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(共27張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.1　直線的傾斜角與斜率
2.1.2　兩條直線平行和垂直的判定
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 理解兩條直線平行與垂直的條件．
2. 能根據斜率判定兩條直線平行或垂直．
3. 能利用兩直線平行或垂直的條件解決問題．
活 動 方 案
活動一　探究兩條直線平行的條件
1. 知識回顧
(1) 直線斜率的定義：
【解析】 略
(2) 直線傾斜角的定義：
【解析】 略
(3) 直線的斜率k與傾斜角α的關系：
【解析】 略
2. 探究兩直線平行的條件
我們知道，平面中兩條直線有兩種位置關系：相交、平行．當兩條直線l1與l2平行時，它們的斜率k1與k2滿足什么關系？
結論：對于斜率分別為k1，k2的兩條直線l1，l2，有l1∥l2 k1＝k2.
【解析】 k1＝k2
思考1
這個結論成立的前提是什么？反之成立嗎？
結論：對于斜率分別為k1，k2的兩條直線l1，l2，有l1∥l2 k1＝k2.若沒有特別說明，說“兩條直線l1，l2”時，指兩條不重合的直線．
【解析】 這個結論成立的前提是l1∥l2，且k1，k2存在，反之也成立．
【解析】 當兩條直線的斜率不存在時，l1，l2與x軸垂直，此時l1∥l2.
思考2
如果兩條直線的斜率有不存在的情形，如何判斷這兩條直線是否平行？
例1　已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1，2)，試判斷直線AB與PQ的位置關系，并證明你的結論．
若兩直線斜率都存在，則求出斜率，利用l1∥l2 k1＝k2進行判斷，若兩直線斜率都不存在，可通過觀察并結合圖形得出結論．
已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．
活動二　探究兩直線垂直的條件
3. 探究兩直線垂直的條件
顯然，當兩直線相交時，它們的斜率不相等；反之，當兩條直線斜率不相等時，它們相交．在相交的位置關系中，垂直是最特殊的情形．當直線l1，l2垂直時，它們除了斜率不相等外，是否還有特殊的數量關系？
結論：兩條直線都有斜率，其斜率分別為k1，k2，則有l1⊥l2 k1k2＝－1.
【解析】 設兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則直線l1，l2的方向向量分別是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，所以l1⊥l2 a⊥b a·b＝0 1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，也就是說l1⊥l2 k1k2＝－1.
【解析】 兩條直線中，若一條直線的斜率不存在，則當另一條直線的斜率為0時，兩直線垂直．
思考3
對直線斜率不存在的情形，如何判斷兩直線是否垂直？
例2　已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(6，－6)，試判斷直線AB與PQ的位置關系．
兩條直線垂直需判定k1k2＝－1，使用它的前提條件是兩條直線斜率都存在，若其中一條直線斜率不存在，另一條直線斜率為零，此時兩直線也垂直．
(1) 已知四邊形ABCD的四個頂點坐標分別為A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，D(4,2)．試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明；
檢 測 反 饋
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【解析】 由題意，設兩條直線l1和l2的斜率分別為k1，k2，且為一元二次方程k2＋2 024k＝1的兩個不等實數根，則k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.
1. (2024新高考改革數學適應性練習)已知兩條直線l1和l2，其斜率分別是一元二次方程k2＋2 024k＝1的兩個不等實數根，則其位置關系是(　　)
A. 平行 B. 垂直
C. 重合 D. 異面
【答案】 B
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2. (2024武漢外國語學校期末)張老師不僅喜歡打羽毛球，還喜歡玩折紙游戲，他將一張畫了直角坐標系(兩坐標軸單位長度相同)的紙折疊一次，使點(2,0)與點(－2,4)重合，點(2 023,2 024)與點(a，b)重合，則a＋b等于(　　)
A. 4 046 B. 4 047
C. 4 048 D. 4 049
【答案】 B
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【解析】 當直線l1，l2的斜率k1，k2都存在且兩直線不重合時，若k1＝k2，則l1∥l2，故A正確；當兩條直線均與x軸垂直時，兩直線平行，但斜率不存在，故B錯誤；若k1k2＝－1，則l1⊥l2，故C正確；當兩條直線中的一條與x軸垂直，一條與y軸垂直時，兩直線垂直，但與x軸垂直的直線斜率不存在，故D錯誤．故選AC.
3. (多選)下列命題中，正確的是(　　)
A. 若兩條不重合的直線的斜率相等，則這兩條直線平行
B. 若兩條直線平行，則這兩條直線的斜率相等
C. 若兩條直線的斜率之積為－1，則它們垂直
D. 若兩條直線垂直，則它們的斜率之積為－1
【答案】 AC
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4. 已知△ABC的三個頂點分別是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，點D(m,1)在邊BC的高所在的直線上，則實數m的值為________.
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5. 已知△ABC的三個頂點坐標為A(1,3)，B(－2，－3)，C(3,2)．求：
(1) AB所在直線的斜率；
(2) AB邊上的高所在直線的斜率．
謝謝觀看
Thank you for watching2．1.2　兩條直線平行和垂直的判定
1. 理解兩條直線平行與垂直的條件．
2. 能根據斜率判定兩條直線平行或垂直．
3. 能利用兩直線平行或垂直的條件解決問題．
活動一 探究兩條直線平行的條件
1. 知識回顧
(1) 直線斜率的定義：
(2) 直線傾斜角的定義：
(3) 直線的斜率k與傾斜角α的關系：
2. 探究兩直線平行的條件
我們知道，平面中兩條直線有兩種位置關系：相交、平行．當兩條直線l1與l2平行時，它們的斜率k1與k2滿足什么關系？
結論：對于斜率分別為k1，k2的兩條直線l1，l2，有l1∥l2 k1＝k2.
思考1
這個結論成立的前提是什么？反之成立嗎？
結論：對于斜率分別為k1，k2的兩條直線l1，l2，有l1∥l2 k1＝k2.若沒有特別說明，說“兩條直線l1，l2”時，指兩條不重合的直線．
思考2
如果兩條直線的斜率有不存在的情形，如何判斷這兩條直線是否平行？
例1　已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－1，2)，試判斷直線AB與PQ的位置關系，并證明你的結論．
若兩直線斜率都存在，則求出斜率，利用l1∥l2 k1＝k2進行判斷，若兩直線斜率都不存在，可通過觀察并結合圖形得出結論．
　已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．
活動二　探究兩直線垂直的條件　
3. 探究兩直線垂直的條件
顯然，當兩直線相交時，它們的斜率不相等；反之，當兩條直線斜率不相等時，它們相交．在相交的位置關系中，垂直是最特殊的情形．當直線l1，l2垂直時，它們除了斜率不相等外，是否還有特殊的數量關系？
結論：兩條直線都有斜率，其斜率分別為k1，k2，則有l1⊥l2 k1k2＝－1.
思考3
對直線斜率不存在的情形，如何判斷兩直線是否垂直？
例2　已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，試判斷直線AB與PQ的位置關系．
兩條直線垂直需判定k1k2＝－1，使用它的前提條件是兩條直線斜率都存在，若其中一條直線斜率不存在，另一條直線斜率為零，此時兩直線也垂直．
　(1) 已知四邊形ABCD的四個頂點坐標分別為A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，D(4，2).試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明；
(2) 已知直線l1的斜率為k1＝，直線l2經過點A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求實數a的值．
1. (2024新高考改革數學適應性練習)已知兩條直線l1和l2，其斜率分別是一元二次方程k2＋2 024k＝1的兩個不等實數根，則其位置關系是(　　)
A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 異面
2. (2024武漢外國語學校期末)張老師不僅喜歡打羽毛球，還喜歡玩折紙游戲，他將一張畫了直角坐標系(兩坐標軸單位長度相同)的紙折疊一次，使點(2，0)與點(－2，4)重合，點(2 023，2 024)與點(a，b)重合，則a＋b等于(　　)
A. 4 046 B. 4 047 C. 4 048 D. 4 049
3. (多選)下列命題中，正確的是(　　)
A. 若兩條不重合的直線的斜率相等，則這兩條直線平行
B. 若兩條直線平行，則這兩條直線的斜率相等
C. 若兩條直線的斜率之積為－1，則它們垂直
D. 若兩條直線垂直，則它們的斜率之積為－1
4. 已知△ABC的三個頂點分別是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，點D(m，1)在邊BC的高所在的直線上，則實數m的值為________．
5. 已知△ABC的三個頂點坐標為A(1，3)，B(－2，－3)，C(3，2).求：
(1) AB所在直線的斜率；
(2) AB邊上的高所在直線的斜率．
【參考答案與解析】
2．1.2　兩條直線平行和垂直的判定
【活動方案】
1. 略
2. k1＝k2
思考1：這個結論成立的前提是l1∥l2，且k1，k2存在，反之也成立．
思考2：當兩條直線的斜率不存在時，l1，l2與x軸垂直，此時l1∥l2.
例1　如圖，由已知，得
直線BA的斜率kBA＝＝，
直線PQ的斜率kPQ＝＝.
因為kBA＝kPQ，所以直線AB∥PQ.
跟蹤訓練　如圖，由已知，得
AB邊所在直線的斜率kAB＝－，
CD邊所在直線的斜率kCD＝－，
BC邊所在直線的斜率kBC＝，
DA邊所在直線的斜率kDA＝.
因為kAB＝kCD，kBC＝kDA，
所以AB∥CD，BC∥DA，
所以四邊形ABCD是平行四邊形．
3. 設兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則直線l1，l2的方向向量分別是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，所以l1⊥l2 a⊥b a·b＝0 1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，也就是說l1⊥l2 k1k2＝－1.
思考3：兩條直線中，若一條直線的斜率不存在，則當另一條直線的斜率為0時，兩直線垂直．
例2　直線AB的斜率kAB＝，
直線PQ的斜率kPQ＝－.
因為kAB·kPQ＝×＝－1，
所以直線AB⊥PQ.
跟蹤訓練　(1) 由已知可判斷四邊形ABCD是直角梯形，證明如下：
因為A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，D(4，2)，
所以kCD＝＝－，kAB＝＝－，kBC＝＝2，kAD＝＝－3，
所以kCD＝kAB，kBC≠kAD，即AB∥CD且BC不平行AD，
所以四邊形ABCD是梯形．
因為kBC·kCD＝－1，所以BC⊥CD，
所以四邊形ABCD是直角梯形．
(2) 由題意，得直線l2的斜率k2存在，因為l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
【檢測反饋】
1. B　由題意，設兩條直線l1和l2的斜率分別為k1，k2，且為一元二次方程k2＋2 024k＝1的兩個不等實數根，則k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.
2. B　設A(2，0)，B(－2，4)，則點A，B所在直線的斜率為kAB＝＝－1，由題意知，過點(2 023，2 024)，(a，b)的直線與直線AB平行，所以＝－1，整理，得a＋b＝2 023＋2 024＝4 047.
3. AC　當直線l1，l2的斜率k1，k2都存在且兩直線不重合時，若k1＝k2，則l1∥l2，故A正確；當兩條直線均與x軸垂直時，兩直線平行，但斜率不存在，故B錯誤；若k1k2＝－1，則l1⊥l2，故C正確；當兩條直線中的一條與x軸垂直，一條與y軸垂直時，兩直線垂直，但與x軸垂直的直線斜率不存在，故D錯誤．故選AC.
4. 　設直線AD，BC的斜率分別為kAD，kBC.由題意，得AD⊥BC，則kAD·kBC＝－1，所以·＝－1，解得m＝.
5. (1) 依題意，得直線AB的斜率k＝＝2.
(2) 由(1)知，直線AB的斜率為2，
所以AB邊上的高所在直線的斜率為－.

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