資源簡介

(共35張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.3　拋　物　線
3.3.2　拋物線的簡單幾何性質(1)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 理解拋物線的簡單幾何性質，如范圍、對稱性、頂點和離心率.
2. 掌握拋物線的焦點弦的有關問題．
活 動 方 案
活動一　理解拋物線的幾何性質
探究：類比研究橢圓、雙曲線幾何性質的方法，填寫下表：
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍
對稱性
頂點坐標
離心率
焦點坐標
準線方程
【解析】 填表略
活動二　掌握拋物線幾何性質的簡單應用
【解析】 由題意可設拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)．
故所求拋物線的標準方程是y2＝4x.
　　　　　　(1) 求頂點在原點，以x軸為對稱軸，且通徑長為8的拋物線方程，并寫出它的焦點坐標和準線方程；(通徑：過拋物線的焦點與其對稱軸垂直的弦)
【解析】 (1) 當焦點在x軸正半軸上時，設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)．
由題意，得2p＝8，所以p＝4，
所以拋物線的方程為y2＝8x，焦點坐標為(2,0)，準線方程為x＝－2；
當焦點在x軸負半軸上時，設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)．
由題意，得2p＝8，所以p＝4，
所以拋物線的方程為y2＝－8x，焦點坐標為(－2,0)，準線方程為x＝2.
活動三　掌握與拋物線的焦點弦有關的性質
例2　斜率為1的直線l經過拋物線y2＝4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>x2.
因為直線l的斜率為1，且過焦點F(1,0)，
所以直線l的方程為y＝x－1.
如圖，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B兩點到準線的距離分別為dA，dB.由拋物線的定義，知AF＝dA＝x1＋1，BF＝dB＝x2＋1，
所以AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋2.
因為直線l的斜率為1，且過焦點F(1, 0)，
所以直線l的方程為y＝x－1.①
將①代入方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x，
化簡，得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，
所以AB＝x1＋x2＋2＝8，
故線段AB的長是8.
思考2
在例2中，如果直線l不經過焦點F，AB還等于x1＋x2＋p嗎？
【解析】 設直線l經過x軸上任意一點(m,0)，其中m≠1，則直線l的方程為y＝x－m.
設直線l與拋物線y2＝4x的兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，顯然FA＋FB＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2>AB.
所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝(2m＋4)2－4m2＝16m＋16.
又因為y2＝x2－m，y1＝x1－m，
所以(y2－y1)2＝(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝16m＋16，
反思與感悟
求直線與拋物線相交弦長的2種方法
　　　　　　已知拋物線y2＝2px(p>0)的一條過焦點F的弦AB被焦點F分成長度為m，n的兩部分，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)．求證：
(4) 以AB為直徑的圓必與拋物線的準線相切．
所以以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．
綜上，以AB為直徑的圓必與拋物線的準線相切．
檢 測 反 饋
2
4
5
1
3
1. (2024全國專題練習)如圖，某橋的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為h，跨徑為a，則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為(　　)
2
4
5
1
3
【答案】 A
2
4
5
1
3
2. (2023山東階段練習)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，P(x0,8)是拋物線C上一點，且點P到點F的距離與點P到拋物線C的對稱軸的距離之差為2，則p的值為(　　)
C. 2或4 D. 4或36
2
4
5
1
3
【答案】 D
2
4
5
3
1
3. (多選)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F到準線的距離為2，過點F的直線與拋物線相交于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，O為坐標原點，則下列說法中正確的是(　　)
A. 拋物線C的準線方程為y＝1
B. 線段PQ長度的最小值為4
C. 點M的坐標可能為(3,2)
2
4
5
3
1
【答案】 BCD
2
4
5
3
1
【答案】 3
2
4
5
3
1
2
4
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3
1
【解析】 (1) 由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.
由已知及拋物線的定義，可知PF＝d，
所以問題轉化為求PA＋PF的最小值．
由平面幾何知識知，當F，P，A三點共線，且點P在點A，F中間時，PA＋PF取得最小值，
5. 設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F為拋物線的焦點．
(1) 若點P到直線x＝－1的距離為d，A(－1,1)，求PA＋d的最小值；
(2) 若點B(3,2)，求PB＋PF的最小值．
2
4
5
3
1
如圖，過點B作BQ垂直于拋物線的準線于點Q，交拋物線于點P1.
由拋物線的定義，可知P1Q＝P1F，
則PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝3＋1＝4，
所以PB＋PF的最小值為4.
謝謝觀看
Thank you for watching【參考答案與解析】
3．3.2　拋物線的簡單幾何性質(1)
【活動方案】
探究：填表略
例1　由題意可設拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0).
因為點M(2，－2)在拋物線上，
所以(－2)2＝2p×2，解得p＝2.
故所求拋物線的標準方程是y2＝4x.
思考1：2條，它們的標準方程是y2＝4x或x2＝－y.
跟蹤訓練　(1) 當焦點在x軸正半軸上時，設拋物線的方程為y2＝2px(p>0).
由題意，得2p＝8，所以p＝4，
所以拋物線的方程為y2＝8x，焦點坐標為(2，0)，準線方程為x＝－2；
當焦點在x軸負半軸上時，設拋物線方程為y2＝－2px(p>0).由題意，得2p＝8，所以p＝4，
所以拋物線的方程為y2＝－8x，焦點坐標為(－2，0)，準線方程為x＝2.
(2) 由題意可設該拋物線的方程為x2＝－2py(p>0).將點M(，－2)代入方程，得3＝4p，
所以p＝，
所以拋物線的方程為x2＝－y.
例2　方法一：由題意可知，p＝2，＝1，焦點F的坐標為(1，0)，準線方程為x＝－1.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>x2.
因為直線l的斜率為1，且過焦點F(1，0)，
所以直線l的方程為y＝x－1.
聯立
解得
故AB＝＝8.
方法二：由題意可知，p＝2，＝1，焦點F的坐標為(1，0)，準線方程為x＝－1.
如圖，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B兩點到準線的距離分別為dA，dB.由拋物線的定義，知AF＝dA＝x1＋1，BF＝dB＝x2＋1，
所以AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋2.
因為直線l的斜率為1，且過焦點F(1, 0)，
所以直線l的方程為y＝x－1.①
將①代入方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x，
化簡，得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，
所以AB＝x1＋x2＋2＝8，
故線段AB的長是8.
思考2：設直線l經過x軸上任意一點(m，0)，其中m≠1，則直線l的方程為y＝x－m.
設直線l與拋物線y2＝4x的兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，顯然FA＋FB＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2>AB.
聯立消去y并整理，得x2－(2m＋4)x＋m2＝0，則x1＋x2＝2m＋4，x1x2＝m2，
所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝(2m＋4)2－4m2＝16m＋16.
又因為y2＝x2－m，y1＝x1－m，
所以(y2－y1)2＝(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝16m＋16，
所以AB＝＝，即AB的長度與m緊密關聯．
跟蹤訓練　(1) 若直線AB的斜率不存在，則 y1y2＝－p2，x1x2＝，顯然成立；
若直線AB的斜率存在，則設直線AB的斜率為k，k≠0，且直線AB過焦點F，
所以直線AB的方程為y＝k.
聯立消去x并整理，得y2－y－p2＝0，則y1y2＝－p2.
消去y并整理，得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，則x1x2＝.
綜上，y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2) 由題意，得拋物線的準線l的方程為 x＝－.
過點A作AM⊥l，垂足為M，過點B作BN⊥l，垂足為N，則AB＝AF＋BF＝AM＋BN＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
(3) 若直線AB的斜率不存在，則＋＝＝＝＝；
若直線AB的斜率存在，則由(1)(2)，得m＋n＝x1＋x2＋p＝＋p＝，
mn＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝，
所以＋＝＝.
綜上，＋＝.
(4) 若直線AB的斜率不存在，則以拋物線的焦點 F為圓心，p為半徑，
所以以AB為直徑的圓必與拋物線的準線相切；
若直線AB的斜率存在，則圓心坐標為(，).
由(1)，得＝，
由(3)，得半徑為＝.
又圓心到準線的距離為＋＝，
所以以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．
綜上，以AB為直徑的圓必與拋物線的準線相切．
【檢測反饋】
1. A　如圖，以橋頂為坐標原點，橋形的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系Oxy.設拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，結合題意可知，該拋物線經過點，則＝2hp，解得p＝，故橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為p＝.
2. D　因為P(x0，8)是拋物線C上一點，所以x＝16p，所以|x0|＝4.由拋物線的定義，得點P到點F的距離為8＋.又點P到拋物線C的對稱軸的距離為|x0|，則8＋－4＝2，解得p＝4或p＝36.
3. BCD　因為焦點F到準線的距離為p＝2，所以拋物線C的焦點為(1，0)，準線方程為x＝－1，故A錯誤；當PQ垂直于x軸時，長度最小，此時|yP|＝|yQ|＝2，所以PQ＝4，故B正確；設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為x＝my＋1.聯立消去x并整理，得y2－4my－4＝0，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝my1＋1＋my2＋1＝4m2＋2，x1x2＝·＝1.當m＝1時，可得M(3，2)，故C正確；又x1x2＝1，y1y2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故D正確．故選BCD.
4. 3　因為拋物線C：y2＝4x的焦點為F(1，0)，所以直線l：y＝(x－1).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立方程組消去x并整理，得y2－4y－4＝0，解得y1＝2，y2＝－，則B1，所以＝＝＝＝3.
5. (1) 由題意知，拋物線的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1.　
由已知及拋物線的定義，可知PF＝d，
所以問題轉化為求PA＋PF的最小值．
由平面幾何知識知，當F，P，A三點共線，且點P在點A，F中間時，PA＋PF取得最小值，
最小值為AF＝，即PA＋d的最小值為.
(2) 將點B的橫坐標代入y2＝4x中，得y＝±2.
因為2>2，所以點B在拋物線的內部．
如圖，過點B作BQ垂直于拋物線的準線于點Q，交拋物線于點P1.
由拋物線的定義，可知P1Q＝P1F，
則PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝3＋1＝4，
所以PB＋PF的最小值為4.3．3.2　拋物線的簡單幾何性質(1)
1. 理解拋物線的簡單幾何性質，如范圍、對稱性、頂點和離心率．
2. 掌握拋物線的焦點弦的有關問題．
活動一 理解拋物線的幾何性質
探究：類比研究橢圓、雙曲線幾何性質的方法，填寫下表：
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍
對稱性
頂點坐標
離心率
焦點坐標
準線方程
活動二 掌握拋物線幾何性質的簡單應用
例1　已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在原點，且經過點M(2，－2)，求它的標準方程．
思考1
頂點在原點，對稱軸是坐標軸，并且經過點M(2，－2)的拋物線有幾條？這些拋物線的標準方程是什么？
　(1) 求頂點在原點，以x軸為對稱軸，且通徑長為8的拋物線方程，并寫出它的焦點坐標和準線方程；(通徑：過拋物線的焦點與其對稱軸垂直的弦)
(2) 已知拋物線關于y軸對稱，頂點在坐標原點，且過點M(，－2)，求其標準方程．
活動三　掌握與拋物線的焦點弦有關的性質　
例2　斜率為1的直線l經過拋物線y2＝4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．
思考2
在例2中，如果直線l不經過焦點F，AB還等于x1＋x2＋p嗎？
求直線與拋物線相交弦長的2種方法
　已知拋物線y2＝2px(p>0)的一條過焦點F的弦AB被焦點F分成長度為m，n的兩部分，設點A(x1，y1)，B(x2，y2).求證：
(1) y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2) AB＝x1＋x2＋p；
(3) ＋＝；
(4) 以AB為直徑的圓必與拋物線的準線相切．
1. (2024全國專題練習)如圖，某橋的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為h，跨徑為a，則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2. (2023山東階段練習)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，P(x0，8)是拋物線C上一點，且點P到點F的距離與點P到拋物線C的對稱軸的距離之差為2，則p的值為(　　)
A. B. 1 C. 2或4 D. 4或36
3. (多選)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F到準線的距離為2，過點F的直線與拋物線相交于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，O為坐標原點，則下列說法中正確的是(　　)
A. 拋物線C的準線方程為y＝1 B. 線段PQ長度的最小值為4
C. 點M的坐標可能為(3，2) D. ·＝－3
4. (2024濱州期末)斜率為的直線l過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且與拋物線C相交于A，B兩點，點A在x軸的上方，過點B作拋物線C的準線的垂線，垂足為B1，O為坐標原點，則＝________．
5. 設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F為拋物線的焦點．
(1) 若點P到直線x＝－1的距離為d，A(－1，1)，求PA＋d的最小值；
(2) 若點B(3，2)，求PB＋PF的最小值．

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