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(共38張PPT)
第二章
直線和圓的方程
2.5　直線與圓、圓與圓的位置關系
2.5.3　圓的綜合應用
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 理解圓的方程，掌握圓的幾何性質的應用．
2. 理解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系及其綜合應用．
3. 體會數形結合、曲線與方程思想的綜合應用．
活 動 方 案
活動一　與圓有關的最值問題
例1　已知實數x，y滿足方程(x－2)2＋y2＝3.求：
(2) y－x的最大值和最小值；
(3) x2＋y2的最大值和最小值．
已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)為圓C上任意一點．求：
例2　若P是直線2x＋y＋10＝0上的動點，PA，PB與圓x2＋y2＝4分別相切于A，B兩點，則四邊形PAOB面積的最小值為________.
【答案】 8
求面積的最值問題往往轉化為距離的最值問題．
已知P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則實數k的值為________.
【答案】 2
活動二　直線與圓的方程的實際應用
例3　設有半徑長為3 km的圓形村落，甲、乙兩人同時從村落中心出發，甲向東前進而乙向北前進，甲離開村落后不久，改變前進方向，斜著沿切于村落邊界的方向前進，后來恰好與乙相遇．設甲、乙兩人的速度都一定，且其速度比為3∶1，問：甲、乙兩人在何處相遇？
坐標法是研究與平面圖形有關的實際問題的有效手段，因此要建立適當的平面直角坐標系，用直線與圓的方程解決問題．建立平面直角坐標系時要盡可能有利于簡化運算．
為適應市場需要，某地準備建一個圓形生豬儲備基地(如圖)，它的附近有一條公路，從基地中心O向東走1 km是儲備基地的邊界上的點A，接著向東再走7 km到達公路上的點B，從基地中心O向北走 8 km到達公路的另一點C.現準備在儲備基地的邊界上選一點D，修建一條由點D通往公路BC的專用線DE，求DE的最短距離．
活動三　過交點的圓系方程
例4　求過直線x＋3y－7＝0與圓x2＋y2＋2x－2y－3＝0的交點且在兩坐標軸上的四個截距之和為－8的圓的方程．
【解析】 設過直線與圓的交點的圓的方程為(x2＋y2＋2x－2y－3)＋λ(x＋3y－7)＝0，
即x2＋y2＋(2＋λ)x＋(3λ－2)y－3－7λ＝0.
令y＝0，得x2＋(2＋λ)x－3－7λ＝0，
所以圓在x軸上的兩個截距之和為－2－λ.
令x＝0，得y2＋(3λ－2)y－3－7λ＝0，
所以圓在y軸上的兩個截距之和為2－3λ.
由題意，得－2－λ＋2－3λ＝－8，解得λ＝2.
故所求圓的方程為x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.
利用圓系方程求解有關圓的問題的基本思路：設所求圓的方程為圓系方程，根據已知條件建立關于參數λ的方程f(λ)＝0，根據題意解出λ并代入圓系方程即可(從實質上講這是待定系數法)．利用圓系方程的優點是避免解方程組求交點的麻煩，能簡化運算，但要注意不要多解或漏解．
對于任意實數λ，曲線(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(6－4λ)x－16－6λ＝0恒過定點________.
【答案】 (1,3)和(1，－3)
檢 測 反 饋
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1. 已知實數x，y滿足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，則x2＋y2的最大值為(　　)
【答案】 C
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2. (2024大慶鐵人中學期末)已知圓M：(x＋4)2＋y2＝4與直線l：x＋y－2＝0，點P在直線l上運動，直線PA，PB分別與圓M相切于點A，B，則下列說法中正確的是(　　)
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【答案】 B
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3. (多選)(2024廣州階段練習)已知點P在圓(x－1)2＋y2＝1上，點 A(－2,0)，B(0,2)，則下列結論中正確的是(　　)
A. △ABP的面積大于1
B. △ABP的面積小于4
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【答案】 ACD
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謝謝觀看
Thank you for watching2．5.3　圓的綜合應用
1. 理解圓的方程，掌握圓的幾何性質的應用．
2. 理解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系及其綜合應用．
3. 體會數形結合、曲線與方程思想的綜合應用．
活動一 與圓有關的最值問題
例1　已知實數x，y滿足方程(x－2)2＋y2＝3.求：
(1) 的最大值和最小值；
(2) y－x的最大值和最小值；
(3) x2＋y2的最大值和最小值．
與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型：
(1) 形如u＝的最值問題，可轉化為過點(x，y)和點(a，b)的動直線斜率的最值問題．
(2) 形如l＝ax＋by的最值問題，可轉化為動直線y＝－x＋截距的最值問題．
(3) 形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．
　已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)為圓C上任意一點．求：
(1) 的最大值與最小值；
(2) x－2y的最大值與最小值．
例2　若P是直線2x＋y＋10＝0上的動點，PA，PB與圓x2＋y2＝4分別相切于A，B兩點，則四邊形PAOB面積的最小值為________．
求面積的最值問題往往轉化為距離的最值問題．
　已知P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則實數k的值為________．
活動二 直線與圓的方程的實際應用
例3　設有半徑長為3 km的圓形村落，甲、乙兩人同時從村落中心出發，甲向東前進而乙向北前進，甲離開村落后不久，改變前進方向，斜著沿切于村落邊界的方向前進，后來恰好與乙相遇．設甲、乙兩人的速度都一定，且其速度比為3∶1，問：甲、乙兩人在何處相遇？
坐標法是研究與平面圖形有關的實際問題的有效手段，因此要建立適當的平面直角坐標系，用直線與圓的方程解決問題．建立平面直角坐標系時要盡可能有利于簡化運算．
　為適應市場需要，某地準備建一個圓形生豬儲備基地(如圖)，它的附近有一條公路，從基地中心O向東走1 km是儲備基地的邊界上的點A，接著向東再走7 km到達公路上的點B，從基地中心O向北走8km到達公路的另一點C.現準備在儲備基地的邊界上選一點D，修建一條由點D通往公路BC的專用線DE，求DE的最短距離．
活動三　過交點的圓系方程　
例4　求過直線x＋3y－7＝0與圓x2＋y2＋2x－2y－3＝0的交點且在兩坐標軸上的四個截距之和為－8的圓的方程．
利用圓系方程求解有關圓的問題的基本思路：設所求圓的方程為圓系方程，根據已知條件建立關于參數λ的方程f(λ)＝0，根據題意解出λ并代入圓系方程即可(從實質上講這是待定系數法).利用圓系方程的優點是避免解方程組求交點的麻煩，能簡化運算，但要注意不要多解或漏解．
　對于任意實數λ，曲線(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(6－4λ)x－16－6λ＝0恒過定點________．
1. 已知實數x，y滿足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，則x2＋y2的最大值為(　　)
A. 15 B. 14 C. 14＋6 D.
2. (2024大慶鐵人中學期末)已知圓M：(x＋4)2＋y2＝4與直線l：x＋y－2＝0，點P在直線l上運動，直線PA，PB分別與圓M相切于點A，B，則下列說法中正確的是(　　)
A. 四邊形PAMB面積的最小值為
B. 當PA最短時，弦AB的長為
C. 當PA最短時，弦AB的直線方程為3x＋3y－8＝0
D. 直線AB過定點
3. (多選)(2024廣州階段練習)已知點P在圓(x－1)2＋y2＝1上，點A(－2，0)，B(0，2)，則下列結論中正確的是(　　)
A. △ABP的面積大于1
B. △ABP的面積小于4
C. 當∠PBA最小時，sin ∠PBA＝
D. 當∠PBA最大時，sin ∠PBA＝
4. 已知圓C的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝1，過直線l：3x＋ay－5＝0(a>0)上任意一點作圓C的切線，若切線長的最小值為，則直線l的斜率為________．
5. (2024南京期末)已知圓C的圓心在直線y＝x上，且圓C經過點A(1，)與直線x＋y－2＝0相切．
(1) 求圓C的標準方程；
(2) 若直線l：y＝k(x＋3)與圓C相交于M，N兩點，且滿足________，求實數k的值．
在下面三個條件中任選一個，補充在上面橫線中，并解答．
①·＝2；②△CMN為正三角形；③直線l將圓C分成的兩段弧的弧長之比為1∶5.
【參考答案與解析】
2．5.3　圓的綜合應用
【活動方案】
例1　原方程表示以點(2，0)為圓心，為半徑的圓．
(1) 設＝k，即y＝kx，則當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取得最大值和最小值，此時＝，解得k＝±，故的最大值為，最小值為－.
(2) 設y－x＝b，即y＝x＋b，則當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時＝，即b＝－2±，故y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.
(3) x2＋y2表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，它在原點與圓心所在的直線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．又圓心到原點的距離為2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
跟蹤訓練　(1) 由題意，得圓心C(－2，0)，半徑r＝1.顯然可以看作是點P(x，y)與點Q(1，2)連線的斜率，令k＝，如圖所示，則其最大值、最小值分別是過點Q(1，2)的圓C的兩條切線的斜率．將上式整理，得kx－y－k＋2＝0，所以＝1，解得k＝，故的最大值是，最小值是.
(2) 令u＝x－2y，則當直線與圓C相切時，u取得最大值和最小值．
由題意，得＝1，解得u＝－2±，
故x－2y的最大值是－2＋，最小值是 －2－.
例2　8　如圖，因為S四邊形PAOB＝2S△POA，又OA⊥AP，所以S四邊形PAOB＝2××OA×PA＝OA×＝2.為使四邊形PAOB的面積最小，當且僅當OP取到最小值，即點O到直線2x＋y＋10＝0的距離最小，因為OPmin＝＝2.故所求最小值為2＝8.
跟蹤訓練　2　圓C：x2＋y2－2y＝0的圓心為(0，1)，半徑r＝1.由圓的性質知S四邊形PACB＝2S△PBC.因為四邊形PACB的最小面積是2，所以S△PBC的最小值為1，則×1×dmin＝1(d為切線長)，所以dmin＝2，所以PCmin＝.因為圓心到直線kx＋y＋4＝0(k>0)的距離就是PC的最小值，所以PCmin＝＝.因為k>0，所以k＝2.
例3　以村落中心為坐標原點，以東西方向為x軸，南北方向為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
設甲向東走到點D轉向到點C恰好與乙相遇，CD所在直線的方程為＋＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度為v，則甲的速度為3v.
依題意，有解得
所以當乙向北前進3.75 km時，甲、乙兩人相遇．
跟蹤訓練　以O為坐標原點，以OB，OC所在直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標系，則圓O的方程為x2＋y2＝1.因為點B(8，0)，C(0，8)，所以直線BC的方程為＋＝1，即x＋y＝8.當O，D，E三點共線，且OE⊥BC時，DE最短，所以DE的最短距離為－1＝4－1(km).
例4　設過直線與圓的交點的圓的方程為
(x2＋y2＋2x－2y－3)＋λ(x＋3y－7)＝0，
即x2＋y2＋(2＋λ)x＋(3λ－2)y－3－7λ＝0.
令y＝0，得x2＋(2＋λ)x－3－7λ＝0，
所以圓在x軸上的兩個截距之和為－2－λ.
令x＝0，得y2＋(3λ－2)y－3－7λ＝0，
所以圓在y軸上的兩個截距之和為2－3λ.
由題意，得－2－λ＋2－3λ＝－8，解得λ＝2.
故所求圓的方程為x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.
跟蹤訓練　(1，3)和(1，－3)　將(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(6－4λ)x－16－6λ＝0變形為λ(x2＋y2－4x－6)＋(x2＋y2＋6x－16)＝0，則解得則曲線恒過定點(1，3)和(1，－3).
【檢測反饋】
1. C　由題意知，圓(x＋2)2＋(y－1)2＝9的圓心為(－2，1)，半徑r＝3.圓心(－2，1)到坐標原點(0，0)的距離為＝，故x2＋y2的最大值為(3＋)2＝14＋6.
2. B　對于A，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，即S四邊形PAMB＝S△MPA＋S△MPB＝2S△MPA＝2××PA×AM＝2PA＝2＝2，所以當MP最短時，△MPA的面積最小，故當MP⊥l時，MP最短，即MPmin＝＝3，所以S四邊形PAMB＝2＝2，故A錯誤；由上述可知，當MP⊥l時，MP最短，故PA最小，且最小值為PA＝＝，所以AB＝2AM×sin ∠AMP＝2AM·＝2×2×＝，故B正確；當PA最短時，則MP⊥l，又MP⊥AB，所以l∥AB，kl＝－1，所以kAB＝－1，可設AB的直線方程為x＋y＋m＝0，所以圓心M(－4，0)到直線AB的距離d＝＝＝，解得m＝或m＝，由于直線AB在圓心M(－4，0)的右側，且在直線l的左側，所以－4<－m<2，即－23. ACD　由A(－2，0)，B(0，2)可得直線AB方程為y＝x＋2，故圓心(1，0)到直線AB的距離為d0＝，故圓上任意的一點到直線AB的距離d∈[d0－r，d0＋r]，即d∈[－1，＋1]，S△ABP＝AB·d＝×2d＝d∈[3－，3＋]，由于3－>1，3＋>4，故A正確，B錯誤；要使∠PBA取到最值，則PB與圓相切，故當PB無斜率時，點P與坐標原點O重合，此時∠PBA取到最小值，且∠PBA＝，所以sin ∠PBA＝，故C正確；當直線PB有斜率時，設直線的方程為y＝kx＋2，故＝1，解得k＝－.設直線PB的傾斜角為θ，θ∈[0，π)，則tan θ＝－，所以sin θ＝，cos θ＝－，且∠PBA＝θ－，故sin ∠PBA＝sin (θ－)＝(sin θ－cos θ)＝，故D正確．故選ACD.
4. －　因為圓C的圓心為(3，4)，半徑為1，切線長的最小值為，所以圓心C到直線l：3x＋ay－5＝0(a>0)的距離d＝＝4，所以＝4，解得a＝4，所以直線l的斜率為－.
5. (1) 因為圓心在直線y＝x上，
所以設圓心C(a，a).
由題意，得＝，
解得a＝0，所以半徑的長為＝2，
故圓C的標準方程為x2＋y2＝4.
(2) 若選①：
由(1)和已知條件，得||＝||＝2，
因為·＝2，所以||·||·cos ∠MCN＝4cos ∠MCN＝2，則cos ∠MCN＝.
又cos ∠MCN∈(0，π]，所以∠MCN＝，
所以弦心距d＝r·cos ＝2×＝，
所以圓心到直線的距離為＝，
解得k＝±.
若選②：
因為△CMN為正三角形，所以∠MCN＝，
所以弦心距d＝r·cos ＝2×＝，
所以圓心到直線的距離為＝，
解得k＝±.
若選③：
因為直線l將圓C分成的兩段弧的弧長之比為1∶5，
所以∠MCN＝2π×＝，
所以弦心距d＝r·cos ＝2×＝，
所以圓心到直線的距離為＝，
解得k＝±.

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