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(共38張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.4　圓錐曲線的統(tǒng)一定義習題課
內(nèi)容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握根據(jù)標準方程求圓錐曲線準線方程的方法．
2. 能運用統(tǒng)一定義解決相關(guān)的簡單問題．
活 動 方 案
活動一　掌握圓錐曲線的統(tǒng)一定義
1. 知識回顧
(1) 拋物線的定義：
【解析】 略
(2) 橢圓、雙曲線、拋物線的離心率：
【解析】 略
2. 問題1：我們知道，平面內(nèi)到一個定點F的距離和到一條定直線l(點F不在直線l上)的距離的比值等于1的動點P的軌跡是拋物線，那么當這個比值是一個不等于1的常數(shù)時，動點P的軌跡是什么？
【解析】 橢圓或雙曲線
【解析】 平面上一點(x，y)到點(c,0)的距離．
綜上所述，這個方程有什么幾何意義？
【解析】 橢圓上的點到定點F的距離和它到一條定直線l(點F不在直線l上)的距離的比是一個常數(shù)．
問題3：類比拋物線的定義，你能猜想出滿足什么條件的點的軌跡是橢圓？滿足什么條件的點的軌跡是雙曲線？
問題4：試判斷你的猜想是否正確，如果正確請給出證明．
【解析】 略
3. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：
【解析】 平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線l(點F不在直線l上)的距離之比是一個常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線．
這個常數(shù)e是該圓錐曲線的_________，定點F是該圓錐曲線的______，定直線l是該圓錐曲線的________.
說明：(1) 焦點與準線的對應性；
(2) 圓錐曲線的類型隨離心率e的變化而改變；
(3) 根據(jù)對稱性，橢圓與雙曲線的準線有兩條，而拋物線的準線只有一條．
離心率
焦點
準線
填寫下表(作圖時，要求作出準線)：
【解析】 填表略
標準方程 圖形 焦點坐標 準線方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
活動二　掌握圓錐曲線統(tǒng)一定義的簡單應用
例1　求下列曲線的焦點坐標和準線方程：
(1) 4x2＋y2＝16；
(2) x2－y2＝－16；
【答案】 8
【解析】 由題意，得雙曲線C的焦點在y軸上，
活動三　掌握圓錐曲線統(tǒng)一定義的綜合應用
所以AM＋2MF＝AM＋MN.
要求AM＋2MF的最小值，即求AM＋MN的最小值，
所以當M為AE與橢圓的交點時，AM＋MN取最小值，即為AE.
檢 測 反 饋
2
4
5
1
3
A. 4 B. 5
C. 6 D. 1
2
4
5
1
3
【答案】 B
2
4
5
1
3
A. 橢圓 B. 雙曲線
C. 拋物線 D. 以上都不對
2
4
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1
3
【答案】 B
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1
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【答案】 ABC
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1
【答案】 8
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1
2
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5
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1
【解析】 (1) 設(shè)動點P的坐標為(x，y)，
(2) 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
2
4
5
3
1
則3－k2≠0，且Δ＝(－2kt)2－4(3－k2)(－t2－3)＝12(t2＋3－k2)>0，
2
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5
3
1
2
4
5
3
1
謝謝觀看
Thank you for watching【參考答案與解析】
3．4　圓錐曲線的統(tǒng)一定義習題課
【活動方案】
1. 略
2. 問題1：橢圓或雙曲線
問題2：平面上一點(x，y)到點(c，0)的距離．
橢圓上一點(x，y)到直線x＝的距離；橢圓的離心率．
橢圓上的點到定點F的距離和它到一條定直線l(點F不在直線l上)的距離的比是一個常數(shù)．
問題3：當0<<1時，軌跡為橢圓；當>1時，軌跡為雙曲線．
問題4：略
3. 平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線l(點F不在直線l上)的距離之比是一個常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線．
離心率　焦點　準線
填表略
例1　(1) 由4x2＋y2＝16，得＋＝1，
所以焦點坐標為(0，±2)，準線方程為y＝±.
(2) 由x2－y2＝－16，得－＝1，
所以焦點坐標為(0，±4)，準線方程為y＝±2.
(3) 焦點坐標為，準線方程為x＝.
例2　(1) 8　設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.由題意，得c＝4，e＝，則＝，所以PF1＝2.又PF1＋PF2＝10，所以PF2＝8.
(2) x＝±　因為雙曲線的一條漸近線與直線2x－y＋3＝0垂直，所以該漸近線的斜率為－.又雙曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以a＝2，所以c＝，所以準線方程為 x＝±.
例3　由題意，得雙曲線C的焦點在y軸上，
所以＝.
又＝，c2＝a2＋b2，
所以a2＝16，b2＝9，
所以雙曲線C的方程是－＝1.
例4　由題意，得c2＝4，所以e＝，右準線l的方程為x＝8，
過點M作MN⊥l，垂足為N，過點A作AE⊥l，垂足為E.
因為＝，所以2MF＝MN，
所以AM＋2MF＝AM＋MN.
要求AM＋2MF的最小值，即求AM＋MN的最小值，
所以當M為AE與橢圓的交點時，AM＋MN取最小值，即為AE.
又點A(－2，)，所以(AM＋2MF)min＝AE＝2＋8＝10，
此時點M(2，).
跟蹤訓練　　由題意，得c2＝9，所以F(3，0)，e＝，右準線l的方程為x＝.過點P作PM⊥l，垂足為M，過點A作AN⊥l，垂足為N，則＝，所以PF＝PM，所以PA＋PF＝PA＋PM≥AN.又點A(4，1)，N，所以AN＝，即(PA＋PF)min＝.
【檢測反饋】
1. B　橢圓＋＝1的左準線方程為x＝－.設(shè)P(x0，y0)，x0>0，橢圓的左焦點為F，則根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得＝，所以PF＝x0＋3.因為－3≤x0≤3，所以－2≤x0≤2，所以1≤x0＋3≤5，所以1≤PF≤5，所以PFmax＝5，即點P到橢圓左焦點的最遠距離是5.
2. B　方程＝|3x＋4y－12|即為方程＝5>1，表示動點P(x，y)到定點O(0，0)的距離與到定直線3x＋4y－12＝0的距離的比為5，且大于1，所以其軌跡為雙曲線．
3. ABC　由題意，得a＝4，b＝，c＝3.因為PF1＋PF2＝2a＝8，故A正確；因為e＝＝，所以PF1＝＝＝x0＋4＝ex0＋a.又因為x0∈[－4，4]，所以PF1＝x0＋4＝ex0＋a∈[1，7]，故B正確；因為準線方程為x＝±，所以準線方程為x＝±，故C正確；△PF1F2的周長為PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝8＋6＝14，故D錯誤．故選ABC.
4. 8　由題意，得拋物線的焦點為F(1，0)，顯然l的斜率不為0，則設(shè)直線l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立消去x并整理，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，則x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝＝1，＝(x1＋1，y1－2)，＝(x2＋1，y2－2)，·＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝1＋4m2＋2＋1－4－8m＋4＝0，解得m＝1，所以x1＋x2＝6，AB＝x1＋x2＋2＝8.
5. (1) 設(shè)動點P的坐標為(x，y)，
則PF＝，點P到直線x＝的距離d＝.
由題意知PF＝2d，即＝2，
化簡，得x2－＝1，即曲線Γ的方程為x2－＝1.
(2) 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
聯(lián)立消去y并整理，得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
則3－k2≠0，且Δ＝(－2kt)2－4(3－k2)(－t2－3)＝12(t2＋3－k2)>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以y1y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)
＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2
＝＋＋t2＝.
因為OA⊥OB，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
所以－＋＝0，所以2t2＝3k2＋3，
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×＝，
16xx＝16＝，
所以＋＝＋
＝＋＝
＝
＝
＝＝＝，
即＋為定值.3．4　圓錐曲線的統(tǒng)一定義習題課
1. 了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握根據(jù)標準方程求圓錐曲線準線方程的方法．
2. 能運用統(tǒng)一定義解決相關(guān)的簡單問題．
活動一 掌握圓錐曲線的統(tǒng)一定義
1. 知識回顧
(1) 拋物線的定義：
(2) 橢圓、雙曲線、拋物線的離心率：
2. 問題1：我們知道，平面內(nèi)到一個定點F的距離和到一條定直線l(點F不在直線l上)的距離的比值等于1的動點P的軌跡是拋物線，那么當這個比值是一個不等于1的常數(shù)時，動點P的軌跡是什么？
問題2：我們在推導橢圓的標準方程時，得到這樣一個方程a2－cx＝a，將其變形為＝.在這個方程中，有什么幾何意義？
－x有什么幾何意義？有什么幾何意義？
綜上所述，這個方程有什么幾何意義？
問題3：類比拋物線的定義，你能猜想出滿足什么條件的點的軌跡是橢圓？滿足什么條件的點的軌跡是雙曲線？
問題4：試判斷你的猜想是否正確，如果正確請給出證明．
試分別就橢圓中0<<1和雙曲線中>1給出證明：
0<<1：
>1：
3. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：
這個常數(shù)e是該圓錐曲線的__________，定點F是該圓錐曲線的________，定直線l是該圓錐曲線的________．
說明：(1) 焦點與準線的對應性；
(2) 圓錐曲線的類型隨離心率e的變化而改變；
(3) 根據(jù)對稱性，橢圓與雙曲線的準線有兩條，而拋物線的準線只有一條．
填寫下表(作圖時，要求作出準線)：
標準方程 圖形 焦點坐標 準線方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
活動二 掌握圓錐曲線統(tǒng)一定義的簡單應用
例1　求下列曲線的焦點坐標和準線方程：
(1) 4x2＋y2＝16；
(2) x2－y2＝－16；
(3) y2＝－x.
例2　(1) 橢圓＋＝1上有一點P到左準線的距離為2.5，則點P到右焦點的距離為__________；
(2) 已知雙曲線－y2＝1(a>0)的一條漸近線與直線2x－y＋3＝0垂直，則該雙曲線的準線方程為______________．
例3　已知雙曲線C的漸近線方程是4x±3y＝0，一條準線的方程為y＝，求此雙曲線的方程．
活動三 掌握圓錐曲線統(tǒng)一定義的綜合應用
例4　已知點A(－2，)，F(xiàn)為橢圓＋＝1的右焦點，點M在橢圓上移動，求AM＋2MF的最小值，并求此時點M的坐標．
　已知雙曲線－＝1，F(xiàn)為其右焦點，A(4，1)為平面上的一點，P為雙曲線上的一點，則PA＋PF的最小值為________．
1. 已知P是橢圓＋＝1上一動點，則點P到橢圓左焦點的最遠距離是(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 1
2. (2023重慶萬州二中階段練習)希臘數(shù)學家帕普斯在他的著作《數(shù)學匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明，他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線．當01時，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程＝|3x＋4y－12|表示的圓錐曲線為(　　)
A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 以上都不對
3. (多選)已知P(x0，y0)是橢圓C：＋＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. PF1＋PF2＝8 B. PF1＝ex0＋a∈[1，7]
C. 準線方程為x＝± D. △PF1F2的周長為16
4. (2024瀘州期末)過拋物線C：y2＝4x的焦點作直線l與拋物線C交于A，B兩點，已知點P(－1，2)，若·＝0，則AB的值為________．
5. (2023呂梁階段練習)已知動點P到點F(2，0)的距離等于其到直線x＝距離的2倍，記點P的軌跡為曲線Γ.
(1) 求曲線Γ的方程；
(2) 已知斜率為k的直線l與曲線Γ交于點A，B，O為坐標原點，若OA⊥OB，證明：＋為定值．

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