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第三章
圓錐曲線的方程
本 章 復(fù) 習(xí)
內(nèi)容索引
學(xué)習(xí)目標(biāo)
活動方案
檢測反饋
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1. 梳理本章知識，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)．
2. 鞏固橢圓、雙曲線、拋物線的概念及其幾何性質(zhì)．
3. 掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用及圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用．
活 動 方 案
活動一　理解與圓錐曲線相關(guān)的基本知識
1. 知識結(jié)構(gòu)框圖：
2. 知識能力整合：
三種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)：
橢圓 雙曲線 拋物線
對稱軸
焦點坐標(biāo)
離心率
準(zhǔn)線方程
漸近線方程
【解析】 填表略
活動二　圓錐曲線的方程與性質(zhì)
例1　已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若2c＝a＋b，且CB>CA，AB＝2，求頂點C的軌跡方程．
【解析】以直線AB為x軸,線段AB的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系.
因為2c＝a＋b，即CB＋CA＝2AB＝4>2，且CB>CA，
所以點C的軌跡為橢圓的左半部分，且去掉左頂點．
反思與感悟
根據(jù)條件先判斷動點的軌跡，再求其軌跡方程．
　　　　　　已知圓(x＋4)2＋y2＝25的圓心為M1，圓(x－4)2＋y2＝1的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程．
【解析】 設(shè)動圓圓心P(x，y)，動圓的半徑為R.
由題意，得PM1＝R＋5，PM2＝R＋1，
所以PM1－5＝PM2－1，
即PM1－PM2＝4<8＝M1M2，
所以動圓圓心P的軌跡是以M1，M2為焦點的雙曲線的右支，其中c＝4，a＝2，
所以b2＝12，
例2　過原點的直線l與曲線y＝x2－2x＋2交于A，B兩點，求弦AB中點的軌跡．
【解析】 設(shè)AB的中點M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依題意，直線l的斜率必須存在，設(shè)為k.
又直線l過原點，
所以直線l的方程為y＝kx.
所以x1＋x2＝2＋k，
又因為直線l與曲線有兩交點，
所以(2＋k)2－8>0，
反思與感悟
消參求軌跡方程時，特別要注意其取值范圍．
由OM⊥AB，得點M在以O(shè)N為直徑的圓上(去掉原點)，所以動點M的軌跡方程為x2＋y2－4y＝0(y≠0)．
活動三　直線與圓錐曲線的有關(guān)問題
【解析】 不妨設(shè)直線l過雙曲線的右焦點(2,0)．當(dāng)AB⊥x軸時，點A(2,3)，B(2，－3)，不滿足條件，則直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)．
代入雙曲線方程，得3x2－k2(x－2)2＝3，
即(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.
設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則Δ＝16k4＋4(3－k2)(4k2＋3)>0，
反思與感悟
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，通常采用代數(shù)的方法(建立方程組)去研究解決．
(1) 求mn的值；
(2) 求點P的軌跡C的方程，并說明它表示怎樣的曲線？
(3) 設(shè)直線l的方程為x＝ty＋2，將其代入軌跡C的方程，得3(ty＋2)2－y2＝3，
即(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0.
易知(3t2－1)≠0.
又Δ＝144t2－36(3t2－1)＝36(t2＋1)>0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
活動四　求取值范圍或最值
反思與感悟
圓錐曲線中的最值問題一般采用代數(shù)的方法，即列出求解的表達(dá)式，再根據(jù)變量的取值范圍解決這個式子的最值問題．有時也根據(jù)題中的圖形特征，用幾何的方法解決其最值問題．
(1) 求橢圓的方程；
(2) 設(shè)橢圓與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的兩點M，N.當(dāng)AM＝AN時，求實數(shù)m的取值范圍．
因為直線與橢圓有兩個交點，
所以Δ>0, 即m2<3k2＋1，①
又AM＝AN，所以AP⊥MN，
檢 測 反 饋
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【答案】 D
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A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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【答案】 B
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3. (多選)(2024長沙一中開學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點A(1,0)，動點M(x0，y0)(x0≥0)，記點M到y(tǒng)軸的距離為d.將滿足AM＝d＋1的點M的軌跡記為Γ，且直線l：kx－y＋k＝0與Γ交于相異的兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. 曲線Γ的方程為y2＝2x
B. 直線l過定點(－1,0)
C. y1＋y2的取值范圍是(－∞，－4)∪(4，＋∞)
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【答案】 BCD
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4. 在拋物線y2＝16x內(nèi)，通過點(2,1)且被此點平分的弦所在直線的方程是______________.
【答案】 8x－y－15＝0
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而n2－4m2＝－32≠0，且Δ＝(64m)2＋4(n2－4m2)×8(n2＋32)＝(64m)2－322×4m2＝0，
所以直線l與雙曲線C相切于點M.
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謝謝觀看
Thank you for watching【參考答案與解析】
第3章 圓錐曲線的方程 復(fù) 習(xí)
【活動方案】
2. 填表略
例1　以直線AB為x軸，線段AB的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系．
因為2c＝a＋b，即CB＋CA＝2AB＝4>2，且CB>CA，
所以點C的軌跡為橢圓的左半部分，且去掉左頂點．
設(shè)點C的軌跡方程為＋＝1(x<0，且x≠－2)，在此橢圓中，a′＝2，c′＝1，b′＝，
故點C的軌跡方程為＋＝1(x<0且x≠－2).　
跟蹤訓(xùn)練　設(shè)動圓圓心P(x，y)，動圓的半徑為R.
由題意，得PM1＝R＋5，PM2＝R＋1，
所以PM1－5＝PM2－1，
即PM1－PM2＝4<8＝M1M2，
所以動圓圓心P的軌跡是以M1，M2為焦點的雙曲線的右支，其中c＝4，a＝2，
所以b2＝12，
故所求軌跡方程為－＝1(x≥2).
例2　設(shè)AB的中點M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
依題意，直線l的斜率必須存在，設(shè)為k.
又直線l過原點，所以直線l的方程為y＝kx.
聯(lián)立消去y并整理，得x2－(2＋k)x＋2＝0，
所以x1＋x2＝2＋k，所以x＝＝，
y＝kx＝k·＝.
由消去k并整理，得y＝2x2－2x.
又因為直線l與曲線有兩交點，
所以(2＋k)2－8>0，
解得k＋2<－2或k＋2>2.
因為x＝，所以x<－或x>，
所以所求的軌跡是拋物線y＝2x2－2x(x<－或x>).
跟蹤訓(xùn)練　由題意，得直線OA的斜率存在且不為0，設(shè)直線OA的方程為y＝kx，代入y＝x2，得點A的坐標(biāo)為(4k，4k2).
因為OA⊥OB，所以kOB＝－.
同理可得點B的坐標(biāo)為，
所以直線AB的方程為y－4k2＝(x－4k)，
即y＝x＋4，故直線AB過定點N(0，4).
由OM⊥AB，得點M在以O(shè)N為直徑的圓上(去掉原點)，所以動點M的軌跡方程為x2＋y2－4y＝0(y≠0).
例3　不妨設(shè)直線l過雙曲線的右焦點(2，0).當(dāng)AB⊥x軸時，點A(2，3)，B(2，－3)，不滿足條件，則直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2).
代入雙曲線方程，得3x2－k2(x－2)2＝3，
即(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.
設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則Δ＝16k4＋4(3－k2)(4k2＋3)>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－.
因為·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
所以－＝0，解得k2＝，
所以x1＋x2＝＝－1，x1x2＝＝－，
故AB＝|x1－x2|＝4.
跟蹤訓(xùn)練　(1) 由已知，得·＝(m，m)·(n，－n)＝－2mn＝－，所以mn＝.
(2) 設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)(x＞0).
由＝＋，得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，(m－n))，
所以所以x2－＝4mn.
又因為mn＝，
所以點P的軌跡方程為x2－＝1(x>0).
它表示以坐標(biāo)原點為中心，焦點在x軸上，且實軸長為2，焦距為4的雙曲線x2－＝1的右支．
(3) 設(shè)直線l的方程為x＝ty＋2，將其代入軌跡C的方程，得3(ty＋2)2－y2＝3，
即(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0.
易知(3t2－1)≠0.
又Δ＝144t2－36(3t2－1)＝36(t2＋1)>0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝.
因為直線l與軌跡C的兩個交點M，N在y軸的右側(cè)，
所以x1x2＝(ty1＋2)(ty2＋2)＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝t2·＋2t·＋4＝－>0，
所以3t2－1<0，即0又由x1＋x2>0，同理可得0由＝3，得－y1＝3y2.
由y1＋y2＝－3y2＋y2＝－2y2＝－，
得y2＝，
由y1y2＝(－3y2)y2＝－3y＝，
得y＝－，
消去y2，得 ＝－，
解得t2＝，滿足0故直線l存在，其方程為x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
例4　(1) 由題設(shè)，知A，F(xiàn)1(，0).
由＋2＝0，得＝2(－)，解得a＝2，
所以橢圓M的方程為＋＝1.
(2) ·＝(－)·(－)
＝(－－)·(－)
＝(－)2－||2＝||2－1.
從而將求·的最大值轉(zhuǎn)化為求||2的最大值．
設(shè)P(x0，y0).
因為P是橢圓M上的任意一點，
所以＋＝1，即x＝24－3y.
又N(0，2)，所以||2＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋30.
又y0∈[－2，2]，
所以當(dāng)y0＝－1時，||2取最大值30，
所以·的最大值為29.
跟蹤訓(xùn)練　(1) 依題意可設(shè)橢圓的方程為 ＋y2＝1，
則右焦點F(，0)，
所以＝3，解得a2＝3，
故所求橢圓的方程為＋y2＝1.
(2) 設(shè)P為弦MN的中點．
由消去y并整理，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0.
因為直線與橢圓有兩個交點，
所以Δ>0, 即m2<3k2＋1，①
所以xP＝＝－，
從而yP＝kxP＋m＝，
所以kAP＝＝－.
又AM＝AN，所以AP⊥MN，則－＝－，即2m＝3k2＋1.②
將②代入①，得 2m>m2，解得 0又由②，得k2＝>0，解得m>，
故實數(shù)m的取值范圍是.
【檢測反饋】
1. D　雙曲線－＝1的一條漸近線方程為y＝x.聯(lián)立消去y并整理，得x2－x＋1＝0，所以Δ＝－4＝0，所以＝2，所以e＝＝＝.
2. B　設(shè)橢圓的長軸長為2m，雙曲線的實軸長為2n，令F1F2＝2c，不妨設(shè)PF1>PF2，則解得由余弦定理，得(2c)2＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ，化簡，得(2c)2＝(m＋n)2＋(m－n)2＋(m＋n)(m－n)，整理，得4c2＝3m2＋n2，則4＝3＋，即＋＝4.
3. BCD　依題意，得點M到直線x＝－1的距離等于到點A(1，0)的距離，所以點M的軌跡Γ是拋物線，其方程為y2＝4x，故A錯誤；直線l：k(x＋1)－y＝0恒過定點(－1，0)，故B正確；聯(lián)立消去y并整理，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2－4k4>0，k≠0，解得－14. 8x－y－15＝0　設(shè)所求直線與y2＝16x相交于A，B兩點，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入拋物線方程，得y＝16x1，y＝16x2，兩式相減，得(y1＋y2)·(y1－y2)＝16(x1－x2)，即＝＝＝8，所以kAB＝8，故所求直線方程為8x－y－15＝0.
5. (1) 由題意，得解得a2＝8，b2＝32，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
(2) 因為M(m，n)是雙曲線C上任意一點，
所以－＝·m－·n＝－＝1，
所以點M(m，n)也在直線l上，
聯(lián)立消去y并整理，得(n2－4m2)x2＋64mx－256－8n2＝0，
而n2－4m2＝－32≠0，且Δ＝(64m)2＋4(n2－4m2)×8(n2＋32)＝(64m)2－322×4m2＝0，
所以直線l與雙曲線C相切于點M.
(3) 不妨設(shè)T(m，n)，P(p，q)，
由(2)可知過點T的直線PT的方程為－＝1.
因為點P(p，q)在直線－＝1上，
所以－＝1，即nq＝4mp－32.
又a2＋b2＝40，所以焦點F(2，0)，
所以＝(p－2，q)，＝(m－2，n).
因為·＝0，所以·＝(p－2)(m－2)＋qn＝pm－2(p＋m)＋40＋4pm－32＝5pm－2(p＋m)＋8＝0，
整理，得p(m－2)＝2(m－2).
因為|m|≥a＝2，所以m－2≠0，
所以p＝＝，
所以點P在定直線上x＝上．第3章 圓錐曲線的方程 復(fù) 習(xí)
1. 梳理本章知識，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)．
2. 鞏固橢圓、雙曲線、拋物線的概念及其幾何性質(zhì)．
3. 掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用及圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用．
活動一 理解與圓錐曲線相關(guān)的基本知識
1. 知識結(jié)構(gòu)框圖：
2. 知識能力整合：
三種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)：
橢圓 雙曲線 拋物線
統(tǒng)一定義
各自定義
標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1 (a>b>0) －＝1 (a>0，b>0) y2＝2px (p>0)
圖　　形
頂點坐標(biāo)
對稱軸
焦點坐標(biāo)
離心率
準(zhǔn)線方程
漸近線方程
活動二 圓錐曲線的方程與性質(zhì)
例1　已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若2c＝a＋b，且CB>CA，AB＝2，求頂點C的軌跡方程．
根據(jù)條件先判斷動點的軌跡，再求其軌跡方程．
　已知圓(x＋4)2＋y2＝25的圓心為M1，圓(x－4)2＋y2＝1的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程．
例2　過原點的直線l與曲線y＝x2－2x＋2交于A，B兩點，求弦AB中點的軌跡．
消參求軌跡方程時，特別要注意其取值范圍．
　以拋物線y＝x2的弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，過點O作OM⊥AB，M為垂足，求點M的軌跡方程．
活動三　直線與圓錐曲線的有關(guān)問題　
例3　設(shè)直線l過雙曲線x2－＝1的一個焦點，交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．若·＝0，求AB的值．
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，通常采用代數(shù)的方法(建立方程組)去研究解決．
　如圖，A(m，m)，B(n，－n)兩點分別在射線OS，OT上移動，且·＝－，O為坐標(biāo)原點，動點P滿足＝＋.
(1) 求mn的值；
(2) 求點P的軌跡C的方程，并說明它表示怎樣的曲線？
(3) 若直線l過點E(2，0)交(2)中曲線C于M，N兩點，且＝3，求直線l的方程．
活動四 求取值范圍或最值
例4　設(shè)橢圓M：＋＝1(a>2)的右焦點為F1，直線l：x＝與x軸交于點A.若＋2＝0(其中O為坐標(biāo)原點).
(1) 求橢圓M的方程；
(2) 設(shè)P是橢圓M上的一點，EF為圓N：x2＋(y－2)2＝1的任意一條直徑，求·的最大值．
圓錐曲線中的最值問題一般采用代數(shù)的方法，即列出求解的表達(dá)式，再根據(jù)變量的取值范圍解決這個式子的最值問題．有時也根據(jù)題中的圖形特征，用幾何的方法解決其最值問題．
　已知橢圓中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，一個頂點為A(0，－1).若右焦點到直線x－y＋2＝0的距離為3.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 設(shè)橢圓與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的兩點M，N.當(dāng)AM＝AN時，求實數(shù)m的取值范圍．
1. 若雙曲線－＝1的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個公共點，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B. 5 C. D.
2. (2023哈爾濱期中)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2＝，橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則＋的值為(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. (多選)(2024長沙一中開學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點A(1，0)，動點M(x0，y0)(x0≥0)，記點M到y(tǒng)軸的距離為d.將滿足AM＝d＋1的點M的軌跡記為Γ，且直線l：kx－y＋k＝0與Γ交于相異的兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. 曲線Γ的方程為y2＝2x
B. 直線l過定點(－1，0)
C. y1＋y2的取值范圍是(－∞，－4)∪(4，＋∞)
D. ·的取值范圍是(－∞，4)
4. 在拋物線y2＝16x內(nèi)，通過點(2，1)且被此點平分的弦所在直線的方程是______________．
5. (2024山西一模)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)經(jīng)過點A(3，2)，其右焦點為F，且直線y＝2x是雙曲線C的一條漸近線．
(1) 求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 設(shè)M(m，n)是雙曲線C上任意一點，直線l：－＝1，證明：l與雙曲線C相切于點M；
(3) 設(shè)直線PT與雙曲線C相切于點T，且·＝0，證明：點P在定直線上．

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