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(共23張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.3　直線的交點坐標與距離公式
2．3.2　兩點間的距離公式
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 掌握平面上兩點間的距離公式．
2. 會運用坐標法證明簡單的平面幾何問題．
3. 滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想與數形結合思想．
活 動 方 案
活動一　探究平面上兩點間的距離公式
1. 回憶初中數軸上兩點間的距離公式：
【解析】 略
問題1：在平面直角坐標系中，若兩點P1(－5，－2)，P2(3,4)，則它們的距離是多少？如何轉化為坐標軸上(或平行于坐標軸)的距離問題？
問題2：對于平面上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，你能用幾種方法推導它們之間的距離？
思考
當x1＝x2時，P1P2的值是多少？當y1＝y2時，P1P2的值是多少？原點O(0,0)與任意一點P(x，y)的距離OP的值是多少？
練習　(1) 求A(－1,3)，B(2,5)兩點間的距離；
(2) 已知A(0,10)，B(a，－5)兩點間的距離是17，求實數a的值．
活動二　兩點間的距離公式的應用
【解析】 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以頂點A為原點，邊AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
在 ABCD中，點A的坐標是(0,0)，設點B的坐標為(a,0)，點D的坐標為(b，c)，由平行四邊形的性質，得點C的坐標為(a＋b，c)．
例2　用坐標法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍．
由兩點間的距離公式，得
AC2＝(a＋b)2＋c2，BD2＝(b－a)2＋c2，AB2＝a2，AD2＝b2＋c2，
所以AC2＋BD2＝2(a2＋b2＋c2)，AB2＋AD2＝a2＋b2＋c2，
所以AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，
即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍．
“坐標法”解決平面幾何問題的一般步驟：
(1) 建立平面直角坐標系，用坐標表示有關的量；
(2) 根據距離公式進行有關代數運算；
(3) 把代數結果“翻譯”成幾何關系．
檢 測 反 饋
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1. (2023全國專題練習)已知點A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，若A，B，C是△ABC的三個頂點，則△ABC是(　　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等邊三角形
【答案】 B
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2. 已知點(x,5)關于點(1，y)的對稱點為(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是(　　)
【答案】 D
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3. (多選)等腰直角三角形ABC的直角頂點為C(3,3)，若點A的坐標為(0,4)，則點B的坐標可能是(　　)
A. (2,0) B. (0,2)
C. (4,6) D. (6,4)
【答案】 AC
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4. 在直線x－y＋4＝0上取一點P，使它到點M(－2，－4)，N(4,6)的距離相等，則點P的坐標為________.
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【解析】 (1) 因為P(3，－1)，Q(－3,3)，
所以PQ的中點為(0,1)，
若直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)過PQ的中點(0,1)，
則－1＋1＋2k＝0，解得k＝0，此時直線l為y＝1，滿足P，Q兩點到直線l的距離相等；
5. (2023新泰一中階段練習)已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，P(3，－1)，Q(－3,3)．
(1) 若P，Q兩點到直線l的距離相等，求直線l的方程；
(2) 當k為何值時，原點到直線l的距離最大．
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Thank you for watching2．3.2　兩點間的距離公式
1. 掌握平面上兩點間的距離公式．
2. 會運用坐標法證明簡單的平面幾何問題．
3. 滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想與數形結合思想．
活動一 探究平面上兩點間的距離公式
1. 回憶初中數軸上兩點間的距離公式：
問題1：在平面直角坐標系中，若兩點P1(－5，－2)，P2(3，4)，則它們的距離是多少？如何轉化為坐標軸上(或平行于坐標軸)的距離問題？
問題2：對于平面上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，你能用幾種方法推導它們之間的距離？
思考
當x1＝x2時，P1P2的值是多少？當y1＝y2時，P1P2的值是多少？原點O(0，0)與任意一點P(x，y)的距離OP的值是多少？
練習　(1) 求A(－1，3)，B(2，5)兩點間的距離；
(2) 已知A(0，10)，B(a，－5)兩點間的距離是17，求實數a的值．
活動二　兩點間的距離公式的應用
例1　已知點A(－1，2)，B(2，)，在x軸上求一點P，使PA＝PB，并求PA的值．
例2　用坐標法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍．
“坐標法”解決平面幾何問題的一般步驟：
(1) 建立平面直角坐標系，用坐標表示有關的量；
(2) 根據距離公式進行有關代數運算；
(3) 把代數結果“翻譯”成幾何關系．
　已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當的平面直角坐標系，求證：AM＝BC.
1. (2023全國專題練習)已知點A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，若A，B，C是△ABC的三個頂點，則△ABC是(　　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等邊三角形
2. 已知點(x，5)關于點(1，y)的對稱點為(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是(　　)
A. 2 B. 4 C. 5 D.
3. (多選)等腰直角三角形ABC的直角頂點為C(3，3)，若點A的坐標為(0，4)，則點B的坐標可能是(　　)
A. (2，0) B. (0，2) C. (4，6) D. (6，4)
4. 在直線x－y＋4＝0上取一點P，使它到點M(－2，－4)，N(4，6)的距離相等，則點P的坐標為________．
5. (2023新泰一中階段練習)已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，P(3，－1)，Q(－3，3).
(1) 若P，Q兩點到直線l的距離相等，求直線l的方程；
(2) 當k為何值時，原點到直線l的距離最大．
【參考答案與解析】
2．3.2　兩點間的距離公式
【活動方案】
1. 略
問題1：它們的距離是10.過點P1作y軸的垂線，過點P2作x軸的垂線，兩垂線相交于點P3，則P1P3＝8，P2P3＝6，由勾股定理，得P1P2＝＝10.
問題2：P1P2＝，推導略．
思考：當x1＝x2時，P1P2＝|y1－y2|；當y1＝y2時，P1P2＝|x1－x2|；OP＝.
練習：(1) AB＝.
(2) AB＝＝17，
解得 a＝±8.
例1　設所求點為P(x，0)，則
PA＝＝，
PB＝＝.
由PA＝PB，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，
解得x＝1，
所以所求點為P(1, 0)，且
PA＝＝2.
例2　如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以頂點A為原點，邊AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
在 ABCD中，點A的坐標是(0，0)，設點B的坐標為(a，0)，點D的坐標為(b，c)，由平行四邊形的性質，得點C的坐標為(a＋b，c).
由兩點間的距離公式，得
AC2＝(a＋b)2＋c2，BD2＝(b－a)2＋c2，AB2＝a2，
AD2＝b2＋c2，
所以AC2＋BD2＝2(a2＋b2＋c2)，
AB2＋AD2＝a2＋b2＋c2，
所以AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，
即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍．
跟蹤訓練　如圖，以Rt△ABC的直角邊AB，AC所在直線為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
設B，C兩點的坐標分別為(b，0)，(0，c).
因為M是BC的中點，
所以點M的坐標為.
由兩點間的距離公式，得
AM＝＝.
因為BC＝，所以AM＝BC.
【檢測反饋】
1. B　由兩點間的距離公式，得AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝＝2，則AC＝BC，且AB2≠AC2＋BC2，故△ABC為等腰三角形．
2. D　根據中點坐標公式，得＝1，＝y，解得x＝4，y＝1，所以點P的坐標為(4，1)，則點P(x，y)到原點的距離d＝＝.
3. AC　設點B的坐標為(x，y).由題意，得即解得或所以點B的坐標為(2，0)或(4，6).故選AC.
4. 　設直線x－y＋4＝0上一點P(x，x＋4).因為點P到點M(－2，－4)，N(4，6)的距離相等，所以＝，解得x＝－，所以y＝－＋4＝，所以點P的坐標為.
5. (1) 因為P(3，－1)，Q(－3，3)，
所以PQ的中點為(0，1)，
若直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)過PQ的中點(0，1)，
則－1＋1＋2k＝0，解得k＝0，此時直線l為y＝1，滿足P，Q兩點到直線l的距離相等；
又kPQ＝＝－，所以當k＝kPQ＝－時，直線l的方程為2x＋3y＋1＝0，
此時直線l與直線PQ平行，滿足P，Q兩點到直線l的距離相等．
綜上，直線l的方程為y＝1或2x＋3y＋1＝0.
(2) 由kx－y＋1＋2k＝0，得k(x＋2)＋(－y＋1)＝0，
聯立解得則直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)過定點N(－2，1).
當直線l與ON垂直時，原點到直線l的距離最大，
最大值為ON＝＝.
因為kON＝－，所以k＝2，
即當k＝2時，原點到直線l的距離最大．

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