資源簡介

(共44張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.1　直線的傾斜角與斜率
2.1.1　傾斜角與斜率(1)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．
2. 理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式．
活 動 方 案
活動一　情景引入
【解析】 略
【解析】 ①已知兩點可以確定一條直線；
②已知一點和一個方向可以確定一條直線．
思考1
(1) 確定一條直線的幾何要素是什么？
(2) 如果一條直線只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件？
【解析】 給出另一個點或一個方向．
(3) 用什么量來表示直線的方向？
【解析】 相對于x軸的傾斜程度．
活動二　直線的傾斜角
思考2
用什么量來刻畫直線相對于x軸的傾斜程度？
【解析】 傾斜角
結論：
傾斜角的定義：當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，________與直線l________的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
規定：當直線l與x軸平行或重合時，直線l的傾斜角為________.
傾斜角α的取值范圍：____________.
x軸正向
向上
0°
0°≤α<180°
【解析】 由題意畫出如下草圖．由圖可知，
當α為鈍角時，傾斜角為α－90°；
當α為銳角時，傾斜角為α＋90°；
當α為直角時，傾斜角為0°.
例1　已知直線l過原點，直線l繞原點按順時針方向轉動角α(0°<α<180°)后，恰好與y軸重合，求直線l轉動前的傾斜角？
求直線的傾斜角主要根據定義，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討論．
設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將直線l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為(　　)
A. α＋45°
B. α－135°
C. 135°－α
D. 當0°≤α<135°時，傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，傾斜角為α－135°
【解析】 因為0°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知，當0°≤α<135°時，l1的傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.
【答案】 D
活動三　直線的斜率
思考3
在平面直角坐標系中，設直線l的傾斜角為α.
(3) 一般地，如果直線l經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α與點P1，P2的坐標有怎樣的關系？
圖1
結論：
直線的斜率的定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝tan α.
思考4
(1) 當直線確定后，k值與直線上兩點的順序是否有關？ 它的斜率是否確定？
【解析】 k值與直線上兩點的順序無關，斜率是定值．
(2) 當直線與x軸平行或重合時，公式是否成立？
【解析】 當直線與x軸平行或重合時，公式成立，此時斜率為0.
(3) 當直線與x軸垂直時，直線的斜率是否存在？
【解析】 當直線與x軸垂直時，直線的斜率不存在．
(4) 直線的斜率公式還可以從什么角度認識？
【解析】 斜率是直線傾斜程度的數量化，是一比值．
我們稱y2－y1為縱坐標的增量(用Δy表示)，x2－x1為橫坐標的增量(用Δx表示)．
例2　如圖，直線l1，l2，l3都經過點P(3,2)，又l1，l2，l3分別經過點Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，計算直線l1，l2，l3的斜率．
直線的斜率可直接由公式計算可得．
已知點A(－3，－5)，B(1,3)，C(5，11)．求證：A，B，C三點共線．
思考5
由例2可歸納得出：
當直線的斜率為正時，直線有怎樣的變化趨勢？
當直線的斜率為負時，直線有怎樣的變化趨勢？
當直線的斜率為0時，直線有怎樣的變化趨勢？
當直線滿足什么條件時，直線的斜率不存在？
【解析】 當直線的斜率為正時，直線從左下方向右上方傾斜；
當直線的斜率為負時，直線從左上方向右下方傾斜；
當直線的斜率為0時，直線與x軸平行或重合；
當直線與x軸垂直時，直線的斜率不存在．
運用斜率公式求直線斜率時，一定要注意公式中x1≠x2的條件．
思考6
直線的方向向量與斜率k有什么關系？
練習1　(2024廈門大學附屬科技中學階段測試)直線l的一個方向向量為(－1,3)，則它的斜率k等于(　　)
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
【答案】 A
練習2　(多選)下列說法中，正確的是(　　)
【解析】 對于A，當u＝0時，斜率不存在，故A錯誤；對于B，由方向向量與斜率的關系可得結論，故B正確；對于C，若k＝0時，方向向量不為零向量，故C錯誤；對于D，由d·t＝－uv＋uv＝0，故D正確．故選BD.
【答案】 BD
例3　經過點(3,2)畫直線，使直線的斜率分別為：
活動四　斜率公式的簡單應用
思考7
已知一點和直線的斜率，如何作直線？
【解析】 略
思考8
還有其他作法嗎？
【解析】 略
　已知三點A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在一條直線上，求實數a的值．
三點共線時，可以利用斜率相等，還可利用兩點間距離公式等.
檢 測 反 饋
2
4
5
1
3
【答案】 D
2
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5
1
3
【答案】 A
2
4
5
3
1
【解析】 對于A，直線的傾斜角為α，當α＝90°時，斜率不存在，故A錯誤；對于B，直線的傾斜角的取值范圍為[0,180°)，故B錯誤；對于C，直線的傾斜角的取值范圍為[0,180°)，則有sinα≥0，故C正確；對于D，任意直線都有傾斜角α，且當α≠90°時，斜率為 tanα，故D正確．故選CD.
3. (多選)下列說法中，正確的是(　　)
A. 若直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα
B. 一條直線的傾斜角為－30°
C. 若直線的傾斜角為α，則sinα≥0
D. 任意直線都有傾斜角α，且當α≠90°時，斜率為tanα
【答案】 CD
2
4
5
3
1
4. (2024北京豐臺區期中)已知直線l經過點A(1,4)，且斜率為2，則直線l的一個方向向量為________.
【答案】 (1,2)(答案不唯一)
2
4
5
3
1
5. 經過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求出其斜率，并確定直線的傾斜角α.
(1) A(2,3)，B(4,5)；
(2) C(－2,3)，D(2，－1)；
(3) P(－3,1)，Q(－3,10)．
2
4
5
3
1
謝謝觀看
Thank you for watching2．1　直線的傾斜角與斜率
2.1.1　傾斜角與斜率(1)
1. 在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．
2. 理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式．
活動一 情景引入
交通工程上一般用“坡度”來描述一段道路對于水平方向的傾斜程度．如圖，一輛汽車沿某條道路從點A前進到點B，在水平方向前進的距離為AD，豎直方向上升的高度為DB(如果是下降，那么DB的值為負實數)，則坡度k＝＝.k>0表示上坡，k<0表示下坡，為了實際應用與安全，在道路鋪設時常要規劃坡度的大小．那么“坡度”是如何來刻畫道路的傾斜程度的呢？
思考1
(1) 確定一條直線的幾何要素是什么？
(2) 如果一條直線只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件？
(3) 用什么量來表示直線的方向？
活動二　直線的傾斜角　
思考2
用什么量來刻畫直線相對于x軸的傾斜程度？
結論：
傾斜角的定義：當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，________與直線l________的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
規定：當直線l與x軸平行或重合時，直線l的傾斜角為________．
傾斜角α的取值范圍：____________．
例1　已知直線l過原點，直線l繞原點按順時針方向轉動角α(0°<α<180°)后，恰好與y軸重合，求直線l轉動前的傾斜角？
求直線的傾斜角主要根據定義，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討論．
　設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將直線l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為(　　)
A. α＋45°
B. α－135°
C. 135°－α
D. 當0°≤α<135°時，傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，傾斜角為α－135°
活動三　直線的斜率　
思考3
在平面直角坐標系中，設直線l的傾斜角為α.
(1) 已知直線l經過點O(0，0)，P(，1)，α與點O，P的坐標有什么關系？
(2) 類似地，如果直線l經過點P1(－1，1)，P2(，0)，α與點P1，P2的坐標又有什么關系？
(3) 一般地，如果直線l經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α與點P1，P2的坐標有怎樣的關系？
結論：
直線的斜率的定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝tan α.
過兩點的直線的斜率公式：k＝(x1≠x2).
注：傾斜角是90°的直線沒有斜率，傾斜角不是90°的直線都有斜率．
思考4
(1) 當直線確定后，k值與直線上兩點的順序是否有關？ 它的斜率是否確定？
(2) 當直線與x軸平行或重合時，公式是否成立？
(3) 當直線與x軸垂直時，直線的斜率是否存在？
(4) 直線的斜率公式還可以從什么角度認識？
我們稱y2－y1為縱坐標的增量(用Δy表示)，x2－x1為橫坐標的增量(用Δx表示).
對于與x軸不垂直的直線PQ，它的斜率也可看作k＝.
例2　如圖，直線l1，l2，l3都經過點P(3，2)，又l1，l2，l3分別經過點Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，計算直線l1，l2，l3的斜率．
直線的斜率可直接由公式計算可得．
　已知點A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11).求證：A，B，C三點共線．
思考5
由例2可歸納得出：
當直線的斜率為正時，直線有怎樣的變化趨勢？
當直線的斜率為負時，直線有怎樣的變化趨勢？
當直線的斜率為0時，直線有怎樣的變化趨勢？
當直線滿足什么條件時，直線的斜率不存在？
運用斜率公式求直線斜率時，一定要注意公式中x1≠x2的條件．
思考6
直線的方向向量與斜率k有什么關系？
若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝.
練習1　(2024廈門大學附屬科技中學階段測試)直線l的一個方向向量為(－1，3)，則它的斜率k等于(　　)
A. －3 B. －1 C. 1 D. 3
練習2　(多選)下列說法中，正確的是(　　)
A. 若直線的一個方向向量為d＝(u，v)，則直線l的斜率為
B. 若直線的斜率為，則直線l的一個方向向量為d＝(u，v)
C. 若直線的斜率為k，則直線l的一個方向向量為d＝(k，k2)
D. 若直線的一個方向向量為d＝(u，v)，則直線的一個法向量為t＝(－v，u)
活動四　斜率公式的簡單應用　
例3　經過點(3，2)畫直線，使直線的斜率分別為：
(1) ；　　　　(2) －.
思考7
已知一點和直線的斜率，如何作直線？
思考8
還有其他作法嗎？
　已知三點A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在一條直線上，求實數a的值．
三點共線時，可以利用斜率相等，還可利用兩點間距離公式等.
1. (2024梅州統考)若過點M(－1，m)，N(1，0)的直線的傾斜角為，則實數m的值為(　　)
A. －2 B. － C. D. 2
2. (教材改編題)已知直線l經過點A(0，1)與B(1，1－)，則直線l的一個方向向量、直線l的斜率與傾斜角分別是(　　)
A. (1，－)，－，120° B. (1，)，，120°
C. (1，－)，－，60° D. (1，)，，60°
3. (多選)下列說法中，正確的是(　　)
A. 若直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tan α
B. 一條直線的傾斜角為－30°
C. 若直線的傾斜角為α，則sin α≥0
D. 任意直線都有傾斜角α，且當α≠90°時，斜率為tan α
4. (2024北京豐臺區期中)已知直線l經過點A(1，4)，且斜率為2，則直線l的一個方向向量為________．
5. 經過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求出其斜率，并確定直線的傾斜角α.
(1) A(2，3)，B(4，5)；
(2) C(－2，3)，D(2，－1)；
(3) P(－3，1)，Q(－3，10).
【參考答案與解析】
2.1　直線的傾斜角與斜率
2.1.1　傾斜角與斜率(1)
【活動方案】
情境引入：略
思考1：(1) ①已知兩點可以確定一條直線；
②已知一點和一個方向可以確定一條直線．
(2) 給出另一個點或一個方向．
(3) 相對于x軸的傾斜程度．
思考2：傾斜角
結論：x軸正向　向上　0°　0°≤α<180°
例1　由題意畫出如下草圖．由圖可知，
當α為鈍角時，傾斜角為α－90°；
當α為銳角時，傾斜角為α＋90°；
當α為直角時，傾斜角為0°.
綜上，直線l轉動前的傾斜角為
跟蹤訓練　D　因為0°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知，當0°≤α<135°時，l1的傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.
　
思考3：(1) 向量＝(，1)，且直線OP的傾斜角為α.由正切函數的定義，有tan α＝＝.
(2) 向量＝(－1－，1－0)＝(－1－，1)，平移向量到，則點P的坐標為(－1－，1)，且直線OP的傾斜角也是α.由正切函數的定義，有tan α＝＝1－.
(3) 一般地， 如圖1，當向量的方向向上時，＝(x2－x1，y2－y1).平移向量到，則點P的坐標為(x2－x1，y2－y1)，且直線OP的傾斜角也是α，由正切函數的定義，有tan α＝.
　　
圖1
同樣，當向量的方向向上時，如圖2，＝(x1－x2，y1－y2)，也有tan α＝＝，
　　
圖2
綜上，直線l的傾斜角α與直線l上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的坐標有如下關系：tan α＝.
思考4：(1) k值與直線上兩點的順序無關，斜率是定值．
(2) 當直線與x軸平行或重合時，公式成立，此時斜率為0.
(3) 當直線與x軸垂直時，直線的斜率不存在．
(4) 斜率是直線傾斜程度的數量化，是一比值．
例2　設直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.
跟蹤訓練　因為kAB＝＝2，kBC＝＝2，
且直線AB，BC都經過點B，所以A，B，C三點共線．
思考5：當直線的斜率為正時，直線從左下方向右上方傾斜；
當直線的斜率為負時，直線從左上方向右下方傾斜；
當直線的斜率為0時，直線與x軸平行或重合；
當直線與x軸垂直時，直線的斜率不存在．
思考6：直線P1P2的方向向量坐標為(x2－x1，y2－y1)，當x1≠x2時，直線P1P2與x軸不垂直，其中一個方向向量為＝(1，k).
練習1：A　直線l的一個方向向量為(－1，3)，則斜率k＝＝－3.
練習2：BD　對于A，當u＝0時，斜率不存在，故A錯誤；對于B，由方向向量與斜率的關系可得結論，故B正確；對于C，若k＝0時，方向向量不為零向量，故C錯誤；對于D，由d·t＝－uv＋uv＝0，故D正確．故選BD.
例3　(1) 根據斜率＝，斜率為表示直線上的任一點沿x軸方向向右平移4個單位長度，再沿y軸方向向上平移3個單位長度后仍在此直線上．將點(3，2)沿x軸方向向右平移4個單位長度，再沿y軸方向向上平移3個單位長度后得點(7，5)，即可確定直線，如圖1.
(2) 因為－＝，所以將點(3，2)沿x軸方向向右平移4個單位長度，再沿y軸方向向下平移3個單位長度后得點(7，－1)，即可確定直線，如圖2.
圖1 圖2
思考7：略
思考8：略
跟蹤訓練　kAB＝＝， kBC＝＝.　
因為A，B，C三點在一條直線上，所以kAB＝kBC, 即＝， 解得a＝2或a＝.
【檢測反饋】
1. D　由題意，得kMN＝＝tan ＝－1，解得m＝2.
2. A　由已知可得＝(1，1－)－(0，1)＝(1，－)是直線l的一個方向向量，所以直線的斜率k＝＝－，直線的傾斜角θ滿足tan θ＝－，0°≤θ<180°，則θ＝120°.
3. CD　對于A，直線的傾斜角為α，當α＝90°時，斜率不存在，故A錯誤；對于B，直線的傾斜角的取值范圍為[0，180°)，故B錯誤；對于C，直線的傾斜角的取值范圍為[0，180°)，則有sin α≥0，故C正確；對于D，任意直線都有傾斜角α，且當α≠90°時，斜率為 tan α，故D正確．故選CD.
4. (1，2)(答案不唯一)　不妨令直線l的一個方向向量為(x，y)，則k＝，所以可以取x＝1，則y＝2，此時直線l的一個方向向量為(1，2)(答案不唯一).
5. (1) 存在．
直線AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1.
又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝45°.
(2) 存在．
直線CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1.
又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝135°.
(3) 不存在．
因為xP＝xQ＝－3，所以直線PQ的斜率不存在，傾斜角α＝90°.

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