資源簡介

(共39張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.2　雙　曲　線
3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質(2)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 掌握雙曲線方程的簡單實際應用．
2. 理解直線與雙曲線的位置關系．
活 動 方 案
活動一　雙曲線方程的簡單實際應用
例1　如圖，雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面．它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高為55 m．試建立適當的坐標系，求出此雙曲線的方程.(精確到1 m)
【解析】 根據雙曲線的對稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖所示的直角坐標系Oxy，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點重合，這時，上、下口的直徑CC′，BB′都平行于x軸，且CC′＝13×2＝26，BB′＝25×2＝50.
因為直徑AA′是實軸，所以a＝12.
又B，C兩點都在雙曲線上，
反思與感悟
根據實際情況建立適當的平面直角坐標系，然后利用待定系數法求出雙曲線的標準方程．
　　　　　　由甲導彈驅逐艦、乙導彈驅逐艦、丙綜合補給艦組成的護航編隊奔赴某海域執行護航任務，對商船進行護航．某日，甲艦在乙艦的正東方向的6 km處，丙艦在乙艦的北偏西30°方向的 4 km處．某時刻甲艦發現商船的求救信號，由于乙、丙兩艦比甲艦距商船遠，因此4 s后乙、丙兩艦才同時發現這一信號，此信號的傳播速度為1 km/s，若甲艦趕赴救援，行進的方向角應是多少？
又PB－PA＝4，
所以點P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上，
活動二　雙曲線的第二定義
【解析】 設d是點M到直線l的距離．
反思與感悟
雙曲線的形成除了用平面上的兩個定點來形成以外，也可以用平面內的一個定點和一條不經過定點的定直線來形成，當然也可以用其他的條件來形成．
雙曲線準線的定義：
活動三　直線與雙曲線的位置關系
【解析】 由雙曲線的標準方程可知，雙曲線的焦點分別為F1(－3，0)，F2(3,0)．
因為直線AB的傾斜角是30°，且經過右焦點F2，
消去y并整理，得5x2＋6x－27＝0，
反思與感悟
直線與雙曲線位置關系的判斷方法：
方程思想的應用
將直線與雙曲線的方程聯立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．
(1) 當Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點；
(2) 當Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點；
(3) 當Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點．
　　　　　　已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1.
(1) 若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；
因為直線與雙曲線有兩個不同的交點，
檢 測 反 饋
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A. 4條 B. 3條
C. 2條 D. 1條
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【答案】 C
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【解析】 當直線l：y＝kx＋2與雙曲線C：x2－y2＝4的漸近線y＝±x平行時，k＝±1，此時直線與雙曲線的左支或右支只有一個交點．因為直線l：y＝kx＋2與雙曲線C：x2－y2＝4的左、右兩支各有一個交點，所以實數k的取值范圍為(－1,1)．
2. 若直線l：y＝kx＋2與雙曲線C：x2－y2＝4的左、右兩支各有一個交點，則實數k的取值范圍是(　　)
【答案】 D
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1
C. 若雙曲線C上一點P滿足PF1＝2PF2，則△PF1F2的周長為28
D. 若從雙曲線C的左、右支上任取一點，則這兩點的最短距離為6
【答案】 CD
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【解析】 方法一：由題意知，直線的斜率存在，
故可設直線的方程為y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1.
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方法二：設M(x1，y1)，N(x2，y2)．
因為點A(3，－1)平分弦MN，
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1
所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2，
即3x＋4y－5＝0.
謝謝觀看
Thank you for watching【參考答案與解析】
3．2.2　雙曲線的簡單幾何性質(2)
【活動方案】
例1　根據雙曲線的對稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖所示的直角坐標系Oxy，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點重合，這時，上、下口的直徑CC′，BB′都平行于x軸，且CC′＝13×2＝26，BB′＝25×2＝50.
設雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，點C的坐標為(13，y)，則點B的坐標為(25，y－55).
因為直徑AA′是實軸，所以a＝12.
又B，C兩點都在雙曲線上，
所以
由方程②，得y＝(負值舍去)，代入方程①，得
－＝1.
化簡，得19b2＋275b－18 150＝0，
解得b≈25(負值舍去).
故所求雙曲線的方程為－＝1.
跟蹤訓練　設A，B，C，P分別表示甲艦、乙艦、丙艦和商船．如圖，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2).
由題意，得PB＝PC，
所以點P在線段BC的垂直平分線上．
又易知kBC＝－，線段BC的中點D(－4，)，
所以直線PD的方程為y－＝(x＋4).①
又PB－PA＝4，
所以點P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上，
所以雙曲線方程為－＝1(x>2)，②
聯立①②，得點P的坐標為(8，5)，
所以kPA＝＝，
故甲艦行進的方向角為北偏東30°.
例2　設d是點M到直線l的距離．
根據題意，得動點M的軌跡就是點的集合P＝，
由此，得＝.
將上式兩邊平方并化簡，得7x2－ 9y2＝63，
即－＝1，
所以點M的軌跡是焦點在x軸上，實軸長為6，虛軸長為2的雙曲線．
跟蹤訓練　(1) 由題意，得＝，
化簡，得－＝1，
即曲線C的方程為－＝1.
(2) 如圖，過點M作MN垂直于直線l：x＝，垂足為N.
設MN＝d，則＝，即MF＝d，
所以MA＋MF＝MA＋d.
顯然，當N，M，A三點共線時，MA＋MF取得最小值，最小值為5－＝.
例3　由雙曲線的標準方程可知，雙曲線的焦點分別為F1(－3，0)，F2(3，0).
因為直線AB的傾斜角是30°，且經過右焦點F2，
所以直線AB的方程為y＝(x－3).　①
由消去y并整理，得5x2＋6x－27＝0，
解方程，得x1＝－3，x2＝.
將x1，x2的值分別代入①，得y1＝－2，y2＝－，
所以A，B兩點的坐標分別為(－3, － 2)，，　
所以AB＝＝.　
跟蹤訓練　(1) 聯立消去y并整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
因為直線與雙曲線有兩個不同的交點，
所以
解得－＜k＜，且k≠±1，
故實數k的取值范圍為(－，－1)∪(－1，1)∪(1，).
(2) 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
對于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根與系數的關系，得x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以AB＝|x1－x2|＝.
又因為點O(0，0)到直線y＝kx－1的距離d＝，　
所以S△AOB＝·AB·d＝＝，
即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±，
所以實數k的值為±或0.
【檢測反饋】
1. C　由題意，得點P(2，)在雙曲線的漸近線y＝x上，且位于第一象限，和雙曲線的右頂點有相同橫坐標，如圖，則過點P(2，)且與雙曲線E有且只有一個公共點的直線只有兩條．一條是切線：x＝2，一條是過點P(2，)且與另一條漸近線平行的直線．
2. D　當直線l：y＝kx＋2與雙曲線C：x2－y2＝4的漸近線y＝±x平行時，k＝±1，此時直線與雙曲線的左支或右支只有一個交點．因為直線l：y＝kx＋2與雙曲線C：x2－y2＝4的左、右兩支各有一個交點，所以實數k的取值范圍為(－1，1).
3. CD　由題意，得雙曲線C：－＝1，故漸近線為4x±3y＝0，故A錯誤；易知雙曲線和橢圓的離心率分別為e1＝＝，e2＝＝，顯然它們不互為倒數，故B錯誤；由雙曲線的定義可知|PF1－PF2|＝2×3＝6，若PF1＝2PF2，則|PF1－PF2|＝PF2＝6，PF1＝12，又F1F2＝2×＝10，故△PF1F2的周長為PF1＋PF2＋F1F2＝12＋6＋10＝28，故C正確；由雙曲線的圖象可知左、右兩支上距離最近的兩點為左、右頂點，即最短距離為6，故D正確．故選CD.
4. 　如圖，作OA⊥F1M于點A，F2B⊥F1M于點B.因為F1M與圓x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以OA＝a，F2B＝BM＝2a，則F2M＝2a，F1B＝2＝2b.又點M在雙曲線上，所以F1M－F2M＝2a＋2b－2a＝2a，整理，得b＝a，即b2＝2a2＝c2－a2，得e2＝3，由e>1，解得e＝，所以雙曲線的離心率為.
5. 方法一：由題意知，直線的斜率存在，故可設直線的方程為y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1.
由消去y并整理，得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝.
因為A(3，－1)為MN的中點，
所以＝3，即＝3，解得k＝－.
當k＝－時，滿足Δ>0，符合題意，
所以所求直線MN的方程為y＝－x＋，
即3x＋4y－5＝0.
方法二：設M(x1，y1)，N(x2，y2).
因為點M，N均在雙曲線上，所以
兩式相減，得＝y－y，
所以＝.
因為點A(3，－1)平分弦MN，
所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2，
所以kMN＝＝＝－.
經驗證，該直線MN存在，
所以所求直線MN的方程為y＋1＝－(x－3)，
即3x＋4y－5＝0.3．2.2　雙曲線的簡單幾何性質(2)
1. 掌握雙曲線方程的簡單實際應用．
2. 理解直線與雙曲線的位置關系．
活動一 雙曲線方程的簡單實際應用
例1　如圖，雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面．它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高為55 m．試建立適當的坐標系，求出此雙曲線的方程．(精確到1 m)
　
根據實際情況建立適當的平面直角坐標系，然后利用待定系數法求出雙曲線的標準方程．
　由甲導彈驅逐艦、乙導彈驅逐艦、丙綜合補給艦組成的護航編隊奔赴某海域執行護航任務，對商船進行護航．某日，甲艦在乙艦的正東方向的6 km處，丙艦在乙艦的北偏西30°方向的 4 km處.某時刻甲艦發現商船的求救信號，由于乙、丙兩艦比甲艦距商船遠，因此4 s后乙、丙兩艦才同時發現這一信號，此信號的傳播速度為1 km/s，若甲艦趕赴救援，行進的方向角應是多少？
活動二 雙曲線的第二定義
例2　動點M(x，y)與定點F(4，0)的距離和它到定直線l：x＝的距離的比是常數，求動點M的軌跡．
雙曲線的形成除了用平面上的兩個定點來形成以外，也可以用平面內的一個定點和一條不經過定點的定直線來形成，當然也可以用其他的條件來形成．
雙曲線準線的定義：
若點M(x，y)與定點F(c，0)(或F′(－c，0))的距離和它到定直線l：x＝(或l′：x＝－)的距離的比是常數(0　(2023石家莊階段練習)動點M(x，y)與定點F(5，0)的距離和它到定直線l：x＝的距離之比是，記動點M的軌跡為曲線C.
(1) 求曲線C的方程；
(2) 若動點M在y軸的右側，定點A(5，2)，求MA＋MF的最小值．
活動三 直線與雙曲線的位置關系
例3　如圖，過雙曲線－＝1的右焦點F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，求AB的長．
直線與雙曲線位置關系的判斷方法：
方程思想的應用
將直線與雙曲線的方程聯立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．
(1) 當Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點；
(2) 當Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點；
(3) 當Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點．
　已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1.
(1) 若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；
(2) 若直線l與雙曲線C交于A，B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為，求實數k的值．
1. (2024肇慶模擬)已知雙曲線E：－＝1，則過點(2，)與雙曲線E有且只有一個公共點的直線共有(　　)
A. 4條 B. 3條 C. 2條 D. 1條
2. 若直線l：y＝kx＋2與雙曲線C：x2－y2＝4的左、右兩支各有一個交點，則實數k的取值范圍是(　　)
A. (－，－1) B. (1，) C. (－，) D. (－1，1)
3. (多選)已知雙曲線C：－＝－1的焦點分別為F1，F2，則下列結論中正確的是(　　)
A. 漸近線方程為3x±4y＝0
B. 雙曲線C與橢圓＋＝1的離心率互為倒數
C. 若雙曲線C上一點P滿足PF1＝2PF2，則△PF1F2的周長為28
D. 若從雙曲線C的左、右支上任取一點，則這兩點的最短距離為6
4. (2024東營期末)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1作圓 x2＋y2＝a2的切線，交雙曲線的右支于點M，若∠F1MF2＝45°，則該雙曲線的離心率為________．
5. 已知雙曲線－y2＝1，求過點A (3，－1)且被點A平分的弦MN所在直線的方程.

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