資源簡介

(共31張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.2　雙　曲　線
3.2.1　雙曲線及其標準方程(2)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 能根據已知條件求雙曲線的標準方程．
2. 能根據雙曲線的標準方程求解有關問題．
活 動 方 案
活動一　利用雙曲線的定義求雙曲線的方程
例1　(1) 若動圓M恒過定點B(－3,0)，且與定圓C：(x－3)2＋y2＝4外切，求動圓圓心M的軌跡方程；
【解析】 (1) 因為圓M與圓C外切，
所以MC＝MB＋2，即MC－MB＝2.
因為0所以由雙曲線定義知，點M的軌跡為以B，C為焦點的雙曲線的左支，
其中a＝1，c＝3，所以b2＝c2－a2＝8，
(2) 以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，
因為2sin A＋sin C＝2sin B，
所以由正弦定理，得2BC＋AB＝2AC，
所以由雙曲線的定義知，點C的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支(除去與x軸的交點)，
【解析】 設點A的坐標為(x，y)(y≠0)．
所以點M的軌跡是以原點為中心，焦點在x軸上的雙曲線(不包括兩個頂點)．
例3　已知A，B兩地相距800 m．在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．
【解析】 建立如圖所示的平面直角坐標系，使A，B兩點在x軸上，且原點O與線段AB的中點重合．
設炮彈爆炸點P的坐標為(x，y)，則
PA－PB＝340×2＝680，
所以2a＝680, a＝340.
又AB＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44 400.
因為PA－PB＝680>0，
所以點P的軌跡是雙曲線的右支，
所以x≥340.
【解析】 需要三個觀測點才能確定爆炸點的位置．
思考2
利用兩個不同的觀測點，可以確定爆炸點所在的曲線，但不能完全確定爆炸點的位置，要有幾個觀測點才能確定爆炸點的位置？
活動二　掌握雙曲線定義的應用
【解析】 由題意，知a2＝64，b2＝36，則a＝8，c＝10.因為PF1＝17【答案】 33
【答案】 8　18
【解析】 根據雙曲線的定義，得MF2－MF1＝2a，NF2－NF1＝2a，兩式相加，得MF2＋NF2－MN＝4a＝8.△MNF2的周長為MF2＋NF2＋MN＝MF2＋NF2－MN＋2MN＝8＋10＝18.
活動三　掌握雙曲線中與焦點三角形有關的基本運算
檢 測 反 饋
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【答案】 B
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2. 已知F1，F2分別為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在雙曲線C上，若PF1＝2PF2，則cos∠F1PF2的值為(　　)
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【答案】 C
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3. (多選)(2024河北期末)圓O的半徑為定長r，M是圓O所在平面內一個定點(點M與點O不重合)，P是圓O上任意一點，線段MP的垂直平分線與直線OP相交于點Q，當點P在圓O上運動時，下列說法中正確的是(　　)
A. 若點M在圓內，則點Q的軌跡是橢圓
B. 若點M在圓外，則點Q的軌跡是雙曲線
C. 若點M在圓內，則點Q的軌跡是橢圓的一部分
D. 若點M在圓外，則點Q的軌跡是雙曲線的一支
【答案】 AB
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1
【解析】 當點M在圓O內且不與點O重合時，由圖1可知QM＋QO＝QP＋QO＝r，又OMr，所以由雙曲線的定義可得點Q的軌跡是以O，M為焦點的雙曲線，即點Q的軌跡是雙曲線．故選AB.
圖1　　　　　圖2
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(1) 如圖，以O為坐標原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，根據題設條件求觀察員所有可能出現的位置的軌跡方程；
(2) 若點C監測點信號失靈，現立即以監測點C為圓心進行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑r至少是多少千米？
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【解析】 (1) 設觀察員可能出現的位置的所在點為P(x，y)．
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(2) 設軌跡上一點為P(x，y)，
謝謝觀看
Thank you for watching【參考答案與解析】
3．2.1　雙曲線及其標準方程(2)
【活動方案】
例1　(1) 因為圓M與圓C外切，
所以MC＝MB＋2，即MC－MB＝2.
因為0所以由雙曲線定義知，點M的軌跡為以B，C為焦點的雙曲線的左支，
其中a＝1，c＝3，所以b2＝c2－a2＝8，
故所求軌跡方程為x2－＝1(x≤－1).
(2) 以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，
則A(－2，0)，B(2，0).
因為2sin A＋sin C＝2sin B，
所以由正弦定理，得2BC＋AB＝2AC，
所以AC－BC＝AB＝2所以由雙曲線的定義知，點C的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支(除去與x軸的交點)，
所以a＝，c＝2，則b＝，
所以頂點C的軌跡方程為－＝1(x>).
例2　設點A的坐標為(x，y)(y≠0).
由題意，得kAB·kAC＝，即·＝，
化簡，得－＝1(y≠0)，
所以頂點A的軌跡是雙曲線(除去與x軸的交點)，軌跡方程為－＝1(y≠0).
思考1：設M(x，y)，則直線AM的斜率kAM＝(x≠－5)，
直線BM的斜率kBM＝(x≠5)，
所以kAM·kBM＝·＝＝(x≠±5)，
化簡，得－＝1(x≠±5)，
即點M的軌跡方程是－＝1(x≠±5)，
所以點M的軌跡是以原點為中心，焦點在x軸上的雙曲線(不包括兩個頂點).
例3　建立如圖所示的平面直角坐標系，使A，B兩點在x軸上，且原點O與線段AB的中點重合．
設炮彈爆炸點P的坐標為(x，y)，則
PA－PB＝340×2＝680，
所以2a＝680, a＝340.
又AB＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44 400.
因為PA－PB＝680>0，
所以點P的軌跡是雙曲線的右支，所以x≥340.
故炮彈爆炸點的軌跡方程為－＝1(x≥340).
思考2：需要三個觀測點才能確定爆炸點的位置．
例4　(1) 33　由題意，知a2＝64，b2＝36，則a＝8，c＝10.因為PF1＝17(2) 8　18　根據雙曲線的定義，得MF2－MF1＝2a，NF2－NF1＝2a，兩式相加，得MF2＋NF2－MN＝4a＝8.△MNF2的周長為MF2＋NF2＋MN＝MF2＋NF2－MN＋2MN＝8＋10＝18.
例5　由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ，即PF＋PF－PF1·PF2＝100.
又|PF2－PF1|＝8，
所以PF＋PF＝64＋2PF1·PF2，
所以64＋PF1·PF2＝100，即PF1·PF2＝36，
所以S△F1PF2＝PF1·PF2sin ＝×36×＝9.
例6　2　由題意，得a＝1，b＝3，所以c＝，F1(－，0)，F2(，0).因為點P在雙曲線上，·＝0，所以PF1⊥PF2，所以PF＋PF＝(2c)2＝40，所以|＋|＝＝＝2.
【檢測反饋】
1. B　由題意，得a＝.由雙曲線的定義，得|PF1－PF2|＝2a＝2.又F1為左焦點，P是雙曲線C的左支上一點，所以PF12. C　x2－y2＝2可化為－＝1，則a＝，c2＝4，即c＝2，所以|PF1－PF2|＝2a＝2.又PF1＝2PF2，所以PF2＝2，則PF1＝4. 因為F1F2＝2c＝4，所以cos ∠F1PF2＝＝＝.
3. AB　當點M在圓O內且不與點O重合時，由圖1可知QM＋QO＝QP＋QO＝r，又OMr，所以由雙曲線的定義可得點Q的軌跡是以O，M為焦點的雙曲線，即點Q的軌跡是雙曲線．故選AB.
圖1　 圖2
4. 4＋2　在雙曲線E：－y2＝1中，a＝2，b＝1，c＝＝，所以|PF1－PF2|＝2a＝4，F1F2＝2c＝2.由余弦定理，得cos ＝，所以PF1·PF2＝PF＋PF－F1F＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2－F1F，所以PF1·PF2＝4，PF＋PF＝24，所以(PF1＋PF2)2＝32，所以PF1＋PF2＝4，所以△F1PF2的周長為PF1＋PF2＋F1F2＝4＋2.
5. (1) 設觀察員可能出現的位置的所在點為P(x，y).
因為點A接收到信號的時間比點B接收到信號的時間早 s，
所以PB－PA＝·V0＝40所以點P的坐標滿足雙曲線的定義．
設雙曲線方程為－＝1(x<0).
由題意，得2a＝40，2c＝60，所以b2＝c2－a2＝500，
故點P的軌跡方程為－＝1(x<0).
(2) 設軌跡上一點為P(x，y)，
則PC＝＝.
又由－＝1，得x2＝y2＋400，
代入可得PC＝
＝≥＝20，
當且僅當y＝時，取得最小值20.
故掃描半徑r至少是20 km.3．2.1　雙曲線及其標準方程(2)
1. 能根據已知條件求雙曲線的標準方程．
2. 能根據雙曲線的標準方程求解有關問題．
活動一 利用雙曲線的定義求雙曲線的方程
例1　(1) 若動圓M恒過定點B(－3，0)，且與定圓C：(x－3)2＋y2＝4外切，求動圓圓心M的軌跡方程；
(2) 在△ABC中，已知AB＝4，且三內角滿足2sin A＋sin C＝2sin B，建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程．
例2　在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直線AB，AC的斜率乘積為，求頂點A的軌跡．
思考1
已知點A，B的坐標分別是(－5，0)，(5，0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀．
例3　已知A，B兩地相距800 m．在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．
思考2
利用兩個不同的觀測點，可以確定爆炸點所在的曲線，但不能完全確定爆炸點的位置，要有幾個觀測點才能確定爆炸點的位置？
活動二 掌握雙曲線定義的應用
例4　(1) 設F1，F2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，點P在雙曲線上，若點P到點F1的距離為17，則點P到點F2的距離是________；
(2) 過雙曲線－＝1的左焦點F1的直線交雙曲線的左支于M，N兩點，F2為其右焦點，則MF2＋NF2－MN＝__________；若MN＝5，則△MNF2的周長為________．
活動三 掌握雙曲線中與焦點三角形有關的基本運算
例5　已知F1，F2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，P為雙曲線上的任意一點，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積．
例6　設F1，F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且·＝0，則|＋|＝__________．
1. (2024河源期末)已知雙曲線C：－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，P是雙曲線C的左支上一點，則PF1－PF2的值為(　　)
A. 2 B. －2 C. ± D. ±2
2. 已知F1，F2分別為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在雙曲線C上，若PF1＝2PF2，則cos ∠F1PF2的值為(　　)
A. B. C. D.
3. (多選)(2024河北期末)圓O的半徑為定長r，M是圓O所在平面內一個定點(點M與點O不重合)，P是圓O上任意一點，線段MP的垂直平分線與直線OP相交于點Q，當點P在圓O上運動時，下列說法中正確的是(　　)
A. 若點M在圓內，則點Q的軌跡是橢圓
B. 若點M在圓外，則點Q的軌跡是雙曲線
C. 若點M在圓內，則點Q的軌跡是橢圓的一部分
D. 若點M在圓外，則點Q的軌跡是雙曲線的一支
4. (2024大同期末)已知F1，F2分別是雙曲線E：－y2＝1的左、右焦點，點P在雙曲線E上，且∠F1PF2＝，則△F1PF2的周長是________．
5. 如圖，某野生保護區監測中心設置在點O處，正西、正東、正北處有三個監測點A，B，C，且OA＝OB＝OC＝30 km.一名野生動物觀察員在保護區遇險，發出求救信號，三個監測點均收到求救信號，點A接收到信號的時間比點B接收到信號的時間早 s(注：信號每秒傳播V0 km).
(1) 如圖，以O為坐標原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，根據題設條件求觀察員所有可能出現的位置的軌跡方程；
(2) 若點C監測點信號失靈，現立即以監測點C為圓心進行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑r至少是多少千米？

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