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第二章
直線和圓的方程
2.3　直線的交點坐標(biāo)與距離公式
2.3.3　點到直線的距離公式
內(nèi)容索引
學(xué)習(xí)目標(biāo)
活動方案
檢測反饋
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1. 會用向量工具推導(dǎo)點到直線的距離公式．
2. 掌握點到直線的距離公式，能應(yīng)用點到直線的距離公式解決有關(guān)距離問題．
3. 通過點到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運用等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力．
活 動 方 案
活動一　探究點到直線距離的求法
探究：
如圖，已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0，如何求點P到直線l的距離？
【解析】 思路自然但運算量較大．
思考1
這種解法的優(yōu)缺點是什么？
思考2
向量是解決距離、角度問題的有力工具．能否用向量方法求點到直線的距離？
【解析】 運用數(shù)形結(jié)合的思想，將求點到直線的距離轉(zhuǎn)化為求水平或垂直線段的長度，進(jìn)而通過面積關(guān)系加以解決．推導(dǎo)略．
思考3
比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問題轉(zhuǎn)化為求兩點間的距離，通過代數(shù)運算得到結(jié)果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過向量運算求出結(jié)果，簡化了運算，除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎？
活動二　通過簡單運用加深對點到直線距離公式的理解
例1　求點P(－1,2)到下列直線的距離．
(1) 2x＋y－10＝0；　(2) y＝3x＋2；　(3) x＝3; (4) y＝－1.
【解析】 畫圖直接利用圖形性質(zhì)求解．
思考4
(3)(4)小題有其他解法嗎？
應(yīng)用點到直線的距離公式應(yīng)注意的三個問題：
(1) 直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式．
(2) 點P在直線l上時，點到直線的距離為0，公式仍然適用．
(3) 在直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．
已知直線l經(jīng)過點M(－1,2)，且A(2,3)，B(－4,5)兩點到直線l的距離相等，求直線l的方程．
【解析】 方法一：當(dāng)過點M(－1,2)的直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，
恰好A(2,3)，B(－4,5)兩點到直線l的距離相等，
故x＝－1滿足題意；
當(dāng)過點M(－1,2)的直線l的斜率存在時，
設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
例2　已知△ABC的三個頂點分別是A(1，3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC的面積．
檢 測 反 饋
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1. 已知直線l經(jīng)過原點，且點M(5,0)到直線l的距離等于3，則直線l的方程為(　　)
A. 3x－4y＝0 B. 3x＋4y＝0
C. 4x－3y＝0或4x＋3y＝0 D. 3x－4y＝0或3x＋4y＝0
【答案】 D
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2. (2024南陽期末)已知P為兩條直線2x－3y＋1＝0和x＋y－2＝0的交點，則點P到直線l：kx－y＋k＋2＝0的距離的最大值為(　　)
【答案】 B
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3. (多選)已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程可以是(　　)
A. 2x＋3y－18＝0 B. 2x－y－2＝0
C. 3x－2y＋18＝0 D. 2x－y＋2＝0
【答案】 AB
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4. (2024沈陽聯(lián)考)對任意的實數(shù)λ，原點O(0,0)到直線(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0的距離d的取值范圍為________.
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Thank you for watching2．3.3　點到直線的距離公式
1. 會用向量工具推導(dǎo)點到直線的距離公式．
2. 掌握點到直線的距離公式，能應(yīng)用點到直線的距離公式解決有關(guān)距離問題．
3. 通過點到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運用等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力．
活動一 探究點到直線距離的求法
探究：
如圖，已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0，如何求點P到直線l的距離？
思考1
這種解法的優(yōu)缺點是什么？
思考2
向量是解決距離、角度問題的有力工具．能否用向量方法求點到直線的距離？
思考3
比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問題轉(zhuǎn)化為求兩點間的距離，通過代數(shù)運算得到結(jié)果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過向量運算求出結(jié)果，簡化了運算，除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎？
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離為d＝.
活動二　通過簡單運用加深對點到直線距離公式的理解　
例1　求點P(－1，2)到下列直線的距離．
(1) 2x＋y－10＝0；　(2) y＝3x＋2；
(3) x＝3; (4) y＝－1.
思考4
(3)(4)小題有其他解法嗎？
應(yīng)用點到直線的距離公式應(yīng)注意的三個問題：
(1) 直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式．
(2) 點P在直線l上時，點到直線的距離為0，公式仍然適用．
(3) 在直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．
　　　已知直線l經(jīng)過點M(－1，2)，且A(2，3)，B(－4，5)兩點到直線l的距離相等，求直線l的方程．
例2　已知△ABC的三個頂點分別是A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面積．
1. 已知直線l經(jīng)過原點，且點M(5，0)到直線l的距離等于3，則直線l的方程為(　　)
A. 3x－4y＝0 B. 3x＋4y＝0
C. 4x－3y＝0或4x＋3y＝0 D. 3x－4y＝0或3x＋4y＝0
2. (2024南陽期末)已知P為兩條直線2x－3y＋1＝0和x＋y－2＝0的交點，則點P到直線l：kx－y＋k＋2＝0的距離的最大值為(　　)
A. B. C. D. 5
3. (多選)已知直線l過點P(3，4)且與點A(－2，2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程可以是(　　)
A. 2x＋3y－18＝0 B. 2x－y－2＝0
C. 3x－2y＋18＝0 D. 2x－y＋2＝0
4. (2024沈陽聯(lián)考)對任意的實數(shù)λ，原點O(0，0)到直線(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0的距離d的取值范圍為________．
5. (2024鹽城中學(xué)期末)已知直線l的傾斜角為α，cos α＝，且這條直線經(jīng)過點P(1，2).
(1) 求直線l的方程；
(2) 若直線a：mx－y＋1－m＝0恒過定點A，求點A到直線l的距離．
【參考答案與解析】
2．3.3　點到直線的距離公式
【活動方案】
探究：點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足，所以求出垂足Q的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出PQ，就可以得到點P到直線l的距離．
設(shè)A≠0，B≠0.由PQ⊥l，直線l1與直線l2的方程以及直線l的斜率為－，得直線l的垂線PQ的斜率為，
所以垂線PQ的方程為y－y0＝(x－x0)，即Bx－Ay＝Bx0－Ay0.
解方程組
得直線l與PQ的交點坐標(biāo)，即垂足Q的坐標(biāo)為
，所以PQ＝
＝＝，
所以點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
可以驗證，當(dāng)A＝0或B＝0時，上述公式仍然成立．
思考1：思路自然但運算量較大．
思考2：能，點P到直線l的距離，就是向量的模．設(shè)M(x，y)是直線l上的任意一點，n是與直線l的方向向量垂直的單位向量，則是在n上的投影向量，||＝|·n|.
設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直線l：Ax＋By＋C＝0上的任意兩點，則＝(x2－x1，y2－y1)是直線l的方向向量．
將Ax1＋By1＋C＝0，Ax2＋By2＋C＝0兩式相減，得A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0.
由平面向量的數(shù)量積運算可知，向量(A，B)與向量(x2－x1，y2－y1)垂直．向量(A，B)就是與直線l的方向向量垂直的一個單位向量．我們?nèi)＝(A，B)，
所以·n＝(x－x0，y－y0)·(A，B)
＝[A(x－x0)＋B(y－y0)]
＝(Ax＋By－Ax0－By0).①
因為點M(x，y)在直線l上，所以Ax＋By＋C＝0，所以Ax＋By ＝－C.代入①式， 得
·n＝(－Ax0－By0－C)，
所以PQ＝||＝|·n|＝.
思考3：運用數(shù)形結(jié)合的思想，將求點到直線的距離轉(zhuǎn)化為求水平或垂直線段的長度，進(jìn)而通過面積關(guān)系加以解決．推導(dǎo)略．
例1　(1) d＝＝＝2.
(2) y＝3x＋2化為一般式為3x－y＋2＝0，
所以d＝＝.
(3) d＝＝4.
(4) d＝＝3.
思考4：畫圖直接利用圖形性質(zhì)求解．
跟蹤訓(xùn)練　方法一：當(dāng)過點M(－1，2)的直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，
恰好A(2，3)，B(－4，5)兩點到直線l的距離相等，
故x＝－1滿足題意；
當(dāng)過點M(－1，2)的直線l的斜率存在時，
設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由A(2，3)與B(－4，5)兩點到直線l的距離相等，得＝，
化簡，得|3k－1|＝|－3k－3|，
則3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，
解得k＝－，
所以直線l的方程為x＋3y－5＝0.
綜上，直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0.
方法二：由題意，得l∥AB或l過AB的中點．
當(dāng)l∥AB時，設(shè)直線AB的斜率為kAB，直線l的斜率為kl，則kl＝kAB＝＝－，
此時直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0；
當(dāng)直線l過AB的中點(－1，4)時，直線l的方程為 x＝－1.
綜上，直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0.
例2　如圖，設(shè)邊AB上的高為h，
則S△ABC＝AB·h，
AB＝＝2.
邊AB上的高h(yuǎn)就是點C到直線AB的距離．
邊AB所在直線l的方程為＝，
即x＋y－4＝0.
點C(－1, 0)到直線l：x＋y－4＝0的距離h＝＝，
所以S△ABC＝×2×＝5.
【檢測反饋】
1. D　因為直線l經(jīng)過原點，且點M(5，0)到直線l的距離等于3，所以設(shè)直線l的方程為y＝kx，即 kx－y＝0，則＝3，解得k＝±，所以直線l的方程為3x－4y＝0或3x＋4y＝0.
2. B　由得即P(1，1).又直線l：k(x＋1)＋2－y＝0，所以直線過定點A(－1，2)，所以當(dāng)直線AP與直線l垂直時，點P到直線l的距離最大，且最大值為AP＝＝.
3. AB　易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0.由題意及點到直線的距離公式，得＝，解得k＝2或k＝－，即直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.故選AB.
4. [0，2)　直線l的方程可化為λ(x－y－4)＋(2x－y－6)＝0，令解得所以直線l過定點P(2，－2).當(dāng)直線l經(jīng)過點O(0，0)時，3＋2λ＝0，即λ＝－，故d＝0；當(dāng)直線l與OP垂直時，d取最大值，下面證明：當(dāng)OP與直線垂直時，記直線為l1，當(dāng)OP不與直線垂直且直線不經(jīng)過點O時，記直線為l2，過點O作OQ⊥l2交于點Q，如圖，由圖可知，△OQP為直角三角形且OP為斜邊，所以O(shè)P>OQ，所以當(dāng)d取最大值時，OP與直線垂直，故dmax＝＝2，但此時kOP＝－1，則kl＝1，直線l的方程為y＋2＝x－2，即x－y－4＝0，此時無論λ取何值都無法滿足要求，故dmax取不到2，所以d∈[0，2).
5. (1) 由cos α＝，α∈[0，π)，得α＝，則tan α＝1，
所以直線l的斜率k＝1，且直線l過點P(1，2)，
所以直線l的方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
(2) 因為直線mx－y＋1－m＝0，
所以m(x－)－y＋1＝0，
所以直線a過定點A(，1)，
則點A(，1)到直線x－y＋1＝0的距離為d＝＝＝，
故點A到直線l的距離為.

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