資源簡介

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第06講 函數的概念及其表示
1、考點透視
考點要求 考題統計 考情分析
（1）了解函數的含義，會求簡單函數的定義域和值域． （2）在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數． （3）了解簡單的分段函數，并會簡單的應用． 2023年北京卷第15題，5分 2022年浙江卷第14題，5分 2021年浙江卷第12題，5分 高考對函數的概念及其表示的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．高考對本節的考查不會有大的變化，仍將以分段函數、定義域、值域及最值為主，綜合考查不等式與函數的性質．
2、思維導圖
3.考點突破，題型探究
知識點1：函數的概念
（1）一般地，給定非空數集，，按照某個對應法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應，那么從集合到集合的這個對應，叫做從集合到集合的一個函數．記作：，．集合叫做函數的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．
（2）函數的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射．
【診斷自測】下列圖象中，y不是x的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】任作一條垂直于x軸的直線，移動直線，根據函數的定義可知，此直線與函數圖象至多有一個交點，結合選項可知D不滿足要求，因此D中圖象不表示函數關系．故選：D.
知識點2：函數的三要素
（1）函數的三要素：定義域、對應關系、值域．
（2）如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數為同一個函數．
【診斷自測】下列四組函數：① ；② ；③； ④；其中表示同一函數的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【解析】① ，兩個函數對應法則不一樣，不是同一函數；
②，兩個函數定義域和對應法則一樣，是同一函數；
③，兩個函數定義域和對應法則一樣，是同一函數；
④，兩個函數定義域不一樣，不是同一函數.故選：B.
練1（北師大必修1）下列各組中的兩個函數是否為同一個函數
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解 (1) 因為 的定義域是 的定義域是 ,兩個函數的定義域不同, 所以不是同一個函數;(2) 因為兩個函數的對應關系不同, 所以不是同一個函數;
(3) 因為 的定義域是 的定義域是 ,兩個函數的定義域不同,所 以不是同一個函數;
(4) 和 雖然表示自變量的字母不同,但它們的定義域及對應關系都相同,所以是同 一個函數.
知識點3：函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
【診斷自測】已知函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，則，由于，則，
可得，所以.故選：B.
知識點4：分段函數
若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．
【診斷自測】（2024·吉林·模擬預測）已知若，則實數的值為（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【答案】B
【解析】當時，，則，解得：（舍去）；
當時，，則，解得：.
故選：B.
解題方法總結
1、基本的函數定義域限制
求解函數的定義域應注意：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次方根的被開方數大于或等于零：
（3）對數的真數大于零，底數大于零且不等于1；
（4）零次冪或負指數次冪的底數不為零；
（5）三角函數中的正切的定義域是且；
（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；
（7）對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域．
2、基本初等函數的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：當時，值域為；當時，值域為．（3）的值域是．（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
題型分類解 析
題型一：函數的概念
【典例1-1】下列對應是從集合A到集合B的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對于A選項，對集合A中的任意一個數x，集合B中都有唯一的數y與之對應，是函數；
對于B選項，時，，有兩個y與之對應，不是函數；
對于C選項，當時，不存在，不是函數；
對于D選項，集合A中的元素0在集合B中沒有對應元素，不是函數.
故選：A
【典例1-2】已知是定義在有限實數集A上的函數，且，若函數的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則的值不可能是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得到，問題相當于圓上由個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合，
我們可以通過代入和賦值的方法，
當時，此時得到的圓心角為，然而此時或者時，都有個與之對應，
而我們知道函數的定義就是要求一個只能對應一個，
因此只有當時旋轉，此時滿足一個只會對應一個.
故選.：C.
【變式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函數的圖像繞原點逆時針旋轉后與原圖像重合，則在以下各項中，的定義域不可能是（ ）
A．B．C． D．R
【答案】B
【解析】對于函數圖象上任一點逆時針旋轉可得，
即也在函數圖象上，
所以均在函數圖象上，都在定義域內，
從而結合函數定義有，當時，有
若定義域為，則不存在滿足題意的對應值，故B錯誤；
故選：B.
【變式1-2】將函數的圖象繞著原點沿逆時針方向旋轉角得到曲線，已知曲線始終保持為函數圖象，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由題設，在原點處的切線斜率，
所以切線方程為，設切線傾斜角為，則，
當繞著原點沿逆時針方向旋轉時，始終保持為函數圖象，
則，故，顯然為銳角，
所以，故的最大值為．故選：B
【變式1-3】存在定義域為的函數，滿足對任意，使得下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于A，因為有兩個不相等的根和，所以當時，；
當，，與函數的定義不符，故A不成立；
對于B，令，則，令，則，與函數定義不符，故B不成立；對于C，令，則，令，則，與函數定義不符，故C不成立；
對于D，，，唯一確定，符合函數定義.故D成立，故選：D.
題型二：同一函數的判斷
【典例2-1】下列各組函數相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】對于A中，函數的定義域為R，的定義域為，
所以定義域不同，不是相同的函數，故A錯誤；
對于B中，函數的定義域為R，的定義域為，
所以定義域不同，不是相同的函數，故B錯誤；
對于C中，函數的定義域為R，與的定義域為，
所以定義域不同，所以不是相同的函數,故C錯誤；
對于D中，函數與的定義域均為R，
可知兩個函數的定義域相同，對應關系也相同，所以是相同的函數, 故D正確；
故選：D.
【典例2-2】（多選題）下列各項不能表示同一個函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】ABD
【解析】對于A:定義域為，定義域為，A不能表示同一個函數,A選項正確；
對于B:與解析式不同，B不能表示同一個函數，B選項正確；
對于C:解析式及定義域都相同，C選項是同一函數，C選項不正確；
對于D:定義域為，定義域為，D不能表示同一個函數，D選項正確；
故選:ABD.
【方法技巧】
當且僅當給定兩個函數的定義域和對應法則完全相同時，才表示同一函數，否則表示不同的函數．
【變式2-1】（多選題）下列各組函數表示的是不同函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】ACD
【解析】A. 的定義域為，且，的定義域為，解析式不同，所以不是同一函數，故錯誤；
B. 的定義域為R，定義域為R，且解析式相同，所以是同一函數，故正確；
C. 的定義域為R，的定義域為，所以不是同一函數，故錯誤；
D.，由得，所以的定義域為，由，得 或 ，
所以函數的定義域為或 ，所以不是同一函數，故錯誤；
故選：ACD
【變式2-2】以下四組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】B
【解析】從定義域，對應關系，值域是否相同，逐項判斷即可．
對于A：的值域為，的值域為，所以A錯誤；
對于B：的定義域需滿足，即為，
的定義域滿足，即為，且，
所以和是同一個函數，B正確；
對于C：的定義域為，的定義域為，所以C錯誤；
對于D：的定義域滿足，即為，
的定義域需滿足，即為，所以D錯誤，
故選：B
【變式2-3】（多選題）（2024·高三·浙江金華·期末）已知函數，．（ ）
A.若，則 B．若，則
C．對于，若，則 D．對于，若，則
【答案】CD
【解析】對A：若，則，，故A錯誤；
對B：若，則，，
，故B錯誤；
對C：若，則，，
又，故，故，即，
即恒成立，故，故C正確；
對D：若，則，
，又，故恒成立，
即，故，
即恒成立，故，即，故D正確.故選：CD.
題型三：給出函數解析式求解定義域
【典例3-1】（2024·北京通州·二模）已知函數的定義域為 ．
【答案】
【解析】根據題意可得,解得故定義域為.故答案為：
【典例3-2】已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數，則函數的定義域為(
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題設有，由得，故選A.
【變式3-1】函數的定義域是 .
【答案】
【解析】由的解析式可得，解得；所以其定義域為.故答案為：
【變式3-2】（2024·北京懷柔·模擬預測）函數的定義域是 .
【答案】
【解析】函數有意義，則，解得或，
所以函數的定義域是.
故答案為：
【變式3-3】（2024·北京平谷·模擬預測）函數的定義域是
【答案】
【解析】函數有意義的條件是，解得且，
所以函數定義域為.
故答案為：.
題型四：抽象函數定義域
【典例4-1】已知函數的定義域是，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為函數的定義域是，所以，所以，所以函數的定義域為，所以要使函數有意義，則有，解得，
所以函數的定義域為.故選：A.
【典例4-2】已知的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為定義域為，所以的定義域為，解得，
由分母不為，得，即，所以函數定義域為：.故選：.
【變式4-1】（2024·高三·河北邢臺·期末）若函數的定義域為，則函數的定義域為 ．
【答案】
【解析】因為，所以，所以的定義域為，
要使有意義，需滿足，解得，
所以函數的定義域為.
故答案為：.
【變式4-2】已知函數的定義域為，求的定義域 .
【答案】
【解析】∵的定義域為，即，∴，故需，∴．
∴的定義域為．故答案為：
【變式4-3】（1）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 ．
（2）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 ．
【答案】
【解析】（1）令，則，
因為函數的定義域為，所以，
所以函數的定義域為．
（2）令，，則，．
因為函數的定義域為，所以，
所以函數的定義域為，
所以，所以，
所以函數的定義域為．
故答案為：；
題型五：函數定義域的綜合應用
【典例5-1】已知函數的定義域為R，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【解析】由函數的定義域為R，得，恒成立.
當時，恒成立；當時，，解得.
綜上所述，實數a的取值范圍為.故選：C.
【典例5-2】若函數的定義域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，的定義域為，
所以首先滿足恒成立，，
再者滿足，變形得到
，最終得到.
故選：B.
變式5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函數的定義域為，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【解析】函數的定義域為，
得恒成立，
當時，恒成立；
當時，，得，
綜上，實數的取值范圍是.
故答案為：
【變式5-2】若函數的定義域為，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由題意得，在R上恒成立，
當時，，成立；
當時，，即，解得；
綜上所述，.故答案為：.
【變式5-3】當時，函數和有意義，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由題意知，當時，不等式組成立.
對于，整理得，令，則，
當時，單調遞增;時，單調遞減，所以，則，解得；對于，整理得，由于在上的最小值為2，所以，解得.綜上可得.故答案為：.
題型六：待定系數法求解析式
【典例6-1】一次函數在上單調遞增，且，則 .
【答案】
【解析】設，則，
，
則.又在上單調遞增，即，
所以，，則.故答案為：
【典例6-2】已知二次函數滿足，，則不等式的解集為 ．
【答案】．
【解析】由二次函數滿足，
設的表達式為（，為常數），
則；
，
根據，得，解得，
所以，令，則，解得，
所以的解集為．故答案為：．
【變式6-1】已知函數是一次函數，且，則的解析式為 .
【答案】或
【解析】設()，
則，
則，解得，，或，，
故或.
故答案為：或.
【變式6-2】已知二次函數，其圖象過點，且滿足，則的解析式為 .
【答案】
【解析】根據題意可知，
又恒相等，
化簡得到恒相等，
所以，故，，，
所以的解析式為.故答案為：.
題型七：換元法求解析式
【典例7-1】已知f(x＋)＝x2＋，則函數f(x)＝ ．
【答案】x2－2(|x|≥2)
【解析】配湊法. f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).
【典例7-2】已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，，則，，所以，所以的解析式為：故選：B.
【變式7-1】設是定義在上的函數，且有唯一解或無解，且對任意，均有，請寫出一個符合條件的 .
【答案】或（答案不唯一）
【解析】當時，，
所以；或者，當時，
，所以.
故答案為：或（答案不唯一）.
【變式7-2】若是定義域為上的單調函數，且對任意實數都有，其中是自然對數的底數，則 （　　）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵是定義域為上的單調函數，且，
∴在上存在唯一一個實數使得，于是.令，得，即.畫出與的圖像如圖所示：
由圖像可知，與的圖像在上只有1個交點，
且是方程的解，所以，故.
故選:B.
【變式7-3】（2024·高三·江西·期中）設是定義在上的單調函數，若，則不等式的解集為 .
【答案】
【解析】由，可得必為定值，
設，即，
由，解得，所以，
則不等式，即為，可得，解得，
所以不等式的解集為.故答案為：.
【變式7-4】設是定義在上的單調增函數，且滿足，若對于任意非零實數都有，則 .
【答案】2021
【解析】令，則，
令，則，解得或.
而，則，故，因此.
則，
即.
因此或，
當時，，在上單調遞減，不滿足題意，舍去；
當時，滿足題意.則.
故答案為：
題型八：方程組消元法求解析式
【典例8-1】已知為奇函數，為偶函數，且滿足，則=（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由題意知，為奇函數，為偶函數，則，
所以，即，
解得.故選：D
【典例8-2】已知，那么 ．
【答案】
【解析】∵，，∴．聯立方程組，
解得．故答案為：.
【變式8-1】（2024·高三·遼寧丹東·期中）若，函數滿足，則 ．
【答案】/-0.5
【解析】由題意知：，，
所以得：，
解之得：，即，所以得：．
故答案為：
【變式8-2】已知滿足，則 ．
【答案】
【解析】因為，所以，
聯立，解得.故答案為：.
【變式8-3】（2024·河南·模擬預測）已知函數對定義域內的任意實數滿足，則 .
【答案】
【解析】由，得，即①，將換為，得②，由①+2②，得，故.
故答案為：.
題型九：賦值法求解析式
【典例9-1】已知函數的定義域為R，且，，請寫出滿足條件的一個 （答案不唯一）．
【答案】1,（答案不唯一）
【解析】令，則，又，
所以，即，所以函數為偶函數，
不妨取偶函數，則，
也可取，則，滿足題意.
故答案為：,（答案不唯一）
【典例9-2】已知函數，且 ， ，則函數的一個解析式為 .
【答案】（不唯一）
【解析】由題意，，
累乘可得，即，
令，則，
所以，
故答案為：（不唯一）
【變式9-1】已知函數滿足，則的解析式可以是 （寫出滿足條件的一個解析式即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】設，由，
代入可得，，解得，
.
故答案為：.（答案不唯一只要正確即可）
【變式9-2】（2024·高三·江蘇揚州·開學考試）寫出滿足的函數的解析式 ．
【答案】
【解析】中，令，得；
令得，故，
則．
故答案為：．
【變式9-3】對，函數都滿足：①；②；③；則 ．
【答案】
【解析】由題意，，
在中，
，，，
解: 由題意, 有, ,
∵,
∴,
∴有,
∵,
∴,
∴當, 即 ,
∵,
∴,
∴，.
故答案為: .
【變式9-4】設偶函數f(x)滿足：，且當時時，，
則 ．
【答案】
【解析】利用初始值和遞推關系，逐漸求得，，，，，最后求得再利用偶函數的性質得出所求.，
，
,
,
,
,
∵f(x)是偶函數，
．
故答案為：．
題型十：求值域的7個基本方法
【典例10-1】求下列函數的值域：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；
(6)；(7)；(8)；
【解析】（1）因為，
故的值域為；
（2）令，則，
而，則，
故，
即的值域為；
（3），
因為，故，
所以的值域為;
（4）令，則，
當時，取到最大值5，無最小值，
故的值域為；
（5）因為，令,
故，
由于，故，
即函數的值域為；
（6），
當時，；當時，；當時，，
故的值域為；
（7）因為恒成立，故,
則由可得，
當時，，適合題意；
當時，由于，故恒有實數根，
故，解得且，
故的值域為；
（8），
因為，故，
當且僅當，即時等號成立，
故，即函數值域為；
【典例10-2】求下列函數的值域．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)（）．
【解析】（1）因為，所以．故值域為．
（2）因為，且，所以，所以，故函數的值域為．
（3）令，則，且，
所以（）．故函數的值域．
（4），其中，，
當時，．
又因為，所以．
故函數的值域為．
（5）因為，所以，所以，
當且僅當，即時，取等號，即取得最小值8．
故函數的值域為．
【方法技巧】
函數值域的求法主要有以下幾種
（1）觀察法：根據最基本函數值域（如≥0，及函數的圖像、性質、簡單的計算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復合函數的值域．
（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數可配方的特點，結合二次函數的定義城求出函數的值域．
（3）圖像法：根據所給數學式子的特征，構造合適的幾何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．
（5）換元法：分為三角換元法與代數換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數轉化為二次型函數．
（6）分離常數法：對某些齊次分式型的函數進行常數化處理，使函數解析式簡化內便于分析．
（7）單調性法：先確定函數在定義域（或它的子集）內的單調性，再求出值域．對于形如或的函數，當ac>0時可利用單調性法．
【變式10-1】求下列函數的值域．
（1）求函數的值域．
（2） 求函數的值域．
（3）求函數，的值域．
【解析】(1) .
當時，y取最小值，
所以函數值域是．
（2）由函數解析式得.
①當時，①式是關于x的方程有實根．
所以，解得.
又當時，存在使解析式成立，
所以函數值域為．
（3）令，
因為，所以，
所以，
所以，
所以．
所以該函數值域為．
【變式10-2】求下列函數的值域：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）令，則，，
所以，
所以的值域為.
（2），
由反比例函數性質可知，在上單調遞增，
所以，即，
所以的值域為.
（3）,
令，則，
由對勾函數性質可知，在上單調遞增，所以，
由反比例函數性質可知，在單調遞減，
所以，即的值域為.
【變式10-3】求下列函數的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
【解析】（1）分式函數，
定義域為，故，所有，
故值域為；
（2）函數中，分母，
則，故值域為；
（3）函數中，令得，
易見函數和都是減函數，
故函數在時是遞減的，故時，
故值域為；
（4），
故值域為且；
（5），
而，，
，，
即，故值域為；
（6）函數，定義域為，令，
所以，所以，對稱軸方程為，
所以時，函數，故值域為；
（7）由題意得，解得，
則，
故，，，
由y的非負性知，，故函數的值域為；
（8）函數，定義域為，，故，即值域為；
（9）函數，定義域為，
故，所有，故值域為；
（10）函數，
令，則由知，，，
根據對勾函數在遞減，在遞增,
可知時，，故值域為.
題型十一：數形結合求值域
【典例11-1】函數的值域為
【答案】
【解析】表示點與點連線的斜率，
的軌跡為圓，
表示圓上的點與點連線的斜率，
由圖象可知：過作圓的切線，斜率必然存在，
則設過的圓的切線方程為，即，
圓心到切線的距離，解得：，
結合圖象可知：圓上的點與點連線的斜率的取值范圍為，
即的值域為.
故答案為：.
【典例11-2】函數的值域為 .
【答案】
【解析】原式為，即可看作是動點到定點的距離之和，
設關于軸的對稱點為，連接交軸于 ，此時最小，且最小值為，故函數的值域為，
故答案為：
【變式11-1】函數的值域是 ．
【答案】
【解析】設函數，令，則點位于一個單位圓x軸的上半部分，如圖所示．
將函數改寫為，則表示定點與點所連直線的斜率．
當直線與上半單位圓相切時，在直角三角形中，，所以．又，所以．即函數的值域為．
【變式11-2】函數的值域是 ．
【答案】
【解析】，
由，解得，
令，即，
將函數的值域轉化為與有交點時的t的取值范圍，
在同一坐標系中作函數與的圖象如圖所示：
由圖象知：當直線與半圓相切時，t最小，
此時，解得，由圖象知，
當直線過點時，t最大，此時，
所以，即的值域是，
故答案為：
【變式11-3】函數的值域為 .
【答案】
【解析】由題設，
所以所求值域化為求軸上點到與距離差的范圍，如下圖示，
由圖知：，即，
當三點共線且在之間時，左側等號成立；
當三點共線且在之間時，右側等號成立，顯然不存在此情況；
所以，即，
所以函數值域為.
故答案為：
【變式11-4】函數的值域為 .
【答案】
【解析】設，則有，，
其幾何意義為半圓上一動點到定點的連線的斜率．
如圖：,則，
設過點A的直線為，
整理為，由點到直線的距離公式可得
，化簡得或（舍），
所以，
故答案為:
題型十二：值域與求參問題
【典例12-1】若函數的值域為，則的值為 .
【答案】
【解析】設，可得，
由題意可知，關于的方程在上有解，
若，可得，則；
若，則，即，
由題意可知，關于的二次方程的兩根為、，
由韋達定理可得，解得.
綜上所述，.
故答案為：.
【典例12-2】若函數的值域為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當時，，即值域為，滿足題意；
若，設，則需的值域包含，
，解得：；
綜上所述：的取值范圍為.
故選：C.
【變式12-1】已知函數的值域為，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得在，上單調遞減，
因為函數的值域為，，
所以，
，
，，，，
，
，，結合可得：，，
，．
故選：．
【變式12-2】定義若函數，則的最大值為 ；若在區間上的值域為，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】當時，解得或，
所以，
作出的圖象如下圖所示：
由圖象可知：當時，有最大值，所以；
當時，解得或或；
當時，或，
由圖象可知：當，時，的值域為，此時的最大值為；
當時，的值域為，此時，
由上可知，的最大值為，
故答案為：；.
【變式12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】當時，，此時，
當且時，，
此時，且，所以不滿足；
當且時，，
由對勾函數單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，此時，
若要滿足的值域為，只需要，解得；
當且時，因為均在上單調遞增，
所以在上單調遞增，且時，，時，，
所以此時，此時顯然能滿足的值域為；
綜上可知，的取值范圍是，
故答案為：.
題型十三：判別式法求值域
【典例13-1】函數，的值域為 ．
【答案】
【解析】因為，整理得，
可知關于x的方程有正根，
若，則，解得，符合題意；
若，則，
可得或，
解得或且，則或或；
綜上所述：或，
即函數，的值域為.
故答案為：.
【典例13-2】函數的值域是 ．
【答案】
【解析】由題知函數的定義域為，
所以，將整理得，
所以，當時，；
當時，，解得，
所以，，即函數的值域是
故答案為：
【方法技巧】
判別式法：把函數解析式化為關于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數值域問題可運用判別式法（注意x的取值范圍必須為實數集R）．
【變式13-1】已知，且，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因為，所以.
又因為，
所以，解得.
故答案為：.
【變式13-2】已知，函數的最大值為，則實數的值為 .
【答案】1
【解析】，
，
兩邊平方得：，
即，
再平方得：，
化簡得：，
當，即時，，
此時最大值為，不符題意.
所以.
因為方程有解，所以，
即，
化簡得：，因為，所以，
又因為的最大值為，所以，
所以.
故答案為：.
【變式13-3】函數的值域是 .
【答案】
【解析】，
因為
所以函數的定義域為
令，整理得方程：
當時，方程無解；
當時，
不等式整理得：
解得：
所以函數的值域為.
故答案為：
題型十四：三角換元法求值域
【典例14-1】求函數的值域.
【解析】，可設，
則.
設，則，從而.
（其中，），，
，，且..
故函數的值域為.
【典例14-2】（2024·高三·河南·期中）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意且，所以函數的定義域為.
設，，則，，其幾何含義表示點與的斜率，為圓弧上一動點，
如圖，當為圓弧為右端點時，斜率最小，最小值為，
當與圓弧相切時，直線的斜率存在且最大，設，即，
則圓心到直線的距離，即，如圖，顯然，所以.
所以函數的值域為.
故選：C.
【變式14-1】（2024·上海徐匯·模擬預測）函數的值域為 .
【答案】
【解析】.
令 且θ∈[0，π]
∴
=，表示兩點（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故點在單位圓的上半部分.
如圖，斜率最小為，斜率最大值為直線與半圓相切時的斜率，，化簡得，由，解得 ，故切線的斜率為.所以斜率的取值范圍，也即函數的值域為.
故答案為：
題型十五：分段函數求值、求參數問題
【典例15-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【解析】由題意知．
故選：D．
【典例15-2】已知函數，若，則（ ）
A．0 B．2 C． D．2或3
【答案】B
【解析】當時，則，解得：或（舍去）
當時，則，解得：（舍去）
綜上所述：
故選：B.
【變式15-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數，若，則的值為（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．1或
【答案】A
【解析】當時，，解得，
當時，，得，
所以的值是2或．
故選：
【變式15-2】（2024·全國·模擬預測）設，若，則（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
【答案】A
【解析】因為的定義域為，則，解得，
若，則，可得，不合題意；
若，則，可得，解得；
綜上所述：.
所以.
故選：A.
【變式15-3】（2024·江蘇南通·二模）已知函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為
由于，則．
故選：B
題型十六：分段函數與方程、不等式
【典例16-1】已知函數若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，
若，則，即，解得，所以
若，則，即，解得，所以，
綜上，不等式的解為.
故選：D
【典例16-2】（2024·福建福州·模擬預測）已知函數，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】當時，由得，兩邊取以e為底的對數得：，
當時，由得，解得，
綜上或.
故選：A.
【變式16-1】（2024·湖北·一模）已知函數，則關于x的不等式的解集為 ．
【答案】
【解析】當時，得，
當時，，得，所以，
綜上：的解集為，
故答案為：.
【變式16-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則不等式的解集是 .
【答案】
【解析】當時，由得，解得，此時，；
當時，由得，即，解得，此時，.
綜上所述，不等式的解集是.
故答案為：.
1．（2023年北京高考數學真題）已知函數，則 ．
【答案】1
【解析】函數，所以.
故答案為：1
2．（2022年新高考北京數學高考真題）函數的定義域是 ．
【答案】
【解析】因為，所以，解得且，
故函數的定義域為；
故答案為：
3．（2021年浙江省高考數學試題）已知，函數若，則 .
【答案】2
【解析】，故，
故答案為：2.
2．(鏈接蘇教必修一P115T4)在下列圖形中，能表示函數關系y＝f(x)的是(　　)
答案：D
3．[多選題](鏈接人A必修一P67T3)下列各組函數是同一個函數的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1與g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝與g(x)＝x
C．f(x)＝與g(x)＝
D．f(x)＝x與g(x)＝
答案：AC
解析：f(x)＝與g(x)＝x的值域不同；f(x)＝x與g(x)＝＝|x|的對應關系不同，故BD錯誤，AC正確．
4.（蘇教版必修一）判斷下列各組函數是否是同一個函數, 并說明理由:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解： (1) 不是. 函數 的定義域為 ,而函數 的定義域為 , 故不是同一個函數.
(2) 不是. 定義域不同.
(3) 是. 定義域和對應關系都相同
(4) 是. 定義域和對應關系都相同.
4．(鏈接人A必修一P65例2)已知函數f(x)＝x＋，則f(x)的定義域為________；若f(a)＝2，則a的值為________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)　1
解析：要使函數f(x)有意義，必須使x≠0，故f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由f(a)＝2得a＋＝2，解得a＝1.
1．（人教版必修1）若，且，，求的值.
【解析】因為,且,
則,解方程組可得
則
所以
2．（人教版必修1）已知函數，，．

（1）在圖中畫出函數，的圖象；
（2）定義：，用表示，中的較小者，記為，請分別用圖象法和解析式法表示函數．（注：圖象法請在圖中表示，本題中的單位長度請自己定義且標明）
【解析】（1），的圖象如下圖所示：
（2）當時，，則；
當時，，則；
當時，，則；
綜上所述：.
圖象如下圖所示：
3．（人教版必修1）函數的圖象如圖所示，曲線l與直線m無限接近，但永不相交．
（1）函數的定義域、值域各是什么？
（2）r取何值時，只有唯一的值與之對應？
【解析】（1）由圖可知，函數的定義域為，值域為；
（2）由圖可知，當或時，只有唯一的值與之對應，故.
（北師大版必修1）設集合 ,函數 已知 ,且 ,求實數 的取值范圍.
解：因為 ,
所以 . ,
所以 ,
解得 .
所以實數 的取值范圍是 .
4．（人教版必修1）畫出定義域為，且，值域為的一個函數的圖象.
（1）將你的圖象和其他同學的相比較，有什么差別嗎？
（2）如果平面直角坐標系中點的坐標滿足，那么其中哪些點不能在圖象上？
【解析】1）由題意可知：定義域為，且，值域為，圖象可以是如下圖所示：
（2）由題意可知中：線段，和線段上的點不在圖象上如下圖所示：
5．（人教版必修1）如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點P的距離是2km，從點P沿海岸正東處有一個城鎮.
（1）假設一個人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度是，t（單位：h）表示他從小島到城鎮的時間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處距點P的距離，請將t表示為x的函數.
（2）如果將船停在距點P 4km處，那么從小島到城鎮要多長時間（精確到1h）？
【答案】（1）（2）.
【詳解】解：（1）如圖，此人坐船所用時間為，步行所用時間為.
（2）當時，.
2.（北師大版必修1） 畫出函數 的圖象.
解：
（人教版必修1）函數的函數值表示不超過x的最大整數，例如，，.當時，寫出函數的解析式，并畫出函數的圖象.
【詳解】解：
函數圖象如圖所示：
易錯點：錯求抽象函數的定義域
易錯分析： 定義域不是指的范圍，而是指的范圍.
答題模板：求抽象函數的定義域
1、模板解決思路
解決本模板問題的要點是知道函數中的范圍，也就是函數中的范圍，解不等式就可得到函數的定義域．
2、模板解決步驟
第一步：由函數的定義域，即的取值范圍，求出的取值范圍．
第二步：用集合或區間表示所求定義域．
【易錯題1】函數的定義域為，則函數的定義域是 .
【答案】
【解析】根據抽象函數求定義域的基本原則可得出關于實數的不等式組，由此可解得原函數的定義域.函數定義域為，對于函數，有，
解得且
因此函數的定義域為.
故答案為：.
【易錯題2】若函數的定義域為，則的定義域為 .
【答案】
【解析】先由函數的定義域求出的范圍，進而可得，解不等式組可得函數的定義域．函數的定義域為，則，
可得
進而有，解得，故
則的定義域為
函數概念的起源
17 世紀早期, 由于天文學和航海事業的發展, 科學家以解釋地球和天體運動作為 研究課題, 推動了函數概念的發展. 意大利科學家伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642) 第一個提出了函數或稱為變量關系的這一概念. 1638 年, 伽利略積數十年之力在《關于 兩個新科學的論述和數學演示》中以對話體裁和較樸素的文筆, 總結了他在材料力學和 動力學方面的研究成果, 以及對力學原理的思考, 講述了幾乎包括全部變量關系的這一概念, 用文字和比例的語言表達了函數的關系.
“function (函數)” 這個詞作為數學術語, 最初是由微積分奠基人之一、德國哲學家、 數學家萊布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) 在 1673 年的手稿中首次使用 的. 萊布尼茨所指的函數是現在的可導函數. 1692 年, 萊布尼茨在《Acta Eruditorum(教 師學報)》發表的論文中正式使用函數來表示變量之間的依賴關系。我們可以把萊布尼 茨建立的概念看成是函數的第一個定義.
1859 年, 我國清代數學家李善蘭 (1811-1882) 在翻譯《代數學 (Elements of Alge- bra) 》時, 把 “function” 譯為 “函數”, 他給出的理由是“凡此變數中函彼變數者, 則此為彼 之函數”, 即“函”為包含之意.
1905 年, 哥廷根數學學派的創始人、現代國際數學教育的奠基人、德國數學家克萊 因在為中學數學教學起草的《數學教學要目 (米蘭大綱)》中明確提出: “應將養成函數思 想和空間觀察能力作為數學教學的基礎. "1908 年, 在巴黎國際數學家大會上, 他倡導 “函數的概念應該成為數學思維的心臟和靈魂, 滲透到數學課程的每一個部分”. 在名 著《高觀點下的初等數學》中, 他進一步強調函數應該成為中學數學的“基石”, 應該把算 術、代數和幾何方面的內容, 通過幾何的形式用以函數為中心的觀念綜合起來.
我國基礎教育真正意義上的函數教學起始于 1941 年頒布的《修正初級中學數學課 程標準》, 教學目標中明確規定要“培養學生分析能力、歸納方法、函數觀念及探討精 神”. 目前, 函數已經成為中學數學中最基本、最重要的內容.
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第06講 函數的概念及其表示
1、考點透視
考點要求 考題統計 考情分析
（1）了解函數的含義，會求簡單函數的定義域和值域． （2）在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數． （3）了解簡單的分段函數，并會簡單的應用． 2023年北京卷第15題，5分 2022年浙江卷第14題，5分 2021年浙江卷第12題，5分 高考對函數的概念及其表示的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．高考對本節的考查不會有大的變化，仍將以分段函數、定義域、值域及最值為主，綜合考查不等式與函數的性質．
2、思維導圖
3.考點突破，題型探究
知識點1：函數的概念
（1）一般地，給定非空數集，，按照某個對應法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應，那么從集合到集合的這個對應，叫做從集合到集合的一個函數．記作：，．集合叫做函數的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．
（2）函數的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射．
【診斷自測】下列圖象中，y不是x的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
知識點2：函數的三要素
（1）函數的三要素：定義域、對應關系、值域．
（2）如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數為同一個函數．
【診斷自測】下列四組函數：① ；② ；③； ④；其中表示同一函數的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．③④
練1（北師大必修1）下列各組中的兩個函數是否為同一個函數
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
知識點3：函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
【診斷自測】已知函數，則（ ）
A．B．C． D．
知識點4：分段函數
若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．
【診斷自測】（2024·吉林·模擬預測）已知若，則實數的值為（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
解題方法總結
1、基本的函數定義域限制
求解函數的定義域應注意：
（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數大于或等于零：
（3）對數的真數大于零，底數大于零且不等于1；（4）零次冪或負指數次冪的底數不為零；
（5）三角函數中的正切的定義域是且；
（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；
（7）對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域．
2、基本初等函數的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：當時，值域為；當時，值域為．（3）的值域是．（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
題型一：函數的概念
【典例1-1】下列對應是從集合A到集合B的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】已知是定義在有限實數集A上的函數，且，若函數的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則的值不可能是（ ）
A．0 B． C． D．
【變式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函數的圖像繞原點逆時針旋轉后與原圖像重合，則在以下各項中，的定義域不可能是（ ）
A．B．C． D．R
【變式1-2】將函數的圖象繞著原點沿逆時針方向旋轉角得到曲線，已知曲線始終保持為函數圖象，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
【變式1-3】存在定義域為的函數，滿足對任意，使得下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
題型二：同一函數的判斷
【典例2-1】下列各組函數相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典例2-2】（多選題）下列各項不能表示同一個函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【變式2-1】（多選題）下列各組函數表示的是不同函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【變式2-2】以下四組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【變式2-3】（多選題）（2024·高三·浙江金華·期末）已知函數，．（ ）
A.若，則 B．若，則
C．對于，若，則 D．對于，若，則
題型三：給出函數解析式求解定義域
【典例3-1】（2024·北京通州·二模）已知函數的定義域為 ．
【典例3-2】已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數，則函數的定義域為(
A． B． C． D．
【變式3-1】函數的定義域是 .
【變式3-2】（2024·北京懷柔·模擬預測）函數的定義域是 .
【變式3-3】（2024·北京平谷·模擬預測）函數的定義域是
題型四：抽象函數定義域
【典例4-1】已知函數的定義域是，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·高三·河北邢臺·期末）若函數的定義域為，則函數的定義域為 ．
【變式4-2】已知函數的定義域為，求的定義域 .
【變式4-3】（1）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 ．
（2）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 ．
題型五：函數定義域的綜合應用
【典例5-1】已知函數的定義域為R，則實數a的取值范圍為（ ）
A．B．或C． D．或
【典例5-2】若函數的定義域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函數的定義域為，則實數的取值范圍是 .
【變式5-2】若函數的定義域為，則實數的取值范圍為 ．
【變式5-3】當時，函數和有意義，則實數的取值范圍是 .
題型六：待定系數法求解析式
【典例6-1】一次函數在上單調遞增，且，則 .
【典例6-2】已知二次函數滿足，，則不等式的解集為 ．
【變式6-1】已知函數是一次函數，且，則的解析式為 .
【變式6-2】已知二次函數，其圖象過點，且滿足，則的解析式為 .
題型七：換元法求解析式
【典例7-1】已知f(x＋)＝x2＋，則函數f(x)＝ ．
【典例7-2】已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-1】設是定義在上的函數，且有唯一解或無解，且對任意，均有，請寫出一個符合條件的 .
【變式7-2】若是定義域為上的單調函數，且對任意實數都有，其中是自然對數的底數，則 （　　）
A．4 B． C． D．
【變式7-3】（2024·高三·江西·期中）設是定義在上的單調函數，若，則不等式的解集為 .
【變式7-4】設是定義在上的單調增函數，且滿足，若對于任意非零實數都有，則 .
題型八：方程組消元法求解析式
【典例8-1】已知為奇函數，為偶函數，且滿足，則=（ ）
A． B．C． D．
【典例8-2】已知，那么 ．
【變式8-1】（2024·高三·遼寧丹東·期中）若，函數滿足，則 ．
【變式8-2】已知滿足，則 ．
【變式8-3】（2024·河南·模擬預測）已知函數對定義域內的任意實數滿足，則 .
題型九：賦值法求解析式
【典例9-1】已知函數的定義域為R，且，，請寫出滿足條件的一個 （答案不唯一）．
【典例9-2】已知函數，且 ， ，則函數的一個解析式為 .
【變式9-1】已知函數滿足，則的解析式可以是 （寫出滿足條件的一個解析式即可）．
【變式9-2】（2024·高三·江蘇揚州·開學考試）寫出滿足的函數的解析式 ．
【變式9-3】對，函數都滿足：①；②；③；則 ．
【變式9-4】設偶函數f(x)滿足：，且當時時，，
則 ．
題型十：求值域的7個基本方法
【典例10-1】求下列函數的值域：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；
(6)；(7)；(8)；
【典例10-2】求下列函數的值域．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)（）．
【變式10-1】求下列函數的值域．
（1）求函數的值域．
（2） 求函數的值域．
（3）求函數，的值域．
【變式10-2】求下列函數的值域：
(1)；
(2)；
(3).
【變式10-3】求下列函數的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
題型十一：數形結合求值域
【典例11-1】函數的值域為
【典例11-2】函數的值域為 .
【變式11-1】函數的值域是 ．
【變式11-2】函數的值域是 ．
題型十二：值域與求參問題
【典例12-1】若函數的值域為，則的值為 .
【典例12-2】若函數的值域為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式12-1】已知函數的值域為，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式12-2】定義若函數，則的最大值為 ；若在區間上的值域為，則的最大值為 ．
【變式12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為 ．
題型十三：判別式法求值域
【典例13-1】函數，的值域為 ．
【典例13-2】函數的值域是 ．
【變式13-1】已知，且，則的取值范圍是 .
【變式13-2】已知，函數的最大值為，則實數的值為 .
【變式13-3】函數的值域是 .
題型十四：三角換元法求值域
【典例14-1】求函數的值域.
【典例14-2】（2024·高三·河南·期中）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式14-1】（2024·上海徐匯·模擬預測）函數的值域為 .
題型十五：分段函數求值、求參數問題
【典例15-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則（ ）
A． B．0 C． D．1
【典例15-2】已知函數，若，則（ ）
A．0 B．2 C． D．2或3
【變式15-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數，若，則的值為（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．1或
【變式15-2】（2024·全國·模擬預測）設，若，則（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
【變式15-3】（2024·江蘇南通·二模）已知函數，則（ ）
A． B． C． D．
題型十六：分段函數與方程、不等式
【典例16-1】已知函數若，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C． D．
【典例16-2】（2024·福建福州·模擬預測）已知函數，則不等式的解集是
A．B．C． D．
【變式16-1】（2024·湖北·一模）已知函數，則關于x的不等式的解集為 ．
【變式16-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則不等式的解集是 .
4.真題演練
1．（2023年北京高考數學真題）已知函數，則 ．
2．（2022年新高考北京數學高考真題）函數的定義域是 ．
3．（2021年浙江省高考數學試題）已知，函數若，則 .
1．(鏈接蘇教必修一P115T4)在下列圖形中，能表示函數關系y＝f(x)的是(　　)
2．[多選題](鏈接人A必修一P67T3)下列各組函數是同一個函數的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1與g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝與g(x)＝x
C．f(x)＝與g(x)＝ D．f(x)＝x與g(x)＝
3.（蘇教版必修一）判斷下列各組函數是否是同一個函數, 并說明理由:
(1) ; (2) ;(3) ; (4) .
4．(鏈接人A必修一P65例2)已知函數f(x)＝x＋，則f(x)的定義域為________；若f(a)＝2，則a的值為________．
5．（人教版必修1）若，且，，求的值.
6．（人教版必修1）已知函數，，．

（1）在圖中畫出函數，的圖象；
（2）定義：，用表示，中的較小者，記為，請分別用圖象法和解析式法表示函數．（注：圖象法請在圖中表示，本題中的單位長度請自己定義且標明）
7．（人教版必修1）函數的圖象如圖所示，曲線l與直線m無限接近，但永不相交．
（1）函數的定義域、值域各是什么？
（2）r取何值時，只有唯一的值與之對應？
8.（北師大版必修1）設集合 ,函數 已知 ,且 ,求實數 的取值范圍.
9．（人教版必修1）畫出定義域為，且，值域為的一個函數的圖象.
（1）將你的圖象和其他同學的相比較，有什么差別嗎？
（2）如果平面直角坐標系中點的坐標滿足，那么其中哪些點不能在圖象上？
10．（人教版必修1）如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點P的距離是2km，從點P沿海岸正東處有一個城鎮.
（1）假設一個人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度是，t（單位：h）表示他從小島到城鎮的時間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處距點P的距離，請將t表示為x的函數.
（2）如果將船停在距點P 4km處，那么從小島到城鎮要多長時間（精確到1h）？
11.（北師大版必修1） 畫出函數 的圖象.
12.（人教版必修1）函數的函數值表示不超過x的最大整數，例如，，.當時，寫出函數的解析式，并畫出函數的圖象.
易錯點：錯求抽象函數的定義域
易錯分析： 定義域不是指的范圍，而是指的范圍.
答題模板：求抽象函數的定義域
1、模板解決思路
解決本模板問題的要點是知道函數中的范圍，也就是函數中的范圍，解不等式就可得到函數的定義域．
2、模板解決步驟
第一步：由函數的定義域，即的取值范圍，求出的取值范圍．
第二步：用集合或區間表示所求定義域．
【易錯題1】函數的定義域為，則函數的定義域是 .
【易錯題2】若函數的定義域為，則的定義域為 .
函數概念的起源
17 世紀早期, 由于天文學和航海事業的發展, 科學家以解釋地球和天體運動作為 研究課題, 推動了函數概念的發展. 意大利科學家伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642) 第一個提出了函數或稱為變量關系的這一概念. 1638 年, 伽利略積數十年之力在《關于 兩個新科學的論述和數學演示》中以對話體裁和較樸素的文筆, 總結了他在材料力學和 動力學方面的研究成果, 以及對力學原理的思考, 講述了幾乎包括全部變量關系的這一概念, 用文字和比例的語言表達了函數的關系.
“function (函數)” 這個詞作為數學術語, 最初是由微積分奠基人之一、德國哲學家、 數學家萊布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) 在 1673 年的手稿中首次使用 的. 萊布尼茨所指的函數是現在的可導函數. 1692 年, 萊布尼茨在《Acta Eruditorum(教 師學報)》發表的論文中正式使用函數來表示變量之間的依賴關系。我們可以把萊布尼 茨建立的概念看成是函數的第一個定義.
1859 年, 我國清代數學家李善蘭 (1811-1882) 在翻譯《代數學 (Elements of Alge- bra) 》時, 把 “function” 譯為 “函數”, 他給出的理由是“凡此變數中函彼變數者, 則此為彼 之函數”, 即“函”為包含之意.
1905 年, 哥廷根數學學派的創始人、現代國際數學教育的奠基人、德國數學家克萊 因在為中學數學教學起草的《數學教學要目 (米蘭大綱)》中明確提出: “應將養成函數思 想和空間觀察能力作為數學教學的基礎. "1908 年, 在巴黎國際數學家大會上, 他倡導 “函數的概念應該成為數學思維的心臟和靈魂, 滲透到數學課程的每一個部分”. 在名 著《高觀點下的初等數學》中, 他進一步強調函數應該成為中學數學的“基石”, 應該把算 術、代數和幾何方面的內容, 通過幾何的形式用以函數為中心的觀念綜合起來.
我國基礎教育真正意義上的函數教學起始于 1941 年頒布的《修正初級中學數學課 程標準》, 教學目標中明確規定要“培養學生分析能力、歸納方法、函數觀念及探討精 神”. 目前, 函數已經成為中學數學中最基本、最重要的內容.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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