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專題12 概率
易錯點一：互斥與對立混淆致誤（隨機事件的概率）
Ⅰ：首先明確什么是隨機試驗
我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母表示．
隨機試驗的要求：
（1）試驗可以在相同條件下重復進行；
（2）試驗的所有可能結(jié)果是明確的，結(jié)果不止一種；
（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一種，但事先不能確定出現(xiàn)哪一種結(jié)果．
Ⅱ：隨機事件的前提樣本空間
我們把隨機試驗的每個可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為樣本點，全體樣本集合稱為試驗的樣本空間，一般地，用表示樣本空間，用表示樣本點，如果一個隨機試驗有個可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．
Ⅲ：兩類事件：隨機事件、確定事件
（1）一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．當且僅當中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生．
（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．
（3）在每次試驗中都不可能發(fā)生，我們稱為不可能事件．
（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為隨機事件的確定事件．
注意：事件的運算可以用韋恩圖可以破解
Ⅳ：互斥事件與對立事件
（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用韋恩圖表示如下：
如果，，…，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．
（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．
（3）互斥事件與對立事件的關系（重點）
①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．
②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．
Ⅴ：概率與頻率
（1）頻率：在次重復試驗中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．
（2）概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記作．
（3）概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計概率．
隨機事件的概率
對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.
解題步驟如下：
第一步：仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；
第二步：判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設出所求事件；
第三步：分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；
第四步：利用公式求出事件的概率．
易錯提醒：對于互斥事件要抓住如下的特征進行理解：第一，互斥事件研究的是兩個事件之間的關系；第二，所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；第三，兩個事件互斥是在試驗的結(jié)果不能同時出現(xiàn)來確定的．對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作．分類討論思想是解決互斥事件中有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導思想
例、判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點數(shù)都是從1~10）中，任取一張．
（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”．
變式1．從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任取三個數(shù)，下列兩個事件為對立事件的是（ ）
A．“至多有一個是偶數(shù)”和“至多有兩個是偶數(shù)”
B．“恰有一個是奇數(shù)”和“恰有一個是偶數(shù)”
C．“至少有一個是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”
D．“恰有一個是奇數(shù)”和“至多有一個是偶數(shù)”
變式2．設A，B是兩個隨機事件，，分別為A，B的對立事件．給出以下命題：①若A，B為互斥事件，且，，則；②若，，且，則A，B相互獨立；③若，，且，則A，B相互獨立；④若，，且，則A，B相互獨立．其中所有真命題的序號為（ ）
A．① B．② C．①②③ D．②③④
變式3．（多選題）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設A＝“兩次都擊中飛機”，B＝“兩次都沒擊中飛機”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關系正確的是（ ）
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
1．某中學運動會上有一個項目的比賽規(guī)則是：比賽分兩個階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對一進行比賽，共進行5局比賽，每局比賽獲勝的一方得1分，負方得0分；第二階段，比賽雙方各出4人，二對二進行比賽，共進行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負方得0分．先得到5分及以上的一方裁定為本次比賽的獲勝方，比賽結(jié)束．若甲、乙兩個班進行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的概率都是，在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是，每局比賽的結(jié)果互不影響，則甲班經(jīng)過7局比賽獲勝的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．已知為隨機試驗的樣本空間，事件A，B滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若，且，則
C．若，則
D．若，則
3．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C．事件與事件相互獨立 D．，，兩兩互斥
4．已知為隨機事件，則下列表述中不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．甲、乙、丙、丁四名教師分配到，，三個學校支教，每人分配到一個學校且每個學校至少分配一人.設事件：“甲分配到學校”；事件：“乙分配到學校”，則（ ）
A．事件與互斥 B．
C．事件與相互獨立 D．
6．為了促進消費，某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動：每位會員客戶可在價值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨立.
(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；
(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望
7．截至2022年年底，女足亞洲杯已經(jīng)成功舉辦了20屆．中國女子國家足球隊在參賽的15屆亞洲杯中共獲得9次冠軍、2次亞軍和3次季軍，其輝煌戰(zhàn)績每每給國人帶來拼搏奮進的力量．在某屆女足亞洲杯中，將甲、乙、丙等12支參賽球隊平均分成，，三個小組．
(1)求甲、乙、丙三支球隊分到同一小組的概率；
(2)求甲、乙、丙三支球隊中恰有兩支分到同一組的概率．
8．某娛樂節(jié)目闖關游戲共有三關，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關，闖關成功可獲得的獎金分別為1000元、2000元、3000元.獎金可累加，若某關闖關成功，選手可以選擇結(jié)束闖關游戲并獲得相應獎金，也可以選擇繼續(xù)闖關，若有任何一關闖關失敗，則連同前面所得獎金全部歸零，闖關游戲結(jié)束.選手小劉參加闖關游戲，已知他第一，二，三關闖關成功的概率分別為，，.第一關闖關成功選擇繼續(xù)闖關的概率為，第二關闖關成功選擇繼續(xù)闖關的概率為，且每關闖關成功與否互不影響.
(1)求小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率；
(2)設小劉所得獎金為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.
9．甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.
(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；
(2)已知比賽進行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.
10．某校為豐富教職工業(yè)余文化活動，在教師節(jié)活動中舉辦了“三神杯”比賽，現(xiàn)甲乙兩組進入到?jīng)Q賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為，且甲組最終獲得冠軍的概率為（每局比賽沒有平局）.
(1)求；
(2)已知冠軍獎品為28個籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎品分配方案是：如果比賽繼續(xù)進行下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請問按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個籃球
易錯點二：混淆基本事件的“等可能性”與“非等可能性”致誤（古典概率）
古典概型
（1）定義
一般地，若試驗具有以下特征：
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.
稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
（2）古典概型的概率公式
一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.
（3）概率的基本性質(zhì)
（1）對于任意事件都有：．
（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．
（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．
推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．
（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．
（5）概率的單調(diào)性：若，則．
（6）若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．
解題步驟如下：
第一步：仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；
第二步：判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設出所求事件；
第三步：分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；
第四步：利用公式求出事件的概率．
易錯提醒：在解決古典概型問題時要分清事件與基本事件，每個基本事件發(fā)生的概率都是相等的，而某個事件可能包含幾個基本事件，要注意區(qū)分，避免出錯.
例、設袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地摸出2只球．
（1）求這2只球都是白球的概率；
（2）求這2只球中1只是白球1只是黑球的概率．
變式1：袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（ ）
A． B． C． D．
變式2：一個口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個小球，其中白色球3個，黑色球2個．若從中任取1個球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_____________；若從中任取2個球，記所取球中白球可能被取到的個數(shù)為，則隨機變量的期望為_____________．
變式3：已知不透明的袋中裝有三個黑球（記為，和）、兩個紅球（記為和），從中不放回地依次隨機抽取兩球．
(1)用集合的形式寫出試驗的樣本空間；
(2)求抽到的兩個球都是黑球的概率．
1．某學校舉辦作文比賽，共5個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（ ）
A． B． C． D．
2．書籍是人類進步的階梯，數(shù)學名著更是如此，《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》是我國古代數(shù)學領域影響深遠的四部著作，而《幾何原本》《阿基米德全集》《圓錐曲線論》被稱為“古希臘三大數(shù)學書”，代表了文藝復興之前歐洲數(shù)學的最高成就，這些著作對后世的數(shù)學發(fā)展有著深遠而廣泛的影響．現(xiàn)從這七本名著中任選三本，則至少兩本是中國數(shù)學名著的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．“二十四節(jié)氣”是我國上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，農(nóng)耕生產(chǎn)與大自然的節(jié)律息息相關，它是上古先民順應農(nóng)時，通過觀察天體運行，認知一歲（年）中時候（時令）、氣候、物候等變化規(guī)律所形成的知識體系．“二十四節(jié)氣”對今天的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)仍有著重要的指導意義．傳統(tǒng)四季劃分是以立春、立夏、立秋、立冬作為起始．現(xiàn)從“二十四節(jié)氣”中隨機抽取兩個節(jié)氣，則這兩個節(jié)氣恰在同一季的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．某大學為了了解學生課外圖書閱讀量的情況，從大二學生中抽取50名，統(tǒng)計他們今年上半年閱讀的書籍數(shù)量，發(fā)現(xiàn)讀書不低于6本的人數(shù)占，不低于8本的人數(shù)占.現(xiàn)從讀書不低于6本的學生中隨機地選取2名進行座談，則這2名學生1名讀書低于8本且不低于6本，1名讀書不低于8本的概率為（ ）
A． B． C． D．
5．某對新婚夫婦響應國家號召，計劃生育3個孩子，若每胎只有一個孩子，且每胎生男生女的概率相同，記事件A為“3個孩子中有男有女”，則（ ）
A． B． C． D．
6．某中學團委為慶祝“五四”青年節(jié)，舉行了以“弘‘五四’精神，揚青春風采”為主題的文藝匯演，初中部推薦了2位主持人，高中部推薦了4位主持人，現(xiàn)從這6位主持人中隨機選2位主持文藝匯演，則選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率為（ ）
A． B． C． D．
7．先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為x，y，設事件“”，事件“”，事件“為奇數(shù)”，則（ ）
A． B．
C．與相互獨立 D．與相互獨立
8．某公司為了推廣旗下的某款，在2024年春節(jié)來臨之前，推出了集“福卡”得獎勵的活動，其中“福卡”有5種，分別是“福到”“財?shù)健薄跋驳健薄熬壍健薄斑\到”．規(guī)則如下：①通過登錄這款或推薦新用戶下載并使用這款可獲得若干抽獎次數(shù)；②每次抽獎可獲得一張“福卡”；③5種“福卡”是系統(tǒng)隨機分配的；④用戶集齊5種“福卡”后，便可獲得提供的獎勵；⑤集齊5種“福卡”后，用戶不再抽獎，活動結(jié)束；⑥用完所有抽獎機會，活動結(jié)束．現(xiàn)在甲參加了集“福卡”得獎勵的活動．
(1)已知甲已經(jīng)集了其中的2種“福卡”，還有3次抽獎機會，求甲獲得獎勵的概率；
(2)已知甲已經(jīng)集了其中的3種“福卡”，還有4次抽獎機會，記活動結(jié)束時，甲使用的抽獎次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．
9．某地區(qū)運動會上，有甲、乙、丙三位田徑運動員進入了男子100m決賽，某同學決定運用高中所學的知識對該次決賽的情況進行預測，為此，他收集了這三位運動員近幾年的大賽100m成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”.
甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；
乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；
丙：10.03，9.98，10.10，10.01.
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三位運動員的比賽成績相互獨立.
(1)分別估計甲、乙、丙三位運動員“破十”的概率；
(2)設這三位運動員在這次決賽上“破十”的人數(shù)為，估計X的數(shù)學期望.
10．某地區(qū)運動會上，有甲、乙兩位田徑運動員進入了男子決賽，某同學決定運用高中所學的知識對該次決賽的情況進行預測，為此，他收集了這兩位運動員近幾年的大賽成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”.
甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；
乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；
(1)求甲成績的中位數(shù)與平均數(shù)（平均數(shù)的結(jié)果保留3位小數(shù)）；
(2)從乙的5次成績中任選3次，求恰有2次成績“破十”的概率.
易錯點三：條件概率應用錯誤（條件概率）
Ⅰ：條件概率
一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．
注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．
性質(zhì)
（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．
（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．
（3）如果與互斥，則．
注意：（1）如果知道事件發(fā)生會影響事件發(fā)生的概率，那么；
（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當于發(fā)生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即．
Ⅱ：相互獨立與條件概率的關系
相互獨立事件的概念及性質(zhì)
（1）相互獨立事件的概念
對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．
由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．
（2）概率的乘法公式
由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
（3）相互獨立事件的性質(zhì)
如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．
事件的獨立性
（1）事件與相互獨立的充要條件是．
（2）當時，與獨立的充要條件是．
（3）如果，與獨立，則成立．
Ⅲ：全概率公式
全概率公式
（1）；
（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意事件，都有，且
．
貝葉斯公式
（1）一般地，當且時，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意概率非零的事件，都有，
且
易錯提醒：條件概率：設A，B是條件S下的兩個隨機事件，，則稱在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為條件概率，記作，，其中表示事件A與事件B同時發(fā)生構(gòu)造的事件．
要注意概率與的區(qū)別：
（1）在中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在中，事件A，B同時發(fā)生．
（2）樣本空間不同，在中，事件B成為樣本空間；在中，樣本空間仍為，因而有．
例、假定生男生女是等可能的，某家庭有3個孩子，其中有1名女孩，求其至少有1個男孩的概率．
變式1：某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
變式2：設某種燈管使用了500h還能繼續(xù)使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續(xù)使用的概率是0.87，問已經(jīng)使用了500h的燈管還能繼續(xù)使用到700h的概率是多少？
變式3：有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取1粒，求這粒種子能成長為幼苗的概率．
1．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，觀察向上的點數(shù)．在第1次出現(xiàn)奇數(shù)的條件下，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．湖南第二屆旅游發(fā)展大會于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學生知曉郴州，熱愛郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州”綠色生態(tài)研學，現(xiàn)有甲，乙兩所學校從萬華巖中小學生研學實踐基地，王仙嶺旅游風景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機選擇一條線路去研學，記事件A為“甲和乙至少有一所學校選擇萬華巖中小學生研學實踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學線路不同”，則（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙兩位學生在學校組織的課后服務活動中，準備從①②③④⑤5個項目中分別各自隨機選擇其中一項，記事件：甲和乙選擇的活動各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（ ）
A． B． C． D．
4．2023年3月13日第十四屆全國人民代表大會第一次會議在北京勝利閉幕，某中學為了貫徹學習“兩會”精神，舉辦“學兩會，知國事”知識競賽．高二學生代表隊由A，B，C，D，E共5名成員組成，現(xiàn)從這5名成員中隨機抽選3名參加學校決賽，則在學生A被抽到的條件下，學生B也被抽到的概率為（ ）．
A． B． C． D．
5．設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知為隨機試驗的樣本空間，事件A，B滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若，且，則
C．若，則
D．若，則
7．多巴胺是一種神經(jīng)傳導物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風格，通過色彩艷麗的時裝調(diào)動正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當天穿紅色，否則穿藍色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍色后，再選連衣裙的可能性為0.5.
(1)寫出小李同學抽到紅球個數(shù)的分布列及期望；
(2)求小李同學當天穿連衣裙的概率.
8．從今年起，我國將于每年5月第四周開展“全國城市生活垃圾分類宣傳周”活動，首屆全國城市生活垃圾分類宣傳周時間為2023年5月22日至28日，宣傳主題為“讓垃圾分類成為新時尚”，在此宣傳周期間，某社區(qū)舉行了一次生活垃圾分類知識比賽.要求每個家庭派出一名代表參賽，每位參賽者需測試A，B，C三個項目，三個測試項目相互不受影響.
(1)若某居民甲在測試過程中，第一項測試是等可能的從三個項目中選一項測試，且他測試三個項目“通過”的概率分別為.已知他第一項測試“通過”，求他第一項測試選擇的項目是的概率；
(2)現(xiàn)規(guī)定：三個項目全部通過獲得一等獎，只通過兩項獲得二等獎，只通過一項獲得三等獎，三項都沒有通過不獲獎.已知居民乙選擇的順序參加測試，且他前兩項通過的概率均為，第三項通過的概率為.若他獲得一等獎的概率為，求他獲得二等獎的概率的最小值.
9．抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中3雙是一次性筷子，2雙是非一次性筷子，每次使用筷子時，從抽屜中隨機取出1雙（2只都為一次性筷子或都為非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過清洗再次放入抽屜中，求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的雙數(shù)的分布列及數(shù)學期望.
10．從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；
(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個人相互做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為.
①直接寫出，，的值；
②求與的關系式，并求出.專題12 概率
易錯點一：互斥與對立混淆致誤（隨機事件的概率）
Ⅰ：首先明確什么是隨機試驗
我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母表示．
隨機試驗的要求：
（1）試驗可以在相同條件下重復進行；
（2）試驗的所有可能結(jié)果是明確的，結(jié)果不止一種；
（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一種，但事先不能確定出現(xiàn)哪一種結(jié)果．
Ⅱ：隨機事件的前提樣本空間
我們把隨機試驗的每個可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為樣本點，全體樣本集合稱為試驗的樣本空間，一般地，用表示樣本空間，用表示樣本點，如果一個隨機試驗有個可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．
Ⅲ：兩類事件：隨機事件、確定事件
（1）一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．當且僅當中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生．
（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．
（3）在每次試驗中都不可能發(fā)生，我們稱為不可能事件．
（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為隨機事件的確定事件．
注意：事件的運算可以用韋恩圖可以破解
Ⅳ：互斥事件與對立事件
（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用韋恩圖表示如下：
如果，，…，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．
（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．
（3）互斥事件與對立事件的關系（重點）
①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．
②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．
Ⅴ：概率與頻率
（1）頻率：在次重復試驗中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．
（2）概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記作．
（3）概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計概率．
隨機事件的概率
對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.
解題步驟如下：
第一步：仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；
第二步：判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設出所求事件；
第三步：分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；
第四步：利用公式求出事件的概率．
易錯提醒：對于互斥事件要抓住如下的特征進行理解：第一，互斥事件研究的是兩個事件之間的關系；第二，所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；第三，兩個事件互斥是在試驗的結(jié)果不能同時出現(xiàn)來確定的．對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作．分類討論思想是解決互斥事件中有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導思想
例、判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點數(shù)都是從1~10）中，任取一張．
（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”．
解析：（1）是互斥事件，不是對立事件．
原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對立事件．
（2）既是互斥事件，又是對立事件．
原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是不可能同時發(fā)生的，但其中必有一個發(fā)生，因為撲克牌不是紅色就是黑色，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．
（3）不是互斥事件，也不是對立事件．
原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽的點數(shù)為10．因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件．
變式1．從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任取三個數(shù)，下列兩個事件為對立事件的是（ ）
A．“至多有一個是偶數(shù)”和“至多有兩個是偶數(shù)”
B．“恰有一個是奇數(shù)”和“恰有一個是偶數(shù)”
C．“至少有一個是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”
D．“恰有一個是奇數(shù)”和“至多有一個是偶數(shù)”
解：從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任取三個數(shù)，
可能有個奇數(shù)和個偶數(shù)， 個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，
“至多有一個是偶數(shù)”包括個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，
“至多有兩個是偶數(shù)”包括個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，
即“至多有一個是偶數(shù)”包含于“至多有兩個是偶數(shù)”，故A錯誤；
“恰有一個是奇數(shù)”即個奇數(shù)和個偶數(shù)，“恰有一個是偶數(shù)”即個奇數(shù)和個偶數(shù)，
所以“恰有一個是奇數(shù)”和“恰有一個是偶數(shù)”是互斥但不對立事件，故B錯誤；
同理可得“恰有一個是奇數(shù)”和“至多有一個是偶數(shù)” 是互斥但不對立事件，故D錯誤；
“至少有一個是奇數(shù)”包括個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，
“全都是偶數(shù)”即個奇數(shù)和個偶數(shù)，
所以“至少有一個是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”為對立事件，故C正確；
故選：C
變式2．設A，B是兩個隨機事件，，分別為A，B的對立事件．給出以下命題：①若A，B為互斥事件，且，，則；②若，，且，則A，B相互獨立；③若，，且，則A，B相互獨立；④若，，且，則A，B相互獨立．其中所有真命題的序號為（ ）
A．① B．② C．①②③ D．②③④
【詳解】對于①，因為A，B為互斥事件，且，，所以，所以①正確，
對于②，因為，所以，因為，,所以，所以A，B相互獨立，所以②正確，
對于③，因為，，所以，，所以，所以相互獨立，所以A，B相互獨立，所以③正確，
對于④，因為，所以，因為，，所以，所以A，B不相互獨立，所以④錯誤，
故選：C
變式3．（多選題）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設A＝“兩次都擊中飛機”，B＝“兩次都沒擊中飛機”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關系正確的是（ ）
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
【詳解】“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A D ，A∪C＝D.故A、C正確；
因為事件B，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；
對于D：A∪B＝“兩個飛機都擊中或者都沒擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯誤.
故選：ABC.
1．某中學運動會上有一個項目的比賽規(guī)則是：比賽分兩個階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對一進行比賽，共進行5局比賽，每局比賽獲勝的一方得1分，負方得0分；第二階段，比賽雙方各出4人，二對二進行比賽，共進行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負方得0分．先得到5分及以上的一方裁定為本次比賽的獲勝方，比賽結(jié)束．若甲、乙兩個班進行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的概率都是，在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是，每局比賽的結(jié)果互不影響，則甲班經(jīng)過7局比賽獲勝的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可分類分別求出甲班在第一階段獲勝的局數(shù)對應的概率，最后各種情況概率相加即可求解.
【詳解】按照甲班在第一階段獲勝的局數(shù)，分類討論如下：
（1）若甲班在第一階段獲勝的局數(shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．
（2）若甲班在第一階段獲勝的局數(shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．
（3）若甲班在第一階段獲勝的局數(shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．
（4）若甲班在第一階段獲勝的局數(shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．
所以所求概率，故A項正確.
故選：A.
2．已知為隨機試驗的樣本空間，事件A，B滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若，且，則
C．若，則
D．若，則
【答案】BD
【分析】對于A，由得；對于B，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可判斷；對于C，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式和條件概率的計算公式即可判斷；對于D，根據(jù)條件概率以及全概率公式即可判斷．
【詳解】選項A：因為，所以，選項A不正確；
選項B：若，則A，B互斥， 由，
得，選項B正確；
選項C：由得事件A，B相互獨立，所以事件也相互獨立，所以，
則，選項C不正確；
選項D：由，得，
，所以，
解得，選項D正確．
故選：BD.
【點睛】方法點睛：
條件概率中復雜事件的求解，可以靈活運用條件概率的相關性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件或?qū)α⒌氖录母怕是蠼猓?br/>①已知事件A，B，C，如果B和C是兩個互斥事件，則；
②已知事件A，B，則；
③事件A與B相互獨立時，有．
3．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C．事件與事件相互獨立 D．，，兩兩互斥
【答案】BD
【分析】根據(jù)已知得出，然后即可根據(jù)概率的乘法公式以及全概率公式，得出答案.
【詳解】由已知可得，，，，，，.
對于A項，由全概率公式可得，，故A項錯誤；
對于B項，根據(jù)已知，即可計算，故B項正確；
對于C項，由已知可得，，，故C項錯誤；
對于D項，由已知可知，，，兩兩互斥，故D項正確.
故選：BD.
4．已知為隨機事件，則下列表述中不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)及事件的運算關系，結(jié)合獨立事件、條件概率公式判斷各項的正誤.
【詳解】僅當與相互獨立時，成立，故A不正確；
當和是兩個互斥事件時才成立，故B不正確；
，故C正確；
，故D不正確．
故選：ABD
5．甲、乙、丙、丁四名教師分配到，，三個學校支教，每人分配到一個學校且每個學校至少分配一人.設事件：“甲分配到學校”；事件：“乙分配到學校”，則（ ）
A．事件與互斥 B．
C．事件與相互獨立 D．
【答案】BD
【分析】利用互斥事件、相互獨立事件的定義判斷AC；利用古典概率計算判斷B；計算條件概率判斷D作答.
【詳解】對于A，甲分配到學校的事件與乙分配到學校的事件可以同時發(fā)生，即事件與不互斥，A錯誤；
對于B，甲分配到，，三個學校是等可能的，則，B正確；
對于C，由選項B知，，，顯然，
因此事件與相互不獨立，C錯誤；
對于D，由選項BC知，，D正確.
故選：BD
6．為了促進消費，某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動：每位會員客戶可在價值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨立.
(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；
(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，.
【分析】（1）應用獨立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；
（2）根據(jù)題設確定的可能取值并確定對應概率，即可寫出分布列，進而求期望.
【詳解】（1）由題可知，甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為；
（2）由題意，兌換，，三種商品所需的積分分別為800，900，1000，
則的取值可能為0，100，200，300，400，
，，
，，
，
則的分布列為
0 100 200 300 400
.
7．截至2022年年底，女足亞洲杯已經(jīng)成功舉辦了20屆．中國女子國家足球隊在參賽的15屆亞洲杯中共獲得9次冠軍、2次亞軍和3次季軍，其輝煌戰(zhàn)績每每給國人帶來拼搏奮進的力量．在某屆女足亞洲杯中，將甲、乙、丙等12支參賽球隊平均分成，，三個小組．
(1)求甲、乙、丙三支球隊分到同一小組的概率；
(2)求甲、乙、丙三支球隊中恰有兩支分到同一組的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）古典概型求事件概率，將所有基本事件均列出，然后將符合題意的基本事件列出，即可求符合題意的事件的概率；
（2）可以直接求符合題意的事件的概率，也可以先求互斥事件的概率，間接求符合題意的事件概率.
【詳解】（1）當甲球隊分到A組時，乙、丙兩支球隊分到的小組有，，，，，，，，共9種情況．
同理，當甲球隊分到B組或C組時，乙、丙兩支球隊分到的小組也分別有9種情況，
故甲、乙、丙三支球隊的分組情況共有（種）．
又因為甲、乙、丙三支球隊分到同一小組有，，和共3種情況，
所以甲、乙、丙三支球隊分到同一小組的概率為．
（2）方法一 當甲、乙兩支球隊都分到A組而丙球隊分到B組或C組時有2種情況．
同理，當甲、乙兩支球隊都分到B組或C組而丙球隊不與它們一組時也分別有2種情況．
故甲、乙兩支球隊同組，而丙球隊不與它們一組的概率為．
同理，甲、丙兩支球隊同組，而乙球隊不與它們一組的概率也為，
乙、丙兩支球隊同組，而甲球隊不與它們一組的概率也為．
又因為上述三種情況互斥，所以甲、乙、丙三支球隊中恰有兩支分到同一組的概率為．
方法二 甲、乙、丙三支球隊中恰有兩支分到同一組的對立事件是甲、乙、丙三支球隊都分到不同小組和甲、乙、丙三支球隊都分到同一小組．
甲、乙、丙三支球隊都分到不同小組的情況有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6種，
所以甲、乙、丙三支球隊都分到不同小組的概率為．
所以甲、乙、丙三支球隊中恰有兩支分到同一組的概率為．
8．某娛樂節(jié)目闖關游戲共有三關，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關，闖關成功可獲得的獎金分別為1000元、2000元、3000元.獎金可累加，若某關闖關成功，選手可以選擇結(jié)束闖關游戲并獲得相應獎金，也可以選擇繼續(xù)闖關，若有任何一關闖關失敗，則連同前面所得獎金全部歸零，闖關游戲結(jié)束.選手小劉參加闖關游戲，已知他第一，二，三關闖關成功的概率分別為，，.第一關闖關成功選擇繼續(xù)闖關的概率為，第二關闖關成功選擇繼續(xù)闖關的概率為，且每關闖關成功與否互不影響.
(1)求小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率；
(2)設小劉所得獎金為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，數(shù)學期望為元.
【分析】（1）利用獨立事件乘法及互斥事件加法求小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率；
（2）首先確定可能，應用乘法公式、加法公式求對應概率，寫出分布列，進而求期望即可.
【詳解】（1）由題意，要使小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零，
選擇闖第二關且失敗，或選擇闖第二關且成功，又選擇闖第三關且失敗，
所以小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率.
（2）由題意，，且，
，，
，
X的分布列如下：
0 1000 3000 6000
元.
9．甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.
(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；
(2)已知比賽進行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率公式進行求解即可；
（2）分析比賽情況，根據(jù)和事件的概率公式進行求解即可.
【詳解】（1）由題可知，甲、乙、丙各旁觀1局只需討論前兩局的勝負情況，可分為：
甲勝乙、丙勝甲；乙勝甲，丙勝乙.
設甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件，，，則，，相互獨立，
設比賽完3局時，甲、乙、丙各旁觀1局為事件，則，
則，
所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為.
（2）設甲、乙、丙第局比賽獲勝分別為事件，，，，
設比賽完5局甲獲得最終勝利為事件，則
，
，
，
，
，
，
所以.
所以，已知比賽進行5局后結(jié)束，甲獲得最終勝利的概率為 .
10．某校為豐富教職工業(yè)余文化活動，在教師節(jié)活動中舉辦了“三神杯”比賽，現(xiàn)甲乙兩組進入到?jīng)Q賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為，且甲組最終獲得冠軍的概率為（每局比賽沒有平局）.
(1)求；
(2)已知冠軍獎品為28個籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎品分配方案是：如果比賽繼續(xù)進行下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請問按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個籃球
【答案】(1)
(2)甲組應獲得21個籃球，乙獲得7個籃球比較合理.
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式列式計算即可；
（2）先求出在甲第一局獲勝的情況下，甲輸?shù)舯荣惖氖录怕剩纯汕蠼?
【詳解】（1）令事件：甲組在第局獲勝，.甲組勝的概率為：，
所以，解得.
（2）由題意知，在甲組第一局獲勝的情況下，甲組輸?shù)舯荣愂录椋杭捉M接下來的比賽中連輸兩場，
所以在甲第一局獲勝的前提下，最終輸?shù)舯荣惖母怕剩醇撰@勝的概率為，
故甲組、乙組應按照3：1的比例來分配比賽獎品，
即甲組應獲得21個籃球，乙組獲得7個籃球比較合理.
易錯點二：混淆基本事件的“等可能性”與“非等可能性”致誤（古典概率）
古典概型
（1）定義
一般地，若試驗具有以下特征：
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.
稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
（2）古典概型的概率公式
一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.
（3）概率的基本性質(zhì)
（1）對于任意事件都有：．
（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．
（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．
推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．
（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．
（5）概率的單調(diào)性：若，則．
（6）若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．
解題步驟如下：
第一步：仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；
第二步：判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設出所求事件；
第三步：分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；
第四步：利用公式求出事件的概率．
易錯提醒：在解決古典概型問題時要分清事件與基本事件，每個基本事件發(fā)生的概率都是相等的，而某個事件可能包含幾個基本事件，要注意區(qū)分，避免出錯.
例、設袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地摸出2只球．
（1）求這2只球都是白球的概率；
（2）求這2只球中1只是白球1只是黑球的概率．
解：我們不妨把4只白球標以1，2，3，4號，2只黑球標以5，6號，則基本事件有，，…，，，，…，，…，，，…，，共30個．
（1）用A表示“2只球都是白球”這一事件，則
共12個．所以．
（2）用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則
共16個，所以．
變式1：袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（ ）
A． B． C． D．
解：由題意．故選B．
變式2：一個口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個小球，其中白色球3個，黑色球2個．若從中任取1個球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_____________；若從中任取2個球，記所取球中白球可能被取到的個數(shù)為，則隨機變量的期望為_____________．
解：連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率，
由題意，的可能值為，則，，，
所以.
故答案為：，.
變式3：已知不透明的袋中裝有三個黑球（記為，和）、兩個紅球（記為和），從中不放回地依次隨機抽取兩球．
(1)用集合的形式寫出試驗的樣本空間；
(2)求抽到的兩個球都是黑球的概率．
解：(1)試驗的樣本空間
；
(2)設事件“抽到兩個黑球”，則對于不放回簡單隨機抽樣，
．
因為樣本空間中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型．
因此．
所以抽到的兩個球都是黑球的概率為
1．某學校舉辦作文比賽，共5個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出甲、乙隨機抽取一個主題的試驗含有的基本事件數(shù)，甲、乙抽到不同主題的事件含有的基本事件數(shù)，再利用古典概率公式計算即得.
【詳解】依題意，甲、乙隨機抽取一個主題的試驗含有的基本事件數(shù)為，
甲、乙抽到不同主題的事件含有的基本事件數(shù)為，
所以甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概率為.
故選：B
2．書籍是人類進步的階梯，數(shù)學名著更是如此，《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》是我國古代數(shù)學領域影響深遠的四部著作，而《幾何原本》《阿基米德全集》《圓錐曲線論》被稱為“古希臘三大數(shù)學書”，代表了文藝復興之前歐洲數(shù)學的最高成就，這些著作對后世的數(shù)學發(fā)展有著深遠而廣泛的影響．現(xiàn)從這七本名著中任選三本，則至少兩本是中國數(shù)學名著的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題以中外數(shù)學名著為背景，根據(jù)組合知識、古典概型的概率求解.
【詳解】從七本名著中任選三本的所有情況有（種），至少兩本是中國數(shù)學名著的情況有（種），
所以從這七本名著中任選三本，至少兩本是中國數(shù)學名著的概率為，．
故選：C．
3．“二十四節(jié)氣”是我國上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，農(nóng)耕生產(chǎn)與大自然的節(jié)律息息相關，它是上古先民順應農(nóng)時，通過觀察天體運行，認知一歲（年）中時候（時令）、氣候、物候等變化規(guī)律所形成的知識體系．“二十四節(jié)氣”對今天的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)仍有著重要的指導意義．傳統(tǒng)四季劃分是以立春、立夏、立秋、立冬作為起始．現(xiàn)從“二十四節(jié)氣”中隨機抽取兩個節(jié)氣，則這兩個節(jié)氣恰在同一季的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用組合數(shù)公式，計算出“二十四節(jié)氣”中隨機抽取兩個節(jié)氣共有的情況數(shù)及抽取的兩個節(jié)氣恰在同一季的情況數(shù)，利于古典概型概率計算公式進行計算即可.
【詳解】從“二十四節(jié)氣”中隨機抽取兩個節(jié)氣共有（種）情況，
抽取的兩個節(jié)氣恰在同一季有（種）情況，
所以這兩個節(jié)氣恰在同一季的概率為．
故選：．
4．某大學為了了解學生課外圖書閱讀量的情況，從大二學生中抽取50名，統(tǒng)計他們今年上半年閱讀的書籍數(shù)量，發(fā)現(xiàn)讀書不低于6本的人數(shù)占，不低于8本的人數(shù)占.現(xiàn)從讀書不低于6本的學生中隨機地選取2名進行座談，則這2名學生1名讀書低于8本且不低于6本，1名讀書不低于8本的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意求得讀書本數(shù)對應的學生人數(shù)，再利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.
【詳解】讀書低于8本且不低于6本的人數(shù)為，分別記作，
不低于8本的人數(shù)為，分別記作，
則從中選出2名學生的基本事件為：，共15件，
其中1名讀書低于8本且不低于6本，1名讀書不低于8本的基本事件有，共8件，
則所求概率為.
故選：B.
5．某對新婚夫婦響應國家號召，計劃生育3個孩子，若每胎只有一個孩子，且每胎生男生女的概率相同，記事件A為“3個孩子中有男有女”，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】利用對立事件性質(zhì)和列舉法求解古典概型概率問題.
【分析】由題意可知，所有不同情況的總數(shù)為，
A的對立事件為“3個孩子全是男孩或者全是女孩”，有2種情況，
故．
故選：D．
6．某中學團委為慶祝“五四”青年節(jié)，舉行了以“弘‘五四’精神，揚青春風采”為主題的文藝匯演，初中部推薦了2位主持人，高中部推薦了4位主持人，現(xiàn)從這6位主持人中隨機選2位主持文藝匯演，則選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可列舉出從6位主持人中隨機選2位主持文藝匯演的所有組合情況，再挑選出符合題意的情況，利用概率計算公式即可得其概率為.
【詳解】設初中部的2位主持人分別為，高中部的4位主持人分別為1，2，3，4，
則從這6位主持人中隨機選2位，共有15種不同的選法，
分別是，，，，，，，，，，，，，，，
選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人有8種不同的選法，
分別是，，
故所求概率為，
故選：D．
7．先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為x，y，設事件“”，事件“”，事件“為奇數(shù)”，則（ ）
A． B．
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【答案】ACD
【分析】根據(jù)古典概型概率公式計算概率判斷AB，根據(jù)相互獨立事件的定義結(jié)合概率的求法判斷CD.
【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為x，y，
則基本事件總數(shù)為，，
，，
，，共36種情形，
滿足事件的有，共4種情形，其概率，故A正確；
滿足事件的有，共2種情形，其概率，B不正確；
滿足事件的有，
，，共18種情形，
其概率，
滿足事件的有共2種情形，所以，
則，所以與相互獨立，C正確；
滿足事件的只有一種情形，所以，
因為，所以與相互獨立，D正確.
故選：ACD.
8．某公司為了推廣旗下的某款，在2024年春節(jié)來臨之前，推出了集“福卡”得獎勵的活動，其中“福卡”有5種，分別是“福到”“財?shù)健薄跋驳健薄熬壍健薄斑\到”．規(guī)則如下：①通過登錄這款或推薦新用戶下載并使用這款可獲得若干抽獎次數(shù)；②每次抽獎可獲得一張“福卡”；③5種“福卡”是系統(tǒng)隨機分配的；④用戶集齊5種“福卡”后，便可獲得提供的獎勵；⑤集齊5種“福卡”后，用戶不再抽獎，活動結(jié)束；⑥用完所有抽獎機會，活動結(jié)束．現(xiàn)在甲參加了集“福卡”得獎勵的活動．
(1)已知甲已經(jīng)集了其中的2種“福卡”，還有3次抽獎機會，求甲獲得獎勵的概率；
(2)已知甲已經(jīng)集了其中的3種“福卡”，還有4次抽獎機會，記活動結(jié)束時，甲使用的抽獎次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數(shù)學期望為
【分析】（1）根據(jù)古典概率模型求解即可；
（2）由題設知，的所有可能取值為2，3，4，然后分別求出每種可能的取值，列出分布列，求得數(shù)學期望.
【詳解】（1）記“甲獲得獎勵”為事件A，則．
（2）由題設知，的所有可能取值為2，3，4，
則，
，
．
所以的分布列為
2 3 4
P
則．
9．某地區(qū)運動會上，有甲、乙、丙三位田徑運動員進入了男子100m決賽，某同學決定運用高中所學的知識對該次決賽的情況進行預測，為此，他收集了這三位運動員近幾年的大賽100m成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”.
甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；
乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；
丙：10.03，9.98，10.10，10.01.
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三位運動員的比賽成績相互獨立.
(1)分別估計甲、乙、丙三位運動員“破十”的概率；
(2)設這三位運動員在這次決賽上“破十”的人數(shù)為，估計X的數(shù)學期望.
【答案】(1)甲、乙、丙三位運動員“破十”的概率分別為
(2)
【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接計算得解；
（2）寫出的可能取值，計算對應的概率，根據(jù)期望公式求解即可.
【詳解】（1）甲運動員“破十”的概率為，
乙運動員“破十”的概率為，
丙運動員“破十”的概率為.
（2）的可能取值為，
，
，
，
，
所以的分布列為
0 1 2 3
期望.
10．某地區(qū)運動會上，有甲、乙兩位田徑運動員進入了男子決賽，某同學決定運用高中所學的知識對該次決賽的情況進行預測，為此，他收集了這兩位運動員近幾年的大賽成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”.
甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；
乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；
(1)求甲成績的中位數(shù)與平均數(shù)（平均數(shù)的結(jié)果保留3位小數(shù)）；
(2)從乙的5次成績中任選3次，求恰有2次成績“破十”的概率.
【答案】(1)中位數(shù)為，平均數(shù)為
(2)
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的計算公式即可求解；
（2）列舉法求解即可.
【詳解】（1）甲成績從小到大排列如下:
，
甲成績的中位數(shù)為，
平均數(shù)為；
（2）乙的5次成績有3次“破十”，記為，有2次沒“破十”，記為，
記恰有2次成績“破十”為事件，
則從乙的5次成績中任選3次的結(jié)果有：
共10種，
其中滿足事件的結(jié)果有共6種，
，即恰有2次成績“破十”的概率為.
易錯點三：條件概率應用錯誤（條件概率）
Ⅰ：條件概率
一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．
注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．
性質(zhì)
（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．
（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．
（3）如果與互斥，則．
注意：（1）如果知道事件發(fā)生會影響事件發(fā)生的概率，那么；
（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當于發(fā)生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即．
Ⅱ：相互獨立與條件概率的關系
相互獨立事件的概念及性質(zhì)
（1）相互獨立事件的概念
對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．
由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．
（2）概率的乘法公式
由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
（3）相互獨立事件的性質(zhì)
如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．
事件的獨立性
（1）事件與相互獨立的充要條件是．
（2）當時，與獨立的充要條件是．
（3）如果，與獨立，則成立．
Ⅲ：全概率公式
全概率公式
（1）；
（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意事件，都有，且
．
貝葉斯公式
（1）一般地，當且時，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意概率非零的事件，都有，
且
易錯提醒：條件概率：設A，B是條件S下的兩個隨機事件，，則稱在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為條件概率，記作，，其中表示事件A與事件B同時發(fā)生構(gòu)造的事件．
要注意概率與的區(qū)別：
（1）在中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在中，事件A，B同時發(fā)生．
（2）樣本空間不同，在中，事件B成為樣本空間；在中，樣本空間仍為，因而有．
例、假定生男生女是等可能的，某家庭有3個孩子，其中有1名女孩，求其至少有1個男孩的概率．
解：此家庭共有3個孩子，包含基本事件有（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）其中至少有1個女孩共有7種可能，其中至少有1個男孩有6種可能，故其概率為．
變式1：某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
解：試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.
變式2：設某種燈管使用了500h還能繼續(xù)使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續(xù)使用的概率是0.87，問已經(jīng)使用了500h的燈管還能繼續(xù)使用到700h的概率是多少？
解：設A＝“能使用到500h”，B＝“能使用到700h”，則，．而所求的概率為，由于，故．
故答案為：.
變式3：有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取1粒，求這粒種子能成長為幼苗的概率．
解：設事件“種子的發(fā)芽”，事件“幼苗成活”
據(jù)題意知，，，故由知，，又由于，故
即為這粒種子能成長為幼苗的概率．
故答案為：0.72.
1．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，觀察向上的點數(shù)．在第1次出現(xiàn)奇數(shù)的條件下，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件，結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.
【詳解】設第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件，
則，，
所以.
故選：C.
2．湖南第二屆旅游發(fā)展大會于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學生知曉郴州，熱愛郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州”綠色生態(tài)研學，現(xiàn)有甲，乙兩所學校從萬華巖中小學生研學實踐基地，王仙嶺旅游風景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機選擇一條線路去研學，記事件A為“甲和乙至少有一所學校選擇萬華巖中小學生研學實踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學線路不同”，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用條件概率公式計算即得.
【詳解】依題意，甲，乙隨機選擇一條線路去研學的試驗有個基本事件，
事件A含有的基本事件數(shù)是，則，
事件含有的基本事件數(shù)為，則,
所以.
故選：B
3．甲、乙兩位學生在學校組織的課后服務活動中，準備從①②③④⑤5個項目中分別各自隨機選擇其中一項，記事件：甲和乙選擇的活動各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用排列組合及計數(shù)原理，求出和，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.
【詳解】由題意知，，，
所以，
故選：B.
4．2023年3月13日第十四屆全國人民代表大會第一次會議在北京勝利閉幕，某中學為了貫徹學習“兩會”精神，舉辦“學兩會，知國事”知識競賽．高二學生代表隊由A，B，C，D，E共5名成員組成，現(xiàn)從這5名成員中隨機抽選3名參加學校決賽，則在學生A被抽到的條件下，學生B也被抽到的概率為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設出事件，利用條件概率求解公式計算.
【詳解】記事件A：學生A被抽到，事件B：學生B被抽到，
所以，，
所以．
故選：B
5．設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式求解即可.
【詳解】因為，，所以，.
因為與為互斥事件，所以，
所以
，
所以，
故，故A正確；
，故B正確；
，故C錯誤；
，，
所以，故D錯誤.
故選:AB.
6．已知為隨機試驗的樣本空間，事件A，B滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若，且，則
C．若，則
D．若，則
【答案】BD
【分析】對于A，由得；對于B，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可判斷；對于C，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式和條件概率的計算公式即可判斷；對于D，根據(jù)條件概率以及全概率公式即可判斷．
【詳解】選項A：因為，所以，選項A不正確；
選項B：若，則A，B互斥， 由，
得，選項B正確；
選項C：由得事件A，B相互獨立，所以事件也相互獨立，所以，
則，選項C不正確；
選項D：由，得，
，所以，
解得，選項D正確．
故選：BD.
【點睛】方法點睛：
條件概率中復雜事件的求解，可以靈活運用條件概率的相關性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件或?qū)α⒌氖录母怕是蠼猓?br/>①已知事件A，B，C，如果B和C是兩個互斥事件，則；
②已知事件A，B，則；
③事件A與B相互獨立時，有．
7．多巴胺是一種神經(jīng)傳導物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風格，通過色彩艷麗的時裝調(diào)動正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當天穿紅色，否則穿藍色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍色后，再選連衣裙的可能性為0.5.
(1)寫出小李同學抽到紅球個數(shù)的分布列及期望；
(2)求小李同學當天穿連衣裙的概率.
【答案】(1)分布列見解析，
(2).
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布求出的概率，列出分布列，求出數(shù)學期望即可；
（2）設A表示穿紅色衣物，則表示穿藍色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.求出，結(jié)合條件概率和計算即可求解.
【詳解】（1）設抽到紅球的個數(shù)為X，則X的取值可能為4，3，2，
，，，
所以X的分布列為：
X 4 3 2
P
故.
（2）設A表示穿紅色衣物，則表示穿藍色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.
因為穿紅色衣物的概率為，
則穿藍色衣物的概率為，
穿紅色連衣裙的概率為，穿藍色連衣裙的概率為，
則當天穿連衣裙的概率為.
所以小李同學當天穿連衣裙的概率為.
8．從今年起，我國將于每年5月第四周開展“全國城市生活垃圾分類宣傳周”活動，首屆全國城市生活垃圾分類宣傳周時間為2023年5月22日至28日，宣傳主題為“讓垃圾分類成為新時尚”，在此宣傳周期間，某社區(qū)舉行了一次生活垃圾分類知識比賽.要求每個家庭派出一名代表參賽，每位參賽者需測試A，B，C三個項目，三個測試項目相互不受影響.
(1)若某居民甲在測試過程中，第一項測試是等可能的從三個項目中選一項測試，且他測試三個項目“通過”的概率分別為.已知他第一項測試“通過”，求他第一項測試選擇的項目是的概率；
(2)現(xiàn)規(guī)定：三個項目全部通過獲得一等獎，只通過兩項獲得二等獎，只通過一項獲得三等獎，三項都沒有通過不獲獎.已知居民乙選擇的順序參加測試，且他前兩項通過的概率均為，第三項通過的概率為.若他獲得一等獎的概率為，求他獲得二等獎的概率的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用全概率公式和條件概率公式即可得到答案；
（2）根據(jù)得到，再利用導數(shù)求出其最值即可.
【詳解】（1）記事件“第一項測試選擇了項目”，“第一項測試選擇了項目”，“第一項測試選擇了項目”，記事件“第一項測試合格”，由題意知，
，
，
又事件互斥，則，
即，
所以在居民甲第一項測試“合格”的條件下，他第一個項目選擇了的概率為：
，
即已知居民甲第一項測試“合格”，他第一項測試選擇的項目是的概率是.
（2）由居民乙獲一等獎的概率為，可知.
則.
令，
當時，；當時，.
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).
所以.所以的最小值為.
9．抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中3雙是一次性筷子，2雙是非一次性筷子，每次使用筷子時，從抽屜中隨機取出1雙（2只都為一次性筷子或都為非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過清洗再次放入抽屜中，求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的雙數(shù)的分布列及數(shù)學期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，期望為1.606
【分析】（1）根據(jù)全概率公式、條件概率公式求得正確答案.
（2）通過求概率求得分布列，并求得數(shù)學期望.
【詳解】（1）設第1次取出的是一次性筷子為事件A，第2次取出的是非一次性筷子為事件B，
則，
，
所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，
第1次取出的是一次性筷子的概率；
（2）記取出的一次性筷子的雙數(shù)為X，則，
則，
，
，
則，
則X的分布列為
X 0 1 2 3
P 0.064 0.366 0.47 0.1
數(shù)學期望.
10．從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；
(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個人相互做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為.
①直接寫出，，的值；
②求與的關系式，并求出.
【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為
(2)①，，；②，
【分析】1）由離散型隨機變量的分布列可解；
（2）記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，由全概率公式可求，再由數(shù)列知識，由遞推公式求得通項公式.
【詳解】（1）的所有可能取值為1，2，3.則
；；.
所以隨機變量的分布列為：
1 2 3
數(shù)學期望.
（2）若剛好抽到甲、乙、丙三個人相互做傳球訓練，且次傳球后球在甲手中的概率為.
則有.
記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”.
所以
.
即.
所以，且.
所以數(shù)列表示以為首項，為公比的等比數(shù)列.
所以，.
即次傳球后球在甲手中的概率是.
資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】

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