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(共35張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.5　直線與圓、圓與圓的位置關系
2.5.1　直線與圓的位置關系(3)
內(nèi)容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 綜合運用直線和圓的位置關系解決相關的數(shù)學問題和實際問題．
2. 體會數(shù)形結合思想及分類討論思想在直線與圓的位置關系中的應用．
活 動 方 案
活動一　直線與圓位置關系的綜合應用
例1　已知直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，證明：當m∈R時，直線l與圓C必相交，并求相交弦長的最小值及對應的m的值．
例2　如圖，已知圓O的方程為x2＋y2＝2，M是直線x＝－2上的任意一點，過點M作圓O的兩條切線，切點分別是P，Q，線段PQ的中點為N.
(1) 當點M運動到x軸上時，求出點P，Q的坐標；
(2) 當點M在x軸上方運動且∠PMQ＝60°時，求直線PQ的方程；
(3) 求證：OM·ON＝OP2，并求點N的軌跡方程．
活動二　直線與圓的位置關系的實際應用
例3　如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖．圓拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造時每間隔4 m需用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01 m)．
【解析】 方法一(幾何法)：設圓拱所在圓的圓心為C，半徑為r，連接AC，OC，P2C，過點P2作P2E⊥PC，則A2P2＝OE，P2E＝A2O.由題意易得AO＝10，CO＝r－4.在Rt△AOC中，r2＝(r－4)2＋102，解得r＝14.5.在Rt△P2EC中，r2＝(A2P2＋r－4)2＋22，解得A2P2≈3.86，所以支柱A2P2的高度約為3.86 m.
1. 建立平面直角坐標系的原則：
(1) 若曲線是軸對稱圖形，則可選對稱軸為坐標軸；
(2) 常選特殊點作為直角坐標系的原點．
(3) 盡量使已知點位于坐標軸上．
2. 坐標法和幾何法的特點：
(1) 坐標法：思考量小，直觀簡潔；
(2) 幾何法：思考量大，需作輔助線，多次計算．
例4　一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20 km的圓形區(qū)域內(nèi)．已知小島中心位于輪船正西40 km處，港口位于小島中心正北30 km處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？
用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”：
第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担米鴺撕头匠瘫硎締栴}中的幾何要素，如點、直線、圓，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；
第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；
第三步：將代數(shù)運算的結果“翻譯”成幾何結論．
檢 測 反 饋
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【答案】 C
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【答案】 B
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3. (多選)(2023武漢期中)已知點M在直線l：x＋y＝4上移動，圓O：x2＋y2＝4，直線MP，MQ是圓O的切線，切點為P，Q.設OM∩PQ＝N，則下列說法中正確的是(　　)
A. PQ⊥OM
B. 存在點M，使得∠PMQ＝120°
C. 四邊形OPMQ面積的取值范圍是[4，＋∞)
D. 當點M的坐標為(1,3)時，直線PQ的方程為x＋3y－2＝0
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【答案】 AC
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【答案】 [－2,0)∪(0,2]
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5. (2024玉林期末)如圖，四邊形MNPQ是一塊長方形綠地，MQ＝ 3 km，MN＝2 km，RS是一條直路，交MN于點R，交MQ于點S，且MR＝SQ＝1 km.現(xiàn)在該綠地上建一個標志性建筑物，使建筑物的中心到P，R，S三個點的距離相等．以M為坐標原點，直線MN，MQ分別為x軸，y軸建立如圖所示的直角坐標系．
(1) 求出建筑物的中心C的坐標；
(2) 由建筑物的中心到直路RS要開通一條路，已知
路的造價為150萬元/km，求開通的這條路的最低造價．
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謝謝觀看
Thank you for watching2．5.1　直線與圓的位置關系(3)
1. 綜合運用直線和圓的位置關系解決相關的數(shù)學問題和實際問題．
2. 體會數(shù)形結合思想及分類討論思想在直線與圓的位置關系中的應用．
活動一 直線與圓位置關系的綜合應用
例1　已知直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，證明：當m∈R時，直線l與圓C必相交，并求相交弦長的最小值及對應的m的值．
例2　如圖，已知圓O的方程為x2＋y2＝2，M是直線x＝－2上的任意一點，過點M作圓O的兩條切線，切點分別是P，Q，線段PQ的中點為N.
(1) 當點M運動到x軸上時，求出點P，Q的坐標；
(2) 當點M在x軸上方運動且∠PMQ＝60°時，求直線PQ的方程；
(3) 求證：OM·ON＝OP2，并求點N的軌跡方程．
活動二　直線與圓的位置關系的實際應用　
例3　如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖．圓拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造時每間隔4 m需用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01 m).
1. 建立平面直角坐標系的原則：
(1) 若曲線是軸對稱圖形，則可選對稱軸為坐標軸；
(2) 常選特殊點作為直角坐標系的原點．
(3) 盡量使已知點位于坐標軸上．
2. 坐標法和幾何法的特點：
(1) 坐標法：思考量小，直觀簡潔；
(2) 幾何法：思考量大，需作輔助線，多次計算．
例4　一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20 km的圓形區(qū)域內(nèi)．已知小島中心位于輪船正西40 km處，港口位于小島中心正北30 km處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？
用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”：
第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担米鴺撕头匠瘫硎締栴}中的幾何要素，如點、直線、圓，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；
第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；
第三步：將代數(shù)運算的結果“翻譯”成幾何結論．
1. 圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直線l：x＋y＋1＝0的距離為的點的個數(shù)為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2024益陽期末)若直線y＝kx＋3上存在點P，過點P作圓O：x2＋y2＝4的兩條切線，A，B為切點，滿足·＝0，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A. [－，] B. (－∞，－ ]∪[，＋∞)
C. [－，] D. (－∞，－ ]∪[，＋∞)
3. (多選)(2023武漢期中)已知點M在直線l：x＋y＝4上移動，圓O：x2＋y2＝4，直線MP，MQ是圓O的切線，切點為P，Q.設OM∩PQ＝N，則下列說法中正確的是(　　)
A. PQ⊥OM
B. 存在點M，使得∠PMQ＝120°
C. 四邊形OPMQ面積的取值范圍是[4，＋∞)
D. 當點M的坐標為(1，3)時，直線PQ的方程為x＋3y－2＝0
4. (2024永州期末)已知點A(－2，0)，B(2，0)，若在直線l：y＝a(x－)上至少存在3個不同的點P，使得△PAB為直角三角形，則實數(shù)a的取值范圍為________．
5. (2024玉林期末)如圖，四邊形MNPQ是一塊長方形綠地，MQ＝3 km，MN＝2 km，RS是一條直路，交MN于點R，交MQ于點S，且MR＝SQ＝1 km.現(xiàn)在該綠地上建一個標志性建筑物，使建筑物的中心到P，R，S三個點的距離相等．以M為坐標原點，直線MN，MQ分別為x軸，y軸建立如圖所示的直角坐標系．
(1) 求出建筑物的中心C的坐標；
(2) 由建筑物的中心到直路RS要開通一條路，已知路的造價為150萬元/km，求開通的這條路的最低造價．
(附：參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.732，≈2.24.)
【參考答案與解析】
2．5.1　直線與圓的位置關系(3)
【活動方案】
例1　直線l的方程整理為(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
令解得
所以直線l過定點(3，1).
又因為(3－1)2＋(1－2)2<25，
所以點(3，1)在圓C內(nèi)，
所以直線l與圓C必相交．
圓心(1，2)與定點(3，1)的連線l1的斜率k＝－，兩點間的距離d＝.
當l1⊥l時，直線l與圓C相交的弦長最小，
則－＝2，解得m＝－，
所以相交弦長的最小值為2＝4，
即相交弦長的最小值為4，對應的m的值為－.
例2　(1) 當點M運動到x軸上時，OP＝，OM＝2.
由OP⊥MP，得MP＝＝OP，
所以直線PQ垂直平分線段OM，
所以點P，Q的橫坐標為－1.
因為點P，Q在圓x2＋y2＝2上，
所以點P的坐標為(－1，1)，點Q的坐標為(－1，－1).
(2) 連接OM，OP，OQ，則點N在OM上．
設點M的坐標為(－2，m)(m>0).
因為∠PMQ＝60°，
所以∠OMP＝30°，則OM＝2OP＝2，
所以＝2，解得m＝2，
所以點M的坐標為(－2，2)，
所以直線OM的斜率為－1.
因為OP＝OQ，MP＝MQ，
所以PQ⊥OM，所以直線PQ的斜率為1.
設直線PQ的方程為y＝x＋b，又∠OMP＝30°，
所以∠POM＝60°，ON＝OP＝，
即點O(0，0)到直線PQ的距離為，
所以＝，解得b＝1或b＝－1(舍去)，
所以直線PQ的方程為x－y＋1＝0.
(3) 設點N的坐標為(x，y)(x<0)，點M的坐標為(－2，n).
連接OM，OP，OQ，則點N在OM上．
由(2)知PQ⊥OM.
又OP⊥MP，所以△PNO∽△MPO，
所以＝，即OM·ON＝OP2，
所以·＝2.①
由∥，得nx＝－2y，即n＝－(x≠0)，②
將②代入①，得x2＋y2＝|x|.
因為x<0，
所以點N的軌跡方程為x2＋y2＋x＝0(x<0).
例3　方法一(幾何法)：設圓拱所在圓的圓心為C，半徑為r，連接AC，OC，P2C，過點P2作P2E⊥PC，則A2P2＝OE，P2E＝A2O.由題意易得AO＝10，CO＝r－4.在Rt△AOC中，r2＝(r－4)2＋102，解得r＝14.5.在Rt△P2EC中，r2＝(A2P2＋r－4)2＋22，解得A2P2≈3.86，所以支柱A2P2的高度約為3.86m.
方法二(坐標法)：
建立如圖所示的直角坐標系，使線段AB所在直線為x軸，O為坐標原點，圓心在y軸上，由題意，得點P, B的坐標分別為(0, 4), (10, 0).設圓心坐標是(0, b)，圓的半徑是r，那么圓的方程是
x2＋(y－b)2＝r2.
下面確定b和r的值．
因為P，B兩點都在圓上，所以它們的坐標(0, 4), (10, 0)都滿足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是，得到方程組
解得
所以圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.
將點P2的橫坐標x＝－2代入圓的方程，得
(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，
即y＋10.5＝(點P2的坐標y>0，平方根取正值)，
所以y＝－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m).
故支柱A2P2的高度約為3.86m.
例4　以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標系．為了運算的簡便，我們?nèi)?0 km為單位長度，則港口所在位置的坐標為(0，3), 輪船所在位置的坐標為(4，0).
這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應的圓的方程為x2＋y2＝4.
輪船航線所在直線l的方程為＋＝1，即3x＋4y－12＝0.
聯(lián)立直線l與圓O的方程，得
消去y并整理，得25x2－72x＋80＝0.
由Δ＝(－72)2－4×25×80<0，可知方程組無解，
所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返港不會有觸礁危險.
【檢測反饋】
1. C　圓的一般方程化為標準方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，則圓心坐標為(－1，－2)，半徑為2，圓心到直線l的距離為＝，所以和直線l平行的圓的直徑的兩個端點及直線l上方且與直線l平行的圓的切線的切點到直線l的距離都為，即圓上有3個點滿足題意．
2. B　如圖，由題意，得圓心O(0，0)，半徑r＝2.設PO＝d.令∠APO＝α，則sin ∠APO＝sin α＝.因為·＝0，所以2α＝，即α＝，所以d＝2，即PO＝2，所以滿足條件的點P的軌跡為x2＋y2＝8.又點P在直線y＝kx＋3上，所以直線y＝kx＋3與圓x2＋y2＝8有交點，則≤2，即k2≥，解得k≥或k≤－，所以實數(shù)k的取值范圍是∪.
3. AC　對于A，連接OP，OQ，因為MP，MQ為圓的切線，所以OP⊥MP，OQ⊥MQ，OP＝OQ，OM＝OM，所以△MPO≌△MQO，所以OM⊥PQ，故A正確；對于B，sin ∠PMO＝＝，則當OM最小時，∠PMO最大，即∠PMQ＝2∠PMO最大，當OM⊥l時，此時OM最小，OM＝＝2，所以sin ∠PMO≤＝，可得∠PMO≤45°，即∠PMQ≤90°，故B錯誤；對于C，四邊形OPMQ的面積S四邊形OPMQ＝2S△OPM＝2MP，又MP2＝OM2－OP2＝OM2－4，且OM≥2，所以MP≥2，所以S四邊形OPMQ≥4，即四邊形OPMQ面積的取值范圍是[4，＋∞)，故C正確；對于D，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，利用圓的切線方程，得到切線PM：xx1＋yy1＝4，MQ：xx2＋yy2＝4，將點M(1，3)代入，得x1＋3y1＝4，x2＋3y2＝4，所以過P，Q兩點的直線為x＋3y－4＝0，故D錯誤．故選AC.
4. [－2，0)∪(0，2]　當a＝0時，A，B，P三點共線，構不成三角形，故a≠0；如圖，若△PAB是直角三角形，則有三種情況：當A是直角頂點時，直線l上有唯一點P1滿足條件；當B是直角頂點時，直線l上有唯一點P2滿足條件；當P是直角頂點時，此時至少有一個點P滿足條件．由直徑所對的圓周角是直角，得直線l和以AB為直徑的圓有公共點即可，以AB為直徑的圓為x2＋y2＝4，圓心為(0，0)，半徑r＝2，所以≤2，解得－2≤a≤2，且a≠0，所以實數(shù)a的取值范圍是[－2，0)∪(0，2].
5. (1) 方法一：由題意，得R(1，0)，S(0，2)，P(2，3)，
且經(jīng)過點R，S，P的圓的圓心即為所建建筑物的中心C.
設圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則解得
所以圓C的方程為x2＋y2－3x－3y＋2＝0，
即＋＝，
所以建筑物的中心的坐標為C.
方法二：由題意，得R(1，0)，S(0，2)，P(2，3)，
且經(jīng)過點R，S，P的圓的圓心C即為所建建筑物的中心．
因為線段SP的中點為，且kSP＝，所以線段SP的垂直平分線的直線方程為y＝－2x＋.
因為線段RS的中點為，且kRS＝－2，所以線段RS的垂直平分線的直線方程為y＝x＋，
聯(lián)立得
所以建筑物的中心的坐標為C.
(2) 因為C為建筑物的中心坐標，
設線段RS的中點為H，由垂徑定理，得CH的長度即為點C到RS的最小距離．
因為RS＝＝，圓C的半徑為，
所以點C到RS的距離為＝，
所以開通的這條路的最低造價為×150＝75≈75×2.24＝168(萬元).

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