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【參考答案與解析】
3．1.2　橢圓的簡單幾何性質(2)
【活動方案】
例1　(1) 由題意，得解得
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2) 由橢圓的定義，得PF1＋PF2＝2a＝12，QF1＋QF2＝2a＝12，
所以△PQF1的周長為PF1＋PF2＋QF1＋QF2＝24.
例2　由題意，得解得
所以橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.
例3　4或　若m<5，則a2＝5，b2＝m，c2＝5－m.因為＝，所以＝，解得m＝4；若m>5，則a2＝m，b2＝5，c2＝m－5.因為＝，所以＝，解得m＝.綜上，m的值為4或.
例4　由題意，得F1F2＝PF2＝2c，
所以PF1＝2c，
所以PF1＋PF2＝2c＋2c.
又因為PF1＋PF2＝2a，
所以2c＋2c＝2a，
所以＝－1，
故橢圓的離心率為－1.
跟蹤訓練　(1) 　因為∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，所以∠F1PF2＝90°，△PF1F2為直角三角形．設PF1＝m，PF2＝n，F1F2＝2c，則n＝2csin 75°，m＝2csin 15°.又PF1＋PF2＝m＋n＝2a，所以2csin 15°＋2csin 75°＝2a，所以e＝＝＝.
(2) 　因為·＝0，所以MF1⊥MF2，所以點M的軌跡是以坐標原點O為圓心，半焦距c為半徑的圓．因為點M總在橢圓內部，所以該圓內含于橢圓，所以c例5　建立如圖所示的平面直角坐標系， 設所求橢圓方程為＋＝1(a>b>0).
在Rt△BF1F2中，F2B＝＝.
由橢圓的性質知，F1B＋F2B＝2a，所以a＝(F1B＋F2B)＝×(2.8＋)≈4.1，
b＝＝≈3.4，
所以所求的橢圓方程為＋＝1.
跟蹤訓練　設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0).
由題意，知AC＝439，BD＝2 384，F2C＝F2D＝6 371，
則a－c＝OA－OF2＝F2A＝439＋6 371＝6 810，a＋c＝OB＋OF2＝F2B＝2 384＋6 371＝8 755，
所以a＝7 782.5≈7 783，c＝972.5≈973，
所以b＝＝≈7 721，
所以衛星運行的軌道方程是＋＝1.
【檢測反饋】
1. D　由題意，得＝4，2c＝2.又c2＝a2－b2，所以b＝1，a＝4，故橢圓方程為x2＋＝1.
2. A　因為∠F1MF2的平分線交線段F1F2于點N，所以∠F1MN＝∠NMF2，所以由正弦定理，得＝，＝.又sin ∠MNF1＝sin ∠MNF2，sin ∠F1MN＝sin ∠F2MN，所以＝，即＝，不妨設MF2＝x，NF1＝n，則＝，解得x＝，所以＝＝＝＝.由題意，得a＝，b＝1，所以＝＝，即＝.
3. BCD　設橢圓的焦距為2c(c>0).由橢圓的定義，得PF1＋PF2＝2a.又PF1＝3PF2，所以PF1＝，PF2＝.由題意，得解得≥.又0<<1，所以≤<1，所以該橢圓離心率的取值范圍是.故選BCD.
4. ＋＝1　由題意，得橢圓的焦點在y軸上，可設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0).因為橢圓C的離心率為，所以e＝＝，又c2＝a2－b2，則＝1－＝，解得a＝3b①.因為橢圓的面積為6π，所以abπ＝6π，即ab＝6②，聯立①②，解得a2＝18，b2＝2，所以橢圓C的標準方程為＋＝1.
5. 設火星探測器的軌道方程為＋＝1(a>b>0).
因為a＋c＝8.34×104，a－c＝4.2×103，
所以a＝4.38×104，c＝3.96×104，
所以b2＝a2－c2＝3.502 8×108，
所以所求軌道方程為＋＝1.
設變軌時，探測器位于P(x0，y0)，則x＋y＝ab≈8.197 5×108，＋＝1，解方程組，得x0≈23 965，y0≈156 66，
所以探測器在變軌時與火星表面的距離為－R≈18 700，
所以探測器在變軌時與火星表面的距離約為 18 700 km.(共28張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.1　橢　　圓
3.1.2　橢圓的簡單幾何性質(2)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 鞏固橢圓的簡單幾何性質．
2. 能運用橢圓的方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題．
活 動 方 案
活動一　利用橢圓的性質求橢圓方程
(1) 求橢圓的方程；
(2) 求△PQF1的周長．
(2) 由橢圓的定義，得PF1＋PF2＝2a＝12，QF1＋QF2＝2a＝12，
所以△PQF1的周長為PF1＋PF2＋QF1＋QF2＝24.
活動二　理解橢圓的離心率
例4　設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，過點F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率．
【解析】 由題意，得F1F2＝PF2＝2c，
又因為PF1＋PF2＝2a，
所以2c＋2c＝2a，
活動三　應用橢圓的幾何性質解決簡單的實際問題
例5　如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面(橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面)的一部分．過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于另一個焦點F2上．由橢圓一個焦點F1發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點F2.已知BC⊥F1F2，F1B＝2.8 cm，F1F2＝4.5 cm.試建立適當的平面直角坐標系，求截口BAC所在橢圓的方程．(精確到0.1 cm)
反思與感悟
解決實際問題時，首先要建立適當的平面直角坐標系，然后利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程，通常采用待定系數法，其步驟是：
(1) 建系；
(2) 確定焦點位置；
(3) 設出相應橢圓的標準方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程)；
(4) 根據已知條件構造關于參數的關系式，利用方程(組)求參數，列方程(組)時常用的關系式有b2＝a2－c2等．
　　　　　　我國發射的第一顆人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心(簡稱“地心”)F2為一個焦點的橢圓．已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面439 km，遠地點B(離地面最遠的點)距地面2 384 km，AB是橢圓的長軸，地球半徑約為6 371 km.求衛星運行的軌道方程．(精確到1 km)
由題意，知AC＝439，BD＝2 384，F2C＝F2D＝6 371，
則a－c＝OA－OF2＝F2A＝439＋6 371＝6 810，a＋c＝OB＋OF2＝F2B＝2 384＋6 371＝8 755，
所以a＝7 782.5≈7 783，c＝972.5≈973，
檢 測 反 饋
2
4
5
1
3
【答案】 D
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4
5
1
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【答案】 A
2
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【答案】 BCD
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2
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5
3
1
因為a＋c＝8.34×104，a－c＝4.2×103，
所以a＝4.38×104，c＝3.96×104，
所以b2＝a2－c2＝3.502 8×108，
所以探測器在變軌時與火星表面的距離約為 18 700 km.
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1. 鞏固橢圓的簡單幾何性質．
2. 能運用橢圓的方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題．
活動一 利用橢圓的性質求橢圓方程
例1　已知橢圓的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，長軸長為12.F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，且過點F2的直線與橢圓交于P，Q兩點．
(1) 求橢圓的方程；
(2) 求△PQF1的周長．
例2　已知橢圓的中心在坐標原點，長軸在坐標軸上，離心率為，短軸長為4，求橢圓的方程．
活動二 理解橢圓的離心率
例3　已知橢圓＋＝1的離心率為e＝，則m＝__________．
例4　設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，過點F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率．
　(1) 設P為橢圓＋＝1(a>b>0)上的一點，F1，F2為焦點，若∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，則橢圓的離心率為________；
(2) 已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，滿足·＝0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是________．
活動三 應用橢圓的幾何性質解決簡單的實際問題
例5　如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面(橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面)的一部分．過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于另一個焦點F2上．由橢圓一個焦點F1發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點F2.已知BC⊥F1F2，F1B＝2.8 cm，F1F2＝4.5 cm.試建立適當的平面直角坐標系，求截口BAC所在橢圓的方程．(精確到0.1 cm)
解決實際問題時，首先要建立適當的平面直角坐標系，然后利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程，通常采用待定系數法，其步驟是：
(1) 建系；
(2) 確定焦點位置；
(3) 設出相應橢圓的標準方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程)；
(4) 根據已知條件構造關于參數的關系式，利用方程(組)求參數，列方程(組)時常用的關系式有b2＝a2－c2等．
　我國發射的第一顆人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心(簡稱“地心”)F2為一個焦點的橢圓．已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面439 km，遠地點B(離地面最遠的點)距地面2 384 km，AB是橢圓的長軸，地球半徑約為6 371 km.求衛星運行的軌道方程．(精確到1 km)
1. (2024北京十五中期中)焦點在y軸上，且長軸長與短軸長之比為4∶1，焦距為2的橢圓方程為(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋y2＝1 D. x2＋＝1
2. (2024太原期末)已知橢圓C：＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，M為橢圓C上異于長軸端點的任意一點，∠F1MF2的平分線交線段F1F2于點N，則的值為(　　)
A. B. C. D.
3. (多選)在平面直角坐標系Oxy中，若橢圓＋＝1(a>b>0)上存在點P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為(　　)
A. B. C. 3－6 D.
4. 阿基米德不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為6π，則橢圓C的標準方程為________．
5. 我國計劃發射火星探測器，該探測器的運行軌道是以火星(其半徑R＝3 400 km)的中心F為一個焦點的橢圓．如圖，已知探測器的近火星點(軌道上離火星表面最近的點)A到火星表面的距離為800 km，遠火星點(軌道上離火星表面最遠的點)B到火星表面的距離為80 000 km.假定探測器由近火星點A第一次逆時針運行到與軌道中心O的距離為 km時進行變軌，其中a，b分別為橢圓的長半軸、短半軸的長，求此時探測器與火星表面的距離．(精確到100 km)

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