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(共47張PPT)
第一章
空間向量與立體幾何
1.4　空間向量的應用
1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題(1)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 能用向量語言表示點到直線、點到平面的距離和互相平行的直線、互相平行的平面之間的距離．
2. 能用向量方法解決點到直線、點到平面的距離和互相平行的直線、互相平行的平面之間的距離問題．
活 動 方 案
活動一　情境引入
如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路，某人要在點A處，修建一個蔬菜存儲倉庫．如何在公路上選擇一個點，修一條公路到達點A，要想使這個路線長度理論上最短，應該如何設計？
【解析】 點到直線、點到平面、兩條平行線及兩個平行平面間的距離等．傳統方法都是把這些距離歸結到平面內解決．
思考1
空間中包括哪些距離？求解空間距離常用的方法有哪些？
思考2
能否用所學的空間向量來解決這些距離呢？
【解析】 可以
活動二　點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離的向量
表示
1. 點到直線的距離
思考3
已知直線l的單位方向向量為μ，A是直線l上的定點，P是直線l外一點．如何利用這些條件求點P到直線l的距離？
【解析】 求兩條平行直線l，m之間的距離，可在其中一條直線l上任取一點P，則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離．
2. 兩條平行直線之間的距離
思考4
類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？
例1　如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點B到直線A1C1的距離．
用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點：
(1) 不必找點在直線上的垂足以及垂線段；
(2) 在直線上可以任意選點，但一般選較易求得坐標的特殊點；
(3) 直線的方向向量可以任取，但必須保證計算正確．
例1中的條件不變，若M，N分別是A1B1，AC的中點，試求點C1到直線MN的距離．
活動三　點到平面的距離、兩個平行平面之間的距離的向量
表示
1. 點到平面的距離
2. 如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉化為點P到平面α的距離求解．
2. 兩個平行平面之間的距離
如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內任取一點P，可將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解．
【解析】 取AC的中點O，連接OS，OB.
因為SA＝SC，AB＝BC，
所以AC⊥SO，AC⊥BO.
因為平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，SO 平面SAC，
所以SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC，所以SO⊥BO.
求點到平面的距離的主要方法：
(1) 作點到平面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離；
(2) 在三棱錐中用等體積法求解；
如圖，已知在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中點．
(1) 求證：B1C∥平面A1BD；
(2) 求直線B1C到平面A1BD的距離．
【解析】 (1) 連接AB1交A1B于點E，連接DE.由題意，得四邊形ABB1A1為正方形，
所以E為AB1的中點．
因為D為AC的中點，所以DE∥B1C.
因為DE 平面A1BD，B1C 平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD.
例3　如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F為線段AB的中點．
(1) 求點B到直線AC1的距離；
(2) 求直線FC到平面AEC1的距離．
活動四　靈活應用向量法求空間距離
已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，側棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中點，求PC到平面BED的距離，并說明直線PC上各點到平面BED的距離間的關系．
檢 測 反 饋
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1. 已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，則點A到直線BC的距離為(　　)
【答案】 A
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2. 如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是(　　)
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【答案】 A
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3. (多選)(2023滄州階段練習)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，則下列結論中正確的是(　　)
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【答案】 ABD
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4. (2023天水武山縣第一高級中學二模)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為________.
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5. (2023連云港海州高級中學階段調研)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF.
(1) 求證：AB⊥CF；
(2) 求直線AC到平面BEF的距離；
(3) 求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值．
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謝謝觀看
Thank you for watching1．4.2　用空間向量研究距離、夾角問題(1)
1. 能用向量語言表示點到直線、點到平面的距離和互相平行的直線、互相平行的平面之間的距離．
2. 能用向量方法解決點到直線、點到平面的距離和互相平行的直線、互相平行的平面之間的距離問題．
活動一 情境引入
如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路，某人要在點A處，修建一個蔬菜存儲倉庫．如何在公路上選擇一個點，修一條公路到達點A，要想使這個路線長度理論上最短，應該如何設計？
思考1
空間中包括哪些距離？求解空間距離常用的方法有哪些？
思考2
能否用所學的空間向量來解決這些距離呢？
活動二　點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離的向量表示　
1. 點到直線的距離
思考3
已知直線l的單位方向向量為μ，A是直線l上的定點，P是直線l外一點．如何利用這些條件求點P到直線l的距離？
2. 兩條平行直線之間的距離
思考4
類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？
例1　如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點B到直線A1C1的距離．
用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點：
(1) 不必找點在直線上的垂足以及垂線段；
(2) 在直線上可以任意選點，但一般選較易求得坐標的特殊點；
(3) 直線的方向向量可以任取，但必須保證計算正確．
　例1中的條件不變，若M，N分別是A1B1，AC的中點，試求點C1到直線MN的距離．
活動三 點到平面的距離、兩個平行平面之間的距離的向量表示
1. 點到平面的距離
已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是 　在直線l上的投影向量 　的長度，即PQ＝.
1. 實質上，n是直線l的方向向量，點P到平面α的距離就是 　在直線l上的投影向量的長度．
2. 如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉化為點P到平面α的距離求解．
2. 兩個平行平面之間的距離
如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內任取一點P，可將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解．
例2　如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分別為AB，SB的中點．求點B到平面CMN的距離．
求點到平面的距離的主要方法：
(1) 作點到平面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離；
(2) 在三棱錐中用等體積法求解；
(3) 向量法：d＝(n為平面的法向量，A為平面上一點，MA為過點A的斜線段).
　如圖，已知在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中點．
(1) 求證：B1C∥平面A1BD；
(2) 求直線B1C到平面A1BD的距離．
活動四　靈活應用向量法求空間距離　
例3　如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F為線段AB的中點．
(1) 求點B到直線AC1的距離；
(2) 求直線FC到平面AEC1的距離．
　已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，側棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中點，求PC到平面BED的距離，并說明直線PC上各點到平面BED的距離間的關系．
1. 已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，則點A到直線BC的距離為(　　)
A. B. 1 C. D. 2
2. 如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是(　　)
A. B. C. D.
(第2題)　 (第3題)　 (第4題)
3. (多選)(2023滄州階段練習)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，則下列結論中正確的是(　　)
A. ＝－
B. 直線AE到平面CDD1C1的距離為2
C. 點B到直線AC1的距離為
D. 平面AEC1截正方體ABCD-A1B1C1D1的截面的面積為2
4. (2023天水武山縣第一高級中學二模)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為________．
5. (2023連云港海州高級中學階段調研)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF.
(1) 求證：AB⊥CF；
(2) 求直線AC到平面BEF的距離；
(3) 求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值．
【參考答案與解析】
1．4.2　用空間向量研究距離、夾角問題(1)
【活動方案】
思考1：點到直線、點到平面、兩條平行線及兩個平行平面間的距離等．傳統方法都是把這些距離歸結到平面內解決．
思考2：可以
思考3：設 ＝a，則向量在直線l上的投影向量 ＝(a·μ)μ.點P到直線l的距離為 PQ＝.
思考4：求兩條平行直線l，m之間的距離，可在其中一條直線l上任取一點P，則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離．
例1　以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，
所以＝(－4，3，0)，＝(0，3，1)，
所以點B到直線A1C1的距離
＝＝.
跟蹤訓練　由例1，得M(2，0，1)，N，C1(0，3，1)，
所以＝，＝(－2，3，0)，
所以點C1到MN的距離
d＝＝.
例2　取AC的中點O，連接OS，OB.
因為SA＝SC，AB＝BC，所以AC⊥SO，AC⊥BO.
因為平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，SO 平面SAC，
所以SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC，所以SO⊥BO.
以OA，OB，OS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，則 B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，，)，
所以＝(3，，0)，＝(－1，0，)，＝(－1，，0).
設n＝(x，y，z)為平面CMN的法向量，
則
取z＝1，則x＝，y＝－，
所以n＝(，－，1)，
所以點B到平面CMN的距離d＝＝.　
跟蹤訓練　(1) 連接AB1交A1B于點E，連接DE.
由題意，得四邊形ABB1A1為正方形，
所以E為AB1的中點．
因為D為AC的中點，所以DE∥B1C.
因為DE 平面A1BD，B1C 平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD.
(2) 因為B1C∥平面A1BD，
所以B1C到平面A1BD的距離就等于點B1到平面A1BD的距離．
建立如圖所示的空間直角坐標系，則B1(0，2，3)，B(0，2，0)，A1(－1，0，3)，所以＝(0，2，3)，＝(0，2，0)，＝(－1，0，3).
設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
所以
取z＝1，則x＝3，y＝0，
所以n＝(3，0，1)，
故所求距離為d＝＝.
例3　以D1為坐標原點，D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，
所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝，＝，＝(－1，，0)，＝.
(1) 取a＝＝(0，1，0)，μ＝＝(－1，1，－1)，
則a2＝1，a·μ＝，
所以點B到直線AC1的距離為＝＝.
(2) 因為＝＝，
所以FC∥EC1，
所以FC∥平面AEC1，
所以點F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離．
設平面AEC1的法向量為n＝(x，y，z)，
則所以所以
取z＝1，則x＝1，y＝2，
所以n＝(1，2，1)是平面AEC1的一個法向量．
因為＝，
所以點F到平面AEC1的距離為＝＝，
即直線FC到平面AEC1的距離為.
跟蹤訓練　以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，△ACD中CD邊上的高AF所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則F為CD的中點，A(0，0，0)，B(4，0，0)，F(0，2，0)，C(2，2，0)，D(－2，2，0)，P(0，0，4)，E(0，0，2).
設平面BED的法向量為n＝(x，y，z)，
由＝(－4，0，2)，＝(2，－2，2)，
得所以
即取z＝2，則x＝1，y＝，
得n＝(1，，2).
因為＝(2，2，－4)，
所以n·＝2＋6－8＝0，
所以n⊥，故PC∥平面BED，
所以PC到平面BED的距離就是點P到平面BED的距離．
因為＝(0，0，2)，所以點P到平面BED的距離 d＝＝＝，
即PC到平面BED的距離為，且直線PC上各點到平面BED的距離都相等．
【檢測反饋】
1. A　因為A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，所以＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)，所以點A到直線BC的距離d＝＝＝.
2. A　建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0，0，0)，M，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，所以＝，＝(a，a，0)，＝(a，0，a).設平面MBD的法向量為n＝(x，y，z)，則即令x＝1，則y＝－1，z＝－2，可得n＝(1，－1，－2)，所以點A1到平面MBD的距離d＝＝＝.
3. ABD　建立如圖所示的空間直角坐標系，則C1(0，2，0)，D(0，0，2)，A1(2，0，0)，B1(2，2，0)，C(0，2，2)，A(2，0，2)，E(2，1，0)，B(2，2，2).對于A，＝(0，－2，2)，＝(0，－2，0)，＝(0，0，－2)，則－＝(0，－2，2)＝，故A正確；對于B，易得平面CDD1C1的一個法向量為m＝(1，0，0)，又＝(0，1，－2)，所以·m＝0.因為AE 平面CDD1C1，所以AE∥平面CDD1C1，所以點A到平面CDD1C1的距離即為直線AE到平面CDD1C1的距離，即為AD＝2，故B正確；對于C，＝(－2，2，－2)，＝(0，2，0)，所以＝，則點B到直線AC1的距離為＝＝，故C錯誤；對于D，記CD的中點為F，連接AF，C1F，EF，則F(0，1，2)，所以＝(0，－1，2)，顯然＝－，即C1F∥AE，C1F＝AE，所以A，E，C1，F四點共面，即平行四邊形AEC1F為平面AEC1截正方體ABCD-A1B1C1D1的截面．由勾股定理易得AE＝EC1＝C1F＝AF＝，故平行四邊形AEC1F是菱形．又＝(－2，0，2)，所以||＝2，||＝2，所以S菱形AEC1F＝×2×2＝2，故D正確．故選ABD.
4. 　建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，所以＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，所以＝，＝，所以EF∥MN，BF∥AM.又EF∩BF＝F，MN∩AM＝M，可得平面AMN∥平面EFBD，所以平面AMN到平面EFBD的距離就是點A到平面EFBD的距離．設n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，則解得取z＝1，則x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2，1).因為＝(0，4，0)，所以平面AMN與平面EFBD間的距離d＝＝.
5. (1) 在 ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，
由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC，得AC2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，即AC＝，所以AC2＋AB2＝4＝BC2，
則∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
由平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，AB 平面ABCD，
得AB⊥平面ACEF.
又CF 平面ACEF，所以AB⊥CF.
(2) 由四邊形ACEF為正方形，得AF⊥AC，由(1)易知AB，AC，AF兩兩垂直，
如圖，以A為坐標原點，AB，AC，AF所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，F(0，0，)，D(－1，，0)，E(0，，)，
所以＝(0，，0)，＝(－1，0，).
設平面BEF的法向量為n＝(x1，y1，z1)，
則
令z1＝1，得n＝(，0，1).
因為＝(－1，，0)，所以點C到平面BEF的距離d＝＝＝.
又AC∥EF，EF 平面BEF，AC 平面BEF，
所以AC∥平面BEF，
所以直線AC到平面BEF的距離等于點C到平面BEF的距離，距離為.
(3) 由(2)知，＝(0，0，)，＝(－1，，0)，
設平面ADF的一個法向量為m＝(x2，y2，z2)，
則
令y2＝1，得m＝(，1，0).
設平面BEF與平面ADF夾角為θ，
則cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，
所以sin θ＝＝，
所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為.

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