資源簡介

(共30張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.2　直線的方程
2.2.2　直線的兩點式方程
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 掌握直線的兩點式(截距式)方程，了解截距式是兩點式的特殊情況．
2. 能夠根據條件選擇適當的方程形式求直線的方程．
活 動 方 案
活動一　探究直線的兩點式方程
1. 鞏固直線的點斜式(斜截式)方程：
【解析】 直線的點斜式方程為y－y0＝k(x－x0)(直線的斜截式方程為y＝kx＋b)．
練習　已知直線l經過兩點P1(1,2)，P2(3，5)，求直線l的方程．
思考1
已知直線l經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2.因為兩點確定一條直線，所以直線l是唯一確定的．也就是說，對于直線l上的任意一點P(x，y)，它的坐標與點P1，P2的坐標之間具有唯一確定的關系，這一關系是什么呢？
結論：
直線的兩點式方程：
【解析】 若x1＝x2或y1＝y2，則直線P1P2沒有兩點式方程．
當x1＝x2時，這兩點的直線方程為x＝x1；
當y1＝y2時，這兩點的直線方程為y＝y1.
思考2
若點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有x1＝x2或y1＝y2，此時這兩點的直線方程是什么？
【解析】 表示曲線上的點在運動時，動點和一個定點的連線的斜率始終等于兩定點連線的斜率，它表示的圖形是一條直線(不包含點(x1，y1))．
思考3
【解析】 不是．后者表示的圖形是經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線，前者為這條直線除去點P1.
(3) 直線的兩點式方程能否表示所有的直線？是否可以通過適當變形適合所有直線呢？
【解析】 兩點式不適用于與兩坐標軸垂直的直線．變形之后可以適合所有直線．
活動二　根據直線的兩點式方程求直線方程
例1　已知直線l經過兩點A(a,0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直線l的方程．
【解析】 適合已知截距a(與x軸的交點(a,0))及截距b(與y軸的交點(0，b))，不適合過原點的直線．
思考4
直線的截距式方程適用的范圍是什么？
例2　已知三角形的頂點A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，試求這個三角形三邊所在的直線方程．
【解析】 略
思考5
根據已知條件，如何選擇恰當的形式求直線的方程？
活動三　截距概念的辨析
例3　求過點P(3,2)，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程.
變式　把“截距相等”改為“截距的絕對值相等”，結果如何？
檢 測 反 饋
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【解析】 由M，N兩點的坐標可知，直線與x軸平行，所以直線的方程為y＝2.
1. 經過M(3,2)與N(6,2)兩點的直線的方程為(　　)
A. x＝2 B. y＝2
C. x＝3 D. x＝6
【答案】 B
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A. 6 B. 6或－6
C. －6 D. 2或12
【答案】 B
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3. (多選)(2024舟山期末)下列說法中，正確的是(　　)
B. 直線x－y－2＝0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2
C. 過點(1,4)的直線在兩坐標軸上的截距之和為0，則該直線方程為x－y＋3＝0
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【答案】 AB
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4. 過點A(5,6)和B(－1,2)的直線的兩點式方程是________________.
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5. (2023東莞中學階段練習)在△ABC中，已知點A(4,0)，B(－3,4)，C(1,2)．
(1) 求線段BC的垂直平分線所在直線l的方程．
(2) 已知直線l2過點B，且l2在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求直線l2的方程．
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謝謝觀看
Thank you for watching2．2.2　直線的兩點式方程
1. 掌握直線的兩點式(截距式)方程，了解截距式是兩點式的特殊情況．
2. 能夠根據條件選擇適當的方程形式求直線的方程．
活動一　探究直線的兩點式方程　
1. 鞏固直線的點斜式(斜截式)方程：
練習　已知直線l經過兩點P1(1，2)，P2(3，5)，求直線l的方程．
思考1
已知直線l經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2.因為兩點確定一條直線，所以直線l是唯一確定的．也就是說，對于直線l上的任意一點P(x，y)，它的坐標與點P1，P2的坐標之間具有唯一確定的關系，這一關系是什么呢？
結論：
直線的兩點式方程：
思考2
若點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有x1＝x2或y1＝y2，此時這兩點的直線方程是什么？
思考3
(1) 方程＝(其中x1≠x2)的左、右兩邊各具有怎樣的幾何意義？它表示什么圖形？
(2) 方程＝(其中x1≠x2)和方程＝(其中x1≠x2，y1≠y2)表示同一個圖形嗎？
(3) 直線的兩點式方程能否表示所有的直線？是否可以通過適當變形適合所有直線呢？
活動二　根據直線的兩點式方程求直線方程　
例1　已知直線l經過兩點A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直線l的方程．
定義：由直線l在兩條坐標軸上的截距a，b確定的方程＋＝1叫做直線的截距式方程，簡稱截距式．
思考4
直線的截距式方程適用的范圍是什么？
例2　已知三角形的頂點A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，試求這個三角形三邊所在的直線方程．
思考5
根據已知條件，如何選擇恰當的形式求直線的方程？
活動三　截距概念的辨析　
例3　求過點P(3，2)，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程.
直線在兩坐標軸上截距相等，直接考慮截距式方程＋＝1，也可以由圖形性質，得到k＝－1時截距相等，從而選用點斜式．解題時特別要注意截距都是0的情況，這時選用方程y＝kx.
變式　把“截距相等”改為“截距的絕對值相等”，結果如何？
1. 經過M(3，2)與N(6，2)兩點的直線的方程為(　　)
A. x＝2 B. y＝2 C. x＝3 D. x＝6
2. (2024全國專題練習)已知直線3x＋4y＝b與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則實數b的值為(　　)
A. 6 B. 6或－6 C. －6 D. 2或12
3. (多選)(2024舟山期末)下列說法中，正確的是(　　)
A. 直線x－y－2＝0的傾斜角為
B. 直線x－y－2＝0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2
C. 過點(1，4)的直線在兩坐標軸上的截距之和為0，則該直線方程為x－y＋3＝0
D. 過(1，4)，(x0，y0)兩點的直線方程為＝
4. 過點A(5，6)和B(－1，2)的直線的兩點式方程是________________．
5. (2023東莞中學階段練習)在△ABC中，已知點A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2).
(1) 求線段BC的垂直平分線所在直線l的方程．
(2) 已知直線l2過點B，且l2在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求直線l2的方程．
【參考答案與解析】
2．2.2　直線的兩點式方程
【活動方案】
1. 直線的點斜式方程為y－y0＝k(x－x0)(直線的斜截式方程為y＝kx＋b).
練習：由題意，得y－2＝(x－1)，化簡，得y＝x＋.故直線l的方程為y＝x＋.
思考1：因為x1≠x2，所以直線的斜率k＝，
由直線的點斜式方程，得y－y1＝(x－x1).
因為y1≠y2，所以方程可以寫成＝.
故點P(x，y)的坐標與點P1，P2的坐標之間的關系是＝.　
結論：＝(其中x1≠x2，y1≠y2).
思考2：若x1＝x2或y1＝y2，則直線P1P2沒有兩點式方程．
當x1＝x2時，這兩點的直線方程為x＝x1；
當y1＝y2時，這兩點的直線方程為y＝y1.
思考3：(1) 表示曲線上的點在運動時，動點和一個定點的連線的斜率始終等于兩定點連線的斜率，它表示的圖形是一條直線(不包含點(x1，y1)).
(2) 不是．后者表示的圖形是經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線，前者為這條直線除去點P1.
(3) 兩點式不適用于與兩坐標軸垂直的直線．變形之后可以適合所有直線．
例1　因為直線l經過兩點A(a，0)，B(0，b)，
代入兩點式，得＝，即＋＝1.
思考4：適合已知截距a(與x軸的交點(a，0))及截距b(與y軸的交點(0，b))，不適合過原點的直線．
例2　因為直線AB過A(－5，0)，B(3，－3)兩點，由兩點式，得＝，
整理，得直線AB的方程為3x＋8y＋15＝0.
因為直線BC過B(3，－3)，C(0，2)兩點，斜率k＝＝－，由點斜式，得y－2＝－(x－0)，
整理，得直線BC的方程為5x＋3y－6＝0.
因為直線AC過A(－5，0)，C(0，2)兩點，
由截距式，得＋＝1，
整理，得直線AC的方程為2x－5y＋10＝0.
思考5：略
例3　當在兩坐標軸上的截距a＝b＝0時，
設所求直線的方程為y＝kx，
將點P(3，2)代入，得2＝3k，
解得k＝，所以所求直線的方程為y＝x；
當直線在兩坐標軸上的截距a＝b≠0時，
設所求直線的方程為＋＝1，則
解得a＝b＝5，
所以所求直線的方程為＋＝1，即x＋y－5＝0.
綜上，所求直線的方程為y＝x或x＋y－5＝0.
變式　所求直線的方程為y＝x或x－y－1＝0或x＋y－5＝0.
【檢測反饋】
1. B　由M，N兩點的坐標可知，直線與x軸平行，所以直線的方程為y＝2.
2. B　令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝，即直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為，故與坐標軸圍成的三角形的面積為S＝××＝，解得b＝±6.
3. AB　對于A，直線x－y－2＝0的斜率為1，其傾斜角為，故A正確；對于B，直線x－y－2＝0分別交x軸，y軸于點(2，0)，(0，－2)，該直線與坐標軸圍成的三角形的面積為S＝×2×2＝2，故B正確；對于C，過點(1，4)與原點(0，0)的直線y＝4x在兩坐標軸上的截距都為0，符合題意，即過點(1，4)且在兩坐標軸上的截距之和為0的直線可以是直線y＝4x，故C錯誤；對于D，當x0＝1，y0≠4時或當y0＝4，x0≠1時，直線方程不能用＝表示，故D錯誤．故選AB.
4. ＝　由題意，得AB不和坐標軸垂直，符合兩點式方程的使用條件，當直線經過點(x1，y1)，(x2，y2)時，兩點式方程為＝，所以直線AB的兩點式方程為＝.
5. (1) 由題意，得點B(－3，4)，C(1，2)，
所以線段BC的中點D的坐標為(－1，3).
又線段BC所在直線的斜率為＝－，
所以線段BC的垂直平分線所在直線l的斜率為2，且過點D，
所以直線l的方程為y－3＝2(x＋1)，即y＝2x＋5.
(2) 當直線l2在x軸和y軸上的截距均為0時，設直線l2的方程為y＝kx，且直線過點B(－3，4)，則4＝－3k，解得k＝－，此時直線l2的方程為y＝－x；當直線l2在x 軸和 y 軸上的截距均不為 0時，
設直線l2的方程為＋＝1，
將點B(－3，4)代入，得＋＝1, 解得m＝－1，
此時直線l2的方程為＋＝1, 即y＝－2x－2.
綜上，直線l2的方程為y＝－x或y＝－2x－2.

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