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(共45張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.3　拋　物　線
3.3.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)
內(nèi)容索引
學(xué)習(xí)目標(biāo)
活動(dòng)方案
檢測反饋
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1. 理解直線與拋物線的位置關(guān)系．
2. 能熟練地運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題．
3. 掌握處理與拋物線有關(guān)的綜合問題的方法．
活 動(dòng) 方 案
活動(dòng)一　理解直線與拋物線的位置關(guān)系
例1　已知拋物線的方程為y2＝4x，直線l繞點(diǎn)P(－2,1)旋轉(zhuǎn)，討論直線l與拋物線y2＝4x的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并回答下列問題：
(1) 畫出圖形表示直線l與拋物線的各種位置關(guān)系，從圖中你發(fā)現(xiàn)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)是什么情況？
(2) y2＝4x與直線l的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是什么關(guān)系？
【解析】 (1) 如圖，直線l與拋物線的位置關(guān)系有相交、相切、相離三種．
觀察圖形知，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l與拋物線相切(圖中直線l1，l2)和相交于一個(gè)公共點(diǎn)(圖中直線l0與x軸平行)．
(2) 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，方程為y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0，
若k≠0，則Δ＝16－16k(2k＋1)＝－16(2k－1)(k＋1)，
綜上，拋物線y2＝4x與直線l的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)和拋物線y2＝4x與直線l公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等．
反思與感悟
直線與拋物線的位置關(guān)系
設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y并整理成關(guān)于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1) 若k≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)切點(diǎn)；
當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線相離，沒有公共點(diǎn)．
(2) 若k＝0，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合．因此直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件．
例2　經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸．
【解析】 如圖，以拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.
即(y－y0)(y0y＋p2)＝0，
所以直線DB平行于拋物線的對稱軸．
思考
例2　還有其他證明方法嗎？
【解析】 如圖，以拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.
所以點(diǎn)D，B的縱坐標(biāo)相等，
所以直線DB平行于x軸，
即直線DB平行于拋物線的對稱軸．
反思與感悟
坐標(biāo)法求解拋物線相關(guān)問題的步驟：
1. 建系：根據(jù)問題，合理建立平面直角坐標(biāo)系；
2. 求點(diǎn)：利用已知條件，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)；
3. 求解：根據(jù)拋物線的相關(guān)性質(zhì)，列式求解．
　　　　　　過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)．
所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)．
活動(dòng)二　與拋物線有關(guān)的軌跡問題
例3　如圖，已知定點(diǎn)B(a，－h(huán))，BC⊥x軸于點(diǎn)C，M是線段OB上的任意一點(diǎn)，MD⊥x軸于點(diǎn)D，ME⊥BC于點(diǎn)E，OE與MD相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程．
【解析】 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(a，m)．
因?yàn)辄c(diǎn)P在OE上，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足③.
反思與感悟
求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法：
(1) 定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；
(2) 代入法：找到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，消參化簡即可求得軌跡方程．
【解析】 設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則點(diǎn)H(0，y0)，
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－x0，y0)，
所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為y2＝4x.
活動(dòng)三　與拋物線有關(guān)的定點(diǎn)、定值問題
例4　已知拋物線E的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，拋物線上的一點(diǎn)P(m,4)到其準(zhǔn)線的距離為5，過點(diǎn)F的直線l依次與拋物線E及圓x2＋(y－1)2＝1相交于A，C，D，B四點(diǎn)．
(1) 求拋物線E的方程；
(2) 探究AC·BD是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【解析】 (1) 由題意，設(shè)拋物線的方程為x2＝2py(p>0)．
因?yàn)閽佄锞€上的一點(diǎn)P(m,4)到其準(zhǔn)線的距離為5，
所以拋物線的方程為x2＝4y.
(2) 由(1)知，拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，恰好為圓 x2＋(y－1)2＝1的圓心．
設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因?yàn)檫^點(diǎn)F的直線l依次與拋物線E及圓x2＋(y－1)2＝1相交于A，C，D，B四點(diǎn)，
由拋物線的定義，得AF＝y(tǒng)1＋1，BF＝y(tǒng)2＋1，
則AC·BD＝(AF－1)·(BF－1)＝y(tǒng)1y2.
所以x1x2＝－4，
故AC·BD為定值1.
反思與感悟
定值與定點(diǎn)問題的求解策略
1. 欲證某個(gè)量為定值，先將該量用某變量表示，通過變形化簡若能消掉此變量，即證得結(jié)論，所得結(jié)果即為定值．
2. 尋求一條直線經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)的常用方法：(1) 通過方程判斷；(2) 對參數(shù)取幾個(gè)特殊值探求定點(diǎn)，再證明此點(diǎn)在直線上；(3) 利用曲線的性質(zhì)(如對稱性等)，令其中一個(gè)變量為定值，再求出另一個(gè)變量為定值；(4) 轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的斜率相等或向量平行等．
　　　　　　已知拋物線的方程是y2＝4x，直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1) 若弦AB的中點(diǎn)為(3,3)，求直線l的方程；
(2) 若y1y2＝－12，求證：直線l過定點(diǎn)．
【解析】 (1) 因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x，
(2) 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，k≠0，代入拋物線方程，消去x并整理，得ky2－4y＋4b＝0，
所以直線l的方程為y＝kx－3k＝k(x－3)，過定點(diǎn)(3,0)．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，y1y2＝－12，則x1＝x2＝3，
所以直線l過定點(diǎn)(3,0)．
綜上，直線l過定點(diǎn)(3,0)．
檢 測 反 饋
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1. 已知A是拋物線y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AF＝4時(shí)，∠OFA＝120°，則拋物線的準(zhǔn)線方程是(　　)
A. x＝－1 B. y＝－1
C. x＝－2 D. y＝－2
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【解析】 如圖，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AC，垂足為C，過點(diǎn)F作AC的垂線FB，垂足為B.由題意，知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°.又因?yàn)锳F＝4，所以AB＝2.點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離d＝AB＋BC＝p＋2＝4，解得p＝2，則拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程是x＝－1.
【答案】 A
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2. (2024佛山期末)已知F是拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，且AF＋BF＝6，則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】 B
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3. (多選)(2024重慶十八中期末)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝x＋1與拋物線C：x2＝4y相交于A, B兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. AB＝8 B. OA⊥OB
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【答案】 AC
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【答案】 (8,0)　64
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5. 如圖，已知F(1,0)為拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上．
(1) 求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；
(2) 求證：直線OA與直線BC的傾斜角互補(bǔ)．
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【解析】 (1) 因?yàn)镕(1,0)為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，
故拋物線的方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1.
(2) 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(m，n)，
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所以kOA＋kBC＝0；
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，求得A, B, C的坐標(biāo)，可得kOA＋kBC＝0.
綜上，直線OA與直線BC的傾斜角互補(bǔ)．
謝謝觀看
Thank you for watching【參考答案與解析】
3．3.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)
【活動(dòng)方案】
例1　(1) 如圖，直線l與拋物線的位置關(guān)系有相交、相切、相離三種．
觀察圖形知，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l與拋物線相切(圖中直線l1，l2)和相交于一個(gè)公共點(diǎn)(圖中直線l0與x軸平行).
(2) 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，方程為y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0，
聯(lián)立消去x并整理，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.
若k＝0，則y＝1，x＝，即方程組只有一個(gè)解，由圖知，此時(shí)直線l與拋物線相交，只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l的斜率為0；
若k≠0，則Δ＝16－16k(2k＋1)＝－16(2k－1)(k＋1)，
令Δ＝0，得k＝或k＝－1，即方程組有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，由圖知，此時(shí)直線l與拋物線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l的斜率分別為，－1；
令Δ>0，得k∈(－1，0)∪，即方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，由圖知，此時(shí)直線l與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線l的斜率k∈(－1，0)∪；
令Δ<0，得k∈(－∞，－1)∪，即方程組沒有實(shí)數(shù)解，由圖知，此時(shí)直線l與拋物線相離，沒有公共點(diǎn)，直線l的斜率k∈(－∞，－1)∪；
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－2，顯然方程組沒有實(shí)數(shù)解，由圖知，此時(shí)直線l與拋物線相離，沒有公共點(diǎn)，直線l的斜率不存在．
綜上，拋物線y2＝4x與直線l的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)和拋物線y2＝4x與直線l公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等．
例2　如圖，以拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.
設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(y0≠0)，
則直線OA的方程為y＝x.
又拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－.
聯(lián)立可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為－.
因?yàn)榻裹c(diǎn)F的坐標(biāo)是，當(dāng)y≠p2時(shí)，直線AF的方程為y＝.
聯(lián)立消去x并整理，得y0y2－(y－p2)y－y0p2＝0，
即(y－y0)(y0y＋p2)＝0，
可得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為－，與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等，所以DB平行于x軸．
當(dāng)y＝p2時(shí)，易知結(jié)論成立．
所以直線DB平行于拋物線的對稱軸．
思考：如圖，以拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.
設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，過焦點(diǎn)的直線方程為my＝x－，
聯(lián)立消去x并整理，得y2－2pmy－p2＝0.
設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A， B(y1≠0，y2≠0)，
則由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y2＝－p2.
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
由A，O，D三點(diǎn)共線，得kOA＝kOD，
即＝，解得y0＝＝＝y(tǒng)2，
所以點(diǎn)D，B的縱坐標(biāo)相等，
所以直線DB平行于x軸，
即直線DB平行于拋物線的對稱軸．
跟蹤訓(xùn)練　由題意，得點(diǎn)F.
設(shè)直線AB的方程為x＝my＋，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)C.
聯(lián)立消去x并整理，得y2－2mpy－p2＝0，則y1y2＝－p2，
所以kCO＝＝＝＝＝＝kAO，
所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)．
例3　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(a，m).
由題意，直線OB的方程為y＝－x. ①
因?yàn)辄c(diǎn)M在OB上，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入①，得
m＝－x， ②
所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足②.
直線OE的方程為y＝x. ③
因?yàn)辄c(diǎn)P在OE上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足③.
將②代入③，消去m，得x2＝－y(0≤x≤a)，
即點(diǎn)P的軌跡方程為x2＝－y(0≤x≤a).
跟蹤訓(xùn)練　設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則點(diǎn)H(0，y0)，
所以＝(－x0，0)，＝(－2x0，0)，
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－x0，y0)，
所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為y2＝4x.
例4　(1) 由題意，設(shè)拋物線的方程為x2＝2py(p>0).
因?yàn)閽佄锞€上的一點(diǎn)P(m，4)到其準(zhǔn)線的距離為5，
所以4＋＝5，解得p＝2，
所以拋物線的方程為x2＝4y.
(2) 由(1)知，拋物線的焦點(diǎn)為F(0，1)，恰好為圓 x2＋(y－1)2＝1的圓心．
設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
因?yàn)檫^點(diǎn)F的直線l依次與拋物線E及圓x2＋(y－1)2＝1相交于A，C，D，B四點(diǎn)，
由拋物線的定義，得AF＝y(tǒng)1＋1，BF＝y(tǒng)2＋1，
則AC·BD＝(AF－1)·(BF－1)＝y(tǒng)1y2.
由消去y并整理，得x2－4kx－4＝0，
所以x1x2＝－4，
所以AC·BD＝y(tǒng)1y2＝·＝＝1，
故AC·BD為定值1.
跟蹤訓(xùn)練　(1) 因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x，
所以y＝4x1，y＝4x2.
因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為(3，3)，所以x1≠x2.
兩式相減，得y－y＝4x1－4x2，
所以＝＝，
所以直線l的方程為y－3＝(x－3)，即y＝x＋1.
(2) 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，k≠0，代入拋物線方程，消去x并整理，得ky2－4y＋4b＝0，
所以y1y2＝＝－12，則b＝－3k，
所以直線l的方程為y＝kx－3k＝k(x－3)，過定點(diǎn)(3，0).
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，y1y2＝－12，則x1＝x2＝3，
所以直線l過定點(diǎn)(3，0).
綜上，直線l過定點(diǎn)(3，0).
【檢測反饋】
1. A　如圖，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AC，垂足為C，過點(diǎn)F作AC的垂線FB，垂足為B.由題意，知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°.又因?yàn)锳F＝4，所以AB＝2.點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離d＝AB＋BC＝p＋2＝4，解得p＝2，則拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程是x＝－1.
2. B　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)M(x0，y0)，則AF＋BF＝y(tǒng)1＋＋y2＋＝y(tǒng)1＋y2＋2＝6，解得y1＋y2＝4，所以y0＝＝2，所以線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為2.
3. AC　由拋物線C：x2＝4y，得焦點(diǎn)F(0，1)，則直線y＝x＋1過拋物線C的焦點(diǎn)，聯(lián)立方程組消去x并整理，得y2－6y＋1＝0，顯然Δ>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝6，y1y2＝1.對于A，由拋物線的定義，得AB＝y(tǒng)1＋y2＋p＝6＋2＝8，故A正確；對于B，由·＝x1x2＋y1y2＝(y1－1)(y2－1)＋y1y2 ＝2y1y2－(y1＋y2)＋1＝－3≠0，所以O(shè)A與OB不垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，由y2－6y＋1＝0，解得y1＝3＋2，y2＝3－2，由拋物線定義，得AF＝4＋2，BF＝4－2，則＋＝＋＝1，故C正確；對于D，線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為＝3，故D錯(cuò)誤．故選AC.
4. (8，0)　64　由題意，得直線l的斜率不為0，所以設(shè)直線l的方程為x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去x并整理，得y2－8my－8n＝0，則Δ＝64m2＋32n，所以·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝n2－8n＝0，所以n＝0或n＝8，當(dāng)n＝0時(shí)，直線l的方程為x＝my不滿足點(diǎn)A，B異于點(diǎn)O，舍去；當(dāng)n＝8時(shí)，直線l的方程為x＝my＋8恒過定點(diǎn)(8，0)，符合題意．記H(8，0)，所以S△AOB＝S△AOH＋S△BOH＝×8|y1－y2|＝4|y1－y2|.又|y1－y2|＝＝＝8，所以S△AOB＝32≥32×2＝64，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)，面積取得最小值，最小值為64.
5. (1) 因?yàn)镕(1，0)為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，
所以＝1，即p＝2，
故拋物線的方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1.
(2) 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(m，n)，
則y＝4x1，y＝4x2，n2＝4m.
聯(lián)立消去x并整理，得ky2－4y－4k＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－4，
則kOA＋kBC＝＋＝＋＝.　
由△ABC的重心G在x軸上，可得＝0，即n＋y1＋y2＝0，
所以kOA＋kBC＝0；
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，求得A，B，C的坐標(biāo)，可得kOA＋kBC＝0.
綜上，直線OA與直線BC的傾斜角互補(bǔ)．3．3.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)
1. 理解直線與拋物線的位置關(guān)系．
2. 能熟練地運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題．
3. 掌握處理與拋物線有關(guān)的綜合問題的方法．
活動(dòng)一 理解直線與拋物線的位置關(guān)系
例1　已知拋物線的方程為y2＝4x，直線l繞點(diǎn)P(－2，1)旋轉(zhuǎn)，討論直線l與拋物線y2＝4x的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并回答下列問題：
(1) 畫出圖形表示直線l與拋物線的各種位置關(guān)系，從圖中你發(fā)現(xiàn)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)是什么情況？
(2) y2＝4x與直線l的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是什么關(guān)系？
直線與拋物線的位置關(guān)系
設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y并整理成關(guān)于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1) 若k≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)切點(diǎn)；
當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線相離，沒有公共點(diǎn)．
(2) 若k＝0，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合．因此直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件．
例2　經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸．
思考
例2還有其他證明方法嗎？
坐標(biāo)法求解拋物線相關(guān)問題的步驟：
1. 建系：根據(jù)問題，合理建立平面直角坐標(biāo)系；
2. 求點(diǎn)：利用已知條件，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)；
3. 求解：根據(jù)拋物線的相關(guān)性質(zhì)，列式求解．
　過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)．
活動(dòng)二 與拋物線有關(guān)的軌跡問題
例3　如圖，已知定點(diǎn)B(a，－h(huán))，BC⊥x軸于點(diǎn)C，M是線段OB上的任意一點(diǎn)，MD⊥x軸于點(diǎn)D，ME⊥BC于點(diǎn)E，OE與MD相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程．
求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法：
(1) 定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；
(2) 代入法：找到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，消參化簡即可求得軌跡方程．
　已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在拋物線y2＝－4x上，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為H，動(dòng)點(diǎn)Q滿足＝2，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．
活動(dòng)三 與拋物線有關(guān)的定點(diǎn)、定值問題　
例4　已知拋物線E的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，拋物線上的一點(diǎn)P(m，4)到其準(zhǔn)線的距離為5，過點(diǎn)F的直線l依次與拋物線E及圓x2＋(y－1)2＝1相交于A，C，D，B四點(diǎn)．
(1) 求拋物線E的方程；
(2) 探究AC·BD是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
定值與定點(diǎn)問題的求解策略
1. 欲證某個(gè)量為定值，先將該量用某變量表示，通過變形化簡若能消掉此變量，即證得結(jié)論，所得結(jié)果即為定值．
2. 尋求一條直線經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)的常用方法：(1) 通過方程判斷；(2) 對參數(shù)取幾個(gè)特殊值探求定點(diǎn)，再證明此點(diǎn)在直線上；(3) 利用曲線的性質(zhì)(如對稱性等)，令其中一個(gè)變量為定值，再求出另一個(gè)變量為定值；(4) 轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的斜率相等或向量平行等．
　已知拋物線的方程是y2＝4x，直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1) 若弦AB的中點(diǎn)為(3，3)，求直線l的方程；
(2) 若y1y2＝－12，求證：直線l過定點(diǎn)．
1. 已知A是拋物線y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AF＝4時(shí)，∠OFA＝120°，則拋物線的準(zhǔn)線方程是(　　)
A. x＝－1 B. y＝－1 C. x＝－2 D. y＝－2
2. (2024佛山期末)已知F是拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，且AF＋BF＝6，則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. (多選)(2024重慶十八中期末)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝x＋1與拋物線C：x2＝4y相交于A，B兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. AB＝8 B. OA⊥OB
C. ＋＝1 D. 線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為2
4. (2023銀川唐徠回民中學(xué)階段練習(xí))已知拋物線C：y2＝8x，直線l交拋物線C于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，且滿足·＝0(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B異于點(diǎn)O)，則直線AB恒過定點(diǎn)________，△AOB面積的最小值為________．
5. 如圖，已知F(1，0)為拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上．
(1) 求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；
(2) 求證：直線OA與直線BC的傾斜角互補(bǔ)．

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