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(共39張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.3　拋　物　線
3.3.1　拋物線及其標準方程
內(nèi)容索引
學(xué)習(xí)目標
活動方案
檢測反饋
學(xué) 習(xí) 目 標
1. 掌握拋物線的定義、焦點及準線的概念．
2. 類比橢圓、雙曲線的研究過程和方法，研究拋物線，掌握拋物線的標準方程及其推導(dǎo)過程．
3. 明確p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標準方程問題．
4. 掌握拋物線的簡單應(yīng)用．
活 動 方 案
活動一　掌握拋物線的定義、標準方程、焦點坐標和準線方程
1. 問題導(dǎo)入
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線，今天我們類比橢圓、雙曲線的研究過程與方法，研究另一種圓錐曲線——拋物線．
探究一：
如圖，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)，直線l的位置上，一塊直角三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣，把一根繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點A處，截取繩子的長等于點A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F，用一支鉛筆的筆尖緊靠著直角三角板的邊AC，并把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直角尺上下滑動，這樣鉛筆就畫出了一條曲線．
探究二：
利用信息技術(shù)作圖．如圖，F(xiàn)是定點，l是不經(jīng)過點F的定直線，H是直線l上的任意一點，過點H作MH⊥l，線段FH的垂直平分線m交MH于點M.拖動點H，點M隨之運動，你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？它的軌跡是什么形狀？
【解析】 可以發(fā)現(xiàn)，在點M隨著點H運動的過程中，始終有MF＝MH，即點M與定點F的距離等于它到定直線l的距離，點M的軌跡形狀與二次函數(shù)的圖象相似.
2. 拋物線的定義：
【解析】 我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．
3. 拋物線的標準方程
思考1
設(shè)拋物線的焦點F到準線l的距離為p，類比橢圓和雙曲線，如何建立直角坐標系，可能使所求拋物線的方程形式簡單？
【解析】 根據(jù)拋物線的幾何特征，取經(jīng)過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立平面直角坐標系.
結(jié)論：
拋物線的標準方程為：_____________________；
焦點坐標為F___________；
準線方程為l：_____________.
y2＝2px(p>0)
思考2
拋物線標準方程還有哪些形式？
【解析】 y2＝－2px(p>0)　x2＝2py(p>0)　x2＝－2py(p>0)
【解析】 填表略
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
焦點坐標
準線方程
開口方向
思考3
拋物線的四種標準方程之間有哪些聯(lián)系和區(qū)別？
【解析】 共同點：左邊都是二次式，且系數(shù)為1，右邊都是一次式.
區(qū)別：開口方向、焦點所在位置不同．
思考4
確定拋物線標準方程的關(guān)鍵是什么？如何“定位置”？如何 “定量”？
【解析】 考慮其開口方向、焦點位置，利用開口方向定位置，焦點位置定量．
活動二　掌握拋物線的標準方程的求法及簡單應(yīng)用
例1　(1) 已知拋物線的標準方程是y2＝6x，求它的焦點坐標和準線方程；
(2) 已知拋物線的焦點是F(0，－2)，求它的標準方程．
反思與感悟
1. 用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟：
2. 求拋物線的標準方程時需注意的三個問題：
(1) 把握開口方向與方程一次項系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系；
(2) 當拋物線的位置沒有確定時，可設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論不同情況的次數(shù)；
　　　　　　根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標準方程：
(2) 焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5；
(3) 經(jīng)過點(－3，－1)；
(4) 焦點為直線3x－4y－12＝0與坐標軸的交點．
(2) 因為拋物線的焦點在y軸上，所以可設(shè)方程為 x2＝2my(m≠0).由焦點到準線的距離為5，知|m|＝5，則m＝±5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2＝10y和x2＝－10y.
(3) 因為點(－3，－1)在第三象限，
所以設(shè)所求拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
(4) 對于直線方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；
令y＝0，得x＝4，
所以拋物線的焦點為(0，－3)或(4,0)．
此時拋物線的標準方程為y2＝16x，
所以所求拋物線的標準方程為x2＝－12y或y2＝16x.
例2　一種衛(wèi)星接收天線如圖1，其曲面與軸截面的交線為拋物線．在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處，如圖2.已知接收天線的口徑(直徑)為4.8 m，深度為1 m．試建立適當?shù)淖鴺讼担髵佄锞€的標準方程和焦點坐標．
圖1　　　　　　　圖2
【解析】 如圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立平面直角坐標系，使接收天線的頂點與原點重合，焦點在x軸上．
設(shè)拋物線的標準方程是y2＝2px(p>0)．
由已知條件，得點A的坐標是(1,2.4)，
代入方程，得2.42＝2p×1，
解得p＝2.88，
所以所求拋物線的標準方程是y2＝5.76x，焦點坐標是(1.44,0)．
反思與感悟
求解拋物線實際應(yīng)用題的步驟：
　　　　　　一輛卡車高3 m，寬1.6 m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，如圖所示．已知拱口寬AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口寬為a m，求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值．
【解析】 如圖，以拱頂O為原點，拱高OD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．
設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)．
因為AB是OD的4倍，且AB＝a，
所以拋物線方程為x2＝－ay.
設(shè)E(0.8，y0)為拋物線上的一點，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
所以a的最小整數(shù)值為13.
檢 測 反 饋
2
4
5
1
3
【解析】 由拋物線定義可知MF等于點M到準線的距離，故點M到x軸的距離為MF－1＝3－1＝2.
1. (2023咸陽實驗中學(xué)階段練習(xí))已知拋物線x2＝4y的焦點為F，點M在拋物線上，且MF＝3，則點M到x軸的距離為(　　)
C. 2 D. 3
【答案】 C
2
4
5
1
3
A. x＝－1 B. x＝－2
C. x＝－3 D. x＝－4
2
4
5
1
3
【答案】 D
2
4
5
3
1
3. (多選)已知F是拋物線C：y2＝16x的焦點，M是拋物線C上的一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則下列說法中正確的是(　　)
A. 拋物線C的準線方程為x＝－4
B. 點F的坐標為(0,4)
C. FN＝12
2
4
5
3
1
【答案】 ACD
2
4
5
3
1
4. (2024北京西城期末)已知拋物線C：y2＝8x，則拋物線C的準線方程為________；設(shè)拋物線C的頂點為O，焦點為F.點P在拋物線C上，點Q與點P關(guān)于y軸對稱．若QF平分∠PFO，則點P的橫坐標為________.
2
4
5
3
1
【答案】 x＝－2　2
2
4
5
3
1
5. 根據(jù)下列條件分別求拋物線的標準方程：
(1) 拋物線的焦點是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點；
(2) 拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，AF＝5.
2
4
5
3
1
所以p＝6，所以拋物線的方程為y2＝－12x.
(2) 設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線的方程為y2＝2nx(n≠0)，A(m, －3).
又(－3)2＝2nm，所以n＝±1或n＝±9，
故所求拋物線方程為y2＝±2x或y2＝±18x.
謝謝觀看
Thank you for watching【參考答案與解析】
3．3　拋　物　線
3.3.1　拋物線及其標準方程
【活動方案】
探究二：可以發(fā)現(xiàn)，在點M隨著點H運動的過程中，始終有MF＝MH，即點M與定點F的距離等于它到定直線l的距離，點M的軌跡形狀與二次函數(shù)的圖象相似.
2. 我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．
思考1：根據(jù)拋物線的幾何特征，取經(jīng)過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立平面直角坐標系．
結(jié)論：y2＝2px(p>0)　　x＝－
思考2：y2＝－2px(p>0)　x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
填表略
思考3：共同點：左邊都是二次式，且系數(shù)為1，右邊都是一次式．
區(qū)別：開口方向、焦點所在位置不同．
思考4：考慮其開口方向、焦點位置，利用開口方向定位置，焦點位置定量．
例1　(1) 由題意，得p＝3，拋物線的焦點在x軸正半軸上，所以它的焦點坐標是，準線方程是x＝－.
(2) 因為拋物線的焦點在y軸負半軸上，且＝2，則p＝4，所以拋物線的標準方程是x2＝－8y.
跟蹤訓(xùn)練　(1) 因為拋物線的準線交y軸于正半軸，且＝，所以p＝，所以所求拋物線的標準方程為x2＝－y.
(2) 因為拋物線的焦點在y軸上，所以可設(shè)方程為 x2＝2my(m≠0).由焦點到準線的距離為5，知|m|＝5，則m＝±5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2＝10y和x2＝－10y.
(3) 因為點(－3，－1)在第三象限，
所以設(shè)所求拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).
若拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)，則由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若拋物線的標準方程為x2＝－2py(p>0)，則由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝，
所以所求拋物線的標準方程為y2＝－x或x2＝－9y.
(4) 對于直線方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；
令y＝0，得x＝4，
所以拋物線的焦點為(0，－3)或(4，0).
當焦點為(0，－3)時，＝3，所以p＝6，
此時拋物線的標準方程為x2＝－12y；
當焦點為(4，0)時，＝4，所以p＝8，
此時拋物線的標準方程為y2＝16x，
所以所求拋物線的標準方程為x2＝－12y或y2＝16x.
例2　如圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立平面直角坐標系，使接收天線的頂點與原點重合，焦點在x軸上．
設(shè)拋物線的標準方程是y2＝2px(p>0).
由已知條件，得點A的坐標是(1，2.4)，
代入方程，得2.42＝2p×1，
解得p＝2.88，
所以所求拋物線的標準方程是y2＝5.76x，焦點坐標是(1.44，0).
跟蹤訓(xùn)練　如圖，以拱頂O為原點，拱高OD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．
設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0).
因為AB是OD的4倍，且AB＝a，
所以點B的坐標為.
由點B在拋物線上，得＝－2p·，
所以p＝，
所以拋物線方程為x2＝－ay.
設(shè)E(0.8，y0)為拋物線上的一點，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
所以y0＝－，
所以點E到拱底AB的距離h＝－|y0|＝－.　
令h＞3，則－＞3，
解得a＞6＋或a＜6－(舍去)，
所以a的最小整數(shù)值為13.
【檢測反饋】
1. C　由拋物線定義可知MF等于點M到準線的距離，故點M到x軸的距離為MF－1＝3－1＝2.
2. D　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線l：y＝－，聯(lián)立消去y并整理，得x2－3px＋＝0，則Δ>0，x1＋x2＝3p.又直線l經(jīng)過拋物線C的焦點，則MN＝x1＋x2＋p＝3p＋p＝32，解得p＝8，故拋物線C的準線方程為x＝－4.
3. ACD　如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限，拋物線的準線l與x軸交于點F′，作MB⊥l于點B，NA⊥l于點A.由拋物線的解析式，得拋物線的準線方程為x＝－4，點F的坐標為(4，0)，故A正確，B錯誤；在直角梯形ANFF′中，中位線BM＝＝＝6.由拋物線的定義有MF＝MB＝6.因為M為FN的中點，所以MN＝MF＝6，故FN＝FM＋NM＝6＋6＝12，則ON＝＝8，所以S△ONF＝×8×4＝16，故C，D正確．故選ACD.
4. x＝－2　2　由拋物線y2＝8x，得2p＝8，＝2，所以準線方程為x＝－2，焦點為F(2，0).設(shè)點P，則點Q.因為PQ∥x軸，QF平分∠PFO，所以∠PQF＝∠PFQ，所以PQ＝PF，即×2＝＋＝＋2，t2＝16，所以點P的橫坐標為＝＝2.
5. (1) 雙曲線方程可化為－＝1，則左頂點為(－3，0).
由題意可設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，且＝3，所以p＝6，所以拋物線的方程為y2＝－12x.
(2) 設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線的方程為y2＝2nx(n≠0)，A(m，－3).
由拋物線定義，得5＝AF＝|m＋|.
又(－3)2＝2nm，所以n＝±1或n＝±9，
故所求拋物線方程為y2＝±2x或y2＝±18x.3．3　拋　物　線
3.3.1　拋物線及其標準方程
1. 掌握拋物線的定義、焦點及準線的概念．
2. 類比橢圓、雙曲線的研究過程和方法，研究拋物線，掌握拋物線的標準方程及其推導(dǎo)過程．
3. 明確p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標準方程問題．
4. 掌握拋物線的簡單應(yīng)用．
活動一 掌握拋物線的定義、標準方程、焦點坐標和準線方程
1. 問題導(dǎo)入
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線，今天我們類比橢圓、雙曲線的研究過程與方法，研究另一種圓錐曲線——拋物線．
探究一：
如圖，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)，直線l的位置上，一塊直角三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣，把一根繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點A處，截取繩子的長等于點A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F，用一支鉛筆的筆尖緊靠著直角三角板的邊AC，并把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直角尺上下滑動，這樣鉛筆就畫出了一條曲線．
探究二：
利用信息技術(shù)作圖．如圖，F(xiàn)是定點，l是不經(jīng)過點F的定直線，H是直線l上的任意一點，過點H作MH⊥l，線段FH的垂直平分線m交MH于點M.拖動點H，點M隨之運動，你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？它的軌跡是什么形狀？
2. 拋物線的定義：
3. 拋物線的標準方程
思考1
設(shè)拋物線的焦點F到準線l的距離為p，類比橢圓和雙曲線，如何建立直角坐標系，可能使所求拋物線的方程形式簡單？
結(jié)論：
拋物線的標準方程為：______________；
焦點坐標為F____________；
準線方程為l：____________．
思考2
拋物線標準方程還有哪些形式？
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
焦點坐標
準線方程
開口方向
思考3
拋物線的四種標準方程之間有哪些聯(lián)系和區(qū)別？
思考4
確定拋物線標準方程的關(guān)鍵是什么？如何“定位置”？如何 “定量”？
活動二 掌握拋物線的標準方程的求法及簡單應(yīng)用
例1　(1) 已知拋物線的標準方程是y2＝6x，求它的焦點坐標和準線方程；
(2) 已知拋物線的焦點是F(0，－2)，求它的標準方程．
1. 用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟：
2. 求拋物線的標準方程時需注意的三個問題：
(1) 把握開口方向與方程一次項系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系；
(2) 當拋物線的位置沒有確定時，可設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論不同情況的次數(shù)；
(3) 注意p與的幾何意義．
　根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標準方程：
(1) 準線方程為y＝；
(2) 焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5；
(3) 經(jīng)過點(－3，－1)；
(4) 焦點為直線3x－4y－12＝0與坐標軸的交點．
例2　一種衛(wèi)星接收天線如圖1，其曲面與軸截面的交線為拋物線．在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處，如圖2.已知接收天線的口徑(直徑)為4.8 m，深度為1 m．試建立適當?shù)淖鴺讼担髵佄锞€的標準方程和焦點坐標．
圖1 圖2
求解拋物線實際應(yīng)用題的步驟：
　一輛卡車高3 m，寬1.6 m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，如圖所示．已知拱口寬AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口寬為a m，求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值．
1. (2023咸陽實驗中學(xué)階段練習(xí))已知拋物線x2＝4y的焦點為F，點M在拋物線上，且MF＝3，則點M到x軸的距離為(　　)
A. 4 B. 2 C. 2 D. 3
2. (2024河南期末)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，過點且斜率為－1的直線l交拋物線C于M，N兩點，且MN＝32，則拋物線C的準線方程為(　　)
A. x＝－1 B. x＝－2 C. x＝－3 D. x＝－4
3. (多選)已知F是拋物線C：y2＝16x的焦點，M是拋物線C上的一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則下列說法中正確的是(　　)
A. 拋物線C的準線方程為x＝－4
B. 點F的坐標為(0，4)
C. FN＝12
D. △ONF的面積為16(O為坐標原點)
4. (2024北京西城期末)已知拋物線C：y2＝8x，則拋物線C的準線方程為________；設(shè)拋物線C的頂點為O，焦點為F.點P在拋物線C上，點Q與點P關(guān)于y軸對稱．若QF平分∠PFO，則點P的橫坐標為________．
5. 根據(jù)下列條件分別求拋物線的標準方程：
(1) 拋物線的焦點是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點；
(2) 拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，AF＝5.

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