資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第04講 基本不等式及其應用
考點要求 考題統計 考情分析
1、掌握基本不等式的內容． 2、會用基本不等式解決常考的最大值或最小值問題． 3、會用基本不等式解決實際問題． 2022年II卷第12題，5分 2021年乙卷第8題，5分 2020年天津卷第14題，5分 高考對基本不等式的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，應適當關注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題．
考點分析
知識回顧：
如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術平均數，叫作的幾何平均數．即正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
基本不等式1：若，則，當且僅當時取等號；
基本不等式2：若，則（或），當且僅當時取等號．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．（2）連續使用不等式要注意取得一致．
解題方法總結
1、幾個重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，則（當且僅當“”時取“”）．
特例：（同號）．
（3）其他變形：
①（溝通兩和與兩平方和的不等關系式）
②（溝通兩積與兩平方和的不等關系式）
③（溝通兩積與兩和的不等關系式）
④重要不等式：
即調和平均值幾何平均值算數平均值平方平均值（注意等號成立的條件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．
（2）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即積為定值，和有最小值”．
3、常見求最值模型
模型一：，當且僅當時等號成立.
模型二：，當且僅當時等號成立．
模型三：，當且僅當時等號成立.
模型四：，當且僅當時等號成立.
題型分析
題型一：基本不等式及其應用
【典例1-1】下列不等式證明過程正確的是（ ）
A．若，則 B．若x＞0，y＞0，則
C．若x＜0，則 D．若x＜0，則
【答案】D
【解析】∵可能為負數，如時，，∴A錯誤；
∵可能為負數，如時，，∴B錯誤；
∵，如時，，∴C錯誤；
∵，，，∴，當且僅當，即等號成立，∴D正確．故選：D．
【典例1-2】（2024·遼寧·二模）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由圖知：，
在中，，
所以，即，故選：C
【變式1-1】下列結論正確的是（ ）
A．當時， B．當時，的最小值是
C．當時， D．當時，的最小值為1
【答案】C
【解析】對于A，當時，，故A錯誤，
對于B，當時，，當且僅當時等號成立，故B錯誤，
對于C，當時，，當且僅當即時等號成立，故C正確，
對于D，當時，，當且僅當即時等號成立，故D錯誤，
故選：C
【變式1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數，且，則下列選項不恒成立的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】x，y都是正數，由基本不等式，，，，這三個不等式都是當且僅當時等號成立，而題中，因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；中當且僅當時取等號，如即可取等號，D中不等式不恒成立．故選：D．
【變式1-3】給出下面四個推導過程：
①∵a，b為正實數，∴；
②∵x，y為正實數，∴；
③∵，，∴；
④∵，，∴．
其中正確的推導為（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【解析】根據基本不等式的條件判斷，①，∴，因此正確；
②時，若，則，不等式錯誤；
③時，不等式錯誤；
④，則，，因此不等式正確，從而不等式正確．故選：D．
題型二：直接法求最值
【典例2-1】若實數滿足，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】,當且僅當，
即時取到等號.故答案：.
【典例2-2】（2024·湖北孝感·模擬預測）的最小值為 .
【答案】9
【解析】，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為9.故答案為：9
【變式2-1】（2024·上海崇明·二模）已知正實數a、b滿足，則的最小值等于 ．
【答案】4
【解析】，當，即，時等號成立，
則的最小值為4．故答案為：4．
【變式2-2】（2024·天津南開·一模）已知實數，則的最小值為 .
【答案】
【解析】∵，，，
∴，當且僅當即時取等號.故答案為：.
題型三：常規湊配法求最值
【典例3-1】設，則 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】，則，
，
當且僅當時，等號成立，則.故選：D.
練習1．函數的最小值為 ．
【答案】
【詳解】由，又，
所以，當且僅當，即時等號成立，
所以原函數的最小值為.故答案為：
【典例3-2】．函數的值域是 ．
【答案】
【詳解】當時，
當，.
若時，，當且僅當，即時等號成立，此時
，即.
若時，，當且僅當，即時等號成立，此時，即.綜上所述，函數的值域為.故答案為：
【典例3-3】函數在上的最大值為 ．
【答案】
【詳解】解：因為，，令，則，
則，
當且僅當，即時，等號成立．故的最大值為．故答案為：
【變式3-1】若，則的最小值為 .
【答案】0
【解析】由，得，所以，當且僅當即時等號成立.故答案為：0
【變式3-2】函數（）的最小值為 ．
【答案】/
【解析】因為，所以，
所以，
當且僅當時，即時，等號成立，故的最小值為.
故答案為：
【變式3-3】（2024·高三·天津河北·期末）已知，則的最小值為 .
【答案】
【解析】因為，所以
，當且僅當，即時，等號成立.
所以的最小值為.故答案為：.
題型四：化為單變量法
【典例4-1】（2024·高三·上海·競賽）若正實數滿足，則的最小值是 .
【答案】9
【解析】解析一:，則，等號成立時.所以的最小值是9.
解析二:，
則，
等號成立時所以的最小值是9.故答案為：9.
題型五：利用基本不等式證明不等式
【典例8-1】（2024·陜西西安·二模）已知函數的最小值是.
(1)求的值；
(2)若，，且，證明：.
【解析】（1）當時，，此時；
當時，，此時；
當時，，
此時；綜上所述，函數的最小值是2，即.
（2）要證，即證，
即證，因為，，且，
故只需證，由基本不等式可知，，
當且僅當時，等號成立，故命題得證.
【鏈接教材】（1）設且．證明：；
（2）已知為正數，且滿足．證明：
【解析】（1）因為，
所以，
因為，所以，，都不為，則，
所以.
（2）因為a，b，c為正數，，
所以，
所以，
因為，所以，當且僅當時取等號，
即
題型九：利用基本不等式解決實際問題
（教材選題）【典例9-1】 兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數一定.哪種購物方式比較經濟？你能把所得結論作一些推廣嗎？
【詳解】解：按第一種策略購物，設第一次購物時的價格為，購，第二次購物時的價格為元/kg，仍購，兩次購物的平均價格為；
若按第二種策略購物，第一次花m元錢，能購物品，第二次仍花m元錢，能購物品，兩次購物的平均價格為.
比較兩次購的平均價格：.
所以第一種策略的平均價格高于第二種策略的平均價格，因而用第二種策略比較經濟，一般地，如果是多次購買同一種物品，用第二種策略購買比較經濟.
（教材選題）【變式9-1】一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應不小于10%，而且這個比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗戶面積與地板面積的總和為，則這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米？
（2）若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果是變好了還是變壞了？
【答案】（1）20平方米 （2）變好了
解：（1）設公寓窗戶面積與地板面積分別為，則，所以，所以，所以.所以這所公寓的窗戶面積至少為20平方米.
（2）設a和b分別表示公寓原來窗戶面積和地板面積，m表示窗戶和地板所增加的面積（面積單位都相同），由題意得：，則.
因為，所以.又因為，所以.
因此，即.
所以窗戶和地板同時增加相等的面積，住宅的采光條件變好了.
題型十：與 a+b、平方和、 ab有關問題的最值
【典例10-1】（多選題）（2024·湖南·模擬預測）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】解析：對于A和B，因為，所以，當且僅當時，等號成立，，則，當且僅當時，等號成立，故A錯誤，B正確；
對于C，若，則，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，故C錯誤；
對于D，若，則，
所以，
由及，可知，則當，
即時，取得最小值，故D正確．
故選：BD．
【典例10-2】（多選題）（2024·高三·海南·期末）已知，且，則（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】BD
【解析】對于A，，
因為，，
令，得，解得或，即或，
當且僅當或時，等號成立，故A錯誤；
對于B，，解得或，
當且僅當或時，等號成立，故B正確；
對于C，，
所以，
當且僅當或時，等號成立，故C錯誤；
對于D，，由選項B知，或，所以或，
則或，故D正確.故選：BD.
【變式10-1】（多選題）若，，，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】對于A，，，，則，
當且僅當，即時取等號，A正確；
對于B，，，，
又，則，當且僅當時取等號，B錯誤；
對于C，，，則，
當且僅當時取等號，C正確；
對于D，，，，則
，當且僅當，即時取等號，D正確，
故選：ACD
【變式10-2】（多選題）已知正數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】對于A：因為，所以，當且僅當時取等號，所以不恒成立，故錯誤；
對于B：因為且，所以，
所以，當且僅當時取等號，故正確；
對于C：因為，所以，
所以，所以，當且僅當時取等號，故正確；
對于D：由C可知錯誤；故選：BC.
1．（1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
【解析】（1），，，
當且僅當時，即當時等號成立，的最小值為；
（2）由知.
當或時，；
當時，，由基本不等式可得.
當且僅當，即當時等號成立.
綜上，的最大值為.
2．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為，房屋正面每平方米的造價為元，房屋側面每平方米的造價為元，屋頂的造價為元，如果墻高為，且不計房屋背面和地面的費用，那么怎樣設計房屋能使總造價最低？最低總造價是多少？
【解析】設房屋的正面邊長為，側面邊長為，總造價為元，則，即，
.
當時，即當時，有最小值，最低總造價為元.
答：當房屋的正面邊長為，側面邊長為時，房屋總造價最低，為元.
3．已知、、都是正數，求證：.
【解析】，，，由基本不等式可得，，，
由不等式的性質可得，
當且僅當時等號成立.
4．設矩形ABCD（AB>AD）的周長為24，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點P，設AB=x，求△ADP的最大面積及相應x的值.
【解析】由題意可知，矩形的周長為24，
，即，設，則，而為直角三角形，
∴，∴，∴，
∴
.
當且僅當，即時，此時，滿足，
即時，取最大面積為.
5（蘇教版必修一） 設 ,利用直角三角形三邊關系,證明 .
證明 如圖,在 Rt 中, , .
. 又 ,當且僅當 時,等 號成立, .
即 ,又 , .
6. 已知、，求證：.
【詳解】，，即.
7.若,且,求的取值范圍.
【詳解】由于，所以有，即，所以.
8、如圖,居民小區要建一座八邊形的休閑場所,它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構成的面積為的十字形地域.計劃在正方形上建一座花壇,造價為4200元;在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪花崗巖地坪,造價為210元;再在四個空角(圖中四個三角形)上鋪草坪,造價為80元.設總造價為(單位:元),長為(單位:).當為何值時,最小 并求出這個最小值.
解：由題意，有，又，有.
當且僅當，即時取“=”.
∴當時，S最小且元.
9.（教材深挖）《幾何原本》中的幾何代數法(用幾何方法研究代數問題)成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一方法，很多代數公理 定理都能夠通過圖形實現證明，并稱之為“無字”證明.如圖，AB是半圓O的直徑，點C是AB上一點(不同于A，B，O)，點D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E.設AC=a，BC=b，則該圖形可以完成的“無字”證明為（ ）
A．(a>0，b>0)
B．(a>0，b>0，a≠b)
C．(a>0，b>0)
D．(a>0，b>0，a≠b)
【答案】D
【詳解】由AC=a，BC=b，可得半圓O的半徑DO=，因為是直徑，所以.
易得DC=，所以DE=，∵DE0，b>0，a≠b).故選：D.
10.(蘇教版必修一）某種產品的兩種原料相繼提價, 產品生產者決定根據這兩種原料提價的百 分比, 對產品分兩次提價, 現在有三種提價方案:
方案甲: 第一次提價 ,第二次提價 ;
方案乙: 第一次提價 ,第二次提價 ;
方案丙: 第一次提價 ,第二次提價 .
其中 ,比較上述三種方案,哪一種提價少 哪一種提價多
解: 設該產品原來的價格為 .
方案甲: 兩次提價后該產品的價格為 ,提價 ,
方案乙: 兩次提價后該產品的價格為 ,提價 ,
方案丙: 兩次提價后該產品的價格為 ,提 價 ,
,
方案甲和方案乙提價一樣且最少, 方案丙提價最多.
易錯點：忽視基本不等式應用條件 （選講）
易錯分析： 基本不等式取等號的條件是“一正，二定，三相等”．在解題過程中，一定要先檢查取等的三個條件是否成立．常見的技巧是①如果積或和不是定值，則構造“定值”；②若是不能保證，可構造“正數”；③若等號不能成立，可根據“對勾函數”圖象，利用函數的單調性求解．
答題模板：利用基本不等式求最值（和定或積定）
1、模板解決思路
在求代數式的最值，特別是求代數式的和或積的最值時，通常根據已知條件和所求問題湊配出和或積為定值的兩個形式，然后利用基本不等式求解．利用基本不等式求最值需注意“一正、二定、三相等”．
2、模板解決步驟
第一步：將所求代數式湊配出兩個代數式的和（或積）形式，且兩個代數式的積（或和）為定值．
第二步：驗證兩個代數式均為正數．
第三步：應用基本不等式將變形后的代數式進行放縮．
第四步：驗證取等的條件．
【易錯題1】已知實數滿足，則（ ）
A．有最大值B．有最小值C．有最小值6 D．有最大值6
【答案】C
【解析】，(當且僅當，即時，取等號）故選:C.
【易錯題2】下列命題中錯誤的是（ ）
A．當時， B．當時，的最小值為2
C．當時， D．當時，
【答案】B
【解析】利用基本不等式可判斷選項A；利用對勾函數的性質可判斷選項B；利用基本不等式可判斷選項C；利用基本不等式可判斷選項D．對于A，當時，，當且僅當時取等號，正確；對于B，當時，，錯誤；對于C，當時，，當且僅當，即時取等號，正確；對于D，當時，，，當且僅當時取等號，正確；故選：B
【易錯題3】函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，令，由，
則，當且僅當時取等號，所以，
二次函數的圖象開口向上，對稱軸，所以函數在上單調遞減，
所以.故選：B.
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第04講 基本不等式及其應用
考點要求 考題統計 考情分析
1、掌握基本不等式的內容． 2、會用基本不等式解決常考的最大值或最小值問題． 3、會用基本不等式解決實際問題． 2022年II卷第12題，5分 2021年乙卷第8題，5分 2020年天津卷第14題，5分 高考對基本不等式的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，應適當關注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題．
考點分析
知識回顧：
如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術平均數，叫作的幾何平均數．即正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
基本不等式1：若，則，當且僅當時取等號；
基本不等式2：若，則（或），當且僅當時取等號．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．（2）連續使用不等式要注意取得一致．
解題方法總結
1、幾個重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，則（當且僅當“”時取“”）．
特例：（同號）．
（3）其他變形：
①（溝通兩和與兩平方和的不等關系式）
②（溝通兩積與兩平方和的不等關系式）
③（溝通兩積與兩和的不等關系式）
④重要不等式：
即調和平均值幾何平均值算數平均值平方平均值（注意等號成立的條件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．
（2）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即積為定值，和有最小值”．
3、常見求最值模型
模型一：，當且僅當時等號成立.
模型二：，當且僅當時等號成立．
模型三：，當且僅當時等號成立.
模型四：，當且僅當時等號成立.
題型分析
題型一：基本不等式及其應用
【典例1-1】下列不等式證明過程正確的是（ ）
A．若，則 B．若x＞0，y＞0，則
C．若x＜0，則 D．若x＜0，則
【典例1-2】（2024·遼寧·二模）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
A． B．
C． D．
【變式1-1】下列結論正確的是（ ）
A．當時， B．當時，的最小值是
C．當時， D．當時，的最小值為1
【變式1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數，且，則下列選項不恒成立的是（ ）
A．B．C． D．
【變式1-3】給出下面四個推導過程：
①∵a，b為正實數，∴；
②∵x，y為正實數，∴；
③∵，，∴；
④∵，，∴．
其中正確的推導為（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
題型二：直接法求最值
【典例2-1】若實數滿足，則的最小值為 ．
【典例2-2】（2024·湖北孝感·模擬預測）的最小值為 .
【變式2-1】（2024·上海崇明·二模）已知正實數a、b滿足，則的最小值等于 ．
【變式2-2】（2024·天津南開·一模）已知實數，則的最小值為 .
題型三：常規湊配法求最值
【典例3-1】1.設，則 （ ）
A． B．
C． D．
2.函數的最小值為 ．
【典例3-2】．函數的值域是 ．
【典例3-3】函數在上的最大值為 ．
【變式3-1】若，則的最小值為 .
【變式3-2】函數（）的最小值為 ．
【變式3-3】（2024·高三·天津河北·期末）已知，則的最小值為 .
題型四：化為單變量法
【典例4-1】（2024·高三·上海·競賽）若正實數滿足，則的最小值是 .
題型五：利用基本不等式證明不等式
【典例8-1】（2024·陜西西安·二模）已知函數的最小值是.
(1)求的值；
(2)若，，且，證明：.
【鏈接教材】（1）設且．證明：；
（2）已知為正數，且滿足．證明：
題型九：利用基本不等式解決實際問題
（教材選題）【典例9-1】 兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數一定.哪種購物方式比較經濟？你能把所得結論作一些推廣嗎？
（教材選題）【變式9-1】一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應不小于10%，而且這個比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗戶面積與地板面積的總和為，則這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米？
（2）若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果是變好了還是變壞了？
題型十：與 a+b、平方和、 ab有關問題的最值
【典例10-1】（多選題）（2024·湖南·模擬預測）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例10-2】（多選題）（2024·高三·海南·期末）已知，且，則（ ）
A． B．或
C． D．或
【變式10-1】（多選題）若，，，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式10-2】（多選題）已知正數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
2．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為，房屋正面每平方米的造價為元，房屋側面每平方米的造價為元，屋頂的造價為元，如果墻高為，且不計房屋背面和地面的費用，那么怎樣設計房屋能使總造價最低？最低總造價是多少？
3．已知、、都是正數，求證：.
4．設矩形ABCD（AB>AD）的周長為24，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點P，設AB=x，求△ADP的最大面積及相應x的值.
5．（蘇教版必修一） 設 ,利用直角三角形三邊關系,證明 .
6. 已知、，求證：.
7.若,且,求的取值范圍.
8、如圖,居民小區要建一座八邊形的休閑場所,它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構成的面積為的十字形地域.計劃在正方形上建一座花壇,造價為4200元;在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪花崗巖地坪,造價為210元;再在四個空角(圖中四個三角形)上鋪草坪,造價為80元.設總造價為(單位:元),長為(單位:).當為何值時,最小 并求出這個最小值.
9.（教材改編）《幾何原本》中的幾何代數法(用幾何方法研究代數問題)成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一方法，很多代數公理 定理都能夠通過圖形實現證明，并稱之為“無字”證明.如圖，AB是半圓O的直徑，點C是AB上一點(不同于A，B，O)，點D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E.設AC=a，BC=b，則該圖形可以完成的“無字”證明為（ ）
A．(a>0，b>0)B．(a>0，b>0，a≠b)
C．(a>0，b>0)D．(a>0，b>0，a≠b)
10.(蘇教版必修一）某種產品的兩種原料相繼提價, 產品生產者決定根據這兩種原料提價的百 分比, 對產品分兩次提價, 現在有三種提價方案:
方案甲: 第一次提價 ,第二次提價 ;
方案乙: 第一次提價 ,第二次提價 ;
方案丙: 第一次提價 ,第二次提價 .
其中 ,比較上述三種方案,哪一種提價少 哪一種提價多
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