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第一章
空間向量與立體幾何
本 章 復(fù) 習(xí)
內(nèi)容索引
學(xué)習(xí)目標(biāo)
活動(dòng)方案
檢測(cè)反饋
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1. 梳理本章知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．
2. 鞏固空間向量的有關(guān)知識(shí)．
3. 會(huì)用向量法解決立體幾何問(wèn)題．
活 動(dòng) 方 案
活動(dòng)一　構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
1. 知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：
2. 空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的向量表示：
設(shè)直線(xiàn)l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則
線(xiàn)線(xiàn)平行 l∥m a∥b k∈R，使得a＝kb
線(xiàn)面平行 l∥α a⊥μ a·μ＝0
面面平行 α∥β μ∥v k∈R，使得μ＝kv
線(xiàn)線(xiàn)垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
線(xiàn)面垂直 l⊥α a∥μ k∈R，使得a＝kμ
面面垂直 α⊥β μ⊥v μ·v＝0
3. 用向量法解決立體幾何問(wèn)題：
步驟如下：
(1) 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
(2) 寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；
(3) 進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運(yùn)算；
(4) 寫(xiě)出幾何意義下的結(jié)論．
關(guān)鍵點(diǎn)如下：
(1) 選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．坐標(biāo)系的選取很重要，恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)易求且簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程；
(2) 點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的確定．將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的問(wèn)題，必須確定點(diǎn)的坐標(biāo)、直線(xiàn)的方向向量、平面的法向量，這是最核心的問(wèn)題；
(3) 幾何問(wèn)題與向量問(wèn)題的轉(zhuǎn)化．平行、垂直、夾角問(wèn)題都可以通過(guò)向量計(jì)算來(lái)解決，如何轉(zhuǎn)化也是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.
活動(dòng)二　空間向量的概念及運(yùn)算
例1　(1) 判斷下列各命題的真假：①向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；②兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；③零向量是沒(méi)有方向的；④有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段．其中假命題的個(gè)數(shù)為(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 ①假命題，當(dāng)a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的；②真命題；③假命題，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不確定；④假命題，向量可用有向線(xiàn)段來(lái)表示，但并不是有向線(xiàn)段．
【答案】 C
(2) 如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S到點(diǎn)A，B，C，D的距離都等于2.
給出以下結(jié)論：
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.
【答案】 ③④
活動(dòng)三　利用空間向量證明位置關(guān)系
例2　如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點(diǎn)．求證：
(1) BM∥平面ADEF；
(2) BC⊥平面BDE.
【解析】 因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形，
所以AD⊥ED.
因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面
ABCD＝AD，ED 平面ADEF，
所以ED⊥平面ABCD.
因?yàn)镃D 平面ABCD，所以ED⊥CD.
變式　本例條件不變，如何證明平面BCE⊥平面BDE.
【解析】 由例2(2)知BC⊥平面BDE.
又BC 平面BCE，
所以平面BCE⊥平面BDE.
活動(dòng)四　利用空間向量求空間角
例3　如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，G為AB的中點(diǎn)，AB＝BE＝2.
(1) 求證：EG∥平面ADF；
(2) 求二面角O－EF－C的正弦值；
檢 測(cè) 反 饋
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【答案】 C
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【答案】 D
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3. (多選)(2024唐山期末)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為2，M，N分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
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【答案】 CD
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4. (2023北京期中)已知空間向量a＝(2，－1,1)，b＝(1,1,2)，則|a＋b|＝________.
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1
(1) 求證：DE⊥平面PAC；
(2) 求平面PAC與平面PCD夾角的正弦值；
(3) 求點(diǎn)E到平面PCD的距離．
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1
【解析】 (1) 由PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
AD 平面ABCD，得PA⊥AB，PA⊥AD.
又AB⊥AD，所以PA，AB，AD兩兩垂直．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，E(2,1,0)，P(0,0,4)，
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謝謝觀看
Thank you for watching第1章 空間向量與立體幾何 本章復(fù)習(xí)
1. 梳理本章知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．
2. 鞏固空間向量的有關(guān)知識(shí)．
3. 會(huì)用向量法解決立體幾何問(wèn)題．
活動(dòng)一 構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
1. 知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：
2. 空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的向量表示：
設(shè)直線(xiàn)l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則
線(xiàn)線(xiàn)平行 l∥m a∥b k∈R，使得a＝kb
線(xiàn)面平行 l∥α a⊥μ a·μ＝0
面面平行 α∥β μ∥v k∈R，使得μ＝kv
線(xiàn)線(xiàn)垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
線(xiàn)面垂直 l⊥α a∥μ k∈R，使得a＝kμ
面面垂直 α⊥β μ⊥v μ·v＝0
線(xiàn)線(xiàn)夾角 l，m的夾角為θ，cos θ＝
線(xiàn)面夾角 l，α的夾角為θ，sin θ＝
面面夾角 α，β的夾角為θ，|cos θ|＝
3. 用向量法解決立體幾何問(wèn)題：
步驟如下：
(1) 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
(2) 寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；
(3) 進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運(yùn)算；
(4) 寫(xiě)出幾何意義下的結(jié)論．
關(guān)鍵點(diǎn)如下：
(1) 選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．坐標(biāo)系的選取很重要，恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)易求且簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程；
(2) 點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的確定．將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的問(wèn)題，必須確定點(diǎn)的坐標(biāo)、直線(xiàn)的方向向量、平面的法向量，這是最核心的問(wèn)題；
(3) 幾何問(wèn)題與向量問(wèn)題的轉(zhuǎn)化．平行、垂直、夾角問(wèn)題都可以通過(guò)向量計(jì)算來(lái)解決，如何轉(zhuǎn)化也是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．
活動(dòng)二 空間向量的概念及運(yùn)算
例1　(1) 判斷下列各命題的真假：①向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；②兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；③零向量是沒(méi)有方向的；④有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段．其中假命題的個(gè)數(shù)為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(2) 如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S到點(diǎn)A，B，C，D的距離都等于2.
給出以下結(jié)論：
①＋＋＋＝0; ②＋－－＝0；
③－＋－＝0; ④·＝·；
⑤·＝0，
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．
活動(dòng)三 利用空間向量證明位置關(guān)系
例2　如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點(diǎn)．求證：
(1) BM∥平面ADEF；
(2) BC⊥平面BDE.
變式　本例條件不變，如何證明平面BCE⊥平面BDE.
活動(dòng)四 利用空間向量求空間角
例3　如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，G為AB的中點(diǎn)，AB＝BE＝2.
(1) 求證：EG∥平面ADF；
(2) 求二面角O-EF-C的正弦值；
(3) 設(shè)H為線(xiàn)段AF上的一點(diǎn)，且AH＝HF，求直線(xiàn)BH和平面CEF所成角的正弦值．
1. (2024佛山期末)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E是CC′的中點(diǎn)．設(shè)在上的投影向量為a，則|a|等于(　　)
A. B. C. D.
2. (2024青島期末)已知四面體OABC中，＝a，＝b，＝c，＝λ(λ>0)，N為BC的中點(diǎn)，若＝－a＋b＋c，則λ的值為(　　)
A. 3
B. 2
C.
D.
3. (多選)(2024唐山期末)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為2，M，N分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. MN⊥AC
B. MN∥BC1
C. MN＝
D. MN∥平面BCC1B1
4. (2023北京期中)已知空間向量a＝(2，－1，1)，b＝(1，1，2)，則|a＋b|＝________．
5. (2024天津薊州區(qū)第一中學(xué)期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，PA＝4，AB＝AD＝BC＝2，E為棱BC上的點(diǎn)，且BE＝BC.
(1) 求證：DE⊥平面PAC；
(2) 求平面PAC與平面PCD夾角的正弦值；
(3) 求點(diǎn)E到平面PCD的距離．
【參考答案與解析】
本 章 復(fù) 習(xí)
【活動(dòng)方案】
例1　(1) C　①假命題，當(dāng)a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的；②真命題；③假命題，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不確定；④假命題，向量可用有向線(xiàn)段來(lái)表示，但并不是有向線(xiàn)段．
(2) ③④　可以推出－＋－＝＋＝0，所以③正確；又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos ∠ASB，·＝2×2×
cos ∠CSD.又∠ASB＝∠CSD，所以·＝·，故④正確，其余三個(gè)都不正確，故正確結(jié)論的序號(hào)是③④.
例2　因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形，所以AD⊥ED.
因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED 平面ADEF，
所以ED⊥平面ABCD.
因?yàn)镃D 平面ABCD，所以ED⊥CD.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(xiàn)(2，0，2).
(1) 因?yàn)镸為EC的中點(diǎn)，所以M(0，2，1)，
所以＝(－2，0，1).
易知平面ADEF的一個(gè)法向量為n＝(0，1，0)，所以·n＝0.
又BM 平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.
(2) ＝(－2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2).
因?yàn)椤ぃ剑?＋4＝0，所以BC⊥DB.
因?yàn)椤ぃ?，所以BC⊥DE.
又DE∩DB＝D，DE 平面BDE，DB 平面BDE，
所以BC⊥平面BDE.
變式　由例2(2)知BC⊥平面BDE.
又BC 平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.
例3　(1) 由題意，得OF⊥平面ABCD.
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為 x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(－1，－1，0)，C(1，－1，0)，D(1，1，0)，E(－1，－1，2)，F(xiàn)(0，0，2)，G(－1，0，0)，
所以＝(2，0，0)，＝(1，－1，2).
設(shè)平面ADF的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則即
不妨取z1＝1，可得n1＝(0，2，1).
由＝(0，1，－2)，可得·n1＝0.
又因?yàn)橹本€(xiàn)EG 平面ADF，
所以EG∥平面ADF.
(2) 易證＝(－1，1，0)為平面OEF的一個(gè)法向量．依題意，得＝(1，1，0)，＝(－1，1，2).
設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面CEF的法向量，
則即
不妨取 x2＝1，可得n2＝(1，－1，1)，
所以cos 〈，n2〉＝＝－，
所以sin 〈，n2〉＝，
所以二面角O-EF-C的正弦值為.
(3) 由AH＝HF，得AH＝AF.
因?yàn)椋?1，－1，2)，
所以＝＝，
所以H(－，，)，
所以＝(，，)，
所以cos 〈，n2〉＝＝－，
所以直線(xiàn)BH和平面CEF所成角的正弦值為.
【檢測(cè)反饋】
1. C　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA′所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，E(2，2，1)，A′(0，0，2)，D(0，2，0)，所以＝(2，2，1)，＝(0，2，－2).由題意，得a＝||cos 〈，〉·，所以|a|＝||·|cos 〈，〉|＝||·＝＝＝.
2. D　由題意，得＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.因?yàn)椋剑璦＋b＋c，所以＝，解得λ＝.
3. CD　取AC的中點(diǎn)O，連接ON，OB.由題意可知ON∥AA1，OB⊥AC.因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AC 平面ABC，OB 平面ABC，所以AA1⊥AC，AA1⊥OB，則ON⊥AC，ON⊥OB，即ON，AC，OB兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，ON所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，0，0)，B1(0，，2)，C1(－1，0，2)，M，N(0，0，2)，可得＝，＝(2，0，0)，＝(－1，－，2)，＝(1，，0).設(shè)平面BCC1B1的法向量為n＝(x，y，z)，則令x＝，則y＝－1，z＝0，可得n＝(，－1，0).對(duì)于A，因?yàn)椤ぃ剑?≠0，所以MN，AC不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋健伲訫N，BC1不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，MN＝＝，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閚·＝×＋(－1)×＝0，MN 平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1，故D正確．故選CD.
4. 3　因?yàn)閍＝(2，－1，1)，b＝(1，1，2)，所以a＋b＝(3，0，3)，則|a＋b|＝＝3.
5. (1) 由PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，得PA⊥AB，PA⊥AD.
又AB⊥AD，所以PA，AB，AD兩兩垂直．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，C(2，4，0)，D(0，2，0)，E(2，1，0)，P(0，0，4)，
所以＝(2，－1，0)，＝(0，0，4)，＝(2，4，0).
令m＝(x，y，z)是平面PAC的法向量，
則
取x＝2，則m＝(2，－1，0)，
顯然＝m，故DE⊥平面PAC.
(2) 由(1)知，＝(0，－2，4)，＝(2，2，0).
設(shè)n＝(a，b，c)是平面PCD的法向量，
則
取a＝2，則n＝(2，－2，－1)，
所以＝＝，
則平面PAC與平面PCD夾角的正弦值為＝.
(3) 由(1)知，＝(0，3，0)，
故點(diǎn)E到平面PCD的距離為＝＝2.

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