）任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角．
（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是．
（3）象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2．弧度制
（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．
3．任意角的三角函數
（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．
（2）推廣：三角函數坐標法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設點到原點的距離為，則，，
三角函數的性質如下表：
三角函數 定義域 第一象限符號 第二象限符號 第三象限符號 第四象限符號
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
記憶口訣：三角函數值在各象限的符號規律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4．三角函數線
如下圖，設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T．
三角函數線 有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線
易錯提醒：（1）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數賦值來求得所需的角．
（2）確定的終邊位置的方法
先寫出或的范圍，然后根據的可能取值確定或的終邊所在位置．
（3）利用三角函數的定義，已知角終邊上一點的坐標可求的三角函數值；已知角的三角函數值，也可以求出角終邊的位置．
（4）判斷三角函數值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數值在各象限的符號確定所求三角函數值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況.
例 如圖，已知兩質點A，B同時從點P出發，繞單位圓逆時針做勻速圓周運動，質點A，B運動的角速度分別為3rad/s和5rad/s，設兩質點運動時這兩質點間的距離為．

(1)求的解析式；
(2)求這兩質點從點P出發后第n次相遇的時間（單位：s）．
【詳解】（1）由質點A，B運動的角速度分別為3rad/s和5rad/s，得時質點A，B的坐標分別為，，
則
，
所以的解析式為.
（2）因為兩質點從點P出發后每相遇一次即對應函數的一個零點，
因此為在區間上第n個零點，由，得，解得，
所以兩質點從點P出發后第n次相遇的時間.
變式1．如圖，在平面直角坐標系中，銳角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，.
(1)求的值；
(2)射線繞坐標原點按逆時針方向旋轉后與單位圓交于點，點與關于軸對稱，求的值.
【詳解】（1）解：因為銳角的終邊與單位圓交于點，，
所以.
（2）設單位圓與x軸負半軸交點為Q，則，
設，則，
所以，
所以.
變式2．角α的終邊與單位圓交于點，分別寫出點P關于x軸、y軸和原點對稱的點的坐標，并求角，，，的正弦函數值、余弦函數值．
【詳解】
點P關于x軸對稱的點的坐標，點P關于y軸對稱的點的坐標，點P關于原點對稱的點的坐標.
易知角的終邊經過點，根據三角函數的定義可知，
，；
角的終邊經過點，根據三角函數的定義可知，
，；
角的終邊經過點，根據三角函數的定義可知，
，；
角的終邊經過點，根據三角函數的定義可知，
，.
變式3．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點，是扇形的內接矩形，設.

(1)若，求線段的長；
(2)已知當時，矩形的面積最大.求圓心角的大小，并求此時矩形面積的最大值是多少？
【詳解】（1） ，
，.
（2）由題意知，
，
，，
所以當，即時，面積最大，最大值為.
1．已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊經過點，則（ ）
A．2 B． C．或2 D．
【答案】D
【分析】先確定所在的象限，再根據三角函數的定義及二倍角的正切公式求出，再根據商數關系化弦為切即可得解.
【詳解】由題意，得角是第二象限角，則，
故，
當時，，為第一象限角，
當時，，為第三象限角，
所以是第一象限角或第三象限角，則，
又因為，所以或（舍去），
所以．
故選：D．
2．在平面直角坐標系中，角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊過點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用終邊經過的點求出即可求解.
【詳解】因為角的終邊經過點，且，
所以，解得，
所以．
故選：B
3．在平面直角坐標系xOy中，若角以坐標原點為頂點，x軸非負半軸為始邊，且終邊過點，則取最小值時x的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函數的定義可得，再結合三角函數的性質計算即可.
【詳解】∵角θ的終邊經過點，
∴，，∴，，
由正弦函數的性質可知在取最小值時．，，
即，時A正確；
對于B，，不符合；
對于C，，不符合；
對于D，，不符合；
故選:A．
4．已知是第三象限角，則點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據角所在象限結合二倍角正弦公式即可判斷答案.
【詳解】因為是第三象限角，故，
則，
故在第二象限，
故選：B
5．已知角終邊上有一點，則為（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】根據終邊相同角的定義即可求解.
【詳解】已知角終邊上有一點，即點，
，
為第三象限角.
故選：C.
6．已知角，終邊上有一點，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據弦切互化，結合正切和差角公式，即可得，結合角的范圍即可求解.
【詳解】，故，．
又，，
故在第三象限，故，．
故選:C．
7．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩個點，，且，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根據三角函數的定義式可得，又結合二倍角的余弦公式及齊次式的原因可得，接方程組即可.
【詳解】由已知可得，，
又，
，
，即，
聯立得，解得或，
，故選：C.
8．已知角的終邊落在直線上，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函數的定義以及同角三角函數關系和二倍角公式即可解決.
【詳解】因為角的終邊落在直線上，所以.
則.
故選：B
9．已知角的終邊與單位圓的交點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，利用三角函數定義求出的值，再利用二倍角余弦公式求解即可.【詳解】由題得，所以，所以或，
所以.
故選：B
10．下列說法正確的是（ ）
A．若，則與是終邊相同的角
B．若角的終邊過點，則
C．若扇形的周長為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度
D．若，則角的終邊在第一象限或第三象限
【答案】CD
【分析】舉反例判斷A；由三角函數的定義判斷B；由弧長公式判斷C；由與同號判斷D.
【詳解】對于A：當時，，但終邊不同，故A錯誤；
對于B：，當時，，故B錯誤；
對于C：由，得，故C正確；
對于D：，即與同號，則角的終邊在第一象限或第三象限，故D正確；
故選：CD
11．如圖所示，角的終邊與單位圓交于點，將繞原點按逆時針方向旋轉后與圓交于點.

(1)求；
(2)若的內角，，所對的邊分別為，，，，，，求.
【答案】(1)(2)或.
【分析】（1）根據三角函數的定義及誘導公式直接得解；
（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，進而可得面積.
【詳解】（1）由題知，，
所以；
（2）由題知，，，
，且，所以，
而，則，故，
由正弦定理可知，整理得，
解得，
故，或.
易錯點二：誘導公式認識不清導致變形錯誤（同角三角函數的基本關系與誘導公式求值問題）
1．同角三角函數的基本關系
（1）平方關系：．
（2）商數關系：；
2．三角函數誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限
題型1．同角三角函數關系齊次化
（1）利用方程思想，對于，由公式，可以“知一求二”．對于，由下面三個關系式，可以“知一求二”．
（2）的齊次式的應用：分式中分子與分母是關于的齊次式，或含有及的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉化為“切”求解．
題型2．利用誘導公式化簡及其計算
（1）誘導公式的兩個應用
①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了；
②化簡：統一名，統一角，同角名少為終了．
（2）學會誘導公式的逆用，如等，再如，能將中的系數由負變正，且不改變“正弦”前面的符號．
（3）學會觀察兩角之間的關系，看看它們的和或差是否為的整數倍．
技巧：1．利用可以實現角的正弦、余弦的互化，利用可以實現角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．
易錯提醒：奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數式中的角統一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設三角函數在該象限的正負；（3）當為奇數是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數時，“偶不變”函數名保持不變即可。
例 ．已知．
(1)求的值． (2)求的值．
【詳解】（1）；
（2）.
變式1．已知均為銳角，且．
(1)求的值； (2)求的值．
【詳解】（1），，
又，，
，.
（2）為銳角，，．
．
變式2．已知，且，化簡并求的值.
【詳解】解：因為，且，則，
所以，，
故.
變式3．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點.
(1)求的值；
(2)若銳角滿足，求的值.
【詳解】（1）由題設知：，則，
又，
；
（2）由（1）知：，且，
又為銳角，為第四象限角，所以為第四象限角或第一象限角.
當為第一象限角時，則，
當為第四象限角時，則.
1．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，結合正弦、余弦的倍角公式和三角函數的基本關系式，化為“齊次式”，代入即可求解.
【詳解】由，則
.
故選：A.
2．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將所求角通過拆角、變角，利用兩角和的余弦公式求解即可.
【詳解】，所以，，
因為，所以，
因為，所以，
，
故選：B．
3．在平面直角坐標系中，角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊過點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用終邊經過的點求出即可求解.
【詳解】因為角的終邊經過點，且，
所以，解得，
所以．
故選：B
4．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方法一：根據平方關系、二倍角公式化簡已知可得，結合誘導公式化簡可得所求；方法二：利用輔助角公式化簡已知可得，再根據二倍角公式化簡可得所求.
【詳解】方法一：，，，即，.
方法二，即，，，.
故選：D.
5．已知為銳角，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據兩角和差的正弦公式求解即可.
【詳解】因為
所以，
當時，
，為銳角，不合題意，舍去；
當時，
，滿足題意；
所以.
故選：C
6．已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用誘導公式、二倍角的正余弦公式求解即得.
【詳解】由，得，
而，則，，因此，
即有，所以.
故選：C
7．若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先左右兩邊平方，得出，再應用弦化切，最后結合角的范圍可得求出正切值．
【詳解】∵，∴，即，∴，
∴，得，∴，
∴或，
∵，且，∴由三角函數定義知，
∴，故．
故選：D.
8．已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】先將兩邊平方，結合，得出，結合得出，再計算出，即可求出和，根據同角三角函數的商數關系，二倍角的余弦公式和正切公式，兩角的余弦公式分別計算即可判斷各選項．
【詳解】由得，，則，
因為，，
所以，所以，
由，解得，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，因為，所以，則，
，即，
解得或（舍去），故C正確；
對于D，，故D錯誤，
故選：BC．
9．已知，則 .
【答案】
【分析】利用弦切互化和兩角和的正切公式求解即可.
【詳解】因為，所以，所以，
所以，即，所以.
故答案為：.
10．已知是第四象限角，且滿足，則 ．
【答案】
【分析】根據得到，利用三角函數的基本關系式，求得，進而求得，聯立方程組，求得的值，即可求解.
【詳解】由是第四象限角，可得，則，
因為，可得，
可得，
又由，
因為，可得，
聯立方程組，可得，所以.
故答案為：.
11．若，且，則 ．
【答案】/
【分析】結合角的范圍和同角三角函數的基本關系，先求出角的正弦與余弦，再將所求式子利用二倍角公式轉化為角的正余弦，代入求值即可.
【詳解】因為，
聯立，解得，
則．
故答案為：.
易錯點三：忽視三角函數圖象變換研究對象選取（三角函數的圖象和性質）
1．用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
（1）在正弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
（2）在余弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
函數
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間
遞減區間 無
對稱中心
對稱軸方程 無
2．正弦、余弦、正切函數的圖象與性質（下表中）
注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；
正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
3．與的圖像與性質
（1）最小正周期：．
（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．
（3）最值
假設．
①對于，
②對于，
（4）對稱軸與對稱中心．
假設．
①對于，
②對于，
正、余弦曲線的對稱軸是相應函數取最大（小）值的位置．正、余弦的對稱中心是相應函數與軸交點的位置．
（5）單調性．
假設．
①對于，
②對于，
（6）平移與伸縮
由函數的圖像變換為函數的圖像的步驟；
方法一：．先相位變換，后周期變換．
方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．
結論：關于三角函數對稱的幾個重要結論；
（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
題型1．研究三角函數的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）的前提是用公式把已給函數化成同一個角同一種類型的三角函數形式（簡稱：同角同函）或，常見方法有：
（1）用同角三角函數基本關系式或誘導公式將已給函數化成同函；
（2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數化成同角；
（3）用兩角和、差公式或輔助角公式將已給函數化成同函．
題型2．研究三角函數的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）時，一般是把已給函數化成同同角同函型，但未必所有三角函數都能化成上述或的形式，有時會化簡為二次函數型：或，這時需要借助二次函數知識求解，但要注意的取值范圍．
若將已給函數化簡為更高次的函數，如，則換元后可通過導數求解．如：解析式中同時含有和，令，由關系式得到關于的函數表達式．
題型3．求三角函數的值域（最值），通常利用正余弦函數的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型：
（1），令，則；
（2），引入輔助角，化為；
（3），令，則；
（4），令，
則，所以；
（5），根據正弦函數的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數形結合法求最值．
易錯提醒：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經常出現，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發生多大變化，而不是“角”變化多少.
例 ．定義在上的函數滿足在區間內恰有兩個零點和一個極值點，則下列說法不正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．將的圖象向右平移個單位長度后關于原點對稱
C．圖象的一個對稱中心為
D．在區間上單調遞增
【詳解】依題可知，于是，于是，
∴，又，
∴，∴，
對于A，由，則的最小正周期為，故A錯誤；
對于B，因為，
所以將的圖象向右平移個單位長度后得，
則，所以不關于原點對稱，故B錯誤；
對于C，由，所以不是圖象的一個對稱中心，故C錯誤；
對于D，由，則，所以在區間上單調遞增，故D正確．故選：ABC．
變式1．已知函數，把函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若時，方程有實根，則實數的取值可以為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因為
，
將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，
則，
當時，，則，
由得，可得，所以，，解得，
故選：CD.
變式2．已知函數的初相為，則下列結論正確的是（ ）
A．的圖象關于直線對稱
B．函數的一個單調遞減區間為
C．若把函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則為偶函數
D．若函數在區間上的值域為
【詳解】由題意知，所以．
對于選項A，，所以的圖象關于直線對稱，故A項正確；
對于選項B，由，，得，，
則當時，函數的一個單調遞減區間為，故B項正確；
對于選項C，的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，
所以為奇函數，故C項錯誤；
對于選項D，因為，所以，
所以，
所以，
即：在區間上的值域為，故D項錯誤．故選：AB.
變式3．已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數的最小正周期為
C．函數的圖象的對稱軸方程為
D．函數的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到
【詳解】
，故A正確；
函數的最小正周期為，故B正確；
由，得，故C錯誤；
由的圖象向左平移個單位長度，
得
，故D錯誤.故選：AB
1．為了得到函數的圖象，可將函數的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【答案】D
【分析】將函數變為的同名函數，然后利用函數圖象的平移變換法則即可得解.
【詳解】，
所以將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象.
故選：D．
2．要得到函數的圖象，可以將函數的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【答案】A
【分析】利用誘導公式化簡得到，然后根據圖象的平移變換判斷即可.
【詳解】，，
，
所以的圖象向右平移得到的圖象.
故選：A.
3．函數在區間上為單調函數，且圖象關于直線對稱，則（ ）
A．將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關于y軸對稱
B．函數在上單調遞減
C．若函數在區間上沒有最小值，則實數的取值范圍是
D．若函數在區間上有且僅有2個零點，則實數a的取值范圍是
【答案】AB
【分析】根據函數單調性及對稱軸求出函數解析式，由函數的平移判斷A，根據單調性判斷B，由函數的圖象與性質可判斷CD.
【詳解】由題意且，
可得，，
故當時，，.
對A，函數的圖象向右平移個單位長度可得，故函數圖象關于y軸對稱，故A正確；
對B，當時，，所以函數單調遞減，故B正確；
對C，當時，，函數在區間上沒有最小值，則需，即，故C錯誤；
對D，由C，函數在區間上有且僅有2個零點，則，即
，故D錯誤.
故選：AB
4．已知函數的最小正周期是，把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應的函數為奇函數，下列正確的是（ ）
A．函數的圖象關于直線對稱 B．函數的圖象關于點對稱
C．函數在區間上單調遞減 D．函數在上有3個零點
【答案】AC
【分析】根據周期及奇函數的性質求出，再利用正弦函數性質逐項判斷即可.
【詳解】因為函數的最小正周期是，所以，
則，
把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應的函數為，
因為為奇函數，所以，，即，，
因為，所以，，所以，
對于A，，所以函數的圖象關于直線對稱，故A正確；
對于B，，
所以函數的圖象不關于點對稱，故B錯誤；
對于C，當時，，
函數在上單調遞減，
所以函數在區間上單調遞減，故C正確；
對于D，由，得，即，
令，解得，又，所以或，
所以函數在上有2個零點，分別為，，故D錯誤.
故選：AC.
5．已知函數，且對，都有，且把圖象上所有點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再把圖象右移，得到函數的圖像，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．為奇函數 D．在上有兩個零點
【答案】AB
【分析】對于A，求導得，由可得關于直線對稱，從而可得，結合求得即可判斷；對于B，由題意，計算即可判斷；對于C，計算，從而可判斷；對于D，由可得，從而可判斷零點的個數，從而可判斷.
【詳解】對于A，，
關于直線對稱，
，，
又當時，，故A為正確；
對于B，，由題意，
當時，，
∴關于點對稱，滿足，B正確；
對于C，∵為偶函數，C不正確；
對于D，當時，，則在上只有一個零點，D不正確.
故選：AB．
6．將函數的圖象向右平移個單位長度，再將得到的曲線上所有點的橫坐標變為原來的（），縱坐標不變，得到函數的圖象，若在上有且僅有兩個不同實數滿足，則的取值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】ABC
【分析】由圖象變換得到解析式，再根據三角函數的有界性，將條件轉化為在上最值的取值情況，將看作整體角，根據函數圖象得到不等關系求解即可.
【詳解】由題意得，
,
由，得或，
由已知在上有且僅有兩個不同實數滿足，
則在上只取得一次最大值和一次最小值，
，令，則，
由圖象可知，，解得，
即的取值范圍是，
故選：ABC．

7．已知函數，，其中，則（ ）
A．與的圖像關于直線對稱
B．與的圖像關于點對稱
C．當與在區間上單調性相反時，的最大值為1
D．當與在區間上單調性相同時，的最大值為
【答案】ABD
【分析】根據余弦函數的單調性、對稱性、圖象變換逐項判斷即可.
【詳解】，所以與的圖像關于直線對稱，故A正確；
，與的圖像關于點對稱，故B正確；
如圖，

函數的圖像為函數的圖像向左平移得到，函數的圖像為函數的圖像向右平得到，所以與的圖像關于軸對稱，
且的每一個極值點對應的一個零點，易知在軸右側的第一個極大值點為；
若與在區間上單調性相反,則有，即，故C不正確；
若函數在軸右側的第一個極小值點為上單若與在區間上單調性相同，則有，且，即，故D正確.
故選 ：ABD.
8．已知函數，以下說法中，正確的是（ ）
A．函數關于點對稱
B．函數在上單調遞增
C．當時，的取值范圍為
D．將函數的圖像向左平移個單位長度，所得圖像的解析式為
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦函數的性質一一判斷即可.
【詳解】因為，
對于A，由，即，所以對稱中心為，
令，得到一個對稱中心為，所以A錯誤；
對于B，當時，，由的圖像與性質知，在上單調遞增，所以B正確；
對于C，當時，，所以，
所以，所以C正確；
對于D，將函數的圖像向右平移個單位長度，得到圖像對應的解析式為，所以D正確.
故選：BCD.
9．已知，下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于軸對稱
C．若在區間上的最大值是，則的最小值為
D．若，則
【答案】BD
【分析】先化簡函數，得，根據正弦型函數的圖像性質研究周期性、平移、值域等問題.
【詳解】，
所以的最小正周期為，故A錯誤；
把的圖象向左平移個單位長度，所得函數為，是偶函數，
所以圖象關于y軸對稱，故B正確；
當時，，
當，即時，最大值為，
所以m的最小值為，故C錯誤；
令，解得，
當時，的一個對稱中心為，
故時，有，故D正確.
故選：BD.
10．已知函數，下列結論中正確的有（ ）
A．若，則是的整數倍
B．函數的圖象可由函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的，再向左平移單位得到
C．函數的圖象關于點對稱
D．函數在上單調遞增
【答案】CD
【分析】利用誘導公式可判斷A選項；利用三角函數圖象變換可判斷B選項；利用正弦型函數的對稱性可判斷C選項；利用正弦型函數的單調性可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，若，
則或，
可得或，A錯；
對于B選項，因為，
所以，函數的圖象可由函數的圖象上所有點的縱坐標不變，
橫坐標變為原來的，再向左平移個單位得到，B錯；
對于C選項，因為，
所以，函數的圖象關于點對稱，C對；
對于D選項，當時，，
所以，函數在上單調遞增，D對.
故選：CD.
11．已知是的導函數（ ）
A．是由圖象上的點橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移得到的
B．是由圖象上的點橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移得到的
C．的對稱中心坐標是
D．是的一條切線方程.
【答案】BC
【分析】由三角函數的平移和伸縮變換可判斷A，B；由三角函數的性質可判斷C；由導數的幾何意義可判斷D.
【詳解】，
是由橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標伸長2倍，再把得到的曲線向左平移，故A錯誤；
函數圖象將橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），得，
再向右平移個長度單位，得，即，故B正確；
因為，令，
則，則的對稱中心坐標是，故C正確；
因為，所以，
由導數的幾何意義令，可得：，
即，解得:
，所以切點為，
而不在上，故D錯誤.
故選：BC.
易錯點四： 求φ時忽略升降零點的區別（函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及其應用）
函數的物理意義
簡諧運動的圖象所對應的函數解析式，其中．在物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數有關：就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；這個簡諧運動的周期是，這是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間；這個簡諧運動的頻率由公式給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數；稱為相位；時的相位稱為初相．
題型1．已知的部分圖象求的方法：
（1）利用極值點的縱坐標求；（2）把某點的坐標代入求．
題型2．已知的部分圖象求的方法：
由，即可求出．常用結論：（1）相鄰兩個極大（小）值點之間的距離為；（2）相鄰兩個零點之間的距離為（3）極值點到相鄰的零點，自變量取值區間長度為．
題型3．已知的部分圖象求的方法：
求的值時最好選用最值點求．
峰點：；谷點：．
也可用零點求，但要區分該零點是升零點，還是降零點．
升零點（圖象上升時與軸的交點）：；
降零點（圖象下降時與軸的交點）：（以上）．
易錯提醒：求的值時若用零點求時一定要明確該零點是升零點，還是降零點.
例 ．已知函數滿足．
(1)求函數的解析式及最小正周期；
(2)函數的圖象是由函數的圖象向左平移個單位長度得到，若，求的最小值．
【詳解】（1）∵，
∴，而，
∴，即，
∴的最小正周期為：；
（2）由題意，，
∵，
∴，
∴Z，
∴，∴的最小值為．
變式1．已知函數的最小正周期為．
(1)求的值，并寫出的對稱軸方程；
(2)在中角的對邊分別是滿足，求函數的取值范圍．
【詳解】（1）
．
，．
故
令，解得，
故對稱軸方程為：
（2）由得，
．
，，,．
，，，
變式2．已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)
求函數的解析式；
(2)若函數在區間上恰有兩個零點，求的值.
【詳解】（1）設的最小正周期為，則，可得,
且，解得，
由圖象可知：當時，取到最大值，
且，則，
可得，解得，
又因為，可得，則，
且的圖象過點，則，解得，
所以.
（2）令，
由，可得，
可知的零點等價于與的圖象交點橫坐標，
且，
作出在內的圖象，不妨設，如圖所示：
由圖象可知：，且關于直線對稱，所以.
變式3．如圖為函數的部分圖象，且，．
(1)求，的值；
(2)將的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的3倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，討論函數在區間的零點個數．
【詳解】（1）根據題意得，，故，，故．
將代入，得，解得，
又，故．
（2）依題意，．
函數在區間的零點個數即為函數的圖象與直線在上的交點個數．
當時，，結合余弦函數圖象可知，
當時，單調遞減，當時，單調遞增，
且，，，
作出函數在上的大致圖象如圖所示．
觀察可知，當或時，有個零點；
當時，有個零點；
當或時，有個零點．
1．將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，所得圖象在區間上恰有兩個零點，且在上單調遞減，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據題目的要求伸縮變換得到解析式，然后結合函數在上恰有兩個零點以及在上單調遞減，列出不等式組，即可求得本題答案.
【詳解】依題意可得，
因為，所以，
因為在恰有2個零點，且，，
所以，解得，
令，，得，，
令，得在上單調遞減，
所以，
所以，又，解得．
綜上所述，，故的取值范圍是．
故選：C.
2．已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A．
B．函數的圖象關于對稱
C．函數在的值域為
D．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向左平移個單位
【答案】ACD
【分析】先由圖象信息求出表達式，從而即可判斷A；注意到是的對稱中心當且僅當，由此即可判斷B；直接由換元法結合函數單調性求值域對比即可判斷C；直接按題述方式平移函數圖象，求出新的函數解析式，對比即可判斷.
【詳解】如圖所示：

由圖可知，又，
所以，所以，
又函數圖象最高點為，
所以，即，
所以，解得，
由題意，所以只能，故A選項正確；
由A選項分析可知，而是的對稱中心當且僅當，
但，從而函數的圖象不關于對稱，故B選項錯誤；
當時，，，
而函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，，
所以函數在的值域為，故C選項正確；
若將函數的圖象向左平移個單位，
則得到的新的函數解析式為，故D選項正確.
故選：ACD.
3．函數的部分圖像如圖所示，在上的極小值和極大值分別為..，，下列說法正確的是（ ）

A．的最小正周期為
B．
C．的圖像關于點對稱
D．在上單調遞減
【答案】BC
【分析】AB選項，根據圖象得到振幅和周期，求出；C選項，根據分別為極小值點和極大值點，由對稱性得到C正確；D選項，由圖象得到函數在上單調遞減，在上單調遞增.
【詳解】A選項，由題圖可知，，則，故A錯誤.
B選項，，所以.
又在極小值和極大值分別為，，所以，故B正確.
C選項，因為分別為極小值點和極大值點，
故點為函數的圖像的對稱中心，故C正確.
D選項，，從圖象可以看出函數在上單調遞減，
在上單調遞增，故D錯誤.
故選：BC.
4．已知函數，把的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則（ ）
A．是奇函數
B．的圖象關于直線對稱
C．在上單調遞增
D．不等式的解集為
【答案】AB
【分析】A選項，由左加右減得到的解析式，從而判斷出奇偶性；B選項，，故B正確；C選項，整體法判斷函數的單調性；D選項，由得到，求出不等式的解集.
【詳解】A選項，，
由于的定義域為R，且，
故為奇函數，A正確；
B選項，，故的圖象關于直線對稱，B正確；
C選項，時，，其中在上不單調，
故在上不單調，故C錯誤；
D選項，，則，則，
故，D錯誤.
故選：AB
5．將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，且，則下列結論中正確的是（ ）
A．為奇函數 B．當時，的值域是
C．的圖象關于點對稱 D．在上單調遞增
【答案】BD
【分析】根據三角函數的平移變換求出的表達式，然后依次判斷各個選項即可.
【詳解】因為，
所以．
由，得，，
則，又，所以，
所以．
對于A：，所以不是奇函數，A錯誤；
對于B：當時，，
則，B正確；
對于C：因為，
所以的圖象不關于點對稱， C錯誤；
對于D：當時，，
根據正弦函數的圖象與性質可知，
在上單調遞增，D正確．
故選：BD
6．已知函數向左平移個單位長度，得到函數的圖像，若是偶函數，則（ ）
A．的最小正周期為
B．點是圖像的一個對稱中心
C．在的值域為
D．函數在上單調遞增
【答案】BC
【分析】A選項，根據為偶函數及，得到，進而得到A錯誤；B選項，計算出，B正確；C選項，由得到，從而結合圖象求出值域；D選項，由得到，結合圖象得到答案.
【詳解】由題意得，，
解得，
因為，所以只有當，滿足題意，
A選項，，故最小正周期，A錯誤；
B選項，，故，
故點是圖像的一個對稱中心，B正確；
C選項，，則，故，C正確；
D選項，，則，由于在上不單調，
故在上不單調遞增，D錯誤.故選：BC
7．已知函數的最小正周期為，則（ ）
A．
B．的圖象在區間上存在對稱軸
C．在區間上單調遞增
D．將的圖象向左平移個單位長度可得到的圖象
【答案】AB
【分析】先由函數的最小正周期，求出；根據余弦函數的性質可判斷B,C選項，再由三角函數圖像平移后可判斷D選項.
【詳解】由，得，故選項A正確；
令，，解得，，當時，，所以是圖象的一條對稱軸，故選項B正確；
當時，，余弦函數在此區間不單調，故選項C錯誤；
依題意平移后的解析式為，故選項D錯誤．故選：AB．
8．已知函數在軸上的截距為，若函數在區間內有零點，無極值點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先根據在軸上的截距得到方程，求出，進而由得到，根據有零點，無極值點，得到不等式，求出答案.
【詳解】由題意知，則，結合，得，
所以．
當時，，
因為函數在區間內有零點，無極值點，
所以，（建立不等式時，要注意是否能取等號）,
解得，
當時，；
當時，，所以，
所以不等式組無解，
當時，，所以，
所以不等式組無解，
當或時，不滿足條件．
所以的取值范圍是．
故答案為：
9．已知函數在區間上有且僅有3個對稱中心，給出下列四個結論：
①的值可能是3； ②的最小正周期可能是；
③在區間上單調遞減； ④圖象的對稱軸可能是.
其中所有正確結論的序號是 .
【答案】①②③
【分析】由題意，結合角的范圍可得，求出的范圍可判斷①，利用三角函數的周期公式可判斷②，利用三角函數的性質可判斷③④.
【詳解】函數，
， ，
函數在區間上有且僅有3個對稱中心，
則，
，即的取值范圍是，
而，故①正確；
周期，由，
得， ，
的最小正周期可能是，故②正確；
， ，
， ，
又，
在區間上單調遞減，故③正確；
當，即，
又，
，
當時，，
當時，，故④不正確.故答案為：①②③.
10．已知函數的部分圖象如圖所示．

(1)求函數的解析式；
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，求函數在上的單調遞減區間．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據函數圖象求出，，進而得出.根據“五點法”，即可求出的值；
（2）先求出，根據已知得出.結合正弦函數的單調性，解，即可得出答案.
【詳解】（1）由圖易知，，
所以，．
易知，故函數的圖象經過點，
所以．
又 ，∴．
∴．
（2）由題意，易知，
因為時，所以.
解可得，，
此時單調遞減，故函數的單調遞減區間為.
11．已知函數（且）的兩個相鄰的對稱中心的距離為．
(1)求在R上的單調遞增區間；
(2)將圖象縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數，若，，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先化簡函數得，再根據單調性求解即可；
（2）先由平移伸縮得出，再結合二倍角余弦公式計算即得.
【詳解】（1）
，
由題意知，的最小正周期為，所以，解得，
∴，
令，，解得，
所以在R上的單調遞增區間為
（2），，得，
∵，∴，
∴，
∴
12．已知函數的最小值周期為.
(1)求的值與的單調遞增區間；
(2)若且，求的值.
【答案】(1)，單調遞增區間為(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡得出，利用正弦型函數的周期公式可求出的值，再利用正弦型函數的單調性可求出函數的增區間；
（2）由已知條件可得出，利用同角三角函數的基本關系求出的值，再利用兩角和的余弦公式可求出的值.
【詳解】（1）解：
，
因為函數的最小正周期為，且。所以，解得，
所以，令，
得，所以的單調遞增區間為.
（2）解：由（1）知，則，
因為，所以，
因為，所以，
所以，
所以
.
易錯點五： 遺忘非特殊角其實也是一種特殊角（三角恒等變換）
1．兩角和與差的正余弦與正切
①；
②；
③；
2．二倍角公式
①；
②；
③；
3．降次（冪）公式
4．半角公式
5．輔助角公式
（其中）．
結論：1．兩角和與差正切公式變形
；
．
2．降冪公式與升冪公式
；
．
3．其他常用變式
．
3．拆分角問題：①；；②；③；
④；⑤．
注意特殊的角也看成已知角，如．
易錯提醒：1．給角求值給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察會發現非特殊角與特殊角之間總有一定的關系．解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式將非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數，從而得解．
2．給值求值：已知三角函數值，求其他三角函數式的值的一般思路：
（1）先化簡所求式子．
（2）觀察已知條件與所求式子之間的聯系（從三角函數名及角入手）．
（3）將已知條件代入所求式子，化簡求值．
3．給值求角 通過求角的某種三角函數值來求角，在選取函數時，有以下原則：
（1）已知正切函數值，則選正切函數．
（2）已知正、余弦函數值，則選正弦或余弦函數．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好．
4．與三角函數的圖象及性質相結合的綜合問題
（1）利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數關系式轉化成或的形式．
（2）利用公式求周期．
（3）根據自變量的范圍確定的范圍，根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據所給關系式的特點，也可換元轉化為二次函數的最值．
（4）根據正、余弦函數的單調區間列不等式求函數或的單調區間．
例 ．下列各式計算正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤.故選：BC.
變式1．已知，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】因為，所以，所以為第一象限角或第三象限角．
當為第一象限角時，，；當為第三象限角時，，，所以，故A項正確；
；故B項錯誤；
，故C項正確；
，
當為第一象限角時，原式；
當為第三象限角時，原式，故D項錯誤．故選：AC
變式2．下列各式的值是方程的根的為（ ）．
A． B．
C． D．
【詳解】方程的根為2或，
，A錯誤；
，B正確；
，C正確；
，D正確.故選：BCD
變式3．下列選項中，與的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】由題意有，
對于A選項：因為，故A選項不符合題意；
對于B選項：因為，故B選項符合題意；
對于C選項：因為，故C選項符合題意；
對于D選項：因為，故D選項不符合題意；故選：BC.
1．已知，則（ ）
A．，使得
B．若，則
C．若，則
D．若，，則的最大值為
【答案】BD
【分析】根據方程無解，可判定A錯誤；根據題意求得，結合兩角差的正弦公式，可判定B正確；結合兩角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C錯誤；化簡，結合基本不等式，可判定D正確.
【詳解】對于A中，若，可得
因為，可得，解得，
又因為時，，所以方程無解，所以A錯誤；
對于B中，因為，可得，所以，
又因為，所以，
則，所以B正確；
對于C中，由，
則，所以C錯誤；
對于D中，因為，可得，且，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最大值為，所以D正確.
故選：BD.
2．已知，且，，，則（ ）
A．的取值范圍為 B．存在，，使得
C．當時， D．t的取值范圍為
【答案】AD
【分析】由可得范圍，從而判斷A，由正弦、余弦函數性質求得判斷B，利用消去后可求得判斷C，由上面推導得出隨的增大而增大，從而可得的范圍，判斷D．
【詳解】因為，所以，即，若，則，又，所以不能同時成立，所以，故A正確；
由A可知，所以，又，所以，所以，故B錯誤；
當時，整理，得所以，又，對上式整理得，所以，解得（舍去負根），故C錯誤；
因為，且，所以隨著的增大而增大，所以隨著的增大而增大，又，所以，，即D正確．
故選：AD．
3．下列化簡正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】利用余弦的二倍角公式化簡可判斷A；利用正弦的兩角和展開式化簡可判斷B；利用正弦的二倍角公式化簡可判斷C；利用兩角和的正切展開式化簡可判斷D.
【詳解】對于A，，
故A錯誤；
對于B，，
故B錯誤；
對于C，，
故C正確；
對于D，，故D正確.
故選：CD.
4．下列化簡正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根據兩角和差正切公式計算判斷A選項，根據兩角和差正弦公式計算判斷B選項，應用同角三角函數結合誘導公式計算可得C選項，根據兩角和差正弦公式結合二倍角正弦公式判斷D選項.
【詳解】對于A，，故A錯誤．
對于B，由
，故B正確；
對于C，∵設，
則，
而，故即，故C正確．
對于D，
，所以D正確.
故選：BCD.
5．下列等式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A選項，逆用正弦倍角公式進行求解；B選項，逆用余弦二倍角公式計算；C選項，逆用正切差角公式進行求解；D選項，逆用正弦和角公式計算.
【詳解】A選項，，A正確；
B選項，，B錯誤；
C選項，，C正確；
D選項，，D錯誤.
故選：AC
6．已知，，，下列選項正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根據同角關系以及誘導公式可得可得，進而可判斷A，根據和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.
【詳解】由于且，所以，
又，，
故或，當時，顯然不滿足，故，所以，故A錯誤，
對于B，，故B正確，
對于C, ，故C錯誤，
對于D，由B可知，所以，故D正確，
故選：BD
7．下列化簡結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根據題意，由三角函數的和差角公式，代入計算，對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】，所以A正確；，所以B正確；
，所以C錯誤；
，所以D錯誤．
故選：AB．
8．下列等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】應用三角恒等變換化簡求值，逐個判斷即可.
【詳解】對A，，A錯誤；
對B，，B正確；
對C，，C正確；
對D，
，D錯誤.
故選：BC
9．下列計算或化簡結果正確的是（ ）
A．＝2 B．若，則
C．若，則＝1 D．
【答案】AB
【分析】直接通過“切化弦”的思想即可判斷AB；通過對分式齊次式化簡可判斷C；通過同角三角函數關系的平方關系可判斷D.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，因為，
所以，故B正確；
對于C，因為，
所以，故C錯誤；
對于D，，所以，
，所以
所以，故D錯誤；
故選：AB
10．下列各式中，值為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】誘導公式結合和角余弦公式計算判斷A；誘導公式結合倍角余弦公式計算判斷B;湊特殊角并結合差角的余弦計算判斷C；切化弦并利用輔助角公式、二倍角公式計算判斷D.
【詳解】對于A，，A是；
對于B，，B不是；
對于C，，C是；
對于D，，D不是.
故選：AC
11．下列化簡正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由即可判斷A；根據誘導公式，先將轉化為，再根據兩角的差的正弦公式，即可判斷B；根據誘導公式及同角三角函數的平方關系即可判斷C；先通分，再根據二倍角公式和輔助角公式化簡，即可判斷D．
【詳解】對于A，因為，
所以，
所以，故A錯誤；
對于B，因為，
所以，故B正確；
對于C，設，
因為，
所以，
因為，
所以，
所以，故C正確；
對于D，，故D正確，故選：BCD．
資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】

展開更多......

收起↑