資源簡介

(共39張PPT)
第一章
空間向量與立體幾何
1.4　空間向量的應用
1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題(2)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關系，會用向量方法求兩異面直線所成的角．
2. 理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關系，會用向量方法求直線與平面所成的角．
3. 理解二面角與兩個平面法向量的夾角之間的關系，會用向量方法求二面角的大?。?br/>活 動 方 案
活動一　利用向量方法求兩異面直線所成的角
思考1
在空間向量運算的坐標表示這一節中，已經涉及借助空間向量的坐標解決兩條異面直線所成角的余弦值問題，能否總結回顧一下它的原理？
【解析】 先求出兩條異面直線的方向向量，再利用空間向量的數量積公式，求出兩個向量夾角的余弦值，再回到異面直線所成的角的問題．
例1　如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值．
如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分別是棱AB，BB1的中點，求直線EF和BC1所成角的大?。?br/>利用空間向量求兩條異面直線所成角的步驟：
(1) 建立適當的空間直角坐標系；
(2) 求出兩條異面直線的方向向量的坐標；
(3) 利用向量的夾角公式求出兩條直線方向向量的夾角；
(4) 結合異面直線所成角的范圍得到兩條異面直線所成的角.
活動二　利用向量方法求直線與平面所成角及平面與平面所
成角的大小
思考2
我們已經知道利用向量可以解決異面直線所成角的問題，能否用向量方法求直線與平面所成的角？
思考3
除了異面直線所成的角和直線與平面所成的角以外，空間中還有什么角？是否也能用向量方法去解決？
例2　如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P為BC的中點，點Q，R分別在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1.求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值．
【解析】 以C1為坐標原點，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．設平面A1B1C1的法向量為n1，平面PQR的法向量為n2，則平面PQR與平面A1B1C1的夾角就是n1與n2的夾角或其補角．
因為C1C⊥平面A1B1C1，
所以平面A1B1C1的一個法向量為n1＝(0,0,1)．
根據所建立的空間直角坐標系，可知P(0,1,3)，Q(2，0,2)，R(0,2,1)，
利用向量方法求平面與平面所成角的大小時，多采用法向量法，即求出兩個面的法向量，然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小．最后結合平面與平面所成角的范圍得到平面與平面所成角的大?。蠼舛娼堑拇笮r，要注意結合圖形觀察分析，確定二面角是銳角還是鈍角，不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來．
如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．
【解析】 以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0，0,2)，C1(0，2,2)．
易得n1＝(1,1,0)是平面A1C1C的一個法向量．
設平面A1B1C的法向量是n2＝(x，y，z)．
空間中角的問題都可以用向量的夾角去解決，先將圖形問題化為向量問題，再進行向量計算，最后回到圖形問題，從而問題得以解決．
檢 測 反 饋
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【解析】 因為n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，所以α⊥β，即平面α與β所成的角等于90°.
1. 若平面α的一個法向量為n1＝(1,0,1)，平面β的一個法向量是n2＝(－3,1,3)，則平面α與β所成角的大小為(　　)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
【答案】 D
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2. 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，CC1＝3，∠ACB＝90°， 則BC1與A1C所成角的余弦值為(　　)
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【答案】 A
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3. (多選)(2024惠州統考)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則下列結論中正確的是(　　)
A. 直線BC1與直線AD1所成角的大小為90°
B. B1D⊥平面ACD1
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【答案】 BD
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4. 已知正方形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為________.
【答案】 45°
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5. (2024深圳統考)如圖，在四棱錐S－ABCD中，SA⊥CD，AD∥BC，AD⊥AB，SB＝SD，AB＝AD.
(1) 求證：SA⊥平面ABCD；
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【解析】 (1) 如圖，取BD的中點E，連接SE，AE.
因為SB＝SD，AB＝AD，
所以SE⊥BD，AE⊥BD.
又SE∩AE＝E，SE 平面SAE，AE 平面SAE，
所以BD⊥平面SAE.
因為SA 平面SAE，所以SA⊥BD.
又因為SA⊥CD，BD∩CD＝D，BD 平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以SA⊥平面ABCD.
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謝謝觀看
Thank you for watching1．4.2　用空間向量研究距離、夾角問題(2)
1. 理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關系，會用向量方法求兩異面直線所成的角．
2. 理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關系，會用向量方法求直線與平面所成的角．
3. 理解二面角與兩個平面法向量的夾角之間的關系，會用向量方法求二面角的大小．
活動一 利用向量方法求兩異面直線所成的角
思考1
在空間向量運算的坐標表示這一節中，已經涉及借助空間向量的坐標解決兩條異面直線所成角的余弦值問題，能否總結回顧一下它的原理？
例1　如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值．
1. 若異面直線l1，l2所成的角為θ，它們的方向向量分別為a，b，則有cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝.它的原理是借助向量的夾角解決異面直線所成的角．
2. 求兩條異面直線所成角的兩個關注點：
(1) 余弦值非負：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負值，而對應的方向向量的夾角可能為鈍角；
(2) 范圍：異面直線所成角的范圍是，故兩條直線方向向量夾角的余弦值為負時，應取其絕對值．
　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分別是棱AB，BB1的中點，求直線EF和BC1所成角的大?。?br/>利用空間向量求兩條異面直線所成角的步驟：
(1) 建立適當的空間直角坐標系；
(2) 求出兩條異面直線的方向向量的坐標；
(3) 利用向量的夾角公式求出兩條直線方向向量的夾角；
(4) 結合異面直線所成角的范圍得到兩條異面直線所成的角．
活動二　利用向量方法求直線與平面所成角及平面與平面所成角的大小　
思考2
我們已經知道利用向量可以解決異面直線所成角的問題，能否用向量方法求直線與平面所成的角？
思考3
除了異面直線所成的角和直線與平面所成的角以外，空間中還有什么角？是否也能用向量方法去解決？
例2　如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P為BC的中點，點Q，R分別在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1.求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值．
利用向量方法求平面與平面所成角的大小時，多采用法向量法，即求出兩個面的法向量，然后通過法向量的夾角來得到二面角的大?。詈蠼Y合平面與平面所成角的范圍得到平面與平面所成角的大小．但求解二面角的大小時，要注意結合圖形觀察分析，確定二面角是銳角還是鈍角，不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來．
　如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1-A1C-C1的大?。?br/>空間中角的問題都可以用向量的夾角去解決，先將圖形問題化為向量問題，再進行向量計算，最后回到圖形問題，從而問題得以解決．
1. 若平面α的一個法向量為n1＝(1，0，1)，平面β的一個法向量是n2＝(－3，1，3)，則平面α與β所成角的大小為(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2. 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，CC1＝3，∠ACB＝90°， 則BC1與A1C所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
3. (多選)(2024惠州統考)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則下列結論中正確的是(　　)
A. 直線BC1與直線AD1所成角的大小為90°
B. B1D⊥平面ACD1
C. 點B1到平面ACD1的距離為
D. 直線B1C與平面ACD1所成角的余弦值為
4. 已知正方形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為________．
5. (2024深圳統考)如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥CD，AD∥BC，AD⊥AB，SB＝SD，AB＝AD.
(1) 求證：SA⊥平面ABCD；
(2) 已知SA＝AB＝AD＝1，BC＝2，＝λ(0<λ<1)，若平面BDN與平面SDC夾角的余弦值為，求實數λ的值．
【參考答案與解析】
1．4.2　用空間向量研究距離、夾角問題(2)
【活動方案】
思考1：先求出兩條異面直線的方向向量，再利用空間向量的數量積公式，求出兩個向量夾角的余弦值，再回到異面直線所成的角的問題．
例1　以{，，}作為基底，
則＝－＝－，
＝(＋).
設向量與的夾角為θ，
則直線AM和CN夾角的余弦值等于|cosθ|.
·＝(＋)·＝||2－·＋·－·＝－＋－＝.
又△ABC和△ACD均為等邊三角形，
所以||＝||＝，
所以cos θ＝＝＝，
所以直線AM和CN夾角的余弦值為.
跟蹤訓練　以直線BA，BC，BB1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設AB＝1，則B(0，0，0)，E，F，C1(0，1，1)，
所以＝，＝(0，1，1)，
所以cos 〈，〉＝＝＝，
所以直線EF和BC1所成角的大小為60°.
思考2：類似地，直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角．如圖，直線AB與平面α相交于點B.設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝||＝.
思考3：空間中還有平面與平面所成的角，也可以用向量方法去解決．
如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．類似于兩條異面直線所成的角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝||＝.　
例2　以C1為坐標原點，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．設平面A1B1C1的法向量為n1，平面PQR的法向量為n2，則平面PQR與平面A1B1C1的夾角就是n1與n2的夾角或其補角．
因為C1C⊥平面A1B1C1，
所以平面A1B1C1的一個法向量為n1＝(0，0，1).
根據所建立的空間直角坐標系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1)，
所以＝(2，－1，－1)，＝(0，1，－2).
設n2＝(x，y，z)，則
所以所以
取n2＝(3，4，2)，
則cos 〈n1，n2〉＝＝.
設平面PQR與平面A1B1C1的夾角為θ，
則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝，
故平面PQR與平面A1B1C1的夾角的余弦值為.
跟蹤訓練　以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，0，2)，C1(0，2，2).
易得n1＝(1，1，0)是平面A1C1C的一個法向量．
設平面A1B1C的法向量是n2＝(x，y，z).
因為＝(－2，2，－2)，＝(－2，0，0)，
所以
令z＝1，解得x＝0，y＝1，故n2＝(0，1，1).
設二面角B1-A1C-C1的大小為θ，
顯然θ為銳角，
所以cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝，
所以θ＝，即二面角B1-A1C-C1的大小為.
【檢測反饋】
1. D　因為n1·n2＝(1，0，1)·(－3，1，3)＝0，所以α⊥β，即平面α與β所成的角等于90°.
2. A　如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則C(0，0，0)，A1(3，0，3)，B(0，4，0)，C1(0，0，3)，所以＝(3，0，3)，＝(0，－4，3)，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以直線BC1與A1C所成角的余弦值為.
3. BD　建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1).對于A，＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，所以＝，可得BC1∥AD1，故A錯誤；對于B，＝(－1，－1，－1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，所以·＝0，·＝0，所以B1D⊥AD1，B1D⊥AC.又AC∩AD1＝A，AC 平面ACD1，AD1 平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，故B正確；對于C，因為B1D⊥平面ACD1，所以是平面ACD1的一個法向量．又＝(－1，0，－1)，所以點B1到平面ACD1的距離為＝||＝，故C錯誤；對于D，設直線B1C與平面ACD1所成的角為θ，則sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝，所以直線B1C與平面ACD1所成角的余弦值為＝，故D正確．故選BD.
4. 45°　建立如圖所示的空間直角坐標系．設PA＝AB＝1，則A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，所以＝(0，1，0).取PD的中點E，則E，所以＝.易知是平面PAB的一個法向量，是平面PCD的一個法向量，cos 〈，〉＝，故平面PAB與平面PCD的夾角為45°.
5. (1) 如圖，取BD的中點E，連接SE，AE.
因為SB＝SD，AB＝AD，
所以SE⊥BD，AE⊥BD.
又SE∩AE＝E，SE 平面SAE，AE 平面SAE，
所以BD⊥平面SAE.
因為SA 平面SAE，所以SA⊥BD.
又因為SA⊥CD，BD∩CD＝D，BD 平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以SA⊥平面ABCD.
(2) 由(1)可知，SA⊥平面ABCD，且AD⊥AB，故以A為坐標原點，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
因為SA＝AB＝AD＝1，BC＝2，＝λ(0<λ<1)，
所以A(0，0，0)，B(0，1，0)，D(1，0，0)，S(0，0，1)，C(2，1，0)，
則＝(2，1，－1)，＝(1，1，0)，＝(1，0，－1)，
所以＝(2λ，λ，－λ)，可得N(2λ，λ，1－λ)，
所以＝(1，－1，0)，＝(2λ，λ－1，1－λ).
設平面SDC的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
則
令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝1，
所以m＝(1，－1，1).
設平面BDN的法向量為n＝(x2，y2，z2)，
則
令x2＝1，可得y2＝1，z2＝，
所以n＝.
因為平面BDN與平面SDC夾角的余弦值為，
所以|cos 〈m，n〉|＝||＝＝，
解得λ＝或λ＝0，
因為0<λ<1，所以λ＝.

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