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第二章
直線和圓的方程
2.2　直線的方程
2.2.4　直線的方程習(xí)題課
內(nèi)容索引
學(xué)習(xí)目標(biāo)
活動(dòng)方案
檢測(cè)反饋
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1. 熟練掌握直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式等形式的相互轉(zhuǎn)化，及各種形式在解題中的靈活運(yùn)用．
2. 了解直線的方程和直線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
活 動(dòng) 方 案
活動(dòng)一　鞏固直線方程的各種形式
直線方程的各種形式及適用范圍
練習(xí)　
(1) 直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(1，－2)，(－3,4)，則該直線的方程是_______；
【答案】 3x＋2y＋1＝0
(2) 從直線l上的一點(diǎn)A到另一點(diǎn)B的縱坐標(biāo)增量是3，橫坐標(biāo)增量是－2，則該直線的斜率是________；　
(3) 過(guò)點(diǎn)A(1,2)，且橫、縱截距的絕對(duì)值相等的直線方程為_(kāi)___________________；
【答案】 2x－y＝0或x－y＋1＝0或x＋y－3＝0
(4) 過(guò)點(diǎn)P(4,3)作直線l，它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3，則直線l的方程為_(kāi)_____________________________.
【答案】 3x－2y－6＝0或3x－8y＋12＝0
活動(dòng)二　靈活運(yùn)用直線方程的幾種形式
例1　一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距和是6，求該直線的方程．
例2　在△ABC中，已知點(diǎn)A(1，－4)，B(6，6)，C(－2,0)．
(1) 若AB，AC的中點(diǎn)分別為M，N，求直線MN的方程，并化為一般式方程；
(2) 求邊BC上的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程．
例3　已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0(a∈R)．
(1) 求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過(guò)第一象限；
(2) 若使直線l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
活動(dòng)三　直線方程的綜合應(yīng)用
例5　(1) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8，－2)，傾斜角為60°的直線的一般式方程；
(2) △ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求邊BC上的中線所在的直線方程．
例6　已知直線l的方程為(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0.
(1) 求證：不論m為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)M；
(2) 過(guò)(1)中的點(diǎn)M引直線l1，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求直線l1的方程．
檢 測(cè) 反 饋
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【答案】 A
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2. 數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2，0)，B(1,2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為(　　)
A. x－2y－4＝0 B. 2x＋y－4＝0
C. 4x＋2y＋1＝0 D. 2x－4y＋1＝0
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【答案】 D
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3. (多選)(2024泊頭第一中學(xué)階段練習(xí))已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(3，a)，B(6,1)，C(3,4)，且邊BC上的高所在的直線方程為l：y＝x＋3，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. a＝±6
B. 邊BC上的中線所在的直線方程為7x＋3y－39＝0
C. 過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線方程為x＋y－9＝0
D. △ABC三邊所在的直線中，直線AB的傾斜角最大
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【答案】 BC
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4. (2023無(wú)錫太湖高級(jí)中學(xué)期中)已知直線l1：x－2y－2＝0的傾斜角為θ，直線l2的傾斜角為2θ，且直線l2在y軸上的截距為3，則直線l2的一般式方程為_(kāi)_______.
【答案】 4x－3y＋9＝0
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謝謝觀看
Thank you for watching2．2.4　直線的方程習(xí)題課
1. 熟練掌握直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式等形式的相互轉(zhuǎn)化，及各種形式在解題中的靈活運(yùn)用．
2. 了解直線的方程和直線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
活動(dòng)一 鞏固直線方程的各種形式
直線方程的各種形式及適用范圍
名稱 方程 適用范圍
點(diǎn)斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含與x軸或y軸垂直的直線
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同時(shí)為0) 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用
練習(xí)　
(1) 直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(1，－2)，(－3，4)，則該直線的方程是_______________
______________________________；
(2) 從直線l上的一點(diǎn)A到另一點(diǎn)B的縱坐標(biāo)增量是3，橫坐標(biāo)增量是－2，則該直線的斜率是________；　
(3) 過(guò)點(diǎn)A(1，2)，且橫、縱截距的絕對(duì)值相等的直線方程為_(kāi)_______________
____；
(4) 過(guò)點(diǎn)P(4，3)作直線l，它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3，則直線l的方程為_(kāi)____________________________.
活動(dòng)二 靈活運(yùn)用直線方程的幾種形式
例1　一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距和是6，求該直線的方程．
例2　在△ABC中，已知點(diǎn)A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0).
(1) 若AB，AC的中點(diǎn)分別為M，N，求直線MN的方程，并化為一般式方程；
(2) 求邊BC上的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程．
例3　已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0(a∈R).
(1) 求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過(guò)第一象限；
(2) 若使直線l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
例4　已知在△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝，∠B＝，且點(diǎn)C在第一象限．求：
(1) 線段AB的方程；
(2) 邊AC和邊BC所在直線的方程.
活動(dòng)三 直線方程的綜合應(yīng)用
例5　(1) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8，－2)，傾斜角為60°的直線的一般式方程；
(2) △ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求邊BC上的中線所在的直線方程．
例6　已知直線l的方程為(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0.
(1) 求證：不論m為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)M；
(2) 過(guò)(1)中的點(diǎn)M引直線l1，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求直線l1的方程．
1. 已知直線m的傾斜角θ的余弦值等于，在y軸上的截距為－2，則直線m的方程為(　　)
A. y＝x－2 B. y＝x－2
C. y＝－x－2 D. y＝x＋2
2. 數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2，0)，B(1，2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為(　　)
A. x－2y－4＝0 B. 2x＋y－4＝0
C. 4x＋2y＋1＝0 D. 2x－4y＋1＝0
3. (多選)(2024泊頭第一中學(xué)階段練習(xí))已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(3，a)，B(6，1)，C(3，4)，且邊BC上的高所在的直線方程為l：y＝x＋3，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. a＝±6
B. 邊BC上的中線所在的直線方程為7x＋3y－39＝0
C. 過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線方程為x＋y－9＝0
D. △ABC三邊所在的直線中，直線AB的傾斜角最大
4. (2023無(wú)錫太湖高級(jí)中學(xué)期中)已知直線l1：x－2y－2＝0的傾斜角為θ，直線l2的傾斜角為2θ，且直線l2在y軸上的截距為3，則直線l2的一般式方程為_(kāi)_______．
5. 根據(jù)所給條件求直線的方程：
(1) 直線過(guò)點(diǎn)A(1，2)，傾斜角α的正弦值為；
(2) 直線過(guò)點(diǎn)A(1，3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為8.
【參考答案與解析】
2．2.4　直線的方程習(xí)題課
【活動(dòng)方案】
練習(xí)：(1) 3x＋2y＋1＝0
(2) －
(3) 2x－y＝0或x－y＋1＝0或x＋y－3＝0
(4) 3x－2y－6＝0或3x－8y＋12＝0
例1　設(shè)所求直線的方程為＋＝1(ab≠0).
由題意，得解得或
所以直線的方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
例2　(1) 由題意，得AB，AC的中點(diǎn)坐標(biāo)分別為M(，1)，N，由兩點(diǎn)式，得＝，所以直線的一般式方程為6x－8y－13＝0.
(2) 因?yàn)檫匓C的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)，所以邊BC上的中線所在直線的方程為＝，即7x－y－11＝0，化為截距式方程為＋＝1.
例3　(1) 將直線l的方程整理為y－＝a，
所以直線l的斜率為a，且過(guò)定點(diǎn)A.
因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，
所以不論a為何值，直線l總經(jīng)過(guò)第一象限．
(2) 由(1)，得直線OA的斜率為k＝＝3.
因?yàn)橹本€l不經(jīng)過(guò)第二象限，所以a≥3，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3，＋∞).
例4　(1) 線段AB的方程為y＝1(1≤x≤5).
(2) 邊AC所在直線的方程為x－y－＋1＝0，邊BC所在直線的方程為x＋y－6＝0.
例5　(1) 由傾斜角為60°，得直線斜率為k＝tan 60°＝，
將點(diǎn)A(8，－2)代入方程，得y＋2＝(x－8)，即x－y－8－2＝0.
(2) 設(shè)BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M(3，5)，
所以中線AM所在直線的方程為＝，即5x＋y－20＝0.
例6　(1) 原直線方程整理，得(x－2y－3)m＋2x＋y＋4＝0，
所以解得
所以不論m為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)M(－1，－2).
(2) 設(shè)直線l1的方程為y＝k(x＋1)－2，k<0.
令y＝0，則x＝；令x＝0，則y＝k－2，
所以三角形的面積為||·|k－2|＝.由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)k＝－2時(shí)，三角形面積取得最小值4，此時(shí)直線l1的方程為2x＋y＋4＝0.
【檢測(cè)反饋】
1. A　因?yàn)閏os θ＝，0≤θ＜π，所以k＝tan θ＝.又直線m在y軸上的截距為－2，故直線m的方程為y＝x－2.
2. D　因?yàn)锳C＝BC，所以點(diǎn)C在線段AB的中垂線上，設(shè)該中垂線為直線l，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則AD與直線l的交點(diǎn)在直線l上，該交點(diǎn)即為△ABC的重心．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE與直線l的交點(diǎn)在直線l上，該交點(diǎn)即為△ABC的垂心．因?yàn)橥庑牡健鰽BC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以外心也在直線l上，故△ABC的歐拉線就是直線l.由A(2，0)，B(1，2)，知AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線AB的斜率為＝－2，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為y－1＝，即2x－4y＋1＝0.
3. BC　對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)A(3，a)在直線l上，所以a＝3＋3＝6，故A不正確；對(duì)于B，BC的中點(diǎn)為，因?yàn)锳(3，6)，所以中線所在直線的斜率為＝－，則邊BC上的中線所在直線的方程為y－6＝－(x－3)，即7x＋3y－39＝0，故B正確；對(duì)于C，kBC＝＝－1，所以所求直線的方程為y－6＝－(x－3)，整理，得x＋y－9＝0，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閗AB＝＝－，kBC＝－1，因?yàn)椋?－1，所以直線BC的傾斜角大于直線AB的傾斜角，故D不正確．故選BC.
4. 4x－3y＋9＝0　直線l1：x－2y－2＝0的傾斜角為θ，則tan θ＝，故tan 2θ＝＝，即直線l2的斜率為k＝，又直線l2在y軸上的截距為3，故直線l2的方程為y＝x＋3，即4x－3y＋9＝0.
5．(1) 因?yàn)閟in α＝，且α∈[0，π)，
所以cos α＝±＝±，
故所求直線的斜率k＝tanα＝＝±，
則直線的方程為y－2＝±(x－1)，
即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.
(2) 由題意知，所求直線的橫截距、縱截距均不為0，可設(shè)直線方程為＋＝1，
將點(diǎn)A(1，3)代入，得＋＝1，即m2－6m＋8＝0，解得m＝2或m＝4，
所以所求直線的方程為＋＝1或＋＝1，
即3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.

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