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(共26張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.1　直線的傾斜角與斜率
2.1.1　傾斜角與斜率(2)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
掌握直線的斜率與傾斜角之間的關系．
活 動 方 案
活動一　鞏固直線的傾斜角與斜率的概念
1. 直線的傾斜角與斜率是如何定義的？
【解析】 當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．
2. 如何證明三點共線？
【解析】 如果已知三點A，B，C，可以取AB，BC，AC分別算出兩點斜率，若三個斜率相等，則A，B，C三點共線．
活動二　探究直線傾斜角和斜率的關系
探究：
(1) 直線的傾斜角α與斜率k存在怎樣的關系？
【解析】 當直線的傾斜角α為銳角時，直線的斜率的符號為正，此時k＝tan α；
當直線的傾斜角α為鈍角時，直線的斜率的符號為負，此時k＝－tan(π－α)；
當直線的傾斜角α為直角時，直線的斜率不存在．
因此，當直線與x軸不垂直時，直線的斜率k與傾斜角α之間滿足k＝tan α.
(2) 直線的傾斜角α的變化對直線的斜率k的變化有怎樣的影響？
例1　如圖，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．
已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)．
(1) 當m為何值時，直線MN的傾斜角為銳角？
(2) 當m為何值時，直線MN的傾斜角為鈍角？
(3) 當m為何值時，直線MN的傾斜角為直角？
直線l1，l2，l3如圖所示，則l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小關系為________，傾斜角α1，α2，α3的大小關系為__________.
【解析】 k1>k2>k3　α3>α1>α2
活動三　利用直線的傾斜角和斜率解決簡單的問題
例2 　已知兩點A(－2，－3)，B(3,0)，過點P(－1，2)的直線l與線段AB始終有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍.
檢 測 反 饋
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【解析】 由題圖可知，k1<0，k2<0，k3>0，且k1>k2，所以k3>k1>k2，k1－k2>0，k2k3<0.故選A.
1. (2023西寧階段練習)如圖，在平面直角坐標系中有三條直線l1，l2，l3，其對應的斜率分別為k1，k2，k3，則下列結論中正確的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. k3>k1>k2 B. k1－k2<0
C. k2k3>0 D. k3>k2>k1
【答案】 A
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【答案】 B
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3. (多選)(2024大慶外國語學校開學質量檢測)在平面直角坐標系中，下列說法中不正確的是(　　)
A. 任意一條直線都有傾斜角和斜率
B. 直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大
C. 若一條直線的傾斜角為α，則該直線的斜率為tan α
D. 與坐標軸垂直的直線的傾斜角是0°或90°
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【解析】 對于A，當直線的傾斜角為90°時，直線沒有斜率，故A錯誤；對于B，當直線的傾斜角為45°時，斜率為1，當直線的傾斜角為135°時，斜率為－1，故B錯誤；對于C，若一條直線的傾斜角為α＝90°，則該直線的斜率不存在，故C錯誤；對于D，當直線與x軸 垂直時，直線的傾斜角是90°，當直線與y軸垂直時，直線的傾斜角是0°，即與坐標軸垂直的直線的傾斜角是0°或90°，故D正確．故選ABC.
【答案】 ABC
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4. 已知點P(x，－2)在A(－1,1)，B(1,7)兩點所連的直線上，則實數(shù)x的值為________.
【答案】 －2
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5. 如圖，菱形OBCD的頂點O與坐標原點重合，一邊在x軸的正半軸上，已知∠BOD＝60°，求菱形各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角及斜率．
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Thank you for watching2．1.1　傾斜角與斜率(2)
掌握直線的斜率與傾斜角之間的關系．
活動一 鞏固直線的傾斜角與斜率的概念
1. 直線的傾斜角與斜率是如何定義的？
2. 如何證明三點共線？
活動二　探究直線傾斜角和斜率的關系　
探究：
(1) 直線的傾斜角α與斜率k存在怎樣的關系？
(2) 直線的傾斜角α的變化對直線的斜率k的變化有怎樣的影響？
例1　如圖，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．
直線的傾斜角和斜率都是反映該直線的傾斜程度，它們之間的關系是k＝tan α，而當知道直線上兩點的坐標時，k＝(x1≠x2).
　已知M(2m＋3，m)，N(m－2，1).
(1) 當m為何值時，直線MN的傾斜角為銳角？
(2) 當m為何值時，直線MN的傾斜角為鈍角？
(3) 當m為何值時，直線MN的傾斜角為直角？
　直線l1，l2，l3如圖所示，則l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小關系為________，傾斜角α1，α2，α3的大小關系為__________．
活動三　利用直線的傾斜角和斜率解決簡單的問題　
例2　已知兩點A(－2，－3)，B(3，0)，過點P(－1，2)的直線l與線段AB始終有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍.
利用正切函數(shù)y＝tan x在區(qū)間∪上的圖象及單調性來解決直線的傾斜角和斜率之間的變化關系．
1. (2023西寧階段練習)如圖，在平面直角坐標系中有三條直線l1，l2，l3，其對應的斜率分別為k1，k2，k3，則下列結論中正確的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. k3>k1>k2 B. k1－k2<0
C. k2k3>0 D. k3>k2>k1
2. 斜率為－(a∈R)的直線的傾斜角的取值范圍是(　　)
A. B. C. D.
3. (多選)(2024大慶外國語學校開學質量檢測)在平面直角坐標系中，下列說法中不正確的是(　　)
A. 任意一條直線都有傾斜角和斜率
B. 直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大
C. 若一條直線的傾斜角為α，則該直線的斜率為tan α
D. 與坐標軸垂直的直線的傾斜角是0°或90°
4. 已知點P(x，－2)在A(－1，1)，B(1，7)兩點所連的直線上，則實數(shù)x的值為________．
5. 如圖，菱形OBCD的頂點O與坐標原點重合，一邊在x軸的正半軸上，已知∠BOD＝60°，求菱形各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角及斜率．
【參考答案與解析】
2．1.1　傾斜角與斜率(2)
【活動方案】
1. 當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．
2. 如果已知三點A，B，C，可以取AB，BC，AC分別算出兩點斜率，若三個斜率相等，則A，B，C三點共線．
探究：(1) 當直線的傾斜角α為銳角時，直線的斜率的符號為正，此時k＝tan α；
當直線的傾斜角α為鈍角時，直線的斜率的符號為負，此時k＝－tan (π－α)；
當直線的傾斜角α為直角時，直線的斜率不存在．
因此，當直線與x軸不垂直時，直線的斜率k與傾斜角α之間滿足k＝tan α.
(2) 當傾斜角α∈時，k≥0，且k隨α的增大而增大；
當傾斜角α∈時，k<0，且k隨α的增大而增大；
當傾斜角α＝時，k不存在．
例1　直線AB的斜率kAB＝＝；
直線BC的斜率kBC＝＝＝－；
直線CA的斜率kCA＝＝＝1.
由kAB>0及kCA>0可知，直線AB與CA的傾斜角均為銳角；由kBC<0可知，直線BC的傾斜角為鈍角．
跟蹤訓練1　由題意，得kMN＝＝.
(1) 當傾斜角為銳角時，則kMN＝>0，
解得m>1或m<－5.
(2) 當傾斜角為鈍角時，則kMN＝<0，
解得－5(3) 當傾斜角為直角時，則kMN不存在，
此時2m＋3＝m－2，解得m＝－5.
跟蹤訓練2　k1>k2>k3　α3>α1>α2　
例2　由題意，得直線PA的斜率是k1＝5, 直線PB的斜率是k2＝－.
當直線l由PA變化到與y軸平行位置PC時， 它的傾斜角由銳角α(tan α＝5)增至90°，斜率的變化范圍是[5，＋∞)；當直線l由PC變化到PB位置時，它的傾斜角由90°增至β，斜率的變化范圍是.
綜上，斜率k的取值范圍是∪[5，＋∞).
【檢測反饋】
1. A　由題圖可知，k1<0，k2<0，k3>0，且k1>k2，所以k3>k1>k2，k1－k2>0，k2k3<0.故選A.
2. B　由于0>－≥－1，設直線的傾斜角為α，則0≤α<π，－1≤tan α<0，所以≤α<π.
3. ABC　對于A，當直線的傾斜角為90°時，直線沒有斜率，故A錯誤；對于B，當直線的傾斜角為45°時，斜率為1，當直線的傾斜角為135°時，斜率為－1，故B錯誤；對于C，若一條直線的傾斜角為α＝90°，則該直線的斜率不存在，故C錯誤；對于D，當直線與x軸 垂直時，直線的傾斜角是90°，當直線與y軸垂直時，直線的傾斜角是0°，即與坐標軸垂直的直線的傾斜角是0°或90°，故D正確．故選ABC.
4. －2　因為點P(x，－2)在A(－1，1)，B(1，7)兩點所連的直線上，所以kPA＝kAB，即＝，解得x＝－2.
5. 因為OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直線OD，BC的傾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝.
因為DC∥OB，所以直線DC，OB的傾斜角都是0°，斜率也都是0.
由菱形的性質可得∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直線OC的傾斜角為30°，斜率kOC＝tan 30°＝，
直線BD的傾斜角為∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan 120°＝－.

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