資源簡介

(共33張PPT)
第三章
圓錐曲線的方程
3.6　圓錐曲線的綜合應用
3.6.2　圓錐曲線的綜合應用(2)
內容索引
學習目標
活動方案
檢測反饋
學 習 目 標
1. 掌握圓錐曲線中的最值、定值、定點類問題．
2. 體會方程思想和數形結合思想在圓錐曲線問題中的應用．
活 動 方 案
活動一　圓錐曲線中的最值問題
例1　已知橢圓C：4x2＋y2＝1.
(1) 若P(m，n)是橢圓C上的一點，求m2＋n2的取值范圍；
(2) 設直線l：y＝x＋m與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，求△AOB面積的最大值及當△AOB的面積最大時直線l的方程．
【解析】 (1) 因為P(m，n)是橢圓C上的一點，
將y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y并整理，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因為Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，
活動二　圓錐曲線中的定值問題
(1) 求橢圓C的方程及離心率；
(2) 設P為第三象限內的一點，且在橢圓C上，直線PA與y軸相交于點M，直線PB與x軸相交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．
【解析】 (1) 由題意，得a＝2，b＝1，
(2) 設P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，
又A(2,0)，B(0,1)，
所以四邊形ABNM的面積為定值．
活動三　圓錐曲線中的定點問題
(1) 求橢圓E的方程；
(2) 設橢圓E的左頂點是A，若直線l：x－my－t＝0與橢圓E相交于不同的兩點M，N(點M，N與點A 均不重合)，若以MN為直徑的圓過點A，試判定直線l是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標．
(2) 由x－my－t＝0，得x＝my＋t，
代入橢圓E的方程，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因為以MN為直徑的圓過點A，
所以AM⊥AN，
因為點M，N與點A均不重合，
所以t≠－2，
檢 測 反 饋
2
4
5
1
3
2
4
5
1
3
【答案】 C
2
4
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1
3
【答案】 B
2
4
5
1
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3
1
B. 以MN為直徑的圓的面積大于4π
C. 直線MN過定點(2,0)
D. 點O到直線MN的距離不大于2
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
【答案】 CD
2
4
5
3
1
4. 拋物線y2＝4x的焦點為F，點A(3,2)，P是拋物線上的一點，點P不在直線AF上，則△PAF周長的最小值為________.
2
4
5
3
1
(1) 求橢圓E的方程和離心率；
(2) 過點(1,0)且斜率不為零的直線交橢圓E于R，S兩點，設直線RS，CR，CS的斜率分別為k，k1，k2，若k1＋k2＝－3，求k的值．
2
4
5
3
1
【解析】 (1) 由題意可得A(－a,0)，C(0，b)，
所以a2－b2＝c2＝3，
解得a2＝4，b2＝1，
2
4
5
3
1
設R(x1，y1)，S(x2，y2)(x1x2≠0)，
2
4
5
3
1
即k的值為3.
謝謝觀看
Thank you for watching【參考答案與解析】
3．6.2　圓錐曲線的綜合應用(2)
【活動方案】
例1　(1) 因為P(m，n)是橢圓C上的一點，
所以＋n2＝1，
所以m2＋n2＝m2＋1－＝1－3m2.
又因為－≤m≤，所以0≤m2≤，
所以≤1－3m2≤1，
所以m2＋n2的取值范圍是.
(2) 可求得點O到直線AB的距離為d＝.
將y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y并整理，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因為Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，
所以－因為x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以AB＝·＝·＝，
所以S△AOB＝AB·d＝×·＝≤·＝，當且僅當－m2＝m2，即m＝±時，取等號，
所以△AOB面積的最大值為，此時直線方程為x－y－＝0或x－y＋＝0.
例2　(1) 由題意，得a＝2，b＝1，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
又c＝＝，
所以離心率e＝＝.
(2) 設P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，則x＋4y＝4.
又A(2，0)，B(0，1)，
所以直線PA的方程為y＝(x－2).
令x＝0，得yM＝－，
所以BM＝1－yM＝1＋；
直線PB的方程為y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
所以AN＝2－xN＝2＋，
所以四邊形ABNM的面積S＝AN·BM
＝
＝
＝＝2，
所以四邊形ABNM的面積為定值．
例3　(1) 由e2＝＝＝，得a2＝2b2，
所以橢圓E的方程為＋＝1.
將點代入，得b2＝2，a2＝4，
故橢圓E的方程為＋＝1.
(2) 由x－my－t＝0，得x＝my＋t，
代入橢圓E的方程，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y1＋y2＝－，y1y2＝，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，
x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.
因為以MN為直徑的圓過點A，所以AM⊥AN，
所以·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2
＝＋2×＋4＋
＝＝＝0.
因為點M，N與點A均不重合，所以t≠－2，
所以t＝－，則直線l的方程是x＝my－，故直線l過定點T.
易知點T在橢圓內部，故直線l與橢圓有兩個不同的交點，滿足題意，
所以直線l過定點T.
【檢測反饋】
1. C　由題可知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，直線2x－4y＋2＝0的斜率為，則－×＝－1，即＝2.又c2＝a2＋b2，所以e＝＝＝.
2. B　如圖，由橢圓和雙曲線的定義，得解得在△MF1F2中，由余弦定理，得F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2cos ∠F1MF2，代入，得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)·，整理，得4c2＝a＋3a，同除以c2，得4＝＋3，即4＝＋3，所以＝4－3.又e2∈[，]，所以3∈，則∈，所以e1∈.
3. CD　不妨設M為第一象限內的點．①當直線MN⊥x軸時，kOM＝－kON.由kOM·kON＝－，得kOM＝，kON＝－，所以直線OM，ON的方程分別為y＝x和y＝－x.與拋物線方程聯立，得M(2，)，N(2，－)，所以直線MN的方程為x＝2，此時OM＋ON＝2，以MN為直徑的圓的面積S＝2π，故A，B不正確；②當直線MN與x軸不垂直時，設直線MN的方程為y＝kx＋m，與拋物線方程聯立，消去x并整理，得ky2－y＋m＝0，則Δ＝1－4km>0.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2＝.因為kOM·kON＝－，所以·＝－，則2y1y2＝－x1x2＝－yy，則y1y2＝－2，所以＝－2，即m＝－2k，所以直線MN的方程為y＝kx－2k＝k(x－2).綜上可知，直線MN恒過定點Q(2，0)，故C正確；易知當OQ⊥MN時，原點O到直線MN的距離最大，最大距離為2，即原點O到直線MN的距離不大于2，故D正確．故選CD.
4. 4＋2　過點P作拋物線準線的垂線，垂足為Q，則PF＝PQ，△PAF的周長為PF＋PA＋AF＝PQ＋PA＋AF≥4＋2，當且僅當A，P，Q三點共線時取等號，所以△PAF周長的最小值為4＋2.
5. (1) 由題意可得A(－a，0)，C(0，b)，
則AC＝＝，即a2＋b2＝5，
由焦距為2，可得c＝，
所以a2－b2＝c2＝3，
解得a2＝4，b2＝1，
所以橢圓的方程為＋y2＝1，離心率e＝.
(2) 由(1)可得C(0，1)，
由題意設直線RS的方程為x＝my＋1(m≠0)，則k＝，
設R(x1，y1)，S(x2，y2)(x1x2≠0)，
則k1＝，k2＝.
聯立消去x并整理，得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，
顯然Δ>0，則y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以k1＋k2＝＋
＝
＝
＝＝.
因為k1＋k2＝－3，即－3＝，解得m＝，
所以直線RS的斜率k＝＝3.
即k的值為3.3．6.2　圓錐曲線的綜合應用(2)
1. 掌握圓錐曲線中的最值、定值、定點類問題．
2. 體會方程思想和數形結合思想在圓錐曲線問題中的應用．
活動一 圓錐曲線中的最值問題
例1　已知橢圓C：4x2＋y2＝1.
(1) 若P(m，n)是橢圓C上的一點，求m2＋n2的取值范圍；
(2) 設直線l：y＝x＋m與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，求△AOB面積的最大值及當△AOB的面積最大時直線l的方程．
活動二 圓錐曲線中的定值問題
例2　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)過A(2，0)，B(0，1)兩點．
(1) 求橢圓C的方程及離心率；
(2) 設P為第三象限內的一點，且在橢圓C上，直線PA與y軸相交于點M，直線PB與x軸相交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．
活動三 圓錐曲線中的定點問題
例3　設橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝，且過點(－1，－).
(1) 求橢圓E的方程；
(2) 設橢圓E的左頂點是A，若直線l：x－my－t＝0與橢圓E相交于不同的兩點M，N(點M，N與點A 均不重合)，若以MN為直徑的圓過點A，試判定直線l是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標．
1. (2023哈爾濱期中)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線2x－4y＋2＝0垂直，則該雙曲線的離心率為(　　)
A. B. C. D. 2
2. (2024鹽城期末)設F1，F2分別為橢圓C1：＋＝1(a1>b1>0)與雙曲線C2：－＝1(a2>0，b2>0)的公共焦點，它們在第一象限內交于點M，∠F1MF2＝60°，若雙曲線C2的離心率e2∈[，]，則橢圓C1的離心率e1的取值范圍為(　　)
A. [，1) B. [，] C. (0，] D. [，]
3. (多選)設M，N是拋物線y2＝x上的兩個不同的點，O是坐標原點．若直線OM與ON的斜率之積為－，則下列說法中正確的是(　　)
A. OM＋ON≥4 B. 以MN為直徑的圓的面積大于4π
C. 直線MN過定點(2，0) D. 點O到直線MN的距離不大于2
4. 拋物線y2＝4x的焦點為F，點A(3，2)，P是拋物線上的一點，點P不在直線AF上，則△PAF周長的最小值為________．
5. (2024濰坊一模)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)中，A，C分別是橢圓E的左、上頂點，AC＝，且橢圓E的焦距為2.
(1) 求橢圓E的方程和離心率；
(2) 過點(1，0)且斜率不為零的直線交橢圓E于R，S兩點，設直線RS，CR，CS的斜率分別為k，k1，k2，若k1＋k2＝－3，求k的值．

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