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第一章
空間向量與立體幾何
1.4　空間向量的應用
1.4.3　空間向量的綜合應用
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
靈活利用空間向量解決空間中的點、線、面的位置關系及角的問題．
活 動 方 案
活動一　空間向量在立體幾何中的應用
例1　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.
(1) 求證：PA∥平面EDB；
(2) 求證：PB⊥平面EFD；
(3) 求平面CPB與平面PBD的夾角的大小．
【解析】 以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為 x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設DC＝1.
(1) 連接AC，交BD于點G，連接EG.
直線、平面的平行和垂直的判定及空間中的角的問題，都可以利用空間向量來解決．對于具體的問題，應根據它的條件和所求選擇合適的方法(綜合法、向量法、坐標法)．
(1) 求證：平面ADC⊥平面ABE；
(2) 求直線AD與平面ABE所成角的正切值．
因為DA 平面ADC，DC 平面ADC，DA∩DC＝D，
所以BE⊥平面ADC.
又BE 平面ABE，
所以平面ADC⊥平面ABE.
如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，D為AB的中點．
(1) 求證：BC1∥平面DCA1；
(2) 求平面DCA1與平面AA1C1C所成的銳二面角的余弦值．
活動二　空間向量在物理中的應用
例2　如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質量為1 kg，每根繩子的拉力大小相同，求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精確到0.01 N)．
由于物理中的力也是向量，所以物理中關于矢量(向量)的問題都可以轉化為數學中的向量問題解決.
檢 測 反 饋
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1. (2024南陽期末)已知過點P(x0，y0，z0)且法向量為n＝(A，B，C)的平面α的方程為A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.若平面α的方程為x＋y－z－3＝0，直線l是平面x＋2y－1＝0與 x＋z＋3＝0的交線，則直線l與平面α所成角的正弦值為(　　)
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【答案】 A
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2. 在正三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC，M為棱PA上的動點，設BM與AC所成的角為α，BM與底面ABC所成的角為β，二面角M－AC－B所成的角為γ，則下列結論中正確的是(　　)
A. 2cos α>cos β B. 2cos αC. 2cos γ>cos β D. 2cos γ2
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【答案】 B
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【答案】 BCD
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5. 已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，AB＝AA1＝2，E，F分別是側棱AA1，CC1的中點．
(1) 求證：四邊形EBFD1為菱形；
(2) 求點C到平面BDF的距離．
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Thank you for watching1．4.3　空間向量的綜合應用
靈活利用空間向量解決空間中的點、線、面的位置關系及角的問題．
活動一 空間向量在立體幾何中的應用
例1　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.
(1) 求證：PA∥平面EDB；
(2) 求證：PB⊥平面EFD；
(3) 求平面CPB與平面PBD的夾角的大小．
直線、平面的平行和垂直的判定及空間中的角的問題，都可以利用空間向量來解決．對于具體的問題，應根據它的條件和所求選擇合適的方法(綜合法、向量法、坐標法).
　如圖1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝，BC＝1，D，E分別是邊AB，AC的中點，現將△ABC沿DE折成直二面角ADEB，如圖2，連接各點．
(1) 求證：平面ADC⊥平面ABE；
(2) 求直線AD與平面ABE所成角的正切值．
圖1 圖2
　　
　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，D為AB的中點．
(1) 求證：BC1∥平面DCA1；
(2) 求平面DCA1與平面AA1C1C所成的銳二面角的余弦值．
活動二 空間向量在物理中的應用
例2　如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質量為1 kg，每根繩子的拉力大小相同，求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精確到0.01 N).
由于物理中的力也是向量，所以物理中關于矢量(向量)的問題都可以轉化為數學中的向量問題解決．
1. (2024南陽期末)已知過點P(x0，y0，z0)且法向量為n＝(A，B，C)的平面α的方程為A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.若平面α的方程為x＋y－z－3＝0，直線l是平面x＋2y－1＝0與 x＋z＋3＝0的交線，則直線l與平面α所成角的正弦值為(　　)
A. B. C. D.
2. 在正三棱錐PABC中，PA＝PB＝PC，M為棱PA上的動點，設BM與AC所成的角為α，BM與底面ABC所成的角為β，二面角M-AC-B所成的角為γ，則下列結論中正確的是(　　)
A. 2cos α>cos β B. 2cos αcos β D. 2cos γ3. (多選)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，側面PAD是邊長為2的正三角形，底面ABCD為矩形，CD＝2，Q是PD的中點，則下列結論中正確的是(　　)
A. CQ⊥平面PAD
B. 直線PC與平面AQC所成角的余弦值為
C. 點Q到平面ABCD的距離為
D. 三棱錐BACQ的體積為6
4. 設動點P在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上，記＝λ.當∠APC為銳角時，λ的取值范圍是________．
5. 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，AB＝AA1＝2，E，F分別是側棱AA1，CC1的中點．
(1) 求證：四邊形EBFD1為菱形；
(2) 求點C到平面BDF的距離．
【參考答案與解析】
1．4.3　空間向量的綜合應用
【活動方案】
例1　以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為 x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設DC＝1.
(1) 連接AC，交BD于點G，連接EG.
由題意，得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E.
因為底面ABCD是正方形，
所以點G是它的中心，
故點G的坐標為，
所以＝(1，0，－1)，＝，
所以＝2，即PA∥EG.
因為EG 平面EDB，PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2) 由題意，得B(1，1，0)，所以＝(1，1，－1).
因為＝，
所以·＝0＋－＝0，
所以PB⊥DE.
由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，EF 平面EFD，DE 平面EFD，
所以PB⊥平面EFD.
(3) 已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD或其補角是平面CPB與平面PBD的夾角．
設點F的坐標為(x，y，z)，則＝(x，y，z－1).
設＝k，
所以(x，y，z－1)＝k(1，1，－1)＝(k，k，－k)，
即x＝k，y＝k，z＝1－k.
因為·＝0，所以(1，1，－1)·(k，k，1－k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0，
解得k＝，所以點F的坐標為.
又點E的坐標為，
所以＝(－，，－)，
所以cos ∠EFD＝
＝＝，
所以∠EFD＝60°，
即平面CPB與平面PBD的夾角的大小為60°.
跟蹤訓練1　(1) 建立如圖所示的空間直角坐標系，則A，B，E，C(，1，0)，所以＝，＝，＝.
因為所以BE⊥DA，BE⊥DC.
因為DA 平面ADC，DC 平面ADC，DA∩DC＝D，
所以BE⊥平面ADC.
又BE 平面ABE，
所以平面ADC⊥平面ABE.
(2) 由(1)知＝，＝(－，0，)，＝.
設平面ABE的法向量為n＝(x，y，z)，
則 即
令 x＝，則y＝2，z＝，
所以n＝(，2，).
設直線AD與平面ABE所成的角為θ，
所以sin θ＝＝＝.
因為θ∈，所以θ＝，
所以tan θ＝tan ＝.
跟蹤訓練2　(1) 如圖，以BC的中點O為坐標原點建立空間直角坐標系，設AB＝BC＝CA＝AA1＝2，則A(0，0，)，A1(0，2，)，D(，0，)，B(1，0，0)，B1(1，2，0)，C1(－1，2，0)，C(－1，0，0).
設平面DCA1的法向量為n＝(x，y，z)，
則
又＝，＝(1，2，)，
所以
令x＝1，則z＝－，y＝1，所以n＝(1，1，－).
因為＝(－2，2，0)，
所以n·＝－2＋2＋0＝0，
所以n⊥.
又BC1 平面DCA1，所以BC1∥平面DCA1.
(2) 設平面AA1C1C的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
則
又＝(0，2，0)，＝(1，2，)，
所以
令z1＝1，則x1＝－，所以m＝(－，0，1)，
所以cos 〈m，n〉＝＝－，
所以所求銳二面角的余弦值為.
例2　如圖，設水平面的單位法向量為n，其中每一根繩子的拉力均為F.
因為〈n，F〉＝30°，
所以F在n上的投影向量為|F|n，
所以8根繩子拉力的合力F合＝8×|F|n＝4|F|n.
又因為降落傘勻速下落，
所以|F合|＝|G禮物|＝1×9.8＝9.8(N)，
所以|4|F|n|＝9.8，所以|F|＝≈1.41(N).
【檢測反饋】
1. A　直線l是平面x＋2y－1＝0與x＋z＋3＝0的交線，設直線l的方向向量為m＝(x，y，z)，平面x＋2y－1＝0的法向量為(1，2，0)，平面x＋z＋3＝0的法向量為(1，0，1)，則令y＝1，得x＝－2，z＝2，所以直線l的方向向量為m＝(－2，1，2).因為平面α的方程為x＋y－z－3＝0，所以n＝(1，1，－1)為平面α的法向量．設直線l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，故直線l與平面α所成角的正弦值為.
2. B　設正三棱錐P-ABC的底面邊長為6，高為t，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨令M為PA的中點，則O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，O1(2，3，0)，P(2，3，t)，M，所以＝，＝(3，3，0)，＝，所以cos α＝＝＝.過點M作MF∥PO1交AD于點F，所以MF＝PO1＝，∠MBF即為BM與底面ABC所成的角，所以sin β＝＝＝，所以cos β＝＝＝，所以2cos α時，2cos γcos β，故C，D錯誤，故選B.
3. BCD　取AD的中點O，BC的中點E，連接OE，OP.因為△PAD為等邊三角形，所以OP⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP 平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.因為OE 平面ABCD，OD 平面ABCD，所以OP⊥OE，OP⊥OD.又AD⊥OE，所以OD，OE，OP兩兩垂直．如圖，以O為坐標原點，OD，OE，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則O(0，0，0)，D(，0，0)，A(－，0，0)，P(0，0，3)，C(，2，0)，B(－，2，0).因為Q是PD的中點，所以Q.平面PAD的一個法向量為m＝(0，1，0)，＝，顯然m與不共線，所以CQ與平面PAD不垂直，故A不正確；＝(，2，－3)，＝，＝(2，2，0).設平面AQC的法向量為n＝(x，y，z)，則令x＝1，則n＝(1，－，－).設直線PC與平面AQC所成的角為θ，則sin θ＝＝＝，故cos θ＝， 故B正確；點Q到平面ABCD的距離，即為OP＝，故C正確；三棱錐B-ACQ的體積為VB-ACQ＝VQ-ABC＝S△ABC·OP＝××2×2××3＝6，故D正確．故選BCD.
4. 　建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1).由＝λ，得P(λ，λ，1－λ)，則＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝(－λ，1－λ，λ－1).因為∠APC為銳角，所以·＝(1－λ，－λ，λ－1)·(－λ，1－λ，λ－1)＝(λ－1)(3λ－1)>0，解得λ<或λ>1.又因為動點P在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上，所以0≤λ<，故λ的取值范圍是.
5. (1) 取CD的中點G，連接AC，AG.
因為底面ABCD是菱形且∠ABC＝60°，
所以△ACD為等邊三角形，
所以AG⊥DC.
又AB∥CD，所以AG⊥AB.
易知AB，AG，AA1兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AG，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B(2，0，0)，C(1，，0)，D(－1，，0)，E(0，0，1)，F(1，，1)，D1(－1，，2)，
所以＝(－1，，1)＝，＝(－2，0，1)＝，
所以BF∥ED1，BE∥FD1，且||＝＝||，
所以四邊形EBFD1為菱形．
(2) 設平面BDF的法向量為n＝(x，y，z).
因為＝(－1，，1)，＝(－3，，0)，
所以即
取x＝1，得n＝(1，，－2).
又＝(－1，，0)，
所以點C到平面BDF的距離d＝＝＝.

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