資源簡介

【參考答案與解析】
3．1.2　橢圓的簡單幾何性質(1)
【活動方案】
1. 略
2. 略
思考1：(1) 橢圓上的點都在一個特定的矩形內．
(2) －a≤x≤a　－b≤y≤b
思考2：(1) 橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．
(2) 方程不發生變化，說明橢圓關于y軸，x軸或原點對稱．
思考3：(1) 與x軸和y軸的交點比較特殊．
(2) 橢圓與x軸的交點為(－a，0)，(a，0)，與y軸的交點為(0，－b)，(0，b).
結論：橢圓的頂點為(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b).橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，a，b，c的幾何意義分別是橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距．
思考4：略
定義：把橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，記為e.
探究：e∈(0，1).當越接近于0時，橢圓越接近于圓；當越接近于1時，橢圓越扁平，也就是說隨著的增大，橢圓越來越扁平．
小結　填表略
例1　將原方程化成標準方程，得＋＝1，
所以a＝5，b＝4，c＝＝3，
所以橢圓的長軸和短軸的長分別是2a＝10和2b＝8，離心率e＝＝，兩個焦點坐標分別是F1(－3，0)和F2(3，0)，四個頂點坐標分別是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4).
跟蹤訓練　由已知，得＋＝1(m>0).
因為0，
所以橢圓的焦點在x軸上，且長半軸長a＝，
短半軸長b＝，半焦距c＝，
所以橢圓的長軸長2a＝，短軸長2b＝，焦點坐標為，，頂點坐標為，，，(0，)，離心率e＝＝＝.　
例2　設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0).
由題意，得b＝c，a－c＝－.
因為a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝c＝，
所以橢圓的方程為＋＝1.
【檢測反饋】
1. A　由題意，得e＝＝，解得a＝.
2. D　因為x2＋my2＝1，所以x2＋＝1.因為焦點在y軸上，所以a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1，所以＝2，解得m＝.
3. AC　由F1F2＝2c＝2，得c＝1.由△ABF2的周長為4a＝8，得a＝2，故b2＝a2－c2＝3，所以橢圓的離心率為e＝，故A正確，B錯誤；當AB⊥x軸時，ABmin＝＝3，且AB<2a＝4，所以3≤AB<4，故AB可以為π，故C正確；由橢圓性質知當A為橢圓上下頂點時，∠BAF2最大，此時cos ∠BAF2＝＝.又∠BAF2∈(0，π)，故(∠BAF2)max＝，即∠BAF2不可能為直角，故D錯誤．故選AC.
4. 2　由題意，得2c＝4，即c＝2.又＝，所以a＝3，所以b＝＝，故橢圓的短軸長為 2b＝2.
5. (1) 當橢圓焦點在x軸上時，設其標準方程為＋＝1(a1>b1>0)，
由橢圓過點A(5，0)，得a1＝5，
由橢圓的長軸長是短軸長的5倍，得b1＝a1＝1，
則所求橢圓的標準方程為＋y2＝1；
當焦點在y軸上時，設其標準方程為＋＝1(a2>b2>0)，
由橢圓過點A(5，0)，得b2＝5，
由橢圓的長軸長是短軸長的5倍，得a2＝5b2＝25，
則所求橢圓的標準方程為＋＝1.
綜上，所求橢圓的標準方程為＋y2＝1或＋＝1.
(2) 令橢圓的長半軸長為a，半焦距為c.
由2c＝12，得c＝6.
由離心率e＝，得＝，即a＝10，
所以橢圓的短半軸長b＝＝8.
當焦點在x軸上時，所求橢圓的標準方程為＋＝1；
當焦點在y軸上時，所求橢圓的標準方程為＋＝1.
綜上，所求橢圓的標準方程為＋＝1或＋＝1.(共32張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.1　橢　　圓
3.1.2　橢圓的簡單幾何性質(1)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 掌握橢圓簡單的幾何性質，如：范圍、對稱性、頂點、離心率．
2. 感受運用方程研究曲線的幾何性質的方法，體會數與形的轉化思想．
活 動 方 案
活動一　掌握橢圓的簡單幾何性質
1. 復習橢圓的標準方程：
【解析】 略
2. 利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質：
【解析】 略
思考1
【解析】 橢圓上的點都在一個特定的矩形內．
【解析】 －a≤x≤a
類比能求出y的取值范圍嗎？
【解析】 －b≤y≤b
思考2
【解析】 橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．
(2) 在橢圓的標準方程中，將x換成－x，將y換成－y，或同時把x，y分別換成－x，－y時，方程是否發生變化？這說明什么樣的問題？
【解析】 方程不發生變化，說明橢圓關于y軸，x軸或原點對稱．
思考3
【解析】 與x軸和y軸的交點比較特殊．
(2) 根據方程寫出橢圓與坐標軸的交點坐標．
【解析】 橢圓與x軸的交點為(－a,0)，(a,0)，與y軸的交點為(0，－b)，(0，b)．
結論：橢圓的頂點：
【解析】 橢圓的頂點為(－a,0)，(a,0)，(0，－b)，(0，b)．
橢圓的長軸：
【解析】 橢圓的長軸長為2a
橢圓的短軸：
【解析】 短軸長為2b
結合圖形，思考a，b，c的幾何意義分別為什么？
【解析】 a，b，c的幾何意義分別是橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距．
思考4
圓的形狀都是相同的，而有些橢圓卻比較“扁”，有些橢圓比較“圓”，用什么樣的量來刻畫橢圓“扁”的程度？
【解析】 略
這樣，利用c和a這兩個量，可以刻畫橢圓的扁平程度．
定義：橢圓的離心率
探究：橢圓的離心率的取值范圍是什么？離心率的變化如何影響橢圓的形狀？
完成下列表格：
【解析】 填表略
例1　求橢圓16x2＋25y2＝400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標．
反思與感悟
討論橢圓的幾何性質時，一定要將橢圓方程化為標準方程，標準方程能將參數的幾何意義凸顯出來．另外，要抓住橢圓中a2－b2＝c2這一核心關系式．
　　　　　　求橢圓m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率．
活動二　掌握橢圓的幾何性質的簡單應用
檢 測 反 饋
2
4
5
1
3
【答案】 A
【答案】 D
2
4
5
1
3
2. 若橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值為(　　)
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
【答案】 AC
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
5. (2024全國專題練習)求適合下列條件的橢圓的標準方程．
(1) 長軸長是短軸長的5倍，且過點A(5,0)；
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
(2) 令橢圓的長半軸長為a，半焦距為c.
由2c＝12，得c＝6.
謝謝觀看
Thank you for watching3．1.2　橢圓的簡單幾何性質(1)
1. 掌握橢圓簡單的幾何性質，如：范圍、對稱性、頂點、離心率．
2. 感受運用方程研究曲線的幾何性質的方法，體會數與形的轉化思想．
活動一 掌握橢圓的簡單幾何性質
1. 復習橢圓的標準方程：
2. 利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質：
思考1
(1) 觀察橢圓＋＝1(a>b>0)的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？
(2) 將橢圓的標準方程進行變形，移項，得＝1－，你能探索出x的取值范圍嗎？
類比能求出y的取值范圍嗎？
思考2
(1) 觀察橢圓＋＝1(a>b>0)的形狀，你能從圖上看出它具有怎樣的對稱性？
(2) 在橢圓的標準方程中，將x換成－x，將y換成－y，或同時把x，y分別換成－x，－y時，方程是否發生變化？這說明什么樣的問題？
思考3
(1) 觀察橢圓＋＝1(a>b>0)的形狀，你認為橢圓上哪些點比較特殊？
(2) 根據方程寫出橢圓與坐標軸的交點坐標．
結論：橢圓的頂點：
橢圓的長軸：　
橢圓的短軸：　
結合圖形，思考a，b，c的幾何意義分別為什么？
思考4
圓的形狀都是相同的，而有些橢圓卻比較“扁”，有些橢圓比較“圓”，用什么樣的量來刻畫橢圓“扁”的程度？
實驗：如圖，橢圓＋＝1(a>b>0)的長半軸長為a，半焦距為c.利用信息技術，保持長半軸長a不變，改變橢圓的半焦距c，可以發現，c越接近a，橢圓越扁平．類似地，保持c不變，改變a的大小，則a越接近c，橢圓越扁平；而當a，c擴大或縮小相同倍數時，橢圓的形狀不變．
這樣，利用c和a這兩個量，可以刻畫橢圓的扁平程度．
定義：橢圓的離心率
探究：橢圓的離心率的取值范圍是什么？離心率的變化如何影響橢圓的形狀？
完成下列表格：
標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
圖形
焦點坐標
范圍
對稱性
頂點坐標
離心率
例1　求橢圓16x2＋25y2＝400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標．
討論橢圓的幾何性質時，一定要將橢圓方程化為標準方程，標準方程能將參數的幾何意義凸顯出來．另外，要抓住橢圓中a2－b2＝c2這一核心關系式．
　求橢圓m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率．
活動二 掌握橢圓的幾何性質的簡單應用
例2　已知橢圓的中心在原點，它在x軸上的一個焦點F與短軸的兩個端點B1，B2的連線互相垂直，且這個焦點與較近的長軸的端點A的距離為－，求這個橢圓的方程．
1. (2024淮北實驗高級中學期末)已知橢圓＋y2＝1(a>1)的離心率為，則a的值為(　　)
A. B. C. D. 2
2. 若橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值為(　　)
A. 2 B. C. 4 D.
3. (多選)(2024廈門一模)設橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線與橢圓C交于A，B兩點，若F1F2＝2，且△ABF2的周長為8，則下列結論中正確的是(　　)
A. a＝2 B. 橢圓C的離心率為
C. AB可以為π D. ∠BAF2可以為直角
4. 若橢圓的焦距為4，離心率為，則橢圓的短軸長為________．
5. (2024全國專題練習)求適合下列條件的橢圓的標準方程．
(1) 長軸長是短軸長的5倍，且過點A(5，0)；
(2) 離心率e＝，焦距為12.

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