資源簡介

(共35張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.5　直線與圓、圓與圓的位置關系
2.5.2　圓與圓的位置關系
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 掌握圓與圓的位置關系及判定方法．
2. 能根據圓的方程判斷圓與圓的位置關系．
3. 能綜合應用圓與圓的位置關系解決問題．
活 動 方 案
活動一　圓與圓的位置關系
1. 情境導學
日食是一種天文現象，在民間稱此現象為天狗食日．日食只在月球與太陽呈現合的狀態時發生．日食分為日偏食、日全食、日環食、全環食．
我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關系是怎樣的？
前面我們運用直線的方程，圓的方程研究了直線與圓的位置關系，現在我們類比上述研究方法，運用圓的方程，通過定量計算研究圓與圓的位置關系．
2. 探究：圓與圓的位置關系
(1) 幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
d與r1，r2的關系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|(2) 代數法：通過兩圓的方程組成方程組的公共解的個數進行判斷．
活動二　判斷圓與圓的位置關系
例1　已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，試判斷圓C1與圓C2的位置關系．
把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.④
方程④的根的判別式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，
所以方程④有兩個不相等的實數根x1，x2.
把x1，x2分別代入方程③，得到y1，y2.
因此圓C1與圓C2有兩個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，這兩個圓相交．
【解析】 將圓C1的方程化為標準方程，得(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓心為C1(m，－2)，半徑r1＝3.將圓C2的方程化為標準方程，得(x＋1)2＋(y－m)2＝4，圓心為C2(－1，m)，半徑r2＝2.
例2　已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.
(1) 當m為何值時，圓C1與圓C2外切？
(2) 當m為何值時，圓C1與圓C2內含？
判斷圓與圓的位置關系的兩種方法：
(1) 幾何法：利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較，得到兩圓的位置關系；
(2) 代數法：把兩圓位置關系的判定完全轉化為代數問題，轉化為方程組的解的組數問題.
活動三　圓與圓的位置關系的綜合應用
例4　求過點A(0,6)且與圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點的圓的方程．
例5　已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．
例6　求過兩圓x2＋y2＋6x－4＝0和 x2＋y2＋6y－28＝0的交點，且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．
【解析】 經過兩圓交點的圓有無數個，這些圓中，任意兩個圓的方程相減，所得的方程均為這兩個交點所在直線的方程．
思考
經過兩圓交點的圓有多少個？它們的方程有什么共同特點？
相交弦及圓系方程問題的解決
1. 求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數相同時，才能如此求解，否則應先調整系數．
2. 求兩圓公共弦長的方法：一是聯立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解．
3. 已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
檢 測 反 饋
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1. (2024蚌埠期末)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－8x－6y＋m＝0內切，則實數m的值為(　　)
A. 29 B. 9
C. －11 D. 19
【答案】 C
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【答案】 A
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3. (多選)已知圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交點為A，B，則下列結論中正確的是(　　)
A. 公共弦AB所在直線的方程為x－y＝0
B. 線段AB的中垂線方程為x＋y－1＝0
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【答案】 ABD
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4. (2024長沙一模)已知點A(4,1)，B(2,2)，C(0,3)，若在圓x2＋y2＝r2(r>0)上存在點P滿足 PA2＋PB2＋PC2＝13，則實數r的取值范圍是________.
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5. 已知線段AB的端點B的坐標是(4,2)，端點A在圓C：(x＋2)2＋y2＝16上運動．
(1) 求線段AB的中點的軌跡H的方程；
(2) 判斷(1)中軌跡H與圓C的位置關系．
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謝謝觀看
Thank you for watching2．5.2　圓與圓的位置關系
1. 掌握圓與圓的位置關系及判定方法．
2. 能根據圓的方程判斷圓與圓的位置關系．
3. 能綜合應用圓與圓的位置關系解決問題．
活動一　圓與圓的位置關系　
1. 情境導學
日食是一種天文現象，在民間稱此現象為天狗食日．日食只在月球與太陽呈現合的狀態時發生．日食分為日偏食、日全食、日環食、全環食．
我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關系是怎樣的？
前面我們運用直線的方程，圓的方程研究了直線與圓的位置關系，現在我們類比上述研究方法，運用圓的方程，通過定量計算研究圓與圓的位置關系．
2. 探究：圓與圓的位置關系
(1) 幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
d與r1，r2的關系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|(2) 代數法：通過兩圓的方程組成方程組的公共解的個數進行判斷．
活動二　判斷圓與圓的位置關系　
例1　已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，試判斷圓C1與圓C2的位置關系．
例2　已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.
(1) 當m為何值時，圓C1與圓C2外切？
(2) 當m為何值時，圓C1與圓C2內含？
例3　已知圓O的直徑AB＝4，動點M與點A的距離是它與點B的距離的倍．試探究點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關系．
判斷圓與圓的位置關系的兩種方法：
(1) 幾何法：利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較，得到兩圓的位置關系；
(2) 代數法：把兩圓位置關系的判定完全轉化為代數問題，轉化為方程組的解的組數問題．
活動三　圓與圓的位置關系的綜合應用　
例4　求過點A(0，6)且與圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點的圓的方程．
例5　已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．
例6　求過兩圓x2＋y2＋6x－4＝0和 x2＋y2＋6y－28＝0的交點，且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．
思考
經過兩圓交點的圓有多少個？它們的方程有什么共同特點？
相交弦及圓系方程問題的解決
1. 求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數相同時，才能如此求解，否則應先調整系數．
2. 求兩圓公共弦長的方法：一是聯立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解．
3. 已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
1. (2024蚌埠期末)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－8x－6y＋m＝0內切，則實數m的值為(　　)
A. 29 B. 9 C. －11 D. 19
2. (2024延慶期末)已知圓x2＋y2＝4上的一點A和圓x2＋y2－4x－4y＝0上的一點B，則AB的最大值為(　　)
A. 2＋4 B. 2＋2 C. 4 D. 2
3. (多選)已知圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交點為A，B，則下列結論中正確的是(　　)
A. 公共弦AB所在直線的方程為x－y＝0
B. 線段AB的中垂線方程為x＋y－1＝0
C. 公共弦AB的長為
D. 若P為圓O1上一動點，則點P到直線AB距離的最大值為＋1
4. (2024長沙一模)已知點A(4，1)，B(2，2)，C(0，3)，若在圓x2＋y2＝r2(r>0)上存在點P滿足 PA2＋PB2＋PC2＝13，則實數r的取值范圍是________．
5. 已知線段AB的端點B的坐標是(4，2)，端點A在圓C：(x＋2)2＋y2＝16上運動．
(1) 求線段AB的中點的軌跡H的方程；
(2) 判斷(1)中軌跡H與圓C的位置關系．
【參考答案與解析】
2．5.2　圓與圓的位置關系
【活動方案】
例1　方法一：將圓C1與圓C2的方程聯立，得到方程組
①－②，得x＋2y－1＝0，　 ③
由③，得y＝.
把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.④
方程④的根的判別式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，
所以方程④有兩個不相等的實數根x1，x2.
把x1，x2分別代入方程③，得到y1，y2.
因此圓C1與圓C2有兩個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，這兩個圓相交．
方法二：把圓C1的方程化成標準方程，得
(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
圓C1的圓心是(－1，－4)，半徑r1＝5.
把圓C2的方程化成標準方程，得
(x－2)2＋(y－2)2＝10，
圓C2的圓心是(2，2)，半徑r2＝.
圓C1與圓C2的圓心距為
＝3.
圓C1與圓C2的兩半徑長之和r1＋r2＝5＋，兩半徑長之差r1－r2＝5－.
因為5－<3<5＋，即r1－r2<3例2　將圓C1的方程化為標準方程，得(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓心為C1(m，－2)，半徑r1＝3.將圓C2的方程化為標準方程，得(x＋1)2＋(y－m)2＝4，圓心為C2(－1，m)，半徑r2＝2.
(1) 若圓C1與圓C2外切，則C1C2＝r1＋r2＝5，
即＝5，整理，得m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5，故當m＝2或m＝－5時，圓C1與圓C2外切．
(2) 若圓C1與圓C2內含，則C1C2<|r1－r2|＝1，
即<1，整理，得m2＋3m＋2<0，解得－2例3　如圖，以線段AB的中點O為原點，AB 所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系．由AB＝4，得A(－2, 0)，B(2，0).
設點M的坐標為(x, y)，由MA＝MB，得
＝×，
化簡，得x2－12x＋y2＋4＝0，即(x－6)2＋y2＝32，
所以點M的軌跡是以P(6，0)為圓心，半徑為4的一個圓．
因為兩圓的圓心距為PO＝6，兩圓的半徑分別為r1＝2，r2＝4.
又r2－r1所以點M的軌跡與圓O相交．
例4　將圓C的方程化為標準方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，所以圓心為C(－5，－5)，半徑為5，
所以經過此圓心和原點的直線方程為x－y＝0.
設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由題意知，點O(0，0)，A(0，6)在此圓上，且圓心M(a，b)在直線x－y＝0上，
則解得
所以所求圓的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
例5　設兩圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點的坐標滿足方程組
①－②，得3x－4y＋6＝0.
因為A，B兩點的坐標都滿足此方程，
所以3x－4y＋6＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程．
易知圓C1的圓心(－1，3)，半徑r＝3.
又圓心C1到直線的距離d＝＝，
所以AB＝2＝，即兩圓的公共弦長為.
例6　由題意可求得兩圓連心線所在直線的方程為x＋y＋3＝0，公共弦所在直線的方程為x－y＋4＝0.
由得所求圓的圓心為.
利用弦心距、弦長、半徑之間的關系可求得公共弦長d＝5，
所以r2＝＋()2＝，
所以所求圓的方程為＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
思考：經過兩圓交點的圓有無數個，這些圓中，任意兩個圓的方程相減，所得的方程均為這兩個交點所在直線的方程．
【檢測反饋】
1. C　由圓C1：x2＋y2＝1，得圓心C1(0，0)，半徑r1＝1.圓C2：x2＋y2－8x－6y＋m＝0可化為(x－4)2＋(y－3)2＝25－m>0，可得圓心C2(4，3)，半徑r2＝>0, 所以C1C2＝＝5.由圓C1圓C2內切，所以C1C2＝|r1－r2|，即5＝|－1|，解得m＝－11.
2. A　易知圓x2＋y2＝4的圓心為原點(0，0)，半徑r1＝2.圓x2＋y2－4x－4y＝0可化為(x－2)2＋(y－2)2＝8，可得圓心為(2，2)，半徑r2＝2，兩圓的圓心距為d＝＝2∈(2－2，2＋2)，所以兩圓相交，故ABmax＝d＋r1＋r2＝4＋2.
3. ABD　對于A，由圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交點為A，B，兩式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直線的方程為x－y＝0，故A正確；對于B，圓O1：x2＋y2－2x＝0的圓心為(1，0)，kAB＝1，則線段AB中垂線的斜率為－1，即線段AB的中垂線方程為y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正確；對于C，圓O1：x2＋y2－2x＝0，圓心O1(1，0)到直線x－y＝0的距離為d＝＝，半徑r＝1, 所以AB＝2×＝，故C不正確；對于D，P為圓O1上一動點，圓心O1(1，0)到直線x－y＝0的距離為 d＝，半徑r＝1，故點P到直線AB距離的最大值為＋1，故D正確．故選ABD.
4. [2－1，2＋1]　設P(x，y)，將坐標代入PA2＋PB2＋PC2＝13，可得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝1，則點P的軌跡是以點(2，2)為圓心，1為半徑的圓．由題意，得兩圓有公共點，則|r－1|≤2≤r＋1，解得2－1≤r≤2＋1.
5. (1) 設點A(x0，y0)，AB的中點H(x，y)，
則所以
代入圓C：(x＋2)2＋y2＝16，
可得圓H：(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2) 由題意，得圓心C為(－2，0)，半徑r1＝4，
由(1)，得圓心H為(1，1)，半徑r2＝2，
則圓心距為d＝＝.
因為r1－r2所以兩個圓相交，即(1)中軌跡H與圓C的位置關系為相交．

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