資源簡介

(共29張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.4　圓的方程
2.4.2　圓的一般方程
內(nèi)容索引
學(xué)習(xí)目標(biāo)
活動(dòng)方案
檢測(cè)反饋
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1. 理解圓的一般方程及其特點(diǎn)．
2. 掌握?qǐng)A的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化．
3. 會(huì)求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題．
活 動(dòng) 方 案
活動(dòng)一　探究圓的一般方程
1. 復(fù)習(xí)鞏固：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？
【解析】 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
思考1
將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，得到的是關(guān)于x，y的什么形式的方程？
【解析】 x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
思考2
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它一定表示圓嗎？
【解析】 表示的不一定是圓．
(1) 當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，關(guān)于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的點(diǎn)的軌跡是什么？
(2) 當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，關(guān)于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的點(diǎn)的軌跡是什么？
(3) 當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，關(guān)于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的點(diǎn)的軌跡是什么？
【解析】 當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，不表示任何圖形．
2. 圓的一般方程：
【解析】 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
【解析】 略
思考3
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？
活動(dòng)二　鞏固圓的一般方程，能由圓的一般方程確定圓心和半徑
例1　下列方程是否表示圓？若表示圓，寫出其圓心的坐標(biāo)和半徑．
(1) x2＋y2－4x＝0；
(2) x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3) x2＋y2－4x－2y＋5＝0；
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0.
【解析】 (1) 因?yàn)?－4)2＋0－4×0＝16>0，所以方程 x2＋y2－4x＝0表示一個(gè)圓，圓心為(2,0)，半徑為2.
(2) 方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0不表示圓．
(3) 因?yàn)?－4)2＋(－2)2－4×5＝0，所以方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示圓．
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0可化成x2＋y2－2x＋3＝0，因?yàn)?－2)2＋0－4×3<0，所以方程2x2＋2y2－4x＋6＝0不表示圓．
活動(dòng)三　能根據(jù)已知條件求圓的方程
例2　求過三點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．
【解析】 確定一個(gè)圓的一般方程需要3個(gè)不在一條直線上的點(diǎn)．
思考4
確定一個(gè)圓的一般方程需要幾個(gè)獨(dú)立條件？
用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：
(1) 根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；
(2) 根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；
(3) 解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．
思考5
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：
(1) 已知點(diǎn)A(m，n)，圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，如何判斷點(diǎn)A與圓C的位置關(guān)系？
(2) 已知圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，如何判斷點(diǎn)A(m，n)與圓的位置關(guān)系？
【解析】 (1) ①若(m－a)2＋(n－b)2>r2，則點(diǎn)A在圓外；
②若(m－a)2＋(n－b)2＝r2，則點(diǎn)A在圓上；
③若(m－a)2＋(n－b)2(2) ①若m2＋n2＋Dm＋En＋F>0，則點(diǎn)A在圓外；
②若m2＋n2＋Dm＋En＋F＝0，則點(diǎn)A在圓上；
③若m2＋n2＋Dm＋En＋F<0，則點(diǎn)A在圓內(nèi)．
例3　已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．
檢 測(cè) 反 饋
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1. (2023全國聯(lián)考期中)“實(shí)數(shù)m<2”是“方程x2＋y2－3x＋y＋m＝0表示圓”的(　　)
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】 A
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2. (2024山西呂梁期末)已知圓O：x2＋y2－4x＋6y＋5＝0，則圓心O和半徑r分別為(　　)
【答案】 B
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【解析】 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a<5.又因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為M(0,1)，故點(diǎn)M在圓內(nèi)，所以(0＋1)2＋(1－2)2<5－a，解得a<3.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，3)．故選AB.
3. (多選)已知直線l與圓C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M(0,1)，則實(shí)數(shù)a的取值可能為(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】 AB
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4. 若圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，則當(dāng)圓的面積最大時(shí)，圓心的坐標(biāo)為________.
【答案】 (0，－1)
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5. (2023安徽聯(lián)考)一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)P，Q的距離之比為常數(shù)λ(λ>0且λ≠1)的動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是圓，此圓便是數(shù)學(xué)史上著名的“阿波羅尼斯圓”．基于上述事實(shí)，完成如下問題：
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謝謝觀看
Thank you for watching2．4.2　圓的一般方程
1. 理解圓的一般方程及其特點(diǎn)．
2. 掌握?qǐng)A的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化．
3. 會(huì)求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題．
活動(dòng)一 探究圓的一般方程
1. 復(fù)習(xí)鞏固：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？
思考1
將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，得到的是關(guān)于x，y的什么形式的方程？
思考2
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它一定表示圓嗎？
(1) 當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，關(guān)于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的點(diǎn)的軌跡是什么？
(2) 當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，關(guān)于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的點(diǎn)的軌跡是什么？
(3) 當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，關(guān)于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的點(diǎn)的軌跡是什么？
2. 圓的一般方程：
思考3
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？
活動(dòng)二　鞏固圓的一般方程，能由圓的一般方程確定圓心和半徑
例1　下列方程是否表示圓？若表示圓，寫出其圓心的坐標(biāo)和半徑．
(1) x2＋y2－4x＝0；
(2) x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3) x2＋y2－4x－2y＋5＝0；
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0.
活動(dòng)三　能根據(jù)已知條件求圓的方程　
例2　求過三點(diǎn)O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．
思考4
確定一個(gè)圓的一般方程需要幾個(gè)獨(dú)立條件？
用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：
(1) 根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；
(2) 根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；
(3) 解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．
思考5
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：
(1) 已知點(diǎn)A(m，n)，圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，如何判斷點(diǎn)A與圓C的位置關(guān)系？
(2) 已知圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，如何判斷點(diǎn)A(m，n)與圓的位置關(guān)系？
例3　已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．
1. (2023全國聯(lián)考期中)“實(shí)數(shù)m<2”是“方程x2＋y2－3x＋y＋m＝0表示圓”的(　　)
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
2. (2024山西呂梁期末)已知圓O：x2＋y2－4x＋6y＋5＝0，則圓心O和半徑r分別為(　　)
A. O(－2，3)，r＝3 B. O(2，－3)，r＝2
C. O(－2，3)，r＝2 D. O(2，－3)，r＝3
3. (多選)已知直線l與圓C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M(0，1)，則實(shí)數(shù)a的取值可能為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，則當(dāng)圓的面積最大時(shí)，圓心的坐標(biāo)為________.
5. (2023安徽聯(lián)考)一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)P，Q的距離之比為常數(shù)λ(λ>0且λ≠1)的動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是圓，此圓便是數(shù)學(xué)史上著名的“阿波羅尼斯圓”．基于上述事實(shí)，完成如下問題：
(1) 已知點(diǎn)A1(1，0)，A2(－2，0)，若＝，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
(2) 已知點(diǎn)N在圓(x－3)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A3(－1，0)，探究：是否存在定點(diǎn)A4，使得＝2？若存在，求出定點(diǎn)A4的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【參考答案與解析】
2．4.2　圓的一般方程
【活動(dòng)方案】
1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
思考1：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
思考2：表示的不一定是圓．
(1) 當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，方程表示以(－，－)為圓心，為半徑的圓．
(2) 當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解x＝－，y＝－，表示一個(gè)點(diǎn).
(3) 當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，不表示任何圖形．
2. x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
思考3：略
例1　(1) 因?yàn)?－4)2＋0－4×0＝16>0，所以方程 x2＋y2－4x＝0表示一個(gè)圓，圓心為(2，0)，半徑為2.
(2) 方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0不表示圓．
(3) 因?yàn)?－4)2＋(－2)2－4×5＝0，所以方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示圓．
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0可化成x2＋y2－2x＋3＝0，因?yàn)?－2)2＋0－4×3<0，所以方程2x2＋2y2－4x＋6＝0不表示圓．
例2　設(shè)圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①
因?yàn)镺，M1，M2三點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解．將它們的坐標(biāo)依次代入方程①，得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的一個(gè)三元一次方程組
解這個(gè)方程組，得
所以所求圓的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0.
由前面的討論可知，所求圓的圓心坐標(biāo)是(4，－3)，半徑r＝＝5.
思考4：確定一個(gè)圓的一般方程需要3個(gè)不在一條直線上的點(diǎn)．
思考5：(1) ①若(m－a)2＋(n－b)2>r2，則點(diǎn)A在圓外；
②若(m－a)2＋(n－b)2＝r2，則點(diǎn)A在圓上；
③若(m－a)2＋(n－b)2(2) ①若m2＋n2＋Dm＋En＋F>0，則點(diǎn)A在圓外；
②若m2＋n2＋Dm＋En＋F＝0，則點(diǎn)A在圓上；
③若m2＋n2＋Dm＋En＋F<0，則點(diǎn)A在圓內(nèi)．
例3　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0，y0).由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，3)，且M是線段AB的中點(diǎn)，
所以x＝，y＝，
所以x0＝2x－4，y0＝2y－3.①
因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足圓的方程，
即(x0＋1)2＋y＝4.②
將①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
整理，得＋＝1.
這就是點(diǎn)M的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為1的圓．
【檢測(cè)反饋】
1. A　若方程x2＋y2－3x＋y＋m＝0表示圓，則(－3)2＋12－4m＝10－4m>0，解得m<.因?yàn)閧m|m<2}?，所以 “實(shí)數(shù)m<2”是“方程x2＋y2－3x＋y＋m＝0表示圓”的充分不必要條件．
2. B　圓O的方程x2＋y2－4x＋6y＋5＝0可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝8，所以圓心O的坐標(biāo)為(2，－3)，半徑為2.
3. AB　圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a<5.又因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為M(0，1)，故點(diǎn)M在圓內(nèi)，所以(0＋1)2＋(1－2)2<5－a，解得a<3.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，3).故選AB.
4. (0，－1)　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋(y＋1)2＝－k2＋1，即r2＝1－k2>0，所以 rmax＝1，此時(shí)k＝0，所以圓心為(0，－1).
5. (1) 設(shè)M(x0，y0)，則MA1＝，MA2＝，
又＝＝，
故2(x0－1)2＋2y＝(x0＋2)2＋y，化簡，得x＋y－8x0－2＝0，
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2－8x－2＝0.
(2) 設(shè)N(x0，y0)，A4(m，n)，
故NA3＝，NA4＝.
因?yàn)椋?，所以＝2，
即x＋y－·x0－·y0＋＝0.
因?yàn)辄c(diǎn)N在圓(x－3)2＋y2＝4上，即x＋y－6x0＋5＝0，
所以解得
故存在定點(diǎn)A4(2，0)，使得＝2.

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