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(共32張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.3　直線的交點坐標與距離公式
2.3.1　兩條直線的交點坐標
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標．
2. 會根據方程組解的個數判定兩條直線的位置關系．
3. 通過兩直線交點和二元一次方程組的聯系，認識事物之間的內在的聯系．
活 動 方 案
活動一　情境導學
在平面幾何中，我們對直線作了定性研究．引入平面直角坐標系后，我們用二元一次方程表示直線，直線的方程就是相應直線上每一點的坐標所滿足的一個關系式．這樣，我們可以通過方程把握直線上的點，進而用代數方法對直線進行定量研究，例如求兩條直線的交點坐標，平面內與點、直線相關的距離問題等.
活動二　探究二元一次方程組解的情況與兩方程所表示的兩
條直線的位置之間的對應關系
問題1：判斷直線x＋y＝2與直線x－y＝0的位置關系，若不平行，求出其交點坐標．
【解析】 先判斷兩直線的位置關系，若兩直線不平行，則解相應的直線方程所組成的二元一次方程組，方程組的解即為交點的坐標．
思考1
如何求兩相交直線的交點坐標？
【解析】 不是，當且僅當這個二元一次方程組只有一個解時，以這個解為坐標的點是直線l1和l2的交點．
思考2
如果直線l1和l2相交，那么交點的坐標是這兩個方程組成的方程組的解，反之，以兩個二元一次方程組成的方程組的解為坐標的點是否為兩直線的交點？
【解析】 如果方程組只有一組解，那么對應的兩條直線相交；如果方程組無解，那么對應的兩條直線平行；如果方程組有無數組解，那么對應的兩條直線重合．
1. 利用求交點坐標的方法(即解方程組)可以判斷兩直線的位置關系．
2. 兩個二元一次方程所組成的方程組解的情況與兩方程所表示的兩條直線的位置之間的對應關系：
【解析】 略
活動三　判斷兩直線的位置關系及求兩直線的交點坐標
例1　求下列兩條直線的交點坐標，并畫出圖形．
l1：3x＋4y－2＝0，
l2：2x＋y＋2＝0.
例2　判斷下列各對直線的位置關系．如果相交，求出交點的坐標：
(1) l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2) l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3) l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
【解析】 略
思考3
你能用直線的斜率判斷上述各對直線的位置關系嗎？比較用斜率判斷和解方程組判斷這兩種方法，你有什么體會？
【解析】 (1) m＝－1
(2) m＝3
(3) m≠－1且 m≠3
例3　已知兩條直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當m為何值時，直線l1與l2滿足下列位置關系：
(1) 平行；(2) 重合；(3) 相交．
兩條直線的位置關系
【解析】 略
活動四　求直線的方程
例4　已知直線l經過原點，且經過另外兩條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交點，求直線l的方程．
【解析】 略
思考4
如何求直線的方程？需要哪些條件？
【解析】 無數條，它們的方程可表示為2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ為任意實數)．
設例4中經過兩條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0交點的直線方程為(2x＋3y＋8)＋λ(x－y－1)＝0.
又直線l經過原點，將點(0,0)代入，得8＋λ×(－1)＝0，解得λ＝8，所以直線l的方程為(2x＋3y＋8)＋8(x－y－1)＝0，即2x－y＝0.
思考5
經過兩條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交點的直線有多少條？它們的方程有什么共同特征？例4還有其他解法嗎？
已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，那么過兩直線的交點的直線方程可設為(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(不包括直線l2)．
檢 測 反 饋
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1. 過直線x－2y＋3＝0，x＋2y－9＝0的交點和原點的直線方程為(　　)
A. y＝2x B. y＝－x
C. y＝－3x D. y＝x
【答案】 D
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2. 過兩直線3x＋y－1＝0與x＋2y－7＝0的交點，并且與第一條直線垂直的直線方程是(　　)
A. x－3y＋7＝0 B. x－3y＋13＝0
C. x－3y＋6＝0 D. x－3y＋5＝0
【答案】 B
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3. (多選)(2023商丘第二高級中學階段練面上有三條直線2x－y＋5＝0，x＋y＋1＝0，x－ky＝0，將平面劃分為六個部分，則實數k的所有可能取值為(　　)
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【答案】 ABC
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4. (2023雞西實驗中學階段練習)已知△ABC的三個頂點是A(2,2)，B(－5,1)，C(3，－5)，則它的外心坐標是________.
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【答案】 (－1，－2)
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【解析】 (1) 由l1⊥l2以及直線l1的方程，可設直線l2的方程為x－2y＋λ＝0.
又直線l2過點(－3,0)，所以－3－0＋λ＝0，
解得λ＝3，
所以直線l2的方程為x－2y＋3＝0.
5. (2023徐州期中)已知直線l1的方程為2x＋y－4＝0，若直線l2過點(－3,0)，且l1⊥l2.
(1) 求直線l2的方程；
(2) 已知直線m經過直線l1與直線l2的交點，且在y軸上截距是在x軸上截距的3倍，求直線m的方程．
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謝謝觀看
Thank you for watching2．3　直線的交點坐標與距離公式
2.3.1　兩條直線的交點坐標
1. 會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標．
2. 會根據方程組解的個數判定兩條直線的位置關系．
3. 通過兩直線交點和二元一次方程組的聯系，認識事物之間的內在的聯系．
活動一 情境導學
在平面幾何中，我們對直線作了定性研究．引入平面直角坐標系后，我們用二元一次方程表示直線，直線的方程就是相應直線上每一點的坐標所滿足的一個關系式．這樣，我們可以通過方程把握直線上的點，進而用代數方法對直線進行定量研究，例如求兩條直線的交點坐標，平面內與點、直線相關的距離問題等．
活動二　探究二元一次方程組解的情況與兩方程所表示的兩條直線的位置之間的對應關系　
問題1：判斷直線x＋y＝2與直線x－y＝0的位置關系，若不平行，求出其交點坐標．
思考1
如何求兩相交直線的交點坐標？
思考2
如果直線l1和l2相交，那么交點的坐標是這兩個方程組成的方程組的解，反之，以兩個二元一次方程組成的方程組的解為坐標的點是否為兩直線的交點？
問題2：如果方程組只有一個公共解，那么對應的兩條直線位置關系如何？如果方程組無解、有無數組解，兩直線的位置關系又如何？
1. 利用求交點坐標的方法(即解方程組)可以判斷兩直線的位置關系．
2. 兩個二元一次方程所組成的方程組解的情況與兩方程所表示的兩條直線的位置之間的對應關系：
方程組的解 一組 無數組 無解
直線l1，l2的公共點個數
直線l1，l2的位置關系
活動三　判斷兩直線的位置關系及求兩直線的交點坐標　
例1　求下列兩條直線的交點坐標，并畫出圖形．
l1：3x＋4y－2＝0，
l2：2x＋y＋2＝0.
例2　判斷下列各對直線的位置關系．如果相交，求出交點的坐標：
(1) l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2) l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3) l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
思考3
你能用直線的斜率判斷上述各對直線的位置關系嗎？比較用斜率判斷和解方程組判斷這兩種方法，你有什么體會？
例3　已知兩條直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當m為何值時，直線l1與l2滿足下列位置關系：
(1) 平行；(2) 重合；(3) 相交．
兩條直線的位置關系
方程位置關系
平行
重合
相交 垂直
活動四 求直線的方程
例4　已知直線l經過原點，且經過另外兩條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交點，求直線l的方程．
思考4
如何求直線的方程？需要哪些條件？
思考5
經過兩條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交點的直線有多少條？它們的方程有什么共同特征？例4還有其他解法嗎？
已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，那么過兩直線的交點的直線方程可設為(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(不包括直線l2).
1. 過直線x－2y＋3＝0，x＋2y－9＝0的交點和原點的直線方程為(　　)
A. y＝2x B. y＝－x C. y＝－3x D. y＝x
2. 過兩直線3x＋y－1＝0與x＋2y－7＝0的交點，并且與第一條直線垂直的直線方程是(　　)
A. x－3y＋7＝0 B. x－3y＋13＝0
C. x－3y＋6＝0 D. x－3y＋5＝0
3. (多選)(2023商丘第二高級中學階段練面上有三條直線2x－y＋5＝0，x＋y＋1＝0，x－ky＝0，將平面劃分為六個部分，則實數k的所有可能取值為(　　)
A. B. －1 C. －2 D. 1
4. (2023雞西實驗中學階段練習)已知△ABC的三個頂點是A(2，2)，B(－5，1)，C(3，－5)，則它的外心坐標是________．
5. (2023徐州期中)已知直線l1的方程為2x＋y－4＝0，若直線l2過點(－3，0)，且l1⊥l2.
(1) 求直線l2的方程；
(2) 已知直線m經過直線l1與直線l2的交點，且在y軸上截距是在x軸上截距的3倍，求直線m的方程．
【參考答案與解析】
2．3　直線的交點坐標與距離公式
2.3.1　兩條直線的交點坐標
【活動方案】
問題1：不平行，聯立方程組解得所以其交點坐標為(1，1).
思考1：先判斷兩直線的位置關系，若兩直線不平行，則解相應的直線方程所組成的二元一次方程組，方程組的解即為交點的坐標．
思考2：不是，當且僅當這個二元一次方程組只有一個解時，以這個解為坐標的點是直線l1和l2的交點．
問題2：如果方程組只有一組解，那么對應的兩條直線相交；如果方程組無解，那么對應的兩條直線平行；如果方程組有無數組解，那么對應的兩條直線重合．
小結　略
例1　解方程組得
所以l1與l2的交點是M(－2，2).圖形如下：
例2　(1) 解方程組得
所以l1與l2相交，交點是M.
(2) 解方程組
由①×2－②，得9＝0，矛盾，這個方程組無解，
所以l1與l2無公共點，l1∥l2.
(3) 解方程組
由①×2，得6x＋8y－10＝0.
①和②可以化成同一個方程，即①和②表示同一條直線，l1與l2重合．
思考3：略
例3　(1) m＝－1　(2) m＝3　(3) m≠－1且 m≠3
小結　略
例4　由兩直線方程組成的方程組解得
所以交點坐標為(－1，－2).
又因為直線l過原點，
所以直線l的方程為y＝2x，即2x－y＝0.　
思考4：略
思考5：無數條，它們的方程可表示為2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ為任意實數).
設例4中經過兩條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0交點的直線方程為(2x＋3y＋8)＋λ(x－y－1)＝0.
又直線l經過原點，將點(0，0)代入，得8＋λ×(－1)＝0，解得λ＝8，所以直線l的方程為(2x＋3y＋8)＋8(x－y－1)＝0，即2x－y＝0.
【檢測反饋】
1. D　解方程組解得所以交點坐標為(3，3).設所求直線的方程為y＝kx＋b，代入點(3，3)，(0，0)，得k＝1，b＝0，所以所求直線的方程為y＝x.
2. B　由解得所以兩直線的交點為(－1，4).與直線3x＋y－1＝0垂直直線的斜率為，由點斜式，得直線方程為y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0.
3. ABC　由解得設A(－2，1)，當k＝0時，直線x－ky＝0即x＝0，畫出圖象如圖1所示，此時三條直線圍成三角形，平面劃分為7部分，不符合題意；當k≠0時，直線x－ky＝0的斜率為，當直線x－ky＝0過點A(－2，1)時，－2－k＝0，k＝－2，如圖2所示，平面劃分為6部分，符合題意；直線2x－y＋5＝0的斜率為2，直線x＋y＋1＝0的斜率為－1，當＝2，即k＝時，如圖3所示，平面劃分為6部分，符合題意；當＝－1，即k＝－1時，如圖4所示，平面劃分為6部分，符合題意；當k≠－1且k≠且k≠－2時，三條直線圍成三角形，平面劃分為7部分，不符合題意，故A，B，C正確，D錯誤．故選ABC.
圖1 圖2 圖3 圖4
4. (－1，－2)　由題意，得線段AB的中點為，直線AB的斜率為＝，因此線段AB的垂直平分線的方程為y－＝－7(x＋)，即7x＋y＋9＝0.因為線段BC的中點為(－1，－2)，直線BC的斜率為＝－，所以線段BC的垂直平分線的方程為y＋2＝(x＋1)，即4x－3y－2＝0.由解得所以△ABC的外心坐標是(－1，－2).
5. (1) 由l1⊥l2以及直線l1的方程，可設直線l2的方程為x－2y＋λ＝0.
又直線l2過點(－3，0)，所以－3－0＋λ＝0，
解得λ＝3，
所以直線l2的方程為x－2y＋3＝0.
(2) 聯立解得
所以直線l1與直線l2的交點為(1，2).
當直線m過原點時，設直線m的方程為y＝kx，
代入點(1，2)，得k＝2，
所以直線m的方程為y＝2x，即2x－y＝0；
當直線m不過原點時，由題意，可設直線m的方程為＋＝1(μ≠0)，
代入點(1，2)，得＋＝1，解得μ＝，
代入直線方程，整理得3x＋y－5＝0.
綜上，直線m的方程為2x－y＝0或3x＋y－5＝0.

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