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(共29張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.2　雙　曲　線
3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質(1)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 類比橢圓來研究雙曲線的幾何性質．
2. 掌握雙曲線的簡單幾何性質，如范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率．
3. 掌握雙曲線幾何性質的簡單應用．
活 動 方 案
活動一　研究雙曲線的幾何性質
在建立了雙曲線的標準方程之后，可以通過方程繼續研究雙曲線的幾何性質，那么雙曲線有哪些幾何性質？
【解析】 x≥a或x≤－a，y∈R
1. 類比對橢圓幾何性質的研究，能否根據雙曲線的標準方程得到雙曲線的范圍、對稱性、頂點等幾何性質？
范圍：
【解析】 雙曲線關于x軸，y軸和原點都是對稱的．
(1) 對稱性：
【解析】 頂點A1(－a,0)，A2(a,0)．
(2) 頂點：
雙曲線的實軸：
【解析】 雙曲線的實軸：線段A1A2
【解析】 雙曲線的虛軸：線段B1B2
雙曲線的虛軸：
【解析】 a的幾何意義：實半軸長，b的幾何意義：虛半軸長，c的幾何意義：半焦距．
試探究 a，b，c的幾何意義．
(1) 漸近線：
① 由圖形可知，雙曲線的漸近線能否看成某個矩形的對角線所在直線？
【解析】 能．直線x＝±a和y＝±b所圍成的矩形．
②比較雙曲線的標準方程與其漸近線方程，如何快捷地得到雙曲線的漸近線方程？
【解析】 實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，漸近線方程為y＝±x.
③什么是等軸雙曲線？其漸近線方程為什么？
(2) 離心率：
【解析】 離心率越大，開口越大．
橢圓的離心率反映圖形的“扁”的程度，那么在雙曲線中，離心率是否也與雙曲線的形狀有關？
【解析】 填表略
活動二　掌握雙曲線的幾何性質
例1　求雙曲線9y2－16x2＝144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．
活動三　掌握雙曲線幾何性質的簡單應用
【解析】 由題意，得2c＝16，所以c＝8.
則b2＝c2－a2＝64－36＝28，
變式　若去掉條件中的“焦點在y軸上”，結果如何？
檢 測 反 饋
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1. (2023營口期末)過點(2,3)且與橢圓5x2＋9y2＝45有相同焦點的雙曲線的標準方程為(　　)
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【答案】 A
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【答案】 B
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A. 圓Γ的方程為x2＋y2＝5
B. 雙曲線C的漸近線方程為x±2y＝0
C. 點F1到雙曲線C的漸近線的距離為2
D. △PF1F2的面積為4
【答案】 ACD
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謝謝觀看
Thank you for watching【參考答案與解析】
3．2.2　雙曲線的簡單幾何性質(1)
【活動方案】
1. x≥a或x≤－a，y∈R
2. (1) 雙曲線關于x軸，y軸和原點都是對稱的．
(2) 頂點A1(－a，0)，A2(a，0).
雙曲線的實軸：線段A1A2
雙曲線的虛軸：線段B1B2
a的幾何意義：實半軸長，b的幾何意義：虛半軸長，c的幾何意義：半焦距．
3. 雙曲線－＝1(a>0，b>0)與直線y＝±x逐漸接近，但永不相交．
(1) 直線±＝0叫做雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線．
①能．直線x＝±a和y＝±b所圍成的矩形．
②令－＝0，則雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
③實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，漸近線方程為y＝±x.
(2) 雙曲線焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率．離心率越大，開口越大．
小結　填表略
例1　將雙曲線的方程9y2－16x2＝144化為標準方程－＝1.
由此可知，實半軸長a＝4，虛半軸長b＝3；c＝＝＝5，焦點坐標是(0，－5)，(0, 5); 離心率e＝＝；漸近線方程為y＝±x.
跟蹤訓練　實軸長為4，虛軸長為2，焦點坐標為 (－，0)，(，0)，頂點坐標為(2，0)，(－2，0)，離心率 e＝＝，漸近線方程為y＝±x.
例2　由題意，得2c＝16，所以c＝8.
由e＝＝，得a＝6，
則b2＝c2－a2＝64－36＝28，
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
變式　當焦點在x軸上時，雙曲線的標準方程為－＝1；當焦點在y軸上時，雙曲線的標準方程為－＝1.
例3　由題意可設雙曲線的方程為9x2－y2＝λ(λ≠0)，將點(－，6)代入方程，得λ＝9×3－36＝－9，
所以雙曲線的標準方程為－x2＝1.
【檢測反饋】
1. A　橢圓的標準方程為＋＝1，所以c＝＝2，可得焦點坐標為(±2，0).設雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，則解得a2＝1，b2＝3，故雙曲線的標準方程為x2－＝1.
2. B　因為△OPQ為等邊三角形，所以漸近線的傾斜角為，所以＝，所以漸近線方程為y＝±x.
3. ACD　由x2－＝1，得a＝1，b＝2，c＝＝.對于A，因為圓心為坐標原點，直徑為F1F2＝2c，所以圓的方程為x2＋y2＝5，故A正確；對于B，漸近線方程為2x±y＝0，故B錯誤；對于C, 點F1(－，0)到一條漸近線2x－y＝0的距離為d＝＝2，故C正確；對于D，根據雙曲線和圓的對稱性，不妨設點P在第一象限，由題意，得∠F1PF2＝90°，所以PF＋PF＝F1F.又PF1－PF2＝2a，(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝4c2，所以PF1·PF2＝2c2－2a2＝2b2，故△PF1F2的面積為PF1·PF2＝×2b2＝b2＝4，故D正確．故選ACD.
4. 　因為PF1＝3PF2＝15，所以PF1＝15，PF2＝5，則PF1－PF2＝10，即2a＝10，所以a＝5.又c2＝a2＋b2＝25＋4＝29，所以c＝，所以e＝＝.
5. 因為點A(10，2)在雙曲線my2－4x2＋4m＝0上，
所以(2)2m－4×102＋4m＝0，解得m＝25，
所以雙曲線方程為25y2－4x2＋100＝0，
即－＝1，
所以雙曲線的焦點在x軸上，且a2＝25，b2＝4，c2＝25＋4＝29，
所以實軸長2a＝10，虛軸長2b＝4，焦距2c＝2，焦點坐標為(，0)，(－，0)，頂點坐標為(－5，0)，(5，0)，離心率e＝＝，漸近線方程為y＝±x.3．2.2　雙曲線的簡單幾何性質(1)
1. 類比橢圓來研究雙曲線的幾何性質．
2. 掌握雙曲線的簡單幾何性質，如范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率．
3. 掌握雙曲線幾何性質的簡單應用．
活動一 研究雙曲線的幾何性質
在建立了雙曲線的標準方程之后，可以通過方程繼續研究雙曲線的幾何性質，那么雙曲線有哪些幾何性質？
1. 類比對橢圓幾何性質的研究，能否根據雙曲線的標準方程得到雙曲線的范圍、對稱性、頂點等幾何性質？
范圍：
2. 根據雙曲線方程－＝1(a>0，b>0)，你能發現雙曲線的范圍還受怎樣的限制？
(1) 對稱性：
(2) 頂點：
雙曲線的實軸：
雙曲線的虛軸：
試探究 a，b，c的幾何意義．
3. 我們已經知道，雙曲線的范圍在以直線y＝x和y＝－x為邊界的平面區域內，那么從x，y的變化趨勢看，雙曲線－＝1(a>0，b>0)與直線y＝±x具有怎樣的關系？
(1) 漸近線：
① 由圖形可知，雙曲線的漸近線能否看成某個矩形的對角線所在直線？
②比較雙曲線的標準方程與其漸近線方程，如何快捷地得到雙曲線的漸近線方程？
③什么是等軸雙曲線？其漸近線方程為什么？
(2) 離心率：
橢圓的離心率反映圖形的“扁”的程度，那么在雙曲線中，離心率是否也與雙曲線的形狀有關？
標準方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
圖形
焦點坐標
范圍
對稱性
頂點坐標
離心率
漸近線方程
活動二 掌握雙曲線的幾何性質
例1　求雙曲線9y2－16x2＝144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．
　求雙曲線－＝1 的實軸長、虛軸長、焦點和頂點坐標、離心率及漸近線方程．
活動三 掌握雙曲線幾何性質的簡單應用
例2　已知雙曲線的焦點在y軸上，焦距為16，離心率為，求雙曲線的標準方程．
變式　若去掉條件中的“焦點在y軸上”，結果如何？
例3　如果雙曲線的漸近線方程為y＝±3x，且經過點(－，6)，求雙曲線的標準方程．
1. (2023營口期末)過點(2，3)且與橢圓5x2＋9y2＝45有相同焦點的雙曲線的標準方程為(　　)
A. x2－＝1 B. －y2＝1
C. －＝1 D. －＝1
2. (2023合肥一中期末)已知平行于x軸的直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，O為坐標原點，若△OPQ為等邊三角形，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A. y＝±x B. y＝±x
C. y＝±x D. y＝±x
3. (多選)(2024重慶南開中學期末)已知雙曲線C：x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，以F1F2為直徑的圓Γ與雙曲線C的一個交點為P，則下列說法中正確的是(　　)
A. 圓Γ的方程為x2＋y2＝5
B. 雙曲線C的漸近線方程為x±2y＝0
C. 點F1到雙曲線C的漸近線的距離為2
D. △PF1F2的面積為4
4. (2024重慶期末)已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1(a≠0)的左、右焦點，P是雙曲線C上的一點，且PF1＝3PF2＝15，則雙曲線的離心率是________．
5. 若A(10，2)是雙曲線my2－4x2＋4m＝0上的點，試求該雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距、焦點坐標、頂點坐標、離心率、漸近線方程．

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