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(共27張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.3　直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式
2.3.4　兩條平行直線間的距離
內(nèi)容索引
學(xué)習(xí)目標(biāo)
活動(dòng)方案
檢測反饋
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1. 理解兩條平行線間的距離公式的推導(dǎo)．
2. 會(huì)求兩條平行直線間的距離．
3. 通過兩條平行直線間的距離公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力．
活 動(dòng) 方 案
活動(dòng)一　情境引入
前面我們已經(jīng)得到了兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，關(guān)于平面上的距離問題，兩條平行直線間的距離也是值得研究的．
思考
已知兩條平行直線l1，l2的方程，如何求l1與l2間的距離？
【解析】 根據(jù)兩條平行直線間距離的含義，在直線l1上任取一點(diǎn)P(x0，y0)，點(diǎn)P(x0，y0)到直線l2的距離就是直線l1與直線l2間的距離，這樣，求兩條平行直線間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離．
兩條平行直線間的距離
1. 定義：夾在兩條平行線間的公垂線段的長．
2. 圖示：
3. 求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．
活動(dòng)二　探求兩條平行直線之間的距離
例1　已知兩條平行直線l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1與l2間的距離．
若直線3x＋y－3＝0與直線6x＋my＋1＝0平行，則它們之間的距離為(　　)
【答案】 D
活動(dòng)三　兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用
例3　已知直線l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直線l與l1，l2的距離分別是d1，d2，且d1∶d2＝2∶1，求直線l的方程．
求兩條平行直線間距離的兩種思路：
(1) 利用“化歸”法將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．
已知直線l1過點(diǎn)A(0,1)，直線l2過點(diǎn)B(5,0)，l1∥l2，且l1與l2間的距離為5，求直線l1，l2的方程．
所以直線l1的方程為12x－5y＋5＝0，直線l2的方程為12x－5y－60＝0；
若直線l1，l2的斜率不存在，則直線l1的方程為x＝0，直線l2的方程為x＝5，
它們之間的距離為5，滿足條件．
故滿足條件的直線方程有以下兩組：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；
l1：x＝0，l2：x＝5.
例4　兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自繞著點(diǎn)A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.你能求出d的取值范圍嗎？
變式　在例4中，當(dāng)d取最大值時(shí)，請求出兩條直線的方程．
檢 測 反 饋
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1. (2024濟(jì)寧統(tǒng)考期末)已知直線l1：x－y＋1＝0與直線l2：2x＋ay－2＝0平行，則l1與l2之間的距離為(　　)
【答案】 A
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2. (2023十堰聯(lián)考)到直線3x－4y－11＝0的距離為1的直線方程為(　　)
A. 3x－4y－1＝0
B. 3x－4y－6＝0或3x－4y－16＝0
C. 3x－4y＋1＝0或3x－4y－1＝0
D. 3x－4y＋16＝0或3x－4y－3＝0
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【答案】 B
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3. (多選)已知兩條平行直線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1,3)，Q(2，－1)，它們分別繞點(diǎn)P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離可能為 (　　)
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
【答案】 ABC
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4. 與兩條平行直線l1：3x＋2y－6＝0，l2：6x＋4y－3＝0等距離的平行直線的方程為________________________．
【答案】 12x＋8y－15＝0
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5. (2023陽江兩陽中學(xué)階段練習(xí))已知直線l：(2a－1)x＋(a＋1)y＋a－5＝0.
(1) 若直線l與直線l′：x＋2y－1＝0平行，求實(shí)數(shù)a的值并求這兩條直線間的距離；
(2) 若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．
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謝謝觀看
Thank you for watching2．3.4　兩條平行直線間的距離
1. 理解兩條平行線間的距離公式的推導(dǎo)．
2. 會(huì)求兩條平行直線間的距離．
3. 通過兩條平行直線間的距離公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力．
活動(dòng)一 情境引入
前面我們已經(jīng)得到了兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，關(guān)于平面上的距離問題，兩條平行直線間的距離也是值得研究的．
思考
已知兩條平行直線l1，l2的方程，如何求l1與l2間的距離？
兩條平行直線間的距離
1. 定義：夾在兩條平行線間的公垂線段的長．
2. 圖示：
3. 求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．
活動(dòng)二　探求兩條平行直線之間的距離　
例1
　已知兩條平行直線l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1與l2間的距離．
例2　求證：兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝.
當(dāng)兩條平行直線間的距離公式寫成d＝時(shí)，要求這兩條平行直線的方程都是一般式，且x，y的系數(shù)應(yīng)分別相等．
　若直線3x＋y－3＝0與直線6x＋my＋1＝0平行，則它們之間的距離為(　　)
A. 4　　　　　　　　B.
C. 　　　　 D.
活動(dòng)三 兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用
例3　已知直線l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直線l與l1，l2的距離分別是d1，d2，且d1∶d2＝2∶1，求直線l的方程．
求兩條平行直線間距離的兩種思路：
(1) 利用“化歸”法將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．
(2) 直接利用兩條平行直線間的距離公式，當(dāng)直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時(shí)，d＝；當(dāng)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2時(shí)，d＝，必須注意兩條直線方程中x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．
　已知直線l1過點(diǎn)A(0，1)，直線l2過點(diǎn)B(5，0)，l1∥l2，且l1與l2間的距離為5，求直線l1，l2的方程．
例4　兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自繞著點(diǎn)A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.你能求出d的取值范圍嗎？
變式　在例4中，當(dāng)d取最大值時(shí)，請求出兩條直線的方程．
1. (2024濟(jì)寧統(tǒng)考期末)已知直線l1：x－y＋1＝0與直線l2：2x＋ay－2＝0平行，則l1與l2之間的距離為(　　)
A. B. 2 C. D.
2. (2023十堰聯(lián)考)到直線3x－4y－11＝0的距離為1的直線方程為(　　)
A. 3x－4y－1＝0 B. 3x－4y－6＝0或3x－4y－16＝0
C. 3x－4y＋1＝0或3x－4y－1＝0 D. 3x－4y＋16＝0或3x－4y－3＝0
3. (多選)已知兩條平行直線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1，3)，Q(2，－1)，它們分別繞點(diǎn)P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離可能為 (　　)
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
4. 與兩條平行直線l1：3x＋2y－6＝0，l2：6x＋4y－3＝0等距離的平行直線的方程為_________________．
5. (2023陽江兩陽中學(xué)階段練習(xí))已知直線l：(2a－1)x＋(a＋1)y＋a－5＝0.
(1) 若直線l與直線l′：x＋2y－1＝0平行，求實(shí)數(shù)a的值并求這兩條直線間的距離；
(2) 若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．
【參考答案與解析】
2．3.4　兩條平行直線間的距離
【活動(dòng)方案】
思考：根據(jù)兩條平行直線間距離的含義，在直線l1上任取一點(diǎn)P(x0，y0)，點(diǎn)P(x0，y0)到直線l2的距離就是直線l1與直線l2間的距離，這樣，求兩條平行直線間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離．
例1　先求l1與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)．易知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4, 0).
點(diǎn)A到直線l2的距離d＝＝＝，
所以l1與l2間的距離為.
例2　在直線Ax＋By＋C1＝0上任取一點(diǎn)P(x0，y0)，點(diǎn)P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C2＝0的距離就是這兩條平行直線間的距離，即
d＝.
因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在直線Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，
故d＝＝＝.
跟蹤訓(xùn)練　D　因?yàn)閮芍本€平行，所以m＝2.將6x＋2y＋1＝0化為3x＋y＋＝0.由兩條平行直線間的距離公式，得d＝＝.
例3　由直線l1，l2的方程知l1∥l2.
又由題意知，直線l與l1，l2均平行．
設(shè)直線l的方程為3x－2y＋m＝0(m≠－1且 m≠－13)，
由兩條平行直線間的距離公式，得d1＝，d2＝.
又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，
解得m＝－25或m＝－9.
故所求直線l的方程為3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.　
跟蹤訓(xùn)練　若直線l1，l2的斜率存在，設(shè)直線l1與l2的斜率為k，
由斜截式，得直線l1的方程為y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
由點(diǎn)斜式，得直線l2的方程為y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.
在直線l1上取點(diǎn)A(0，1)，
則點(diǎn)A到直線l2的距離d＝＝5，
所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25，解得k＝，
所以直線l1的方程為12x－5y＋5＝0，直線l2的方程為12x－5y－60＝0；
若直線l1，l2的斜率不存在，則直線l1的方程為x＝0，直線l2的方程為x＝5，
它們之間的距離為5，滿足條件．
故滿足條件的直線方程有以下兩組：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；
l1：x＝0，l2：x＝5.
例4　如圖，顯然有0又AB＝＝3，
故d的取值范圍為(0，3].
變式　由例4知，當(dāng)d取最大值時(shí)，兩直線與AB垂直．
因?yàn)閗AB＝＝，
所以所求直線的斜率為－3.
故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
【檢測反饋】
1. A　在直線l2：2x＋ay－2＝0上取點(diǎn)(1，0)，則l1與l2之間的距離即為點(diǎn)(1，0)到直線l1：x－y＋1＝0的距離，即為＝.
2. B　設(shè)所求的直線方程為3x－4y＋c＝0.由題意，得＝1，解得c＝－6或c＝－16，所以所求直線的方程為3x－4y－6＝0或3x－4y－16＝0.
3. ABC　當(dāng)兩直線l1，l2與直線PQ垂直時(shí)，兩平行直線l1，l2間的距離最大，最大距離為PQ＝＝5，所以l1，l2之間的距離的取值范圍是(0，5].故選ABC.
4. 12x＋8y－15＝0　設(shè)所求直線的方程為3x＋2y＋b＝0.l2：6x＋4y－3＝0可化為3x＋2y－＝0，則有|b－(－6)|＝|b－|，解得b＝－，則所求直線的方程是3x＋2y－＝0，即12x＋8y－15＝0.
5. (1) 因?yàn)橹本€l′：x＋2y－1＝0，且l∥l′，
所以＝≠，解得a＝1.
當(dāng)a＝1時(shí)，直線l的方程為x＋2y－4＝0，故直線l與直線l′間的距離為d＝＝.
(2) 令x＝0，得y＝－，即直線l在y軸上的截距為－；
令y＝0，得x＝－，即直線l在x軸上的截距為－.
因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，
所以－＝－，解得a＝5或a＝2.
故直線l的方程是3x＋2y＝0或x＋y－1＝0.

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