資源簡介

【參考答案與解析】
3．1.2　橢圓的簡單幾何性質(3)
【活動方案】
例1　如圖，設d是點M到直線l：x＝的距離．
根據題意，得動點M的軌跡就是集合
P＝.
由此，得＝.
將上式兩邊平方，并化簡，得9x2＋25y2＝225，
即＋＝1，
所以點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10，6的橢圓．
跟蹤訓練　(1) 設點P(x0，y0)(－a≤x0≤a)，
則＋＝1，
PF＝＝
＝＝，
而a－c≤a－x0≤a＋c，所以PF＝a－x0.
又因為點P到直線x＝的距離為d＝－x0，
所以＝＝＝e＝，
即點P到點F的距離與點P到直線x＝的距離之比為定值.
(2) 由(1)可得，若c＝1，則a＝2，所以b＝，
故橢圓的標準方程為＋＝1.
假設存在這樣的點Q(0，t)，設直線l的方程為y＝kx＋1，點M(x1，y1)，N(x2，y2).
聯立消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝(8k)2－4(3＋4k2)×(－8)＝192k2＋96>0，
所以k∈R.
因為y軸平分∠MQN，
所以直線QM與QN的斜率互為相反數，
即kQM＋kQN＝＋＝＝0，
即2kx1x2＋(1－t)(x1＋x2)＝0，
即2k·＋(1－t)＝0，
化簡，得2k＋(1－t)k＝k(3－t)＝0.
因為k∈R，所以t＝3，
即存在點Q(0，3)，使得y軸始終平分∠MQN.
例2　由方程組消去y并整理，得25x2＋8mx＋m2－225＝0.①
方程①的根的判別式Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2).
(1) 由Δ>0，得－25此時方程①有兩個不相等的實數根，直線l與橢圓C有兩個不同的公共點．
(2) 由Δ＝0，得m1＝25，m2＝－25，
此時方程①有兩個相等的實數根，直線l與橢圓C有且只有一個公共點．
(3) 由Δ<0，得m<－25或m>25，
此時方程①沒有實數根，直線l與橢圓C沒有公共點．
跟蹤訓練1　因為y＝kx＋1(k∈R)恒過點(0，1)，
所以當點(0，1)在橢圓＋＝1內或橢圓上時，直線與橢圓恒有公共點，
所以≤1，即m≥1.
當m＝5時，＋＝1不是橢圓，它是以原點為圓心，半徑為的圓．
綜上，實數m的取值范圍為[1，5)∪(5，＋∞).
跟蹤訓練2　(1) 由題意，得A(－a，0)，B(0，b)，設 F(－c，0).
因為OA＝2OB，所以a＝2b，
所以e＝＝＝＝.
(2) 由(1)，得a＝2c，b＝c，
所以橢圓方程可設為＋＝1(c>0)，直線l的方程為y＝(x＋c)，圓心C(4，m).
由消去y并整理，得7x2＋6cx－13c2＝0，即(7x＋13c)(x－c)＝0，
所以x＝－或x＝c.
當x＝－時，y＝－；當x＝c時，y＝.
又點P在x軸上方，所以P.
因為OC∥AP，所以∥.
因為＝(4，m)，＝＝，
所以4×＝3c·m，所以m＝2，
所以點C的坐標為(4，2).
由圓C同時與x軸和直線l相切，得圓C的半徑為2，
所以點C(4，2)到直線l的距離d＝＝2，解得c＝2(負值舍去)，
所以a＝4，b＝2，
所以橢圓的方程為＋＝1.
【檢測反饋】
1. A　因為點F(－c，0)關于直線x＋y＝0的對稱點為A(0，c)，且點A在橢圓C上，所以b2＝c2，即c＝b，所以橢圓C的離心率e＝＝＝.　
2. B　由mx＋y＋2m＝1，得m(x＋2)＋y－1＝0，令解得則直線l過定點(－2，1)，將該點代入橢圓方程，得＋＝<1，所以該定點在橢圓內，則直線l與橢圓C相交．
3. AD　設兩點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2).聯立橢圓C：＋y2＝1與直線l：x－y＋m＝0的方程，消去y并整理，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，由判別式Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)>0，得m2<5，即－4. 　取AP的中點Q，連接FQ，如圖，則＝(＋)，所以(＋)·＝2·＝0，所以FQ⊥AP，所以△AFP為等腰三角形，即FA＝FP，且FA＝＝a，所以FP＝a.又點P在右準線x＝上，所以FP≥－c，即a≥－c，所以≥－1，即e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤.又05. (1) 因為CP＝QC＋QP＝4，QP＝QA，
所以QC＋QA＝4.
因為QC＋QA>CA＝2，所以點Q與兩個定點C，A的距離的和等于常數(大于CA).
由橢圓的定義，得點Q的軌跡是以C，A為焦點，長軸長等于4的橢圓．
(2) 以線段CA的中點為坐標原點O，以過點C，A的直線為x軸，以線段CA的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy.
設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，
由橢圓的定義，得2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1，
則橢圓的標準方程為＋＝1.
當CP⊥CA時，點P的坐標為(－1，4)和(－1，－4).
當點P的坐標為(－1，4)時，因為點A的坐標為(1，0)，所以線段PA的中點坐標為(0，2)，直線AP的斜率為＝－2，則直線l的方程y＝x＋2.
聯立消去y并整理，得x2＋2x＋1＝0，則Δ＝4－4＝0，
所以直線l與點Q形成的軌跡只有1個交點，即直線l與點Q形成的軌跡相切．
當點P的坐標為(－1，－4)時，因為點A的坐標為(1，0)，所以線段PA的中點坐標為(0，－2)，直線AP的斜率為＝2，
則直線l的方程y＝－x－2.
聯立消去y并整理，得x2＋2x＋1＝0，則Δ＝4－4＝0，
所以直線l與點Q形成的軌跡只有1個交點，即直線l與點Q形成的軌跡相切．
綜上，直線l與點Q形成的軌跡相切．(共40張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.1　橢　　圓
3.1.2　橢圓的簡單幾何性質(3)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 進一步掌握橢圓的方程及其幾何性質的應用．
2. 會判斷直線與橢圓的位置關系．
活 動 方 案
活動一　橢圓的第二定義
所以點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10,6的橢圓．
反思與感悟
橢圓的形成除了用平面的兩個定點來形成以外，也可以用平面內的一個定點和一條不經過定點的定直線來形成，當然也可以用其他的條件來形成橢圓．
橢圓準線的定義：
(2) 設c＝1，過定點(0，c)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在y軸上是否存在一點Q，使得y軸始終平分∠MQN？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】 (1) 設點P(x0，y0)(－a≤x0≤a)，
假設存在這樣的點Q(0，t)，設直線l的方程為y＝kx＋1，點M(x1，y1)，N(x2，y2)．
Δ＝(8k)2－4(3＋4k2)×(－8)＝192k2＋96>0，所以k∈R.
因為y軸平分∠MQN，
所以直線QM與QN的斜率互為相反數，
即2kx1x2＋(1－t)(x1＋x2)＝0，
化簡，得2k＋(1－t)k＝k(3－t)＝0.
因為k∈R，所以t＝3，
即存在點Q(0,3)，使得y軸始終平分∠MQN.
活動二　直線與橢圓的位置關系
(1) 有兩個公共點？
(2) 有且只有一個公共點？
(3) 沒有公共點？
方程①的根的判別式Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2)．
(1) 由Δ>0，得－25此時方程①有兩個不相等的實數根，直線l與橢圓C有兩個不同的公共點．
(2) 由Δ＝0，得m1＝25，m2＝－25，
此時方程①有兩個相等的實數根，直線l與橢圓C有且只有一個公共點．
(3) 由Δ<0，得m<－25或m>25，
此時方程①沒有實數根，直線l與橢圓C沒有公共點．
反思與感悟
判斷直線與橢圓的位置關系：
通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，得到關于另一個變量的一元二次方程，此時Δ>0 直線與橢圓相交；Δ＝0 直線與橢圓相切；Δ<0 直線與橢圓相離．
【解析】 因為y＝kx＋1(k∈R)恒過點(0,1)，
綜上，實數m的取值范圍為[1,5)∪(5，＋∞)．
【解析】 (1) 由題意，得A(－a,0)，B(0，b)，設 F(－c，0)．
所以點C的坐標為(4,2)．
由圓C同時與x軸和直線l相切，得圓C的半徑為2，
檢 測 反 饋
2
4
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1
3
2
4
5
1
3
【答案】 A
2
4
5
1
3
A. 相離 B. 相交
C. 相切 D. 不能確定
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5
1
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【答案】 B
2
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3
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2
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【答案】 AD
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5
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1
5. (2024臺州期末)如圖，圓C的半徑為4，A是圓內一個定點且CA＝2，P是圓C上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑CP相交于點Q，點P在圓上運動．
(1) 求點Q的軌跡；
(2) 當CP⊥CA時，證明：直線l與點Q形成的軌跡相切．
2
4
5
3
1
【解析】 (1) 因為CP＝QC＋QP＝4，QP＝QA，
所以QC＋QA＝4.
因為QC＋QA>CA＝2，所以點Q與兩個定點C，A的距離的和等于常數(大于CA)．
由橢圓的定義，得點Q的軌跡是以C，A為焦點，長軸長等于4的橢圓．
(2) 以線段CA的中點為坐標原點O，以過點C，A的直線為x軸，以線段CA的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy.
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
所以直線l與點Q形成的軌跡只有1個交點，即直線l與點Q形成的軌跡相切．
當點P的坐標為(－1，－4)時，因為點A的坐標為(1,0)，
2
4
5
3
1
所以直線l與點Q形成的軌跡只有1個交點，即直線l與點Q形成的軌跡相切．
綜上，直線l與點Q形成的軌跡相切．
謝謝觀看
Thank you for watching3．1.2　橢圓的簡單幾何性質(3)
1. 進一步掌握橢圓的方程及其幾何性質的應用．
2. 會判斷直線與橢圓的位置關系．
活動一 橢圓的第二定義
例1　動點M(x，y)與定點F(4，0)的距離和點M到定直線l：x＝的距離的比是常數，求動點M的軌跡．
橢圓的形成除了用平面的兩個定點來形成以外，也可以用平面內的一個定點和一條不經過定點的定直線來形成，當然也可以用其他的條件來形成橢圓．
橢圓準線的定義：
若點M(x，y)與定點F(c，0)(或F′(－c，0))的距離和它到定直線l：x＝(或l′：x＝－)的距離的比是常數(0　(2023南陽期末)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(c，0)，離心率e＝.
(1) 若P為橢圓C上一動點，證明：點P到點F的距離與點P到直線x＝的距離之比為定值，并求出該定值；
(2) 設c＝1，過定點(0，c)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在y軸上是否存在一點Q，使得y軸始終平分∠MQN？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
活動二 直線與橢圓的位置關系
例2　如圖，已知直線l：4x－5y ＋m＝0和橢圓C：＋＝1.當m為何值時，直線l與橢圓C：
(1) 有兩個公共點？
(2) 有且只有一個公共點？
(3) 沒有公共點？
判斷直線與橢圓的位置關系：
通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，得到關于另一個變量的一元二次方程，此時Δ>0 直線與橢圓相交；Δ＝0 直線與橢圓相切；Δ<0 直線與橢圓相離．
　若直線y＝kx＋1(k∈R)與橢圓＋＝1恒有公共點，求實數m的取值范圍．
　設橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，左頂點為A，上頂點為B，OA＝2OB(O為坐標原點).
(1) 求橢圓的離心率；
(2) 設經過點F，且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點為P，圓心C在直線x＝4上的圓C同時與x軸和直線l相切，且OC∥AP，求橢圓的方程．
1. 設橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，若點F關于直線x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為(　　)
A. B. C. －1 D. －1
2. (2024重慶學業水平調研)已知直線l的方程為mx＋y＋2m＝1，橢圓C的方程為＋＝1，則直線l與橢圓C的位置關系為(　　)
A. 相離 B. 相交 C. 相切 D. 不能確定
3. (多選)(2024開封期末)已知橢圓C：＋y2＝1與直線l：x－y＋m＝0相交于兩個不同的點A，B，M為線段AB的中點，則下列結論中正確的是(　　)
A. －
C. 弦長AB的最大值為 D. 點M一定在直線x＋4y＝0上
4. (2024邵陽期末)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(c，0)，上頂點為A(0，b)，直線l：x＝上存在一點P滿足(＋)·＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為________．
5. (2024臺州期末)如圖，圓C的半徑為4，A是圓內一個定點且CA＝2，P是圓C上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑CP相交于點Q，點P在圓上運動．
(1) 求點Q的軌跡；
(2) 當CP⊥CA時，證明：直線l與點Q形成的軌跡相切．

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