資源簡介

(共27張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.4　圓的方程
2.4.3　圓的方程習題課
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 掌握圓的標準方程和一般方程的結構特征．
2. 能根據題目的條件選擇圓的一般方程或標準方程解題．
3. 能靈活運用圓的幾何性質解決問題．
活 動 方 案
活動一　求圓的方程
例1　求以點A(1,2)為圓心，并與x軸相切的圓的方程．
【解析】 因為圓與x軸相切，所以該圓的半徑即為圓心A(1，2)到x軸的距離，即r＝2，所以圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝4.
【解析】 若圓與y軸相切，則圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝1.
思考1
若將例1中“與x軸相切”變為“與y軸相切”，則結果如何？
例2　求經過點P(1,1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標準方程．
活動二　圓的定義的應用
例3　已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3,0)，求：
(1) 直角頂點C的軌跡方程；
(2) 直角邊BC的中點M的軌跡方程．
【解析】 由題意可知M是直角邊BC的中點，取AB的中點D(1,0)，則DM∥AC，所以DM⊥BM，所以點M的軌跡是以BD為直徑的圓(除去點B，D)，所以點M的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
思考2
例3 能否從圓的定義入手探求點M的軌跡方程？
活動三　圓的方程在實際問題中的應用
例4　(2024揭陽期中)如圖，m，n分別為某市兩條互相垂直的主干道所在的直線，其中O為m，n的交點．若A，B兩點分別為該市1路公交車的起點站和終點站，且A，B之間的公交線路是圓心在n上的一段圓弧，站點A到直線m，n的距離分別為1 km和10 km，站點B到直線m，n的距離分別為9 km和6 km.
因為2所以函數f(y)＝2(1－d)y＋d2＋47在區間[1,9]上單調遞減，
所以f(y)min＝f(9)＝d2－18d＋65≥0，解得d≤5或d≥13.
又2即游樂場C距點O距離的最大值為5 km.
檢 測 反 饋
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1. 已知圓的內接正方形相對的兩個頂點為A(5,6)，C(3，－4)，則該圓的方程為(　　)
A. (x＋4)2＋(y－1)2＝26 B. (x－4)2＋(y－1)2＝104
C. (x－4)2＋(y－1)2＝26 D. (x＋4)2＋(y＋1)2＝26
【答案】 C
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2. (2024汕尾期末)已知點A(－1,0)，B(2,0)，動點M到點B的距離是它到點A的距離的2倍，則動點M的軌跡方程是(　　)
A. (x＋3)2＋y2＝3 B. (x＋2)2＋y2＝4
C. x2＋(y－3)2＝3 D. x2＋(y＋2)2＝4
【答案】 B
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【答案】 BD
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4. (2023北京十二中階段練習)由曲線x2＋y2＝x＋|y|圍成的圖形的面積為________.
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5. 在平面直角坐標系Oxy中，已知四點A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3)．
(1) 這四點是否在同一個圓上？如果是，求出這個圓的方程；如果不是，請說明理由；
(2) 求出到點A，B，C，D的距離之和最小的點P的坐標．
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Thank you for watching2．4.3　圓的方程習題課
1. 掌握圓的標準方程和一般方程的結構特征．
2. 能根據題目的條件選擇圓的一般方程或標準方程解題．
3. 能靈活運用圓的幾何性質解決問題．
活動一 求圓的方程
例1　求以點A(1，2)為圓心，并與x軸相切的圓的方程．
思考1
若將例1中“與x軸相切”變為“與y軸相切”，則結果如何？
例2　求經過點P(1，1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標準方程．
活動二　圓的定義的應用　
例3　已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1) 直角頂點C的軌跡方程；
(2) 直角邊BC的中點M的軌跡方程．
思考2
例3能否從圓的定義入手探求點M的軌跡方程？
活動三　圓的方程在實際問題中的應用　
例4　(2024揭陽期中)如圖，m，n分別為某市兩條互相垂直的主干道所在的直線，其中O為m，n的交點．若A，B兩點分別為該市1路公交車的起點站和終點站，且A，B之間的公交線路是圓心在n上的一段圓弧，站點A到直線m，n的距離分別為1 km和10 km，站點B到直線m，n的距離分別為9 km和6 km.
(1) 建立適當的坐標系，求公交線路所在圓弧的方程；
(2) 為了豐富市民的業余生活，市政府決定在主干道n上選址建一游樂場，考慮到城市民居集中區域問題和環境問題，要求游樂場地址(注：地址視為一個點，設為點C)在點O上方，且點C到點O的距離d大于2 km且小于10 km，并要求公交線路(即圓弧AB)上任意一點到游樂場C的距離不小于2 km，求游樂場C距點O距離的最大值．
1. 已知圓的內接正方形相對的兩個頂點為A(5，6)，C(3，－4)，則該圓的方程為(　　)
A. (x＋4)2＋(y－1)2＝26 B. (x－4)2＋(y－1)2＝104
C. (x－4)2＋(y－1)2＝26 D. (x＋4)2＋(y＋1)2＝26
2. (2024汕尾期末)已知點A(－1，0)，B(2，0)，動點M到點B的距離是它到點A的距離的2倍，則動點M的軌跡方程是(　　)
A. (x＋3)2＋y2＝3 B. (x＋2)2＋y2＝4
C. x2＋(y－3)2＝3 D. x2＋(y＋2)2＝4
3. (多選)(2023全國模擬預測)已知A是圓P：(x－1)2＋(y－3)2＝1上任意一點，Q是直線 x＋y－5＝0與x軸的交點，O為坐標原點，則下列結論中正確的是(　　)
A. 以線段AQ為直徑的圓周長最小值為8π
B. △APQ面積的最大值為
C. 以線段AQ為直徑的圓不可能過坐標原點O
D. ·的最大值為25
4. (2023北京十二中階段練習)由曲線x2＋y2＝x＋|y|圍成的圖形的面積為________．
5. 在平面直角坐標系Oxy中，已知四點A(0，1)，B(3，0)，C(1，4)，D(0，3).
(1) 這四點是否在同一個圓上？如果是，求出這個圓的方程；如果不是，請說明理由；
(2) 求出到點A，B，C，D的距離之和最小的點P的坐標．
【參考答案與解析】
2．4.3　圓的方程習題課
【活動方案】
例1　因為圓與x軸相切，所以該圓的半徑即為圓心A(1，2)到x軸的距離，即r＝2，所以圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝4.
思考1：若圓與y軸相切，則圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝1.
例2　設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則解得
所以圓的標準方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
例3　(1) 設點C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.
因為AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化簡，得x2＋y2－2x－3＝0.
故直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
(2) 設點M(x，y)，C(x0，y0).
因為B(3，0), M是線段BC的中點，
由中點坐標公式，得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
將x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
故動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
思考2：由題意可知M是直角邊BC的中點，取AB的中點D(1，0)，則DM∥AC，所以DM⊥BM，所以點M的軌跡是以BD為直徑的圓(除去點B，D)，所以點M的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
例4　(1) 以O為坐標原點，直線m，n分別為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則A(10，1)，B(6，9).設圓弧AB所在圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因為A，B之間的公交線路是圓心在n上的一段圓弧，
所以解得
故公交線路所在圓弧的方程為x2＋(y－1)2＝100(6≤x≤10，1≤y≤9).
(2) 因為游樂場距點O的距離為d(2設P(x，y)為公交線路上任意一點，
則x2＋(y－1)2＝100(6≤x≤10，1≤y≤9)，
即x2＝100－(y－1)2，且PC＝≥2對公交線路上任意點P均成立，
整理，得2(1－d)y＋d2＋47≥0對任意的y∈[1，9]恒成立，
令f(y)＝2(1－d)y＋d2＋47.
因為2所以函數f(y)＝2(1－d)y＋d2＋47在區間[1，9]上單調遞減，
所以f(y)min＝f(9)＝d2－18d＋65≥0，解得d≤5或d≥13.
又2即游樂場C距點O距離的最大值為5km.
【檢測反饋】
1. C　由題意，得圓心為(4，1)，圓的直徑長為 AC＝＝2，半徑長為，所以圓的方程為(x－4)2＋(y－1)2＝26.
2. B　設點M(x，y)，因為A(－1，0)，B(2，0)，且MB＝2MA，所以＝2，整理，得x2＋y2＋4x＝0，即所求動點M的軌跡方程為(x＋2)2＋y2＝4.
3. BD　由題意知，圓P：(x－1)2＋(y－3)2＝1的圓心P(1，3)，半徑r＝1，點Q(5，0)，如圖．易知AQ≥PQ－AP＝4，當且僅當A，Q，P三點共線，且點A在線段PQ上時，等號成立，故以線段AQ為直徑的圓周長最小值為4π，故A錯誤；S△APQ＝PA·PQ sin ∠APQ＝sin ∠APQ，所以當∠APQ＝90°時，△APQ的面積最大，最大值為，故B正確；若以線段AQ為直徑的圓過坐標原點O，則由直徑所對的圓周角為直角，即∠AOQ＝90°，易知當點A在y軸上時，滿足題意，所以以線段AQ為直徑的圓可能過坐標原點O，故C錯誤；設點A(x0，y0)，易知x0∈[0，2]，y0∈[2，4]，則＝(－5，0)，＝(x0－5，y0)，所以·＝25－5x0≤25－5×0＝25，即· 的最大值為25，故D正確．故選BD.
4. ＋　若點P(x，y)在曲線x2＋y2＝x＋|y|上，則x2＋(－y)2＝x＋|－y|，即點P′(x，－y)在曲線上，可知曲線關于x軸對稱．當y≥0時，曲線x2＋y2＝x＋|y|即為x2＋y2＝x＋y，整理，得＋＝，曲線表示圓心為C，半徑為的圓的一部分(圖中陰影部分).令y＝0，得x2＝x，解得x＝0或x＝1，即曲線與x軸的交點為O(0，0)，A(1，0)，則OA＝1，CA＝CO＝，即OA2＝CA2＋CO2，可知∠OCA＝90°，則圖中陰影部分的面積為π×＋××＝＋，根據對稱性可知曲線圍成的圖形的面積為2＝＋.
5. (1) 設經過A，B，C三點的圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r>0，
則解得
所以經過A，B，C三點的圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.
由于(0－2)2＋(3－2)2＝5，故點D也在這個圓上．
故四點A(0，1)，B(3，0)，C(1，4)，D(0，3)都在圓 (x－2)2＋(y－2)2＝5上．
(2) 因為PA＋PC≥AC，當且僅當點P在線段AC上時取等號，
同理可得PB＋PD≥BD，當且僅當點P在線段BD上時取等號，
所以P是AC和BD的交點時，它到點A，B，C，D的距離之和最小．
由題意，得直線AC的方程為y＝3x＋1，直線BD的方程為y＝－x＋3.
聯立解得故點P的坐標為.

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