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第二章
直線和圓的方程
2.2　直線的方程
2.2.1　直線的點(diǎn)斜式方程
內(nèi)容索引
學(xué)習(xí)目標(biāo)
活動(dòng)方案
檢測反饋
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1. 掌握直線方程的點(diǎn)斜式和斜截式，并會(huì)用它們求直線的方程．
2. 了解直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系．
3. 會(huì)用直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題．
活 動(dòng) 方 案
活動(dòng)一　探究直線的點(diǎn)斜式方程
知識回顧：
(1) 直線傾斜角、斜率的定義：
【解析】 略
(2) 直線斜率與傾斜角的關(guān)系：
【解析】 略
(3) 直線斜率及傾斜角對直線方向變化的影響：
【解析】 略
探究：
問題1：如果直線l經(jīng)過點(diǎn)A(－1,3)，斜率為－2，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足什么條件？
思考1
以所求方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在直線l上？
問題2：設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，斜率為k，則直線l上不同于點(diǎn)P0的任意一點(diǎn)P(x，y)滿足的方程是什么？
思考2
以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在直線l上？
【解析】 直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是某方程的解，該方程為直線的方程．
結(jié)論：
(1) 直線的方程：
(2) 直線的點(diǎn)斜式方程：
【解析】 y－y0＝k(x－x0)
【解析】 當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí)，tan 0°＝0，即k＝0，這時(shí)直線l與x軸平行或重合，直線l的方程是y－y0＝0，即y＝y(tǒng)0.當(dāng)直線l的傾斜角為90°時(shí)，由于tan 90°無意義，直線沒有斜率，這時(shí)直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．又因?yàn)檫@時(shí)直線l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0.
思考3
(1) 當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí)，直線l的方程是什么？為什么？當(dāng)直線l的傾斜角為90°時(shí)，直線l的方程如何表示？為什么？
【解析】 不能，當(dāng)斜率不存在時(shí)，無法使用點(diǎn)斜式表示．
(2) 直線的點(diǎn)斜式方程y＝k(x＋1)＋3能否表示經(jīng)過點(diǎn)(－1,3)的所有直線呢？
【解析】 不是，該方程可化為y－3＝k(x－1)，但x≠1，即該方程表示除點(diǎn)(1,3)外，斜率為k的直線部分．
【解析】 直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(－2,3)，斜率k＝tan 45°＝1，代入點(diǎn)斜式方程，得y－3＝x＋2.
畫圖時(shí)，只需再找出直線l上的另一點(diǎn)P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1，則y1＝4，得點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(－1，4)，過P0，P1兩點(diǎn)的直線即為所求，如圖所示．
例1　直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(－2,3)，且傾斜角α＝45°，求直線l的點(diǎn)斜式方程，并畫出直線l.
【解析】 直線斜率存在，并且知道直線的傾斜角和直線上的一點(diǎn)．
思考4
直線滿足哪些條件時(shí)可直接利用點(diǎn)斜式寫出直線方程？
【解析】 y＝kx＋b
例2　已知直線l的斜率為k，與y軸的交點(diǎn)是P(0，b)，求直線l的方程．
定義：
(1) 直線l與x軸交于點(diǎn)(a,0)，與y軸交于點(diǎn)(0，b)，稱橫坐標(biāo)a為直線l在x軸上的截距(橫截距)，稱縱坐標(biāo)b為直線l在y軸上的截距(縱截距)．
(2) 由直線l的斜率k和它在y軸上的截距b確定的方程y＝kx＋b，叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．
【解析】 “截距”的值有正、負(fù)、零，是實(shí)數(shù)，而“距離”一定是非負(fù)數(shù)．
思考5
“截距”與“距離”有何區(qū)別？
【解析】 方程y＝kx＋b與我們學(xué)過的一次函數(shù)表達(dá)式類似．
思考6
(1) 觀察方程y＝kx＋b，它的形式具有什么特點(diǎn)？
(2) 你如何從直線方程的角度認(rèn)識一次函數(shù)y＝kx＋b？一次函數(shù)中k和b的幾何意義是什么？你能說出一次函數(shù)y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3圖象的特點(diǎn)嗎？
【解析】 一次函數(shù)y＝kx＋b，表示斜率為k，縱截距為b的直線．一次函數(shù)中k不能為0，b可取任何值．y＝2x－1的圖象與y軸交于點(diǎn)(0，－1)，過第一、三、四象限；y＝3x的圖象過原點(diǎn)，過第一、三象限；y＝－x＋3的圖象與y軸交于點(diǎn)(0,3)，過第一、二、四象限．
活動(dòng)二　直線方程的簡單應(yīng)用
例3　已知直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.試討論：
(1) l1∥l2的條件是什么？
(2) l1⊥l2的條件是什么？
【解析】 (1) 若l1∥l2, 則k1＝k2，此時(shí)l1，l2與y軸的交點(diǎn)不同， 即b1≠b2；
反之，若k1＝k2，且b1≠b2，則l1∥l2.
(2) 若l1⊥l2，則k1k2＝－1；
反之，若k1k2＝－1，則l1⊥l2.
【解析】 圖略．
(1) 這些直線在y軸上的截距都為2，它們的圖象經(jīng)過同一點(diǎn)(0,2)．
(2) 這些直線的斜率都為2，它們的圖象平行．
例4　在同一平面直角坐標(biāo)系中作出下列兩組直線，分別說出這兩組直線有什么共同特征？
(1) y＝2，y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝3x＋2，y＝－3x＋2；
(2) y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x－1，y＝2x＋4，y＝2x－4.
檢 測 反 饋
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【答案】 A
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2. (2024大同期末質(zhì)量監(jiān)測)若直線l過點(diǎn)A(4,5)，B(1，－1)，則直線l在y軸上的截距是(　　)
【答案】 D
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3. (多選)(2024常德漢壽縣第五中學(xué)期中)直線l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a(ab≠0)的圖象可能是(　　)
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【答案】 BC
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4. (2024東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A(3，0)，B(3,3)，C(0,0)，則△ABC的歐拉線方程是________.
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【答案】 y＝－x＋3
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5. (2024益陽普通高中期末質(zhì)量檢測)已知兩點(diǎn)A(3，－3)和B(－1,5)．
(1) 記點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，求直線BC的方程；
(2) 求線段AB的垂直平分線的方程．
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謝謝觀看
Thank you for watching2．2　直線的方程
2.2.1　直線的點(diǎn)斜式方程
1. 掌握直線方程的點(diǎn)斜式和斜截式，并會(huì)用它們求直線的方程．
2. 了解直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系．
3. 會(huì)用直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題．
活動(dòng)一 探究直線的點(diǎn)斜式方程
知識回顧：
(1) 直線傾斜角、斜率的定義：
(2) 直線斜率與傾斜角的關(guān)系：
(3) 直線斜率及傾斜角對直線方向變化的影響：
探究：
問題1：如果直線l經(jīng)過點(diǎn)A(－1，3)，斜率為－2，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足什么條件？
思考1
以所求方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在直線l上？
問題2：設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，斜率為k，則直線l上不同于點(diǎn)P0的任意一點(diǎn)P(x，y)滿足的方程是什么？
思考2
以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在直線l上？
結(jié)論：
(1) 直線的方程：
(2) 直線的點(diǎn)斜式方程：
思考3
(1) 當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí)，直線l的方程是什么？為什么？當(dāng)直線l的傾斜角為90°時(shí)，直線l的方程如何表示？為什么？
(2) 直線的點(diǎn)斜式方程y＝k(x＋1)＋3能否表示經(jīng)過點(diǎn)(－1，3)的所有直線呢？
(3) 方程＝k表示的幾何圖形是整條直線嗎？
例1　直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(－2，3)，且傾斜角α＝45°，求直線l的點(diǎn)斜式方程，并畫出直線l.
思考4
直線滿足哪些條件時(shí)可直接利用點(diǎn)斜式寫出直線方程？
例2　已知直線l的斜率為k，與y軸的交點(diǎn)是P(0，b)，求直線l的方程．
定義：
(1) 直線l與x軸交于點(diǎn)(a，0)，與y軸交于點(diǎn)(0，b)，稱橫坐標(biāo)a為直線l在x軸上的截距(橫截距)，稱縱坐標(biāo)b為直線l在y軸上的截距(縱截距).
(2) 由直線l的斜率k和它在y軸上的截距b確定的方程y＝kx＋b，叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．
思考5
“截距”與“距離”有何區(qū)別？
思考6
(1) 觀察方程y＝kx＋b，它的形式具有什么特點(diǎn)？
(2) 你如何從直線方程的角度認(rèn)識一次函數(shù)y＝kx＋b？一次函數(shù)中k和b的幾何意義是什么？你能說出一次函數(shù)y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3圖象的特點(diǎn)嗎？
活動(dòng)二　直線方程的簡單應(yīng)用　
例3　已知直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.試討論：
(1) l1∥l2的條件是什么？
(2) l1⊥l2的條件是什么？
例4　在同一平面直角坐標(biāo)系中作出下列兩組直線，分別說出這兩組直線有什么共同特征？
(1) y＝2，y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝3x＋2，y＝－3x＋2；
(2) y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x－1，y＝2x＋4，y＝2x－4.
1. (2024山東聯(lián)合質(zhì)量檢測)已知直線y＝x的傾斜角是直線y＝x＋1的傾斜角的兩倍，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A. －3 B. － C. D. 3
2. (2024大同期末質(zhì)量監(jiān)測)若直線l過點(diǎn)A(4，5)，B(1，－1)，則直線l在y軸上的截距是(　　)
A. B. 3 C. － D. －3
3. (多選)(2024常德漢壽縣第五中學(xué)期中)直線l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a(ab≠0)的圖象可能是(　　)
A B C D
4. (2024東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A(3，0)，B(3，3)，C(0，0)，則△ABC的歐拉線方程是________．
5. (2024益陽普通高中期末質(zhì)量檢測)已知兩點(diǎn)A(3，－3)和B(－1，5).
(1) 記點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，求直線BC的方程；
(2) 求線段AB的垂直平分線的方程．
【參考答案與解析】
2．2　直線的方程
2.2.1　直線的點(diǎn)斜式方程
【活動(dòng)方案】
知識回顧：略
問題1：當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)(除點(diǎn)A外)，點(diǎn)P與定點(diǎn)A(－1，3)所確定的直線的斜率恒等于－2，所以由斜率公式，得k＝＝－2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足y＝－2x＋1.
思考1：若點(diǎn)P′(x′，y′)的坐標(biāo)滿足方程y＝－2x＋1，即y′＝－2x′＋1.當(dāng)x′＝－1時(shí)，y′＝3，此時(shí)點(diǎn)P′與點(diǎn)A重合，即點(diǎn)P′在直線l上；當(dāng)x≠－1時(shí)，y′－3＝－2[x′－(－1)]，即＝－2，這表明過點(diǎn)P′，A的直線l1的斜率為－2.因?yàn)橹本€l，l1的斜率都為－2，且都過點(diǎn)A，所以它們重合，從而點(diǎn)P′在直線l上，因此以方程y＝－2x＋1的解為坐標(biāo)的點(diǎn)也都在直線l上．
問題2：由斜率公式，得k＝，即y－y0＝k(x－x0).
思考2：若點(diǎn)P1(x1，y1)的坐標(biāo)x1，y1滿足關(guān)系式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則y1－y0＝k(x1－x0).當(dāng)x1＝x0時(shí)，y1＝y(tǒng)0，這時(shí)點(diǎn)P1與P0重合，顯然有點(diǎn)P1在直線l上；當(dāng)x1≠x0時(shí)，k＝，這表明過點(diǎn)P1，P0的直線l1的斜率為k，因?yàn)橹本€l，l1的斜率都為k，且都過點(diǎn)P0，所以它們重合，所以點(diǎn)P1在直線l上，因此以方程y－y0＝k(x－x0)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)也都在直線l上．
結(jié)論：(1) 直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是某方程的解，該方程為直線的方程．
(2) y－y0＝k(x－x0)
思考3：(1) 當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí)，tan 0°＝0，即k＝0，這時(shí)直線l與x軸平行或重合，直線l的方程是y－y0＝0，即y＝y(tǒng)0.當(dāng)直線l的傾斜角為90°時(shí)，由于tan 90°無意義，直線沒有斜率，這時(shí)直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．又因?yàn)檫@時(shí)直線l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0.
(2) 不能，當(dāng)斜率不存在時(shí)，無法使用點(diǎn)斜式表示．
(3) 不是，該方程可化為y－3＝k(x－1)，但x≠1，即該方程表示除點(diǎn)(1，3)外，斜率為k的直線部分．
例1　直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(－2，3)，斜率k＝tan 45°＝1，代入點(diǎn)斜式方程，得y－3＝x＋2.
畫圖時(shí)，只需再找出直線l上的另一點(diǎn)P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1，則y1＝4，得點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(－1，4)，過P0，P1兩點(diǎn)的直線即為所求，如圖所示．
思考4：直線斜率存在，并且知道直線的傾斜角和直線上的一點(diǎn)．
例2　y＝kx＋b
思考5：“截距”的值有正、負(fù)、零，是實(shí)數(shù)，而“距離”一定是非負(fù)數(shù)．
思考6：(1) 方程y＝kx＋b與我們學(xué)過的一次函數(shù)表達(dá)式類似．
(2) 一次函數(shù)y＝kx＋b，表示斜率為k，縱截距為b的直線．一次函數(shù)中k不能為0，b可取任何值．y＝2x－1的圖象與y軸交于點(diǎn)(0，－1)，過第一、三、四象限；y＝3x的圖象過原點(diǎn)，過第一、三象限；y＝－x＋3的圖象與y軸交于點(diǎn)(0，3)，過第一、二、四象限．
例3　(1) 若l1∥l2, 則k1＝k2，此時(shí)l1，l2與y軸的交點(diǎn)不同， 即b1≠b2；
反之，若k1＝k2，且b1≠b2，則l1∥l2.
(2) 若l1⊥l2，則k1k2＝－1；
反之，若k1k2＝－1，則l1⊥l2.
例4　圖略．
(1) 這些直線在y軸上的截距都為2，它們的圖象經(jīng)過同一點(diǎn)(0，2).
(2) 這些直線的斜率都為2，它們的圖象平行．
【檢測反饋】
1. A　直線y＝x＋1的斜率為，則傾斜角為.因?yàn)橹本€y＝x的傾斜角是直線y＝x＋1的傾斜角的兩倍，所以直線y＝x的傾斜角為，所以直線y＝x的斜率為－＝，解得m＝－3.
2. D　由題意，得直線l的斜率k＝＝2，再由點(diǎn)斜式方程，得y－5＝2(x－4)，化簡，得y＝2x－3，令x＝0，得直線l在y軸上的截距為－3.
3. BC　由題意，得直線l1的斜率為a，該直線在y軸上的截距為b；直線l2的斜率為－b，該直線在y軸上的截距為a.對于A，由直線l1的圖象，得由直線l2的圖象，得即故A不滿足條件；對于B，由直線l1的圖象，得由直線l2的圖象，得即故B滿足條件；對于C，由直線l1的圖象，得由直線l2的圖象，得即故C滿足條件；對于D，由直線l1的圖象，得由直線l2的圖象，得即故D不滿足條件．故選BC.
4. y＝－x＋3　如圖，易得△ABC為等腰直角三角形，故其垂心為點(diǎn)A(3，0).設(shè)△ABC的外心為點(diǎn)M，則M為斜邊BC的中點(diǎn)，即M.由題意，得△ABC的歐拉線即直線AM，其斜率為kAM＝＝－1，故其方程為y＝－(x－3)，即y＝－x＋3.
5. (1) 由題意，得點(diǎn)A(3，－3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C(3，3).
又因?yàn)辄c(diǎn)B(－1，5)，
所以直線BC的斜率為k＝＝－，
所以直線BC的方程為y－3＝－(x－3)，
即y＝－x＋.
(2) 因?yàn)閮牲c(diǎn)A(3，－3)和B(－1，5)，
所以其中點(diǎn)為D(1，1).
又直線AB的斜率為k1＝＝－2，
所以線段AB的垂直平分線的斜率為k2＝－＝，
所以線段AB的垂直平分線的方程為y－1＝(x－1)，即y＝x＋.

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