資源簡介

(共29張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.2　直線的方程
2.2.3　直線的一般式方程
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 掌握直線方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)，能正確理解直線的一般式方程與二元一次方程的關系．
2. 能正確進行直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉化．
3. 理解一般式下直線平行與垂直的判定條件，能運用直線的一般式方程解決有關問題．
活 動 方 案
活動一　直線的一般式方程的推導
回顧直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程：
【解析】 點斜式適用于不含直線x＝x0的直線；斜截式適用于不含垂直于x軸的直線；兩點式適用于不含與x軸或y軸垂直的直線；截距式適用于不含垂直于坐標軸和過原點的直線．
思考1
(1) 這些方程分別適用于哪些情形？
(2) 這些方程有什么共同的特點？
【解析】 都是關于x和y的二元一次方程．
【解析】 任意一條直線l，在其上任取一點P0(x0，y0)，當直線l的斜率為k時(此時直線的傾斜角α≠90°)，其方程為y－y0＝k(x－x0)，這是關于x，y的二元一次方程．當直線l的斜率不存在，即直線l的傾斜角α＝90°時，直線的方程為x－x0＝0，上述方程可以認為是關于x，y的二元一次方程，因為此時方程中y的系數為0.方程y－y0＝k(x－x0)和x－x0＝0都是二元一次方程，因此平面直角坐標系中的任意一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程表示．
(3) 平面直角坐標系中的任意一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程表示嗎？
(4) 任意一個關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示一條直線嗎？
結論：我們把關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
【解析】 其他幾種形式的直線方程都有適用范圍，而直線方程的一般式對于平面直角坐標系內的直線都適用．
思考2
直線方程的一般式與其他幾種形式的直線方程相比，它有什么優點？
活動二　求直線的方程
例1　(2024全國專題練習)(1) 已知直線l的一般式方程為2x－3y＋6＝0，請把一般式方程寫成為斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐標軸上的截距；
(2) 根據下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．
例2　把直線l的一般式方程x－2y＋6＝0化為斜截式，求出直線l的斜率以及它在x軸與y軸上的截距，并畫出圖形．
活動三　直線的一般式方程的應用
例3　設直線l的方程為x＋my－2m＋6＝0(m∈R)，根據下列條件分別確定m的值．
(1) 直線在x軸上的截距是－3；
(2) 直線l的斜率是1.
例4　當直線方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的系數A，B，C分別滿足什么關系時，這條直線分別有以下性質？
(1) 與兩條坐標軸都相交；
(2) 只與x軸相交；
(3) 只與y軸相交；
(4) 是x軸所在直線；
(5) 是y軸所在直線．
【解析】 (1) 當A≠0，B≠0時，直線與兩條坐標軸都相交.
(2) 當A≠0，B＝0，C≠0時，直線只與x軸相交．
(3) 當A＝0，B≠0，C≠0時，直線只與y軸相交.
(4) 當A＝0，B≠0，C＝0時，直線是x軸所在直線．
(5) 當A≠0，B＝0，C＝0時，直線是y軸所在直線．
例5　設直線l1的方程為A1x＋B1y＋C1＝0，其中A1B1≠0，直線l2的方程為A2x＋B2y＋C2＝0，其中A2B2≠0.
(1) 當l1∥l2時，兩直線方程的系數之間有什么關系？
(2) 當l1⊥l2時，兩直線方程的系數之間有什么關系？
1. 利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略：
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1B1≠0)，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2≠0)．
(1) l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2) l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2. 與已知直線平行或垂直的直線方程的求法：
(1) 與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2) 與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋m＝0.
檢 測 反 饋
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【答案】 C
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2. (2024全國專題練習)已知直線kx－y＋1－3k＝0，當k變動時，所有直線都過定點(　　)
A. (3,1) B. (0,1)
C. (0,0) D. (2,1)
【答案】 A
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1
3. (多選)(2023棗莊階段練習)若ab<0，bc>0，則在下列函數圖象中，不可能是直線ax＋by＋c＝0的圖象的是(　　)
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1
【答案】 ACD
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4. (2024全國課時練習)已知直線l1：x－my－6＝0，l2：(m－2)x－3y－2m＝0.若l1⊥l2，則m的值為________.若l1∥l2，則m的值為________.
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1
所以直線l的方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
若選②： 設直線 l的斜率為k.
因為直線l與直線x＋y－1＝0垂直，
所以k·(－1)＝－1，所以k＝1，
所以直線l的方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
若選③：設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－1＝k(x－2)，
令x＝0，得y＝－2k＋1，所以1－2k＝－1，解得k＝1，
所以直線l的方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
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Thank you for watching2．2.3　直線的一般式方程
1. 掌握直線方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)，能正確理解直線的一般式方程與二元一次方程的關系．
2. 能正確進行直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉化．
3. 理解一般式下直線平行與垂直的判定條件，能運用直線的一般式方程解決有關問題．
活動一 直線的一般式方程的推導
回顧直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程：
思考1
(1) 這些方程分別適用于哪些情形？
(2) 這些方程有什么共同的特點？
(3) 平面直角坐標系中的任意一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程表示嗎？
(4) 任意一個關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示一條直線嗎？
結論：我們把關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
思考2
直線方程的一般式與其他幾種形式的直線方程相比，它有什么優點？
活動二　求直線的方程　
例1　(2024全國專題練習)(1) 已知直線l的一般式方程為2x－3y＋6＝0，請把一般式方程寫成為斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐標軸上的截距；
(2) 根據下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．
①斜率是－，經過點A(8，－2)；
②經過點B(4，2)，平行于x軸；
③在x軸和y軸上的截距分別是，－3；
④經過兩點P1(3，－2)，P2(5，－4).
例2　把直線l的一般式方程x－2y＋6＝0化為斜截式，求出直線l的斜率以及它在x軸與y軸上的截距，并畫出圖形．
活動三　直線的一般式方程的應用　
例3　設直線l的方程為x＋my－2m＋6＝0(m∈R)，根據下列條件分別確定m的值．
(1) 直線在x軸上的截距是－3；
(2) 直線l的斜率是1.
例4　當直線方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的系數A，B，C分別滿足什么關系時，這條直線分別有以下性質？
(1) 與兩條坐標軸都相交；
(2) 只與x軸相交；
(3) 只與y軸相交；
(4) 是x軸所在直線；
(5) 是y軸所在直線．
例5　設直線l1的方程為A1x＋B1y＋C1＝0，其中A1B1≠0，直線l2的方程為A2x＋B2y＋C2＝0，其中A2B2≠0.
(1) 當l1∥l2時，兩直線方程的系數之間有什么關系？
(2) 當l1⊥l2時，兩直線方程的系數之間有什么關系？
1. 利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略：
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1B1≠0)，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2≠0).
(1) l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2) l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2. 與已知直線平行或垂直的直線方程的求法：
(1) 與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2) 與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋m＝0.
1. 已知直線l過點(－2，1)，且傾斜角是，則直線l的方程是(　　)
A. x＋y＋1＝0 B. y＝－x
C. x＋2＝0 D. y－1＝0
2. (2024全國專題練習)已知直線kx－y＋1－3k＝0，當k變動時，所有直線都過定點(　　)
A. (3，1) B. (0，1) C. (0，0) D. (2，1)
3. (多選)(2023棗莊階段練習)若ab<0，bc>0，則在下列函數圖象中，不可能是直線ax＋by＋c＝0的圖象的是(　　)
A B C D
4. (2024全國課時練習)已知直線l1：x－my－6＝0，l2：(m－2)x－3y－2m＝0.若l1⊥l2，則m的值為________．若l1∥l2，則m的值為________．
5. 在①傾斜角比直線y＝x－1的傾斜角小；②與直線x＋y－1＝0垂直；③在y軸上的截距為－1，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答：
問題：已知直線l過點(2，1)，且________，求直線l的方程．
【參考答案與解析】
2．2.3　直線的一般式方程
【活動方案】
點斜式：y－y0＝k(x－x0)；斜截式：y＝kx＋b；兩點式：＝；截距式：＋＝1.
思考1：(1) 點斜式適用于不含直線x＝x0的直線；斜截式適用于不含垂直于x軸的直線；兩點式適用于不含與x軸或y軸垂直的直線；截距式適用于不含垂直于坐標軸和過原點的直線．
(2) 都是關于x和y的二元一次方程．
(3) 任意一條直線l，在其上任取一點P0(x0，y0)，當直線l的斜率為k時(此時直線的傾斜角α≠90°)，其方程為y－y0＝k(x－x0)，這是關于x，y的二元一次方程．當直線l的斜率不存在，即直線l的傾斜角α＝90°時，直線的方程為x－x0＝0，上述方程可以認為是關于x，y的二元一次方程，因為此時方程中y的系數為0.方程y－y0＝k(x－x0)和x－x0＝0都是二元一次方程，因此平面直角坐標系中的任意一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程表示．
(4) 當B≠0時，方程Ax＋By＋C＝0可變形為y＝－x－，它表示過點，斜率為－ 的直線；特別地，當A＝0，B≠0時，它表示垂直于y軸的直線；當B＝0，A≠0時，它表示垂直于x軸的直線．因此，在平面直角坐標系中，任意一個關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示一條直線．
思考2：其他幾種形式的直線方程都有適用范圍，而直線方程的一般式對于平面直角坐標系內的直線都適用．
例1　(1) 由直線l的一般式方程2x－3y＋6＝0，得斜截式方程為y＝x＋2，截距式方程為＋＝1，斜率為，在x軸，y軸上的截距分別為－3，2.
(2) ①由點斜式，得y－(－2)＝－(x－8)，
化為一般式為x＋2y－4＝0.
②由斜截式，得y＝2，
化為一般式為y－2＝0.
③由截距式，得＋＝1，
化為一般式為2x－y－3＝0.
④由兩點式，得＝，
化為一般式為x＋y－1＝0.
例2　將直線l的一般式方程化為斜截式y＝x＋3.
因此，直線l的斜率k＝，它在y軸上的截距是3.
在直線l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6，即直線l在x軸上的截距是－6.
由上面可得直線l與x軸，y軸的交點分別為A(－6，0)，B(0，3)，
過A，B兩點作直線，就得直線l(如圖).
例3　(1) 由題意，得直線l過點(－3，0)，
所以－3＋0－2m＋6＝0，解得m＝.
(2) 由題意，得－＝1，解得m＝－1.
例4　(1) 當A≠0，B≠0時，直線與兩條坐標軸都相交.
(2) 當A≠0，B＝0，C≠0時，直線只與x軸相交．
(3) 當A＝0，B≠0，C≠0時，直線只與y軸相交.
(4) 當A＝0，B≠0，C＝0時，直線是x軸所在直線．
(5) 當A≠0，B＝0，C＝0時，直線是y軸所在直線．
例5　(1) 若l1∥l2且不重合時，則＝≠，即或
(2) 直線l2的方程可化為y＝－x－，直線l2的方程可化為y＝－x－.若l1⊥l2，則·＝－1，即A1A2＋B1B2＝0.
【檢測反饋】
1. C　由于直線l過點(－2，1)，且傾斜角是，故直線l的方程為x＝－2，即x＋2＝0.
2. A　直線方程可轉化為(x－3)k－y＋1＝0，令解得所以直線過定點(3，1).
3. ACD　由直線ax＋by＋c＝0及ab<0，bc>0，可知直線斜率k＝－>0，直線在y軸上的截距y＝－<0，故滿足條件的只有B，所以不可能是A，C，D.故選ACD.
4. 　－1　由l1⊥l2，得1·(m－2)＋m·3＝0，解得m＝，故當l1⊥l2時，m＝；由兩直線平行，得1×(－3)－(－m)×(m－2)＝0，解得m＝－1或m＝3.當m＝3時，l1與l2重合，不滿足題意，舍去，故m＝－1.
5. 若選①：因為直線y＝x－1的斜率為，
所以直線y＝x－1的傾斜角為，
所以直線l的傾斜角為－＝，
所以直線l的斜率k＝tan ＝1，
所以直線l的方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
若選②： 設直線 l的斜率為k.
因為直線l與直線x＋y－1＝0垂直，
所以k·(－1)＝－1，所以k＝1，
所以直線l的方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
若選③：設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－1＝k(x－2)，
令x＝0，得y＝－2k＋1，
所以1－2k＝－1，解得k＝1，
所以直線l的方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0.

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