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第二章
直線和圓的方程
2.5　直線與圓、圓與圓的位置關系
2.5.1　直線與圓的位置關系(2)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 解決直線與圓相切中的切線方程、切線長、切點弦方程等問題．
2. 理解直線與圓相交的弦長問題．
3. 體會數形結合思想及分類討論思想在位置關系中的應用．
活 動 方 案
活動一　直線與圓相切的綜合問題
例1　已知圓x2＋y2＝r2，求經過圓上一點M(x0，y0)的切線方程．
探究：
已知圓O：x2＋y2＝r2(r>0)，當點M(x0，y0)(異于原點)在圓上、圓外時，研究直線l：x0x＋y0y＝r2與圓O的位置關系．
結論：
(1) 過圓x2＋y2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
推論：過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2) 過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B，則切點弦AB的方程為x0x＋y0y＝r2.
例2　已知圓C：(x－2)2＋y2＝2.
(1) 求與圓C相切，且在x軸，y軸上截距相等的直線方程；
(2) 從圓外一點P作圓C的一條切線，切點為M，O為坐標原點，且PM＝PO，求使PM 最小的點P的坐標．
活動二　直線與圓相交的綜合問題
例3　已知直線l：3x＋y－6＝0和圓心為C的圓x2＋y2－2y－4＝0，判斷直線l與圓C的位置關系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長．
1. 直線和圓相交的幾何性質：
①d②圓心、弦的端點、弦的中點構成直角三角形．
2. 弦長公式(A，B為直線與圓的交點)：
例4　已知直線2x＋3y＋1＝0和圓x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B兩點，求弦AB的垂直平分線的方程．
檢 測 反 饋
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1. 已知圓(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數a的值為(　　)
A. －2 B. －4
C. －6 D. －8
【答案】 B
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【答案】 C
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【答案】 BC
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【解析】 (1) 由題意，得直線l恒過定點P(1,1)．
因為12＋(1－1)2<5，所以點P在圓C內，
所以直線l與圓C總有兩個不同的交點．
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謝謝觀看
Thank you for watching2．5.1　直線與圓的位置關系(2)
1. 解決直線與圓相切中的切線方程、切線長、切點弦方程等問題．
2. 理解直線與圓相交的弦長問題．
3. 體會數形結合思想及分類討論思想在位置關系中的應用．
活動一 直線與圓相切的綜合問題
例1　已知圓x2＋y2＝r2，求經過圓上一點M(x0，y0)的切線方程．
探究：
已知圓O：x2＋y2＝r2(r>0)，當點M(x0，y0)(異于原點)在圓上、圓外時，研究直線l：x0x＋y0y＝r2與圓O的位置關系．
結論：
(1) 過圓x2＋y2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
推論：過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2) 過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B，則切點弦AB的方程為x0x＋y0y＝r2.
例2　已知圓C：(x－2)2＋y2＝2.
(1) 求與圓C相切，且在x軸，y軸上截距相等的直線方程；
(2) 從圓外一點P作圓C的一條切線，切點為M，O為坐標原點，且PM＝PO，求使PM 最小的點P的坐標．
活動二　直線與圓相交的綜合問題　
例3　已知直線l：3x＋y－6＝0和圓心為C的圓x2＋y2－2y－4＝0，判斷直線l與圓C的位置關系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長．
　已知過點M(－3，－3)的直線l被圓x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦長為4，求直線l的方程．
1. 直線和圓相交的幾何性質：
①d②圓心、弦的端點、弦的中點構成直角三角形．
2. 弦長公式(A，B為直線與圓的交點)：
①幾何法：AB＝2；
②代數法：計算出兩交點，則
AB＝
＝|x1－x2|
＝|y1－y2|
(注：直線的斜率k存在).
例4　已知直線2x＋3y＋1＝0和圓x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B兩點，求弦AB的垂直平分線的方程．
1. 已知圓(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數a的值為(　　)
A. －2 B. －4 C. －6 D. －8
2. (2024泰安期末)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝kx＋m，若當k的值發生變化時，直線l被圓C所截得的弦長的最小值為2，則實數m的值為(　　)
A. ± B. ± C. ±1 D. ±
3. (多選)(2023成都期末)已知曲線C：y＝，直線l：mx＋y＋2＋2m＝0，A為曲線C上的動點，則下列說法中正確的是(　　)
A. 直線l恒過定點(0，－2)
B. 當m＝－1時，直線l被曲線C截得的弦長為2
C. 若直線l與曲線C有兩個交點，則實數m的范圍為
D. 當m＝1時，點A到直線l距離的最小值為3－2
4. (2023保定期末)已知函數f(x)＝＋2的圖象上有且僅有兩個不同的點關于直線 y＝1的對稱點在y＝－kx＋1的圖象上，則實數k的取值范圍是________．
5. 已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0.
(1) 求證：對任意m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；
(2) 設直線l與圓C交于A，B兩點，若AB＝，求直線l的傾斜角．
【參考答案與解析】
2．5.1　直線與圓的位置關系(2)
【活動方案】
例1　當點M不在坐標軸上時，由x2＋y2＝r2，可知圓心為原點 (0，0)，所以直線OM的斜率k＝.因為所求切線與直線OM垂直，所以切線的斜率為－，所以切線方程為y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝r2.當點M在坐標軸上時，驗證可知上面的方程同樣適用．綜上，所求切線方程為x0x＋y0y＝r2.
探究：①當點M(x0，y0)在圓上時，即x＋y＝r2，圓O的圓心O(0，0)到直線l的距離為d＝＝＝r，故此時直線與圓O相切．
②當點M(x0，y0)在圓外時，即x＋y>r2，圓O的圓心O(0，0)到直線l的距離為d＝＝例2　(1) 由題意，得圓心C的坐標為(2，0)，半徑為.
若切線過原點，則設切線方程為kx－y＝0，
則＝，解得k＝±1，
所以切線方程為x＋y＝0或x－y＝0；
若切線不過原點，則設切線方程為x＋y＋c＝0，
則＝，解得c＝－4或c＝0，
所以切線方程為x＋y－4＝0或x＋y＝0.
綜上，所求切線的方程為x＋y＝0或x－y＝0或x＋y－4＝0.
(2) 設點P的坐標為(x，y).
因為PM＝PO，PM2＋r2＝PC2，
所以x2＋y2＋2＝(x－2)2＋y2，解得x＝，
所以點P的軌跡為直線x＝.
要使PM最小，即使PO最小，
過點O作直線x＝的垂線，垂足為P，
故點P的坐標為.
例3　方法一：聯立直線l與圓C的方程，得
消去y，并整理得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1，
所以直線l與圓C相交，有兩個公共點．
將x1＝2，x2＝1分別代入方程①，得y1＝0，y2＝3，
所以直線l與圓C的兩個交點是A(2，0), B(1，3)，
所以AB＝＝.
方法二：圓C的方程x2＋y2－2y－4＝0可化為x2＋(y－1)2＝5，
因此圓心C的坐標為(0，1)，半徑為，
又圓心C(0，1)到直線l的距離d＝＝<，
所以直線l與圓C相交，有兩個公共點．
如圖，由垂徑定理，得AB＝2＝.
跟蹤訓練　易知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.圓x2＋y2＋4y－21＝0化為標準方程為x2＋(y＋2)2＝25，所以圓心為(0，－2)，半徑為5，所以圓心到直線l的距離為＝.因為直線l被圓x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦長為4，所以(2)2＋＝52，解得k＝2或k＝－，所以直線l的方程為2x－y＋3＝0或x＋2y＋9＝0.
例4　聯立消去x并整理，得13y2＋18y－7＝0，
同理可得13x2－14x－26＝0，
所以AB的中點坐標為，即(，－).
又因為直線AB：2x＋3y＋1＝0的斜率為－，
所以弦AB的垂直平分線的斜率為，
所以弦AB的垂直平分線的方程為y＋＝(x－)，即3x－2y－3＝0.
故弦AB的垂直平分線的方程為3x－2y－3＝0.
【檢測反饋】
1. B　由題意，得圓心為(－1，1)，r＝，則圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝＝＝，且d＝＝，所以＝，解得a＝－4.
2. C　由題意可知，圓C的圓心為原點O，半徑為2，直線l交y軸于點M(0，m)，當直線l與OM垂直，即k＝0時，原點到直線l的距離d取最大值，即 dmax＝OM＝m.因為直線l被圓C所截得的弦長的最小值為2，即2＝2，解得m＝±1.
3. BC　對于A，直線l：mx＋y＋2＋2m＝0變形為m(x＋2)＋y＋2＝0，令解得故直線l過定點(－2，－2)，故A錯誤；對于B，當m＝－1時，直線l：x－y＝0，曲線C：y＝≥0兩邊平方，得(x－2)2＋y2＝4(y≥0)，是以點(2，0)為圓心，2為半徑的上半圓，半圓(x－2)2＋y2＝4(y≥0)與直線l相交，如圖1，圓心(2，0)到直線l的距離為，弦長為 2＝2，故B正確；對于C，由B可知，當m＝－1時，有兩個交點；當≥m>－1時，僅有一個交點；當直線與曲線相切時，點(2，0)到直線的距離為2，如圖2，則＝2，解得m＝0(舍去)或m＝－，所以實數m的范圍為，故C正確；對于D，當m＝1時，直線l：x＋y＋4＝0，如圖3，當A為坐標原點時，距離最小，且最小值為＝2，故D錯誤．故選BC.
圖1 圖2 圖3
4. 　y＝＋2≥2，變形，得(x－2)2＋(y－2)2＝1，故y＝＋2表示的圖象為以點M(2，2)為圓心，1為半徑的上半圓，則y＝＋2關于直線y＝1的對稱圖象也是一個半圓，圓心為N(2，0)，半徑為1，且該圓與x軸交于B(1，0)，Q(3，0)兩點，如圖，直線y＝－kx＋1恒過點A(0，1).設直線y＝－kx＋1與半圓N相切時，切點為C，故當直線斜率－k位于直線AB與直線AC之間(含kAB，不含kAC)時，滿足函數f(x)＝＋2的圖象上有且僅有兩個不同的點關于直線y＝1的對稱點在y＝－kx＋1的圖象上，其中kAB＝＝－1.設直線AC：y＝mx＋1，則＝1，解得m＝－或m＝0(舍去)，則－k∈，解得k∈，故實數k的取值范圍是.
5. (1) 由題意，得直線l恒過定點P(1，1).
因為12＋(1－1)2<5，所以點P在圓C內，
所以直線l與圓C總有兩個不同的交點．
(2) 設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立
消去y并整理，得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0.
則x1＋x2＝，x1x2＝.
因為AB＝|x1－x2|＝·，　
所以＝·，
解得m＝或m＝－，
所以直線l的傾斜角為60°或120°.

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