資源簡介

(共32張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.6　圓錐曲線的綜合應用
3.6.1　圓錐曲線的綜合應用(1)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 掌握圓錐曲線的方程和幾何性質的應用．
2. 體會方程思想和數形結合思想在圓錐曲線問題中的應用．
活 動 方 案
活動一　圓錐曲線方程的應用
【解析】 易知a>0，b>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以|x2－x1|＝2.
活動二　圓錐曲線幾何性質的應用
【答案】 D
【解析】 由雙曲線C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，所以A(5,0)是雙曲線C的右焦點，且PQ＝QA＋PA＝4b＝16.因為點A在線段PQ上，所以點P，Q在雙曲線的右支上．由雙曲線的定義，得PF－PA＝6，QF－QA＝6，所以PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，所以△PQF的周長為PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
【答案】 44
活動三　圓錐曲線中的最值問題、存在性問題
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
檢 測 反 饋
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【答案】 B
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A. 48 B. 50
C. 52 D. 54
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【答案】 B
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【答案】 ACD
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5. (2023咸寧高級中學階段練習)已知雙曲線的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F2(c,0)，實軸長為6，點P在雙曲線的右支上，直線PF1交雙曲線于另一點Q，滿足PF2＝F1F2，且△PQF2的周長為32.
(1) 求雙曲線的標準方程；
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【解析】 (1) 由PF2＝F1F2＝2c,2a＝6，
得PF1＝2c＋6，PQ＝2c＋6－QF1，QF2＝QF1＋6，
所以2c＋6－QF1＋2c＋QF1＋6＝32，解得c＝5，b2＝c2－a2＝16，
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x，y)，
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即16x－5y－80＝0，
所以點H在定直線16x－5y－80＝0上．
謝謝觀看
Thank you for watching【參考答案與解析】
3.6　圓錐曲線的綜合應用
3.6.1　圓錐曲線的綜合應用(1)
【活動方案】
例1　易知a>0，b>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則由題意，得ax＋by＝1, ①
ax＋by＝1, ②
由②－①，得a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(y2＋y1)·(y2－y1)＝0.
因為＝kAB＝－1，＝kOC＝，
所以b＝a.
又AB＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
所以|x2－x1|＝2.
由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2－＝4.
將b＝a代入上式，得a＝，b＝，
故所求橢圓的方程為＋y2＝1.
例2 　(1) D　由題意，得橢圓方程為＋y2＝1，聯立消去y并整理，得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，代入直線方程，得或不妨設A(0，1)，B，所以AB＝＝.
(2) 44　由雙曲線C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，所以A(5，0)是雙曲線C的右焦點，且PQ＝QA＋PA＝4b＝16.因為點A在線段PQ上，所以點P，Q在雙曲線的右支上．由雙曲線的定義，得PF－PA＝6，QF－QA＝6，所以PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，所以△PQF的周長為PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
(3) 4　由拋物線的定義，得AF＝AH.因為直線AF的斜率為，所以直線AF的傾斜角為30°.因為AH垂直于準線，所以∠FAH＝60°，故△AHF為等邊三角形．設A(m，)，m>0.過點F作FM⊥AH于點M，則在Rt△FAM中，AM＝AF，所以－1＝(＋1)，解得m＝2，故等邊三角形AHF的邊長AH＝4，所以△AHF的面積是×4×4×sin 60°＝4.
例3 　由＋＝1，得F(－1，0).
設P(x，y)，－2≤x≤2，
則·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
所以當x＝2時，·取得最大值6.
例4　(1) 因為橢圓的離心率為，橢圓C的短軸的一個端點P到焦點的距離為2，
所以解得
所以橢圓C的方程為x2＋＝1.
(2) 將y＝kx＋代入橢圓方程，
得(4＋k2)x2＋2kx－1＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由題意，知OA⊥OB，則x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝kx1＋，y2＝kx2＋，
所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋3＝0，
所以(1＋k2)(－)＋k(－)＋3＝0，
解得k＝±，
所以存在實數k＝±，使得以線段AB為直徑的圓恰好經過原點O.
【檢測反饋】
1. B　拋物線x＝y2，即y2＝4x的焦點(1，0)到雙曲線x2－＝1的漸近線y＝±x的距離是.
2. B　設點P(5cos θ，4sin θ).由F1(－3，0)，F2(3，0)，＝4，得F(25cos θ－12，20sin θ)，所以＝(25cos θ－9，20sin θ)，則||2＝(25cos θ－9)2＋(20sin θ)2＝225cos 2θ－450cos θ＋481＝225(cos θ－1)2＋256∈[256，1 156]，所以||∈[16，34]，則F1F的最小值和最大值之和為16＋34＝50.
3. ACD　設M(x1，y1)，N(x2，y2).根據題意，設直線MN的方程為y＝k，且k>0，與y2＝2px(p>0)聯立，消去y并整理，得k2x2－(k2p＋ 2p)x＋k2p2＝0，則x1＋x2＝p＋①，x1x2＝②.因為＝3，所以x1＋＝3，即x1－3x2＝p③，由②③解得，x1＝p，x2＝p，代入①，得p＋p＝p＋，解得k2＝3.因為k>0，所以k＝，故A正確；將x1＝p，x2＝p分別代入y2＝2px中，得M，N(p，－p)，所以S△MON＝OF·|y1－y2|＝××p＝p2.由A可知，k＝＝tan α，所以sin α＝，所以＝＝≠p2，故B錯誤；因為NQ⊥l，所以Q(－p，－p)，所以kOQ＝.又kOM＝，所以M，O，Q三點共線，故C正確；因為M，F，所以MF＝2p，線段MF的中點坐標為.因為線段MF的中點的橫坐標恰為MF的一半，所以以MF為直徑的圓與y軸相切，故D正確．故選ACD.
4．－　橢圓＋＝1的右焦點F(4，0)，設P(0，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ1，得(x1，y1－t)＝λ1(4－x1，－y1)，即則又＋＝1，所以＋＝(1＋λ1)2，同理由＝λ2，得＋＝(1＋λ2)2，兩式相減，得＝(λ1－λ2)(λ1＋λ2＋2)，此等式恒成立，顯然λ1－λ2不恒為0，因此16(λ1＋λ2)＝25(λ1＋λ2＋2)，解得λ1＋λ2＝－，所以λ1＋λ2的值為－.
5. (1) 由PF2＝F1F2＝2c，2a＝6，
得PF1＝2c＋6，PQ＝2c＋6－QF1，QF2＝QF1＋6，
所以2c＋6－QF1＋2c＋QF1＋6＝32，解得c＝5，b2＝c2－a2＝16，
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
(2) 因為＝，設＝λ，
則＝－λ.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x，y)，
則－＝1，－＝1.
由＝λ，得＝λ(x2－，y2－1)，
即可化為
由＝－λ，得(x－x1，y－y1)＝－λ(x2－x，y2－y)，
即可化為
所以＝x，＝y，
所以x－y＝[(－)－λ2(－)]＝1，
即16x－5y－80＝0，
所以點H在定直線16x－5y－80＝0上．3．6　圓錐曲線的綜合應用
3.6.1　圓錐曲線的綜合應用(1)
1. 掌握圓錐曲線的方程和幾何性質的應用．
2. 體會方程思想和數形結合思想在圓錐曲線問題中的應用．
活動一 圓錐曲線方程的應用
例1　橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點，C是線段AB的中點，O為坐標原點．若AB＝2，直線OC的斜率為，求橢圓的方程．
活動二 圓錐曲線幾何性質的應用
例2　(1) 已知直線y＝－x＋1與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點．若橢圓的離心率為，焦距為2，則線段AB的長是(　　)
A. B. 2 C. D.
(2) 已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為雙曲線C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5，0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________；
(3) 已知拋物線x2＝4y的焦點為F，過點F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側的部分相交于點A，過點A作拋物線準線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是________．
活動三　圓錐曲線中的最值問題、存在性問題　
例3　若O，F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，P為橢圓上的任意一點，求·的最大值．
例4　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓C的短軸的一個端點P到焦點的距離為2.
(1) 求橢圓C的方程；
(2) 已知直線l：y＝kx＋與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
1. 拋物線x＝y2的焦點到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是(　　)
A. B. C. D.
2. (2024全國競賽)設橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，橢圓上一點P和平面一點F滿足 ＝4，則F1F的最大值與最小值之和是(　　)
A. 48 B. 50 C. 52 D. 54
3. (多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線為l，焦點為F，坐標原點為O，過點F的直線交拋物線于點M，N，且點M在第一象限，＝3，過點M，N作準線的垂線，垂足分別為P，Q，直線MN的傾斜角為α，則下列說法中一定正確的是(　　)
A. kMN＝ B. S△MON＝
C．M，O，Q三點共線 D. 以MF為直徑的圓與y軸相切
4. (2023日照實驗高級中學階段練習)已知橢圓＋＝1，過橢圓右焦點F的直線l交橢圓于A，B兩點，交y軸于點P，設＝λ1，＝λ2，則λ1＋λ2＝________．
5. (2023咸寧高級中學階段練習)已知雙曲線的左、右焦點分別為F1(－c，0)，F2(c，0)，實軸長為6，點P在雙曲線的右支上，直線PF1交雙曲線于另一點Q，滿足PF2＝F1F2，且△PQF2的周長為32.
(1) 求雙曲線的標準方程；
(2) 過點G作直線l與雙曲線的右支相交于M，N兩點，在線段MN上取點H，滿足＝，點H是否恒在一條定直線上？若是，求出這條直線的方程；若不是，請說明理由．

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