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(共32張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.4　圓的方程
2.4.1　圓的標準方程
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，會用定義推導圓的標準方程，并掌握圓的標準方程的特征．
2. 能根據所給條件求圓的標準方程．
3. 掌握點與圓的位置關系并能解決相關問題．
活 動 方 案
活動一　圓的標準方程的推導
問題1：什么叫圓？概念中的關鍵詞是什么？確定一個圓有幾個幾何要素？
【解析】 圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合．
關鍵詞：定點就是圓心，定長就是半徑．
幾何要素：圓心，半徑．
問題2：類比直線的點斜式方程的推導過程，探究推導以定點C為圓心，r為半徑的圓的方程.
問題3：當圓心C為(a，b)，半徑為r時，圓的方程又如何呢？
結論：圓的標準方程：
【解析】 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)是以點(a，b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程．
活動二　求圓的標準方程
例1　求圓心為A(2，－3)，半徑為5的圓的標準方程，并判斷點M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在這個圓上．
【解析】 圓心為A(2, －3)，半徑為5的圓的標準方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
將點M1(5，－7)的坐標代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左邊，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右兩邊相等，點M1的坐標滿足圓的方程，
所以點M1在這個圓上．
將點M2(－2，－1)的坐標代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左邊，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右兩邊不相等，點M2的坐標不滿足圓的方程，
所以點M2不在這個圓上．
【解析】 確定一個圓需要半徑與圓心兩個獨立條件．
思考1
確定一個圓的標準方程需要哪些獨立的條件？
【解析】 點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系的判斷方法：
①(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，點M在圓外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，點M在圓上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2思考2
點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系有哪些？如何判斷？
求圓的標準方程時，知道圓的圓心和半徑，代入圓的標準方程即可．判斷點與圓之間的位置關系，只要求出點與圓心之間的距離，然后與半徑去比較，就能判斷它們之間的位置關系．
(2024遂寧階段練習)已知圓心為C的圓經過點A(1,1)，B(2，－2)，D(0,2)．
(1) 求圓C的標準方程；
(2) 已知點P(a,1)在圓C外，求a的取值范圍．
活動三　運用圓的幾何性質求圓的標準方程
例2　已知△ABC 的三個頂點分別是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圓的標準方程．
圓的標準方程的兩種求法：
(1) 幾何法
它是利用圖形的幾何性質，如圓的性質等，直接求出圓的圓心和半徑，從而得到圓的標準方程．
(2) 待定系數法
由三個獨立條件得到三個方程，解方程組可以得到圓的標準方程中三個參數，從而確定圓的標準方程．它是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：
①設——設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列——由已知條件，建立關于a，b，r的方程組；
③解——解方程組，求出a，b，r；
④代——將a，b，r代入所設方程，得所求圓的方程．
已知圓過點A(1，－2)，B(－1，4)，求：
(1) 周長最小的圓的方程；
(2) 圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程．
檢 測 反 饋
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1. (2024邯鄲期末)已知圓M過點O(0,0)，A(2,0)，B(2，－2)，則圓M的標準方程是(　　)
A. (x－1)2＋(y＋1)2＝2 B. (x－1)2＋(y－1)2＝2
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D. (x＋1)2＋(y－1)2＝2
【答案】 A
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2. 已知半徑為1的圓經過點(3,4)，則其圓心到原點的距離的最小值為(　　)
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
【答案】 A
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3. (多選)對于定點P(1,1)和圓C：x2＋y2＝4，下列說法中正確的是(　　)
A. 點P在圓內部
B. 過點P有兩條圓的切線
C. 過點P被圓截得的弦長最大時的直線方程為x－y＝0
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【答案】 ACD
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4. (2023淄博期中)已知圓C經過A(0,2)，B(1,1)，且圓心在直線l1：2x＋y－4＝0，則圓C的方程是________________；若從點M(3,5)發出的光線經過直線l2：x＋y－1＝0，反射后恰好平分圓C的圓周，則反射光線所在直線的方程是________________.
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【答案】 (x－1)2＋(y－2)2＝1　4x－5y＋6＝0
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5. 已知以點C為圓心的圓經過點A(－1,0)和B(3,4)，且圓心在直線x＋3y－15＝0上．設點P在圓C上，求△PAB的面積的最大值．
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謝謝觀看
Thank you for watching2．4　圓 的 方 程
2.4.1　圓的標準方程
1. 回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，會用定義推導圓的標準方程，并掌握圓的標準方程的特征．
2. 能根據所給條件求圓的標準方程．
3. 掌握點與圓的位置關系并能解決相關問題．
活動一 圓的標準方程的推導
問題1：什么叫圓？概念中的關鍵詞是什么？確定一個圓有幾個幾何要素？
問題2：類比直線的點斜式方程的推導過程，探究推導以定點C為圓心，r為半徑的圓的方程.
問題3：當圓心C為(a，b)，半徑為r時，圓的方程又如何呢？
結論：圓的標準方程：
活動二　求圓的標準方程　
例1　求圓心為A(2，－3)，半徑為5的圓的標準方程，并判斷點M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在這個圓上．
思考1
確定一個圓的標準方程需要哪些獨立的條件？
思考2
點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系有哪些？如何判斷？
求圓的標準方程時，知道圓的圓心和半徑，代入圓的標準方程即可．判斷點與圓之間的位置關系，只要求出點與圓心之間的距離，然后與半徑去比較，就能判斷它們之間的位置關系．
　(2024遂寧階段練習)已知圓心為C的圓經過點A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2).
(1) 求圓C的標準方程；
(2) 已知點P(a，1)在圓C外，求a的取值范圍．
活動三　運用圓的幾何性質求圓的標準方程　
例2　已知△ABC 的三個頂點分別是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圓的標準方程．
圓的標準方程的兩種求法：
(1) 幾何法
它是利用圖形的幾何性質，如圓的性質等，直接求出圓的圓心和半徑，從而得到圓的標準方程．
(2) 待定系數法
由三個獨立條件得到三個方程，解方程組可以得到圓的標準方程中三個參數，從而確定圓的標準方程．它是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：
①設——設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列——由已知條件，建立關于a，b，r的方程組；
③解——解方程組，求出a，b，r；
④代——將a，b，r代入所設方程，得所求圓的方程．
　已知圓過點A(1，－2)，B(－1，4)，求：
(1) 周長最小的圓的方程；
(2) 圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程．
1. (2024邯鄲期末)已知圓M過點O(0，0)，A(2，0)，B(2，－2)，則圓M的標準方程是(　　)
A. (x－1)2＋(y＋1)2＝2 B. (x－1)2＋(y－1)2＝2
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D. (x＋1)2＋(y－1)2＝2
2. 已知半徑為1的圓經過點(3，4)，則其圓心到原點的距離的最小值為(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. (多選)對于定點P(1，1)和圓C：x2＋y2＝4，下列說法中正確的是(　　)
A. 點P在圓內部
B. 過點P有兩條圓的切線
C. 過點P被圓截得的弦長最大時的直線方程為x－y＝0
D. 過點P被圓截得的弦長最小值為2
4. (2023淄博期中)已知圓C經過A(0，2)，B(1，1)，且圓心在直線l1：2x＋y－4＝0，則圓C的方程是________________；若從點M(3，5)發出的光線經過直線l2：x＋y－1＝0，反射后恰好平分圓C的圓周，則反射光線所在直線的方程是________________．
5. 已知以點C為圓心的圓經過點A(－1，0)和B(3，4)，且圓心在直線x＋3y－15＝0上．設點P在圓C上，求△PAB的面積的最大值．
【參考答案與解析】
2．4　圓 的 方 程
2.4.1　圓的標準方程
【活動方案】
問題1：圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合．
關鍵詞：定點就是圓心，定長就是半徑．
幾何要素：圓心，半徑．
問題2：以定點C為原點建立直角坐標系，設P(x，y)是圓上的任意一點．依題意，CP＝r，將點P的坐標(x，y)代入，得＝r，化簡，得x2＋y2＝r2.故所求圓的方程為x2＋y2＝r2.
問題3：一般地，設點P(x，y)是以C(a，b)為圓心，r為半徑的圓上的任意一點，則CP＝r.
由兩點間的距離公式，得＝r，
即(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
結論：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)是以點(a，b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程．
例1　圓心為A(2, －3)，半徑為5的圓的標準方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
將點M1(5，－7)的坐標代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左邊，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右兩邊相等，點M1的坐標滿足圓的方程，
所以點M1在這個圓上．
將點M2(－2，－1)的坐標代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左邊，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右兩邊不相等，點M2的坐標不滿足圓的方程，
所以點M2不在這個圓上．
思考1：確定一個圓需要半徑與圓心兩個獨立條件．
思考2：點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系的判斷方法：
①(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，點M在圓外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，點M在圓上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2跟蹤訓練　(1) 設圓C的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝R2(R>0)，
代入A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)，
得解得
所以圓C的標準方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2) 因為點P(a，1)在圓C外，所以PC>R＝5.
因為C(－3，－2)，PC＝，
所以>5，解得a>1或a<－7，
所以實數a的取值范圍為(－∞，－7)∪(1，＋∞).
例2　設所求圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因為A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)三點都在圓上，
所以
即
觀察上面的式子，我們發現，三式兩兩相減，可以消去a2，b2，r2，得到關于a，b的二元一次方程組
解得
代入(5－a)2＋(1－b)2＝r2，得r2＝25，
所以△ABC的外接圓的標準方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
跟蹤訓練　(1) 當AB為直徑時，過點A，B的圓的半徑最小，從而周長最小，即AB的中點(0，1)為圓心，半徑r＝AB＝，
則圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.
(2) 方法一：設點C為圓心．
因為點C在直線2x－y－4＝0上，
所以可設點C的坐標為(a，2a－4).
因為圓C經過A，B兩點，
所以CA＝CB，
所以＝，解得a＝3，
所以圓心坐標為C(3，2)，半徑r＝CA＝2.
故所求圓的標準方程為(x－3)2＋(y－2)2＝20.
方法二：因為AB的斜率為k＝－3，所以AB的垂直平分線的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由得即圓心坐標是C(3，2)，
則r＝AC＝＝2，
所以圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
方法三：設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則解得
所以圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【檢測反饋】
1. A　由點O(0，0)，A(2，0)在圓M上，得圓心在直線x＝1上；由點A(2，0)，B(2，－2)在圓M上，得圓心在直線y＝－1上，即圓心M(1，－1)，半徑r＝＝，故圓M的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
2. A　設圓心C(x，y)，則＝1，化簡，得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圓心C的軌跡是以M(3，4)為圓心，1為半徑的圓，所以OC＋1≥OM＝＝5，所以OC≥5－1＝4，當且僅當點C在線段OM上時取得等號．
3. ACD　由12＋12<4知，點P(1，1)在圓內，故A正確；由點P在圓內，可知過點P不能作出圓的切線，故B錯誤；過點P的最大弦長為直徑，所以方程應為y＝x，即x－y＝0，故C正確；過點P且弦長最小的應是垂直于直線CP，且過點P的弦．又垂直于CP的直線為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，所以弦長為2＝2，故D正確．故選ACD.
4. (x－1)2＋(y－2)2＝1　4x－5y＋6＝0　由題意知，AB的中點為，kAB＝＝－1，所以AB的垂直平分線方程為y－＝x－，即x－y＋1＝0.聯立解得即圓心為(1，2)，所以圓C的半徑為r＝＝1，故圓C的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝1.設點M關于直線l2的對稱點為N(x，y)，則直線MN與直線l2垂直，且MN的中點在直線l2上，則解得所以N(－4，－2).由題意知反射光線過圓心，故直線CN的方程為＝，即反射光線所在直線的方程為4x－5y＋6＝0.
5. 因為線段AB的中點為(1，2)，直線AB的斜率為1，
所以線段AB的垂直平分線的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
聯立解得
即圓心C為(－3，6)，
則半徑r＝＝2.
又AB＝＝4，
所以圓心C到直線AB的距離
d＝＝4，
所以點P到直線AB的距離的最大值為d＋r＝4＋2，
所以△PAB的面積的最大值為×4×(4＋2)＝16＋8.

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