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2024職教高考專題講解
—集合
知識點一：集合及其運算
1．集合的有關(guān)概念
(1) 集合的概念：一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合．
(2)集合元素的特征：
①確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立．
② 互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素．
③無序性：集合中的元素的次序無先后之分．如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個集合，它們都表示同一個集合．
(3)元素與集合的關(guān)系：
① 如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作aA
②如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作
(4)常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號
數(shù)集 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集
符號 或
2．集合的表示方法
(1) 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來．
(2)描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內(nèi)．具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
3．集合之間的關(guān)系
(1) 子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為B的子集．記作：，讀作：A包含于B（或B包含A）．
圖示：
（2）相等集合：如果兩個集合所含的元素完全相同（），那么我們稱這兩個集合相等．記作：，讀作：A等于B．
圖示：
(3) 真子集：若集合，存在元素，則稱集合A是集合B的真子集，記作：AB（或BA），
讀作：A真包含于B（或B真包含A）
(4) 空集：不含有任何元素的集合稱為空集，記作：，規(guī)定：空集是任何集合的子集．
重要結(jié)論：一般地，一個集合元素若為n個，則其子集數(shù)為2n個，其真子集數(shù)為2n-1個，非空真子集數(shù)有2n-2個.
4．集合的運算
(1) 并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}，Venn圖表示：
(2) 交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：
(3) 補集
全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．
補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作：，即補集的Venn圖表示：
知識點二：充要條件
1．充要條件
(1) 充分條件、必要條件
若，稱是的充分條件，是的必要條件．
(2) 充要條件
如果既有，又有，就記作，這時是的充分必要條件，稱是的充要條件．
(3)命題“若，則”，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系共有：
①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；
②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；
③若，且，即，則、互為充要條件；
④若，且，則是的既不充分也不必要條件．
2．子集與推出的關(guān)系
若p：x∈A，q：x∈B，
(1)若AB，則是的充分條件，是的必要條件；
(2)若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；
(3)若A=B，則、互為充要條件；
(4)若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件．
考點一 集合的概念及表示方法
1．已知M是由1，2，3三個元素構(gòu)成的集合，則集合M可表示為（ ）
A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}
【答案】D
【解析】由于集合是由三個元素構(gòu)成，所以，故選：D.
2．下列說法中，正確的個數(shù)是（ ）
①的近似值的全體構(gòu)成一個集合
②自然數(shù)集N中最小的元素是0
③在整數(shù)集Z中，若，則
④一個集合中不可以有兩個相同的元素
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①的近似值的全體沒有確定性，不能構(gòu)成集合，錯誤；
②自然數(shù)集N中最小的元素是0，正確；
③在整數(shù)集Z中，若，則，整數(shù)的相反數(shù)還是整數(shù)，正確，
④一個集合中不可以有兩個相同的元素，根據(jù)集合的定義知正確，
故選：C．
3．方程組的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由方程組，解得：，集合應(yīng)是點集，正確的形式是，故選：D.
4． 已知集合，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合．對于不對．對于對；對于不對；
對于不對．故選：．
5．給出下列6個關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】為無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，所以，所以①正確；是無理數(shù)，所以，所以②錯誤；不是正整數(shù)，所以，所以③正確；，所以④正確；是無理數(shù)，所以，所以⑤正確；，所以⑥錯誤，故選:A.
6．設(shè)集合，若，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】因為，，所以，解得，所以1，故選：B.
7．集合，用列舉法可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為，可得，所以，故選：C.
考點二 集合的關(guān)系及運算
8．已知集合，，則的子集的個數(shù)為（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．8個
【答案】C
【解析】集合，因為，所以，集合中共兩個元素，
故子集有，，，共個，故選：C.
9．已知集合，則集合的真子集的個數(shù)為（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【解析】由題意得：，其真子集有：，，，，，，，共7個，故選：A．
10．集合的子集個數(shù)為 ．
【答案】32
【解析】由題意得，則A的子集個數(shù)為，故答案為：32.
11．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以．故選：A
12．設(shè)全集U是實數(shù)集R，，都是U的子集（如圖所示），則陰影部分所表示的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】題圖中陰影部分表示集合，故選：B.
13．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，又，所以當(dāng)時，，要使，則，即，故選：A．
14．設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
，故選：C.
15．設(shè)全集，若，，則集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為全集，由，得，又，所以．故選：D．
16．已知集合，，或．
(1)若，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）∵，∴．在數(shù)軸上標(biāo)出集合A，B，如圖1所示，則由圖1可知，解得．∴實數(shù)m的取值范圍為．
（2）∵，∴．
當(dāng)，即，即時，滿足．
當(dāng)，即時，在數(shù)軸上標(biāo)出集合B，C，
若，則有兩種情況，如圖2、圖3所示．
由圖2可知，解得，又，
∴無解；由圖3可知，解得．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是．
考點三 充要條件
17．已知集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為,所以“” “”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.
18．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)時，成立，而當(dāng)時，如時，，所以當(dāng)時，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.
19．已知，，則是的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分不必要條件
【答案】A
【解析】由，可得出，由，得不出，所以是的充分而不必要條件，故選：A.
20．若，則“”是“且”的 條件．
【答案】必要不充分
【解析】時，成立，是必要的，時，有，即時不一定有且．不充分，因此應(yīng)是必要不充分條件，故答案為：必要不充分．
21．若“”是“”的充分不必要條件，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，“”是“”的充分不必要條件，故，故，故選：B.
22．已知，，且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】∵，是的必要不充分條件，所以由能推出，而由推不出，，，故選B.
23．已知都是的必要條件，是的充分條件，是的充分條件，則是的 條件，是的 條件.
【答案】充要；必要
【解析】由題意得，，所以，所以，又因為，所以是的充要條件；，不能得到，所以p是的必要條件，故答案為：充要；必要．
24．已知，，且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為，，且是的必要不充分條件，所以是的真子集，且不是空集，所以或，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為:．
25．已知，.
（1）是否存在實數(shù)，使是的充要條件？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由；
（2）是否存在實數(shù)，使是的必要條件？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）不存在實數(shù)，使是的充要條件（2）當(dāng)實數(shù)時，是的必要條件
【解析】解：（1），要使是的充要條件，則，即 此方程組無解，則不存在實數(shù)，使是的充要條件；
（2）要使是的必要條件，則，當(dāng)時，，解得； 當(dāng)時，，解得，要使，則有，解得
26. 下列四個關(guān)系中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，即可選出正確答案.
【詳解】元素與集合是屬于關(guān)系，集合與集合是包含關(guān)系，所以，只有D選項正確.
故選：D
27. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由集合的定義直接判斷即可.
【詳解】集合,即集合.
故選：.
28. 已知集合滿足，這樣的集合有（ ）個
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合子集的定義列舉出符合題意的集合即可得到結(jié)果.
【詳解】已知集合滿足，則集合可以為：，，，，
，，，，
符合題意的集合共有8個.
故選：D.
29.若，，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分別計算出集合和集合，然后根據(jù)交集定義求出結(jié)果.
【詳解】已知集合，
解方程得，，
所以集合；集合，
解方程得，，所以集合；
則.
故選：A.
30. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】運用集合并集直接可得結(jié)果.
【詳解】集合，，則.
故選：C.
31. 用列舉法表示集合__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意代入自然數(shù)求解，再用列舉法表示即可.
【詳解】因為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以集合，
故答案為：
32. 設(shè)，，且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩集合相等，可求出a和b值，即可求解.
【詳解】由題意可知，所以，
得，
當(dāng)時，不滿足元素的互異性，故，
則.
故答案為：.
33．若集合 ，，為 的子集，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為為 的子集，所以，，故選：A.

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