資源簡介

(共37張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.2　雙　曲　線
3.2.1　雙曲線及其標準方程(1)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 了解雙曲線的定義．
2. 掌握雙曲線的標準方程及其求法．
3. 會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的實際問題.
活 動 方 案
活動一　了解雙曲線的定義，理解雙曲線標準方程
1. 情景導學
雙曲線型自然通風冷卻塔　　　　　　臺燈
雙曲線也是具有廣泛應用的一種圓錐曲線，如發電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定位等都要用到雙曲線的性質．本節我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關問題．
我們知道，平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于F1F2)的點的軌跡是橢圓．一個自然的問題是：平面內與兩個定點的距離的差等于常數的點的軌跡是什么？
如圖，在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點．在平面內，取定點F1，F2，以點F1為圓心，線段PA為半徑作圓，再以點F2為圓心，線段PB為半徑作圓．
我們知道，當點P在線段AB上運動時，如果|PA－PB|≤F1F2＜AB，那么兩圓交點的軌跡是橢圓．
如圖，在AB【解析】 我們發現，在AB2. 雙曲線的定義
3. 理解雙曲線的標準方程
思考1
雙曲線與橢圓從定義上看極為相似，那么類比橢圓標準方程的推導，能否得到雙曲線的標準方程？
(1) 如何建立坐標系？建立坐標系的依據是什么？
【解析】 以點F1，F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，依據：雙曲線的對稱性，且直線F1F2是它的一條對稱軸．
(2) 雙曲線上的點滿足的幾何條件是什么？
【解析】 雙曲線上的點到兩個定點的距離的差的絕對值等于常數．
(3) 如何用代數式表示這個幾何條件？
(4) 如何化簡這個代數式？令c2－a2＝b2(b>0)，雙曲線的方程可化為什么形式？
思考2
若雙曲線的焦點在y軸上，你能從焦點在x軸上的雙曲線方程的結構特征猜想此時的標準方程嗎？怎樣推導？
思考3
雙曲線的標準方程有什么結構特征？
【解析】 略
思考4
兩種形式雙曲線的標準方程有哪些相同點？有哪些不同點？如何區分？
【解析】 略
思考5
雙曲線中a, b, c滿足怎樣的關系？橢圓中a, b, c滿足怎樣的關系？
【解析】 雙曲線：c2＝a2＋b2，橢圓：a2＝b2＋c2.
活動二　掌握雙曲線的標準方程的求法
例1　已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(－5，0)，F2(5,0)，雙曲線上一點P到點F1，F2的距離的差的絕對值為8，求雙曲線的方程．
【解析】 由題意，得c＝5,2a＝8，即a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
因為焦點在x軸上，
變式　若將條件中的“絕對值”去掉，結果如何？
【解析】 若PF1－PF2＝8，
若PF2－PF1＝8，
例2　求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1) a＝3，b＝4，焦點在x軸上；
思考6
若已知條件中焦點所在的位置沒有明確，則結果如何？
【解析】 應分類討論，分為焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況．
【解析】 設雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn>0)．
求雙曲線的標準方程，首先要“定位”，即確定雙曲線與坐標軸的位置關系，焦點所在坐標軸，從而選擇對應形式的標準方程；其次要“定量”，即確定a，b的值.
活動三　理解雙曲線的標準方程
【解析】 由題意，得(2＋k)(1＋k)>0，解得k>－1或k<－2，故實數k的取值范圍是(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．
【答案】 (－∞，－2)∪(－1，＋∞)
【答案】 (－2,2)
檢 測 反 饋
【答案】 A
2
4
5
1
3
1. 焦點分別為(－2,0)，(2,0)，且經過點(2,3)的雙曲線的標準方程為(　　)
2
4
5
1
3
【解析】 由已知可得|PA－PB|＝2k<4k＝AB，根據雙曲線的定義可知，點P在以A，B為焦點的雙曲線上，則炮彈爆炸點P的軌跡可能是雙曲線．
2. (2024全國專題練習)相距4k km的A，B兩地，聽到炮彈爆炸的時間相差2s，若聲速每秒k km，則炮彈爆炸點P的軌跡可能是(　　)
A. 雙曲線的一支 B. 雙曲線
C. 橢圓 D. 圓
【答案】 B
2
4
5
3
1
3. (多選)(2024福州期末)已知方程(m－1)x2＋(4－m)y2＝(m－1)(4－m)表示曲線Γ，則下列結論中正確的是(　　)
A. 若m＝1，則Γ是y軸
B. 若m＝2.5，則Γ是圓
C. 若1D. 若Γ是雙曲線，則m<1
2
4
5
3
1
【答案】 BC
2
4
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3
1
2
4
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3
1
【答案】 (－∞，－2)∪(4，＋∞)　(－2,1)∪(1,4)
2
4
5
3
1
5. 求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1) 焦點為(0,6)，(0，－6)，a＝3；
【解析】 (1) 由題意，得雙曲線焦點在y軸上，c＝6，a＝3，
所以b2＝c2－a2＝27，
2
4
5
3
1
(2) 設雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)．
2
4
5
3
1
謝謝觀看
Thank you for watching【參考答案與解析】
3．2　雙　曲　線
3.2.1　雙曲線及其標準方程(1)
【活動方案】
1. 我們發現，在AB思考1：(1) 以點F1，F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，依據：雙曲線的對稱性，且直線F1F2是它的一條對稱軸．
(2) 雙曲線上的點到兩個定點的距離的差的絕對值等于常數．
(3) 設P(x，y)為雙曲線上的任意一點，F1(－c，0)，F2(c，0)，則|－|＝2a.
(4) 化簡，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
兩邊同除以a2(c2－a2)，得－＝1.
令c2－a2＝b2(b>0)，則－＝1(a>0，b>0).
思考2：－＝1(a>0，b>0)，推導略．
思考3：略
思考4：略
思考5：雙曲線：c2＝a2＋b2，橢圓：a2＝b2＋c2.
例1　由題意，得c＝5，2a＝8，即a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
因為焦點在x軸上，
所以雙曲線的方程為－＝1.
變式　若PF1－PF2＝8，
則雙曲線的方程為－＝1(x≥4).
若PF2－PF1＝8，
則雙曲線的方程為－＝1(x≤－4).
例2　(1) 由題意，得雙曲線的標準方程為－＝1.
(2) 因為雙曲線的焦點在y軸上，所以設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0).
由題意，知a＝2，且雙曲線過點A(2，－5)，
所以解得
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
(3) 設雙曲線的標準方程為－＝1.
因為雙曲線－＝1的焦點為(±2，0)，
所以c＝2.
又a＝2，所以b2＝8，
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
思考6：應分類討論，分為焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況．
跟蹤訓練　設雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn>0).
因為雙曲線經過，兩點，
所以解得
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
例3　(1) (－∞，－2)∪(－1，＋∞)　由題意，得(2＋k)(1＋k)>0，解得k>－1或k<－2，故實數k的取值范圍是(－∞，－2)∪(－1，＋∞).
(2) (－2，2)　由題意，得解得－2【檢測反饋】
1. A　由雙曲線的定義知，2a＝－＝5－3＝2，所以a＝1.又c＝2，所以 b2＝c2－a2＝4－1＝3，故所求雙曲線的標準方程為x2－＝1.
2. B　由已知可得|PA－PB|＝2k<4k＝AB，根據雙曲線的定義可知，點P在以A，B為焦點的雙曲線上，則炮彈爆炸點P的軌跡可能是雙曲線．
3. BC　若m＝1，方程為y＝0，則Γ是x軸，故A錯誤；若m＝2.5，方程為x2＋y2＝，則Γ是圓，故B正確；若10，4－m>0，且m－1≠4－m，則Γ是橢圓，故C正確；若Γ是雙曲線，則(m－1)(4－m)<0，得m<1或m>4，故D錯誤．故選BC.
4. (－∞，－2)∪(4，＋∞)　(－2，1)∪(1，4)　當方程為雙曲線時，(m＋2)(4－m)<0，解得m<－2或m>4，即實數m的取值范圍為(－∞，－2)∪(4，＋∞)；當方程為橢圓時，解得即實數m的取值范圍為(－2，1)∪(1，4).
5. (1) 由題意，得雙曲線焦點在y軸上，c＝6，a＝3，
所以b2＝c2－a2＝27，
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
(2) 設雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0).
因為雙曲線過點(3，－4)和點，
所以解得
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
(3) 因為雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，
所以設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，c＝3.
又因為雙曲線過點(，4)，
所以解得
故雙曲線的標準方程為－＝1.3．2　雙　曲　線
3.2.1　雙曲線及其標準方程(1)
1. 了解雙曲線的定義．
2. 掌握雙曲線的標準方程及其求法．
3. 會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的實際問題.
活動一 了解雙曲線的定義，理解雙曲線標準方程
1. 情景導學
雙曲線型自然通風冷卻塔 臺燈
雙曲線也是具有廣泛應用的一種圓錐曲線，如發電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定位等都要用到雙曲線的性質．本節我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關問題．
我們知道，平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于F1F2)的點的軌跡是橢圓．一個自然的問題是：平面內與兩個定點的距離的差等于常數的點的軌跡是什么？
如圖，在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點．在平面內，取定點F1，F2，以點F1為圓心，線段PA為半徑作圓，再以點F2為圓心，線段PB為半徑作圓．
我們知道，當點P在線段AB上運動時，如果|PA－PB|≤F1F2＜AB，那么兩圓交點的軌跡是橢圓．
如圖，在AB2. 雙曲線的定義
3. 理解雙曲線的標準方程
思考1
雙曲線與橢圓從定義上看極為相似，那么類比橢圓標準方程的推導，能否得到雙曲線的標準方程？
(1) 如何建立坐標系？建立坐標系的依據是什么？
(2) 雙曲線上的點滿足的幾何條件是什么？
(3) 如何用代數式表示這個幾何條件？
(4) 如何化簡這個代數式？令c2－a2＝b2(b>0)，雙曲線的方程可化為什么形式？
思考2
若雙曲線的焦點在y軸上，你能從焦點在x軸上的雙曲線方程的結構特征猜想此時的標準方程嗎？怎樣推導？
思考3
雙曲線的標準方程有什么結構特征？
思考4
兩種形式雙曲線的標準方程有哪些相同點？有哪些不同點？如何區分？
思考5
雙曲線中a，b，c滿足怎樣的關系？橢圓中a，b，c滿足怎樣的關系？
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦點 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2
活動二 掌握雙曲線的標準方程的求法
例1　已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(－5，0)，F2(5，0)，雙曲線上一點P到點F1，F2的距離的差的絕對值為8，求雙曲線的方程．
變式　若將條件中的“絕對值”去掉，結果如何？
例2　求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1) a＝3，b＝4，焦點在x軸上；
(2) a＝2，經過點A(2，－5)，焦點在y軸上；
(3) a＝2，且與雙曲線－＝1有公共的焦點．
思考6
若已知條件中焦點所在的位置沒有明確，則結果如何？
　求經過(－2，)，(，4)兩點的雙曲線的標準方程．
求雙曲線的標準方程，首先要“定位”，即確定雙曲線與坐標軸的位置關系，焦點所在坐標軸，從而選擇對應形式的標準方程；其次要“定量”，即確定a，b的值．
活動三 理解雙曲線的標準方程
例3　(1) 若方程－＝1表示雙曲線，則實數k的取值范圍是______________；
(2) 若方程－＝1表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數k的取值范圍是__________．
1. 焦點分別為(－2，0)，(2，0)，且經過點(2，3)的雙曲線的標準方程為(　　)
A. x2－＝1 B. －y2＝1 C. y2－＝1 D. －＝1
2. (2024全國專題練習)相距4k km的A，B兩地，聽到炮彈爆炸的時間相差2s，若聲速每秒k km，則炮彈爆炸點P的軌跡可能是(　　)
A. 雙曲線的一支 B. 雙曲線 C. 橢圓 D. 圓
3. (多選)(2024福州期末)已知方程(m－1)x2＋(4－m)y2＝(m－1)(4－m)表示曲線Γ，則下列結論中正確的是(　　)
A. 若m＝1，則Γ是y軸 B. 若m＝2.5，則Γ是圓
C. 若14. (2024北京西城期末)若方程＋＝1表示的曲線為雙曲線，則實數m的取值范圍是________；若此方程表示的曲線為橢圓，則實數m的取值范圍是________．
5. 求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1) 焦點為(0，6)，(0，－6)，a＝3；
(2) 經過(3，－4)和兩點；
(3) 已知雙曲線與橢圓＋＝1有共同焦點，且過點(，4).

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