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第二章
直線和圓的方程
2.5　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
2.5.1　直線與圓的位置關(guān)系(1)
內(nèi)容索引
學(xué)習(xí)目標(biāo)
活動方案
檢測反饋
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1. 能從“數(shù)”和“形”兩個角度判斷直線與圓的位置關(guān)系．
2. 會求直線與圓相切的切線方程和切線長．
3. 體會數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想在位置關(guān)系中的應(yīng)用．
活 動 方 案
活動一　情境導(dǎo)學(xué)
“海上生明月，天涯共此時”表達(dá)了詩人望月懷人的深厚情誼．在海天交于一線的天際，一輪明月慢慢升起，先是探出半個圓圓的小腦袋，然后冉冉上升，和天際線相連，再躍出海面，越來越高，展現(xiàn)著迷人的風(fēng)采．
這個過程中，月亮看作一個圓，海天交線看作一條直線，月出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切和相離．
在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關(guān)系，前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程，圓的方程，已經(jīng)用方程研究兩條直線的位置關(guān)系，下面研究直線與圓的位置關(guān)系．
活動二　直線與圓位置關(guān)系的判斷
例1　求直線4x＋3y＝40和圓x2＋y2＝100的公共點坐標(biāo)，并判斷直線和圓的位置關(guān)系．
例2　求實數(shù)m的取值范圍，使得直線x－my＋3＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0分別滿足：(1) 相交；(2) 相切；(3) 相離．
活動三　求直線和圓相切的切線方程與切線長
例3　過點P(2,1)作圓O：x2＋y2＝1的切線l，求切線l的方程．
變式1　例3中，當(dāng)點P的坐標(biāo)為(1,3)時，求切線l的方程．
變式2　求例3中的切線長．
直線和圓相切的幾何性質(zhì)：
①d＝r；
②圓心、切點、切線上一點構(gòu)成直角三角形；
③切線垂直于過切點的半徑.
檢 測 反 饋
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【答案】 D
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【答案】 D
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3. (多選)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，圓C的方程為x2＋y2－4x＝0.若直線y＝k(x＋1)上存在一點P，使過點P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的取值可以是(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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【答案】 AB
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4. 已知圓x2＋y2＝9，直線l：y＝x＋b，若圓上至少有三個點到直線l的距離等于1，則實數(shù)b的取值范圍是________.
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【解析】 (1) 圓M的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圓心M(3,4)，半徑r＝2.
由點P(3，m)在圓M內(nèi)，得(3－3)2＋(m－4)2<4，解得2所以實數(shù)m的取值范圍為(2,6)．
5. (2024太原期末)已知圓M的方程為x2＋y2－6x－8y＋21＝0，點P(3，m)在圓M內(nèi)．
(1) 求實數(shù)m的取值范圍；
(2) 求過點Q(1,0)，且與圓M相切的直線l的方程．
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謝謝觀看
Thank you for watching2．5　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
2.5.1　直線與圓的位置關(guān)系(1)
1. 能從“數(shù)”和“形”兩個角度判斷直線與圓的位置關(guān)系．
2. 會求直線與圓相切的切線方程和切線長．
3. 體會數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想在位置關(guān)系中的應(yīng)用．
活動一 情境導(dǎo)學(xué)
“海上生明月，天涯共此時”表達(dá)了詩人望月懷人的深厚情誼．在海天交于一線的天際，一輪明月慢慢升起，先是探出半個圓圓的小腦袋，然后冉冉上升，和天際線相連，再躍出海面，越來越高，展現(xiàn)著迷人的風(fēng)采．
這個過程中，月亮看作一個圓，海天交線看作一條直線，月出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切和相離．
在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關(guān)系，前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程，圓的方程，已經(jīng)用方程研究兩條直線的位置關(guān)系，下面研究直線與圓的位置關(guān)系．
活動二　直線與圓位置關(guān)系的判斷　
例1　求直線4x＋3y＝40和圓x2＋y2＝100的公共點坐標(biāo)，并判斷直線和圓的位置關(guān)系．
例2　求實數(shù)m的取值范圍，使得直線x－my＋3＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0分別滿足：(1) 相交；(2) 相切；(3) 相離．
位置關(guān)系 相離 相切 相交
圖示
公共點個數(shù) 0 1 2
判定 方法 幾何法：比較d與r的大小 d>r d＝r d代數(shù)法：依據(jù)方程組 解的情況 Δ<0， 方程組無解， 直線與圓相離 Δ＝0， 方程組只有一解， 直線與圓相切 Δ>0， 方程組有兩組不同的解， 直線與圓相交
活動三 求直線和圓相切的切線方程與切線長
例3　過點P(2，1)作圓O：x2＋y2＝1的切線l，求切線l的方程．
切線方程的求法：
1. 求過圓上一點P(x0，y0)的圓的切線方程，先求切點與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系，得切線斜率為－，由點斜式方程可求得切線方程．若k＝0或斜率不存在，則由圖形可直接得切線方程為y＝y(tǒng)0或x＝x0.
2. 求過圓外一點P(x0，y0)的圓的切線時，常用幾何方法求解．設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，進(jìn)而切線方程即可求出．但要注意，此時的切線有兩條，若求出的k值只有一個時，則另一條切線的斜率一定不存在，可通過數(shù)形結(jié)合求出．
變式1　例3中，當(dāng)點P的坐標(biāo)為(1，3)時，求切線l的方程．
變式2　求例3中的切線長．
直線和圓相切的幾何性質(zhì)：
①d＝r；
②圓心、切點、切線上一點構(gòu)成直角三角形；
③切線垂直于過切點的半徑．
1. (2024焦作期末)若圓C：(x－2)2＋＝a與x軸相切，則實數(shù)a的值為(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 4
2. (2024南京聯(lián)考)若直線y＝kx＋4(k>0)與曲線y＝有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍為(　　)
A. (，＋∞) B. [，＋∞) C. [，2] D. (，2]
3. (多選)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，圓C的方程為x2＋y2－4x＝0.若直線y＝k(x＋1)上存在一點P，使過點P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的取值可以是(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知圓x2＋y2＝9，直線l：y＝x＋b，若圓上至少有三個點到直線l的距離等于1，則實數(shù)b的取值范圍是________．
5. (2024太原期末)已知圓M的方程為x2＋y2－6x－8y＋21＝0，點P(3，m)在圓M內(nèi)．
(1) 求實數(shù)m的取值范圍；
(2) 求過點Q(1，0)，且與圓M相切的直線l的方程．
【參考答案與解析】
2．5　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
2.5.1　直線與圓的位置關(guān)系(1)
【活動方案】
例1　直線4x＋3y＝40和圓x2＋y2＝100的公共點坐標(biāo)就是方程組的解，
解這個方程組，得或
所以公共點的坐標(biāo)為(10，0)，.
因為直線4x＋3y＝40和圓x2＋y2＝100有兩個公共點，所以直線和圓相交．
例2　圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－3)2＋y2＝4，
故圓心(3，0)到直線x－my＋3＝0的距離為d＝，圓的半徑為r＝2.
(1) 若直線與圓相交，則d＜r，即＜2，解得m＜－2或m＞2.
(2) 若直線與圓相切，則d＝r，即＝2，解得m＝2或m＝－2.
(3) 若直線與圓相離，則d＞r，即＞2，解得－2＜m＜2.
例3　方法一：當(dāng)切線斜率不存在時，方程為x＝2，與圓不相切，
所以切線斜率存在．
設(shè)切線方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，
由圓心(0，0)到切線l的距離等于圓的半徑1，
得＝1，解得k＝0或k＝，
所以所求切線l的方程為y＝1或4x－3y－5＝0.
方法二：當(dāng)切線斜率不存在時，方程為x＝2，與圓不相切，所以切線斜率存在．
設(shè)切線方程為y－1＝k(x－2).
因為直線l與圓相切，
所以方程組只有一組解，
消去y并整理，得(k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k＝0，
則Δ＝4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)＝0，解得k＝0或k＝，
所以所求切線l的方程為y＝1或4x－3y－5＝0.
變式1　當(dāng)直線l垂直于x軸時，直線l的方程為x＝1，與圓相切，滿足題意；
當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程為y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0.
因為直線l與圓相切，
所以＝1，解得k＝，
所以所求的直線方程為4x－3y＋5＝0.
綜上，直線l的方程為x＝1或4x－3y＋5＝0.
變式2　因為圓心O為(0，0)，
所以PO＝＝，
切線長為＝＝2.
【檢測反饋】
1. D　由題意，得圓C：(x－2)2＋＝a的圓心為，半徑為(a>0).因為圓C與x軸相切，所以＝a，且a>0，解得a＝4.
2. D　如圖，直線y＝kx＋4(k>0)過定點A(0，4)，曲線y＝與x軸負(fù)半軸交于點B(－2，0)，設(shè)直線AC與曲線(半圓)相切于點C.若直線y＝kx＋4(k>0)與曲線y＝有兩個交點，則kAC0)與半圓x2＋y2＝4(y≥0)相切，則圓心到直線的距離d＝＝2，解得k＝，即kAC＝.綜上，實數(shù)k的取值范圍為(，2].
3. AB　圓C的方程x2＋y2－4x＝0可化為 (x－2)2＋y2＝4，所以圓C的半徑為2.過點P所作的圓的兩條切線相互垂直，所以點P，點C，兩切點構(gòu)成正方形，PC＝2.設(shè)點P(x，y)，則y＝k(x＋1)，圓心到直線y＝k(x＋1)的距離d＝≤2，解得－2≤k≤ 2.故選AB.
4. [－2，2]　由題意，得圓C的圓心為原點O(0，0)，半徑為3.若圓上至少有三個點到直線l的距離等于1，則滿足點O到直線l：y＝x＋b的距離d≤2.因為直線l的一般方程為x－y＋b＝0，所以 d＝≤2，解得－2≤b≤2，即實數(shù)b的取值范圍是[－2，2].
5. (1) 圓M的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圓心M(3，4)，半徑r＝2.
由點P(3，m)在圓M內(nèi)，得(3－3)2＋(m－4)2<4，解得2所以實數(shù)m的取值范圍為(2，6).
(2) 顯然點Q在圓M外．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1，此時圓心M(3，4)到直線x＝1的距離為2，符合題意，
則直線x＝1是過點Q(1，0)的圓M的切線；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，
由＝2，解得k＝，
則直線l的方程為y＝(x－1)，即3x－4y－3＝0.
綜上，過點Q(1，0)，且與圓M相切的直線l的方程為x＝1或3x－4y－3＝0.

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