資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第02講 函數的性質：單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值
1.考點分析
考點要求 考題統計 考情分析
（1）函數的單調性 （2）函數的奇偶性 （3）函數的對稱性 （4）函數的周期性 2023年I卷第4、11題，10分 2023年甲卷第13題，5分 2022年II卷第8題，5分 2022年I卷第12題，5分 2021年II卷第8題，5分 2021年甲卷第12題，5分 從近幾年高考命題來看，本節是高考的一個重點，函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性是高考的必考內容，重點關注周期性、對稱性、奇偶性結合在一起，與函數圖像、函數零點和不等式相結合進行考查．
課程標準： （1）借助函數圖像，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義． （2）結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義． （3）結合三角函數，了解周期性的概念和幾何意義． （4）會依據函數的性質進行簡單的應用．
3.考點分析
知識點1：函數的單調性
（1）單調函數的定義
一般地，設函數的定義域為，區間：
如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區間上是增函數．
如果對于內的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說在區間上是減函數．
①屬于定義域內某個區間上；
②任意兩個自變量，且；③都有或；
④圖象特征：在單調區間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是下降的．
（2）單調性與單調區間
①單調區間的定義：如果函數在區間上是增函數或減函數，那么就說函數在區間上具有單調性，稱為函數的單調區間．
②函數的單調性是函數在某個區間上的性質．
（3）復合函數的單調性
復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.
【診斷自測】（2024·高三·上海楊浦·期中）已知函數，.若成立，則下列論斷中正確的是（ ）
A．函數在上一定是增函數；B．函數在上一定不是增函數；
C．函數在上可能是減函數；D．函數在上不可能是減函數.
【答案】D
【解析】因為函數，且成立，
則函數在上不可能是減函數，可能是增函數，也可能不是增函數，
如，滿足，但是在上不具有單調性，
故D正確，A、B、C錯誤.
故選：D
練習：1．已知函數的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（ ）

A．是函數的增區間 B．是函數的減區間
C．函數在上是增函數 D．函數在上是減函數
【答案】C
【詳解】根據函數圖像可知函數在上遞增，在上遞減，故A，B正確；
函數在上也單調遞增，但區間和不是連續區間，
并且由圖象可知，因此不能說函數在上是增函數，C錯誤；
由于函數在時有定義，由圖象可知，則為函數的一個單調遞減區間，
故函數在上是減函數，D正確，
故選：C
2．下列函數中，在區間上是減函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據基本初等函數的單調性及對數型復合函數的單調性判斷即可.
【詳解】對于A：在定義域上單調遞增，故A錯誤；
對于B：在定義域上單調遞增，故B錯誤；
對于C：定義域為，因為在上單調遞減且值域為，
又在定義域上單調遞減，所以在上單調遞增，故C錯誤；
對于D：，函數在上單調遞減，故D正確；
故選：D
知識點2：函數的最值
一般地，設函數的定義域為D，如果存在實數M滿足
①，都有；②，使得，則M是函數的最大值；
①，都有；②，使得，則M是函數的最小值.
【診斷自測】（2024·高三·北京·開學考試）函數的最小值為 .
【答案】
【解析】設，則，
又函數在上單調遞增，
所以當，即時，
函數有最小值，
故答案為：.
知識點3：函數的奇偶性
函數奇偶性的定義及圖象特點
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做偶函數 關于軸對稱
奇函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做奇函數 關于原點對稱
【診斷自測】（2024·高三·河北唐山·期末）函數為奇函數，為偶函數，在公共定義域內，下列結論一定正確的是（ ）
A．為奇函數 B．為偶函數
C．為奇函數 D．為偶函數
【答案】C
【解析】令，則,且，
既不是奇函數，也不是偶函數，故A、B錯誤；
令，則,且，
是奇函數，不是偶函數，故C正確、D錯誤；
故選：C
知識點4：函數的周期性
（1）周期函數：
對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的任何值時，都有，那么就稱函數為周期函數，稱為這個函數的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做的最小正周期.
【診斷自測】若偶函數對任意都有，且當時，，則 ．
【答案】【解析】由題設，即偶函數的周期為6，
所以.
故答案為：
知識點5：函數的對稱性
(1)若函數為偶函數，則函數關于對稱．
(2)若函數為奇函數，則函數關于點對稱．
(3)若，則函數關于對稱．
(4)若，則函數關于點對稱．
【診斷自測】若函數y＝g（x）的圖象與y＝ln x的圖象關于直線x＝2對稱，則g（x）＝ ．
【答案】ln （4－x）
【解析】在函數y＝g（x）的圖象上任取一點（x，y），則點（x，y）關于直線x＝2對稱的點為（4－x，y），且點（4－x，y）在函數y＝ln x的圖象上，所以y＝ln （4－x）,
即,
故答案為：
解題方法總結
1、單調性技巧
（1）證明函數單調性的步驟
①取值：設，是定義域內一個區間上的任意兩個量，且；
②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；
③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；
④得出結論．
（2）函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間．
（3）記住幾條常用的結論：
①若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；
②若和均為增(或減)函數，則在和的公共定義域上為增(或減)函數；
③若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；
④若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．
2、奇偶性技巧
(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.
(2)奇偶函數的圖象特征.
函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；
函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱.
(3)若奇函數在處有意義，則有；
偶函數必滿足.
(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同.
(5)若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記，，則.
(6)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數，如.
對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.
(8)常見奇偶性函數模型
奇函數：①函數或函數．②函數．
③函數或函數
④函數或函數．
注意：關于①式，可以寫成函數或函數．
偶函數：①函數．②函數．
③函數類型的一切函數．
④常數函數
3、周期性技巧
4、函數的的對稱性與周期性的關系
（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；
（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；
（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且.
5、對稱性技巧
（1）若函數關于直線對稱，則．
（2）若函數關于點對稱，則．
（3）函數與關于軸對稱，函數與關于原點對稱．
題型一：單調性的定義及判斷
【典例1-1】（2024·陜西榆林·一模）已知函數在上單調遞增，則對實數，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因為函數在上單調遞增，且，由增函數的定義可知，當時，有，充分性成立；當時，若，由函數定義可知矛盾，
若，由函數單調性的定義可知矛盾，則，必要性成立.即對實數，“”是“”的充要條件.故選：C
【典例1-2】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）下列函數中，滿足“對任意的，使得”成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根據題意，“對任意的，使得”，則函數在上為減函數.
對于選項A，，為二次函數，其對稱軸為x＝－1，在上遞減，符合題意；
對于選項B，，其導數，所以在上遞增，不符合題意；
對于選項C，為一次函數，所以在上遞增，不符合題意；
對于選項D，由復合函數單調性“同增異減”知，在上單調遞增，不符合題意.
故選：A.
【方法技巧】
函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間．
【變式1-1】三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數的圖象恰如其形，因而得名三叉戟函數，因為牛頓最早研究了這個函數的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函數的圖象經過點，且.
(1)求函數的解析式；
(2)用定義法證明：在上單調遞減.
【解析】（1）由題意可知，
解得，，
故（）.
（2）證明：，，且，則
.
由，且，
得，，，
所以，，
所以，
則，即.
故在上單調遞減.
【變式1-2】（2024·高三·上海·期中）由方程確定函數，則在上是（ ）
A．增函數 B．減函數 C．奇函數 D．偶函數
【答案】B
【解析】當且時，，
當且時，，
當且時，，
當且時，無意義，
如圖：
結合圖象可知，在上是減函數.故選：B
題型二：復合函數單調性的判斷
【典例2-1】函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函數的定義域為R，函數在上單調遞減，在單調遞增，
而函數在R上單調遞減，因此函數在上單調遞增，在單調遞減，
所以函數的單調遞增區間是.
故選：A
【典例2-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
，解得或，
所以函數的定義域為，
令，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
而函數在上為增函數，
由復合函數單調性可得的單調遞減區間為.
故選：C.
【方法技巧】
討論復合函數的單調性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數的單調性．一般需要先求定義域，再把復雜的函數正確地分解為兩個簡單的初等函數的復合，然后分別判斷它們的單調性，再用復合法則，復合法則如下：
1、若，在所討論的區間上都是增函數或都是減函數，則為增函數；
2、若，在所討論的區間上一個是增函數，另一個是減函數，則為減函數．列表如下：
增 增 增
增 減 減
減 增 減
減 減 增
復合函數單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數的單性相同時遞增；單性相異時遞減．
【變式2-1】（2024·高三·甘肅·開學考試）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
由題意單調遞減，且，
則，解得，，
所以的單調遞減區間是.
故選：D.
【變式2-2】函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
解得或，
由圖象的對稱軸為，
則在上單調遞增，
故的單調遞減區間為，故選：C
題型三：分段函數的單調性
【典例3-1】（2024·陜西商洛·一模）已知函數是定義在上的增函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為是定義在上的增函數，
所以，解得.
故選：B
【典例3-2】已知函數滿足對于任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題意，對于任意的都有成立
則函數在上是增函數
∴，解得，
故選：B．
【方法技巧】
函數，在上為增函數，則：
①在上單調遞增；②在上單調遞增；③．
函數，在上為減函數，則：
①在上單調遞減；②在上單調遞減；③．
【變式3-1】已知函數，若，都有成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為對于，都有成立，所以函數是增函數，
則函數和均為增函數，且有，
即，解得.
故選：C.
【變式3-2】已知函數是R上的減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于函數是定義在R上的減函數，
所以，函數在區間上為減函數，
函數在區間上為減函數，且有，
即，解得.
因此，實數的取值范圍是.
故選：B.
題型四：利用函數單調性求函數最值
【典例4-1】（2024·全國·模擬預測）設，則函數的最大值為 ．
【答案】
【解析】設，，兩邊平方得．
設，兩邊平方得，
則，
由于，，則，，
又由于在區間上單調遞增，
所以當時,的最大值為，
則在區間上的最大值為．
故答案為：
【典例4-2】若函數在 上的最小值為1，則正實數的值為 .
【答案】
【解析】由題可得,
因為函數在 上的最小值為1，
當時，在 上，在單調遞減，單調遞增，
所以，解得（舍）；
當時，在 上在單調遞減，單調遞增，
所以，解得（舍）；
當時，在 上，在單調遞減，單調遞增，
所以，解得.
故答案為：
【方法技巧】
利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性，再求最值．常用到下面的結論：
1、如果函數在區間上是增函數，在區間上是減函數，則函數在處有最大值．
2、如果函數在區間上是減函數，在區間上是增函數，則函數在處有最小值．
3、若函數在上是嚴格單調函數，則函數在上一定有最大、最小值．
4、若函數在區間上是單調遞增，則的最大值是，最小值是．
5、若函數在區間上是單調遞減，則的最大值是，最小值是．
【變式4-1】（2024·上海嘉定·一模）函數 在 上的最大值和最小值的乘積為
【答案】/
【解析】令，，∵，∴，
∴，
令，
由對勾函數的性質可知，函數在上為減函數，在上為增函數，
∵，
∴
∴函數 在 上的最大值和最小值分別為，
∴函數 在 上的最大值和最小值的乘積為．
故答案為：．
【變式4-2】若函數 在 的最大值為2，則 的取值范圍是 .
【答案】
【解析】設，，，
因為函數在 的最大值為2，，
所以，解得：，
當時，函數在上先遞減再遞增，
而，
所以，，且，即函數在 的最大值為2，符合題意；
當時，函數在上遞減，所以，
而，所以函數在 的最大值為2，符合題意，
綜上，．
故答案為：
題型五：利用函數單調性求參數的范圍
【典例5-1】（2024·全國·模擬預測）若函數在區間上不單調，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為函數在上單調遞減，在上單調遞增．
又函數在區間上不單調，所以，
故選：B．
【典例5-2】（2024·廣東佛山·二模）已知且，若函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，，
顯然函數在上單調遞增，而函數在上單調遞減，
因此，而，則或，解得或，
所以實數a的取值范圍為.
故選：D
【方法技巧】
若已知函數的單調性，求參數的取值范圍問題，可利用函數單調性，先列出關于參數的不等式，利用下面的結論求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
【變式5-1】若是區間上的單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】由題意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上單調遞減，在，上單調遞減，
若函數在區間上單調，
則或或，解得或或，
即或.
故選：C.
【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，則．
當時，在上單調遞增，
則由復合函數的單調性可知在上單調遞增，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上單調遞增，
則，解得．
當時，在上單調遞減，
則由復合函數的單調性可知在上單調遞減，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上單調遞減，
則，解得，與矛盾．
綜上所述，.
故選：C．
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數且在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設函數，則．
①若，則在定義域上單調遞減．
又在區間上單調遞減，所以在區間上單調遞增，故對任意的恒成立．
又，所以對任意的顯然成立．
又因為對任意恒成立，所以0，故．
②若，則在定義域上單調遞增．
又在區間上單調遞減，所以在區間上單調遞減，故對任意的恒成立．
因為拋物線的開口向上，所以不可能對任意的恒成立．
所以的取值范圍為．
故選：A．
【變式5-4】若函數在區間內單調遞增，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，解之得，即的定義域為，
又在區間內單調遞增，根據復合函數的單調性，
可得：，解得．故選：D
題型六：利用函數的單調性比較函數值大小
【典例6-1】（2024·寧夏銀川·一模）若，設，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意知，由，
所以為偶函數，圖象關于軸對稱，
當時，由復合函數的單調性法則知隨的增大而增大，
即 ， 單調遞增，
因為，，
且，，
所以，所以，
即，也就是.故選：D
【典例6-2】（2024·寧夏石嘴山·三模）若定義在上的偶函數在上單調遞增，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為是定義在上偶函數，所以，
因為，則，所以，
因為在上單調遞增，所以，
即，
故選：A．
【變式6-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知函數，記，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函數的定義域為，所以函數為偶函數，
當時，設，則，故在上單調遞增且恒為正數，則函數在上單調遞減，又函數為偶函數，故在上單調遞增，又，即，于是，即.故選:C.
【變式6-2】函數，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意知，易知在上單調遞增．
因為，
所以，所以，
即.故選：D.
【變式6-3】（2024·四川·模擬預測）若定義在上的偶函數在上單調遞增，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為是定義在上偶函數，所以，
因為，所以，
因為在上單調遞增，所以，
故選：A.
題型七：函數的奇偶性的判斷與證明
【典例7-1】設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數
C．是奇函數 D．是奇函數
【答案】C
【解析】易知選項ABCD中的函數定義域即為；
因為是奇函數，是偶函數，所以，
對于A，，故是奇函數，即A錯誤；
對于B，，故是偶函數，即B錯誤；
對于C，，故是奇函數，即C正確；
對于D，，故是偶函數，即D錯誤；
故選：C.
【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數的圖象經過點，則函數的奇偶性為（ ）
A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數
【答案】A
【解析】，整理得，即，
則，．
當時，；當時，，
即對一切實數都成立，即函數的定義域為．
，
即函數為奇函數．故選：A．
【變式7-1】（多選題）（2024·重慶·模擬預測）函數，，那么（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數
C．是奇函數 D．是奇函數
【答案】BC
【解析】因為，所以為偶函數，
因為，
即，所以為奇函數，
所以為非奇非偶函數，A錯誤；
，所以為奇函數，B正確；
，所以是奇函數，C正確；
令，，為偶函數，D錯誤.
故選：BC．
【變式7-2】利用圖象判斷下列函數的奇偶性：
(1)(2)(3)；
(4)；(5).
【解析】（1）函數的定義域為，
對于函數，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向下，對稱軸為，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
畫出函數的圖象，如圖所示，
函數圖象關于原點對稱，所以函數為奇函數；
（2）函數的定義域為，
對于函數，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
畫出函數的圖象，如圖所示，
函數圖象關于y軸對稱，故為偶函數；
（3）先作出的圖象，保留圖象中x≥0的部分，
再作出的圖象中x>0部分關于y軸的對稱部分，
即得的圖象，如圖實線部分．
由圖知的圖象關于y軸對稱，所以該函數為偶函數.
（4）將函數的圖象向左平移一個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，
即可得到函數的圖象，如圖，
由圖知的圖象既不關于y軸對稱，也不關于x軸對稱，
所以該函數為非奇非偶函數；
（5）函數，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
畫出函數的圖象，如圖，
由圖知的圖象關于y軸對稱，所以該函數為偶函數.
題型八：已知函數的奇偶性求參數
【典例8-1】已知函數是奇函數，則 ，若則 .
【答案】
【解析】由，得，
則，所以函數的定義域為，
所以，解得，
所以，
此時，
所以為奇函數，
，
所以.
故答案為：1；.
【典例8-2】已知函數的圖象關于原點對稱，是偶函數，則 .
【答案】
【解析】函數的圖象關于原點對稱，則函數是奇函數，
函數的定義域為，
，即，
則，
是偶函數，
，
即，
即，
即，
則，，得，
則，
故答案為：
【變式8-1】（2024·高三·湖北武漢·期末）函數為奇函數，則實數k的取值為 .
【答案】
【解析】因為為定義域上的奇函數，所以，
即，整理化簡有：恒成立，
所以，得，又因為，所以，
且當時，，其定義域為，關于原點對稱，故滿足題意.
故答案為：
【變式8-2】已知函數的圖象關于軸對稱，則 ．
【答案】1
【解析】因為，
且，即，
有，
所以．
故答案為：1.
【變式8-3】已知函數定義域為，，若為偶函數，則實數的值為 ．
【答案】
【解析】由題設，，即，
所以，整理得恒成立，則.
故答案為：
題型九：已知函數的奇偶性求表達式、求值
【典例9-1】已知函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，則的值是 .
【答案】
【解析】因為①，所以
由函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，則
所以②
則①-②可得：，所以
則．
故答案為：．
【典例9-2】（2024·廣東湛江·二模）已知奇函數則 ．
【答案】
【解析】當時，，，
則．
故答案為：.
【變式9-1】若定義在R上的偶函數和奇函數滿足，則的解析式為 .
【答案】
【解析】由題意得：，即①，②，②-①得：，解得：.
故答案為：
【變式9-2】已知函數對一切實數都滿足，且當時，，則 ．
【答案】
【解析】函數對一切實數都滿足，
所以，
設，則， ，
又因為，即，
所以
所以.
故答案為：．
題型十：奇函數的中值模型
【典例10-1】函數在區間內的最大值為M，最小值為N，其中，則 ．
【答案】6
【解析】由題意可知，，
設，的定義域為，
所以，
所以為奇函數，所以，
所以
故答案為：
【典例10-2】對于函數 （其中 ），選取的一組值計算，所得出的正確結果一定不可能是（ ）
A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2
【答案】D
【解析】構造函數，
因為 ，
所以是奇函數，
所以，
所以，
又因為，所以能被2整除，
故選：D
【方法技巧】
已知奇函數，，則
（1）（2）
【變式10-1】（2024·廣西·一模）是定義在R上的函數，為奇函數，則（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A
【解析】是定義在R上的函數，為奇函數，則
.
∴.
故選：A
【變式10-2】設函數的最大值為5，則的最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根據題意，設，利用定義法判斷函數的奇偶性，得出是奇函數，結合條件得出的最大值和最小值，從而得出的最小值.由題可知，，
設，其定義域為，
又，
即，
由于
，
即，所以是奇函數，
而，
由題可知，函數的最大值為5，
則函數的最大值為：5-3=2，
由于是奇函數，得的最小值為-2，
所以的最小值為：-2+3=1.
故選：B.
【變式10-3】已知函數，且，則 ．
【答案】
【解析】由，得，
構建函數，定義域為，
則，即是奇函數，
于是，所以，
可得，
又，因此．
故答案為：
【變式10-4】設為奇函數，若在的最大值為3，則在的最小值為 .
【答案】
【解析】的定義域為且為奇函數，
所以，
，
所以，，
設，
則，所以是奇函數，
依題意可知，在的最大值為，
所以在的最小值為，
所以在的最小值為.
故答案為：
【變式10-5】（2024·高三·安徽·期中）函數的最大值為，最小值為，若，則 ．
【答案】1
【解析】，
設，則，
記，
因為，
所以是在上的奇函數，最大值為，最小值為，
所以，
又因為，
所以，
故答案為：1．
【變式10-6】（2024·高三·河南周口·開學考試）已知定義在上的函數滿足，若函數的最大值和最小值分別為，則 ．
【答案】4048
【解析】令，得，令，則，
所以，令，
所以，為奇函數，．
令，
則，
即為奇函數，所以．
而，
所以．
故答案為：4048
【變式10-7】函數，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】，
令，定義域為關于原點對稱，
∴，
∴為奇函數，∴，
∴，
，由對勾函數的單調性可知在上單調遞減，在上單調遞增，
∴，，，
∴，
∴，
故答案為：.
題型十一：利用單調性與奇偶性求解函數不等式
【典例11-1】已知函數是定義在上的偶函數，且在區間上單調遞增. 若實數滿足， 則的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由題設，在上遞減，由偶函數知：，
∴，即，
∴，則，得.
故的最小值是.
故選：C
【典例11-2】（2024·安徽安慶·三模）已知函數的圖象經過點，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，解得，所以，其在上單調遞增，
又因為，所以函數為奇函數，，
所以不等式可化為，
于是，即，解得或.
故選：C．
【方法技巧】
求解函數不等式時，由條件去掉“”，從而轉化為自變量的大小關系，記得考慮函數的定義域．
【變式11-1】（2024·湖南永州·三模）已知函數，其中是自然對數的底數.若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
在上單調遞增.
令，在上單調遞增，
因為，所以為奇函數，
則化為
所以，解得，
.
故選：C
【變式11-2】設函數，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，則，
故是奇函數．
又，(等號成立的條件是)，
所以是R上的增函數，則，
而，
因此有，從而，解得，
故選：A.
【變式11-3】已知函數，則不等式的解集是
【答案】
【解析】令，則，故，
令，則，故為奇函數，且在定義域上單調遞增，
由等價于，
所以，故，可得，
故不等式解集為.
故答案為：
【變式11-4】（2024·天津河北·二模）已知函數，若，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由題意得函數為偶函數，且當時函數單調遞減，當時函數單調遞增．
原不等式可化為，
∴，
兩邊平方整理得，
解得或．
∴實數的取值范圍是．
故答案為：．
題型十二：函數對稱性的應用
【典例12-1】已知函數，，，則 ．
【答案】
【解析】設函數圖象的對稱中心為，則有，
即，
整理得，比較系數可得，
因此函數圖象的對稱中心為，又，，且，
則點關于對稱，所以.
故答案為：6
【典例12-2】（2024·河南·模擬預測）已知函數的定義域為R，若為奇函數，且直線與的圖象恰有5個公共點，，，，，則 .
【答案】
【解析】為奇函數，則有，
即，可得，
，所以函數的圖象關于點對稱.
直線，即，
由，解得，所以直線過定點，
即直線關于點對稱.
直線與的圖象恰有5個公共點，，，，，
則有，，.
故答案為：
【方法技巧】
(1)若，則函數關于對稱．
(2)若，則函數關于點對稱．
【變式12-1】已知所有的三次函數的圖象都有對稱中心，，若函數，則 .
【答案】8090
【解析】，
則，
即函數的圖象的對稱中心為，
則，
故
.
故答案為：8090.
【變式12-2】若函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則 ．
【答案】
【解析】由于，解得，故它的反函數為.
再由函數的圖像與的圖像關于直線對稱，
可得是函數的反函數，故，
所以．
故答案為．
【變式12-3】已知，函數對任意有成立，與的圖象有個交點為，…，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化簡，所以的圖象關于 對稱，
由可得，
可得 的圖象也關于對稱，
因此與的圖象的個交點為，…，，
也關于對稱，所以，，設，
則，兩式相加可，
同理可得
， .
故選：D.
【變式12-4】已知函數滿足：是偶函數，若函數與函數圖象的交點為，，，，則橫坐標之和（ ）
A．0 B．m C． D．
【答案】B
【解析】由是偶函數，知函數的圖象關于直線對稱，函數，其圖象也關于直線對稱，
所以函數與函數圖象的交點也關于直線對稱，當為偶數時，其和為；當為奇數時，其和為.
故選：B.
【變式12-5】（多選題）（2024·高三·黑龍江雞西·開學考試）對于定義在上的函數，下述結論正確的是（ ）
A．若，則的圖象關于直線對稱
B．若是奇函數，則的圖象關于點對稱
C．函數與函數的圖象關于直線對稱
D．若函數的圖象關于直線對稱，則為偶函數
【答案】BD
【解析】對A，對，有，
令替換，得，可得函數是周期為2的周期函數，
則的圖象對稱性不確定，即A錯誤；
對B，是奇函數，的圖象關于原點成中心對稱，
而的圖象是將的圖象向右平移一個單位，
的圖象關于點對稱，故B正確；
對C，函數是由的圖象向左平移一個單位得到；
函數的圖象是由的圖象向右平移一個單位得，
而與的圖象關于軸對稱，
所以函數與函數的圖象關于軸對稱，故C錯誤；
對于D，若函數的圖象關于直線對稱，
則將其向左平移1個單位得到，則對稱軸也向左平移1單位，
則關于軸對稱，即為偶函數，故D正確.
故選：BD.
題型十三：函數周期性的應用
【典例13-1】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在R上的函數滿足，為奇函數，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因為，
所以，
所以的周期為6.
又因為為奇函數，
所以，即，即，
令，則，即
所以，
故選：C.
【典例13-2】（2024·山東青島·一模），，，則的值為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【答案】B
【解析】由題意知，，，
令，則
顯然時，不成立，故，
故，則，
即6為函數的周期，
則，
故選：B
【方法技巧】
(1)求解與函數的周期有關的問題，應根據周期定義，從而求出函數的周期．
(2)利用函數的周期性，可以解決區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題．
【變式13-1】已知函數滿足，，則等于
【答案】3
【解析】根據函數解析式，求得函數的周期，利用函數周期性即可求得函數值.
則是以8為周期的周期函數.
所以.
故答案為：.
【變式13-2】（2024·廣東廣州·二模）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由題意可知：函數的定義域為R，
因為，則，
可得，所以為偶函數，
由可得，
即，整理得，
可得，
則，可得，
所以6為的周期，
由，
令，可得，可得；
令，可得，可得；
所以．
故選：A．
【變式13-3】（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數滿足，且當時，，則 .
【答案】
【解析】由已知可得，所以，
所以，即是函數的一個周期，
所以.
故答案為：
題型十四：對稱性與周期性的綜合應用
【典例14-1】（多選題）（2024·江西贛州·二模）函數及其導函數的定義域均為R，和都是奇函數，則（ ）
A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱
C．是周期函數 D．
【答案】BC
【解析】對于A，因為是奇函數，所以，
則有，的圖象關于點對稱，故A錯誤；
對于B，是奇函數，其圖象關于原點對稱，
向右平移1個單位后可得，所以的圖象關于點對稱，故B正確；
對于C，因為是奇函數，所以，
所以，所以，
所以，所以①，
因為，所以②，
由①②可得：，所以，
所以，，
所以是函數的一個周期函數，所以是周期函數，故C正確；
對于D，因為，所以，
，，，
所以，
而，故D錯誤.
故選：BC.
【典例14-2】（2024·高三·遼寧營口·期末）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】為奇函數，，所以關于對稱，所以①，且，
又為偶函數，，則關于對稱，所以②，
由①②可得，即，所以，
于是可得，所以的周期，
則，所以為偶函數
則，所以，所以
所以，解得，所以當時，
所以.
故選：B.
【方法技巧】
（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；
（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；
（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且.
【變式14-1】（多選題）定義在上的函數與的導函數分別為和，若，，且，則下列說法中一定正確的是（ ）
A．為偶函數 B．為奇函數
C．函數是周期函數 D．
【答案】BCD
【解析】對A：由，故為奇函數，
若為偶函數，則，與條件不符，故A錯誤；
對B：由，則，
又，即，
即，又定義在上，
故為奇函數，故B正確；
對C：由，，，
所以，則，
所以，，
所以，所以，
則函數是周期函數的周期函數，函數是周期函數的周期函數，故C正確；
對D：由是周期函數的周期函數，
由，令，則，即，
令，則，即，
由，，
則，則關于對稱，則關于對稱，
又為奇函數，即關于中心對稱，
故關于對稱，則，
則，故D正確.
故選：BCD.
【變式14-2】（多選題）（2024·湖北·模擬預測）設定義在上的函數與的導函數分別為和.若，，且為奇函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數的圖象關于直線對稱 B．
C． D．
【答案】AC
【解析】對于選項A：因為，則，
可得，
又因為，可得.
令，可得，解得，
可得，所以函數的圖象關于直線對稱，A正確；
對于選項C：因為為奇函數，
可知的圖象關于點對稱，且，
令，可得，即；
令，可得；
令，可得；
由函數的圖象關于直線對稱，可得；
所以，
又因為，則，
可知函數的周期，
所以，故C正確；
對于選項B：由AC可知，
可得，，
所以，故B錯誤；
對于選項D：可得，故D錯誤.
故選：AC.
【變式14-3】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知函數，的定義域均為，其導函數分別為，．若，，且，則（ ）
A．函數為偶函數 B．函數的圖像關于點對稱
C． D．
【答案】ACD
【解析】因為，所以．
又因為，所以．
于是可得，令，則，所以．
所以，即函數的圖像關于直線對稱，即．
因為，所以函數的圖像關于點對稱，即，所以，即，于是，所以函數是周期為4的周期函數．
因為函數的圖像關于直線對稱，所以的圖像關于軸對稱，所以為偶函數，所以A選項正確．
將的圖像作關于軸對稱的圖像可得到的圖像，再向右平移3個單位長度，可得到的圖像，再將所得圖像向下平移2個單位長度，即可得到的圖像，因此函數也是周期為4的函數．又的圖像關于點對稱，所以的圖像關于點對稱，所以B選項不正確．
因為，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C選項正確．
因為，所以，，，，，
則有，
可得，所以D選項正確．
故選：ACD．
【變式14-4】（多選題）（2024·福建寧德·三模）若定義在上的函數滿足，且值域為，則以下結論正確的是（ ）
A． B．
C．為偶函數 D．的圖象關于中心對稱
【答案】ABC
【解析】對于選項A，令得：，解得或，
令，得，
由的值域為，所以時，，不合題意，
所以，故A正確；
對于選項B，令得：，所以或，
令，得，即，
由的值域為，所以，
令得：，所以或，
由的值域為，所以，故B正確；
對于選項C，令，得，
因為，所以，所以為偶函數，故C正確；
對于選項D，若圖象關于中心對稱，則，由于定義域為R，值域為，
若，則必有，與題設矛盾，故D錯誤.
故選：ABC.
題型十五：類周期與倍增函數
【典例15-1】已知函數的定義域為,且滿足,當時,則函數在區間上的零點個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當時,最大值為,
當時,
其最大值為,
當時,，在上是增函數,在上是減函數,,
當時,,最大值為,
當時, ,在上是增函數,在上是減函數,
又當時,的圖像與直線有個交點,函數在區間上有個零點
故選：C
【典例15-2】設函數的定義域為，滿足，且當時，若對任意，都有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為對稱軸為，所以當時，的最小值為；
當時，，由知，，所以此時，其最小值為；
同理，當時，，其最小值為；
當時，的最小值為；
作出如簡圖，因為，要使，
則有.解得或，
要使對任意，都有，則實數的取值范圍是.
故選:.
【方法技巧】
1、類周期函數
若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數值擴大倍．此函數稱為周期為的類周期函數．
2、倍增函數
若函數滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數值擴大倍．此函數稱為倍增函數．
【變式15-1】設函數的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由，得，得分段求解析式，結合圖象可得m的取值范圍．，，
時，，
時，；
時，；
時，；
當時，由，解得或，
若對任意，都有，則．
故答案為：．
【變式15-2】（2024·上海·二模）已知函數是定義在上的函數，且，則函數在區間上的零點個數為 .
【答案】11.
【解析】令函數，得到方程，
當時，函數先增后減，在時取得最大值1，而在時也有；
當時，在處，函數取得最大值，
而，在時，也有，
當時，在處，函數取得最大值，
而，在時，也有，
，
當時，在處，函數取得最大值，
而，在時，也有，
綜合以上分析，將區間 分成11段，每段恰有一個交點，所以共有11個交點，即有11個零點.
故答案為: 11.
題型十六：抽象函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性
【典例16-1】已知定義在上的函數對任意正數都有，當時，，
(1)求的值；
(2)證明：用定義證明函數在上是增函數；
【解析】（1）在等式中，
令，可得，解得；
（2）因為，則，
任取，則，
由時，，可得，
則，即，
因此，函數在上是增函數．
【典例16-2】（2024·山西臨汾·三模）已知函數的定義域為，且，，則 ．
【答案】
【解析】令，則，
因為，所以，
令，則，得，
令，則，即，
所以，
所以
所以，所以，即，
是以6為周期的周期函數，
所以，
故答案為：.
【方法技巧】
抽象函數的模特函數通常如下：
(1)若，則(正比例函數)
(2)若，則(指數函數)
(3)若，則(對數函數)
(4)若，則(冪函數)
(5)若，則(一次函數)
【變式16-1】（多選題）（2024·遼寧·二模）已知定義城為R的函數．滿足，且，，則（ ）
A． B．是偶函數
C． D．
【答案】ABC
【解析】對于A項，由，
令，則，故A項正確；
對于B項，令，則，
因，故，
令，則①，
所以函數關于點成中心對稱，
令，則，
令，則②，
由①可得：③，由②③可知：，
且函數的定義域為，則函數是偶函數，故B項正確；
對于C項，令，則，
因為，，，代入上式中得，
故得：，故C項正確；
對于D項，由上可知：，則，
故函數的一個周期為4，故，
令，則，
所以，
則，故D項錯誤．
故選：ABC．
【變式16-2】（多選題）（2024·廣西賀州·一模）已知函數的定義域為，且當時，，則下列說法正確的是（ ）
A．是奇函數
B．為增函數
C．若實數a滿足不等式，則a的取值范圍為
D．
【答案】ABD
【解析】對于A，令，則，所以，
令，則，所以，
所以是奇函數，故A正確；
對于B，令，
則，
因為，所以，
所以，，
所以，
又因為當時，，
所以，即，
所以函數在上單調遞增，
又是奇函數，且，
所以函數為增函數，故B正確；
對于C，由，得，
所以，解得，故C錯誤；
對于D，，
即，故D正確.
故選：ABD.
【變式16-3】定義在R上的連續函數滿足對任意 ，，.
(1)證明：；
(2)請判斷的奇偶性；
(3)若對于任意 ，不等式恒成立，求出m的最大值.
【解析】（1）令 ，則有 ， ，
因為 是任意的， ，由得 ，
， ；
（2）令 ，由①②得 ，將 代入，
解得 或 （ ，舍去），代入③得 ；
令 ，則有 ，
兩式相加得 ，
由（1）的運算結果 ， 代入上式，得：
，
由可知如果 ，則有 ，不可能，
所以 ， ，
由于x是任意的，必有 ，兩式相加得 ， 是偶函數， ， 是奇函數；
（3）由于，不等式即為：
，由 ， 得 ，
令 ，則不等式轉化為 ，其中 ，
， ，當且僅當 時等號成立，所以m的最大值為 ；
綜上，m的最大值為.
【變式16-4】（2024·河南南陽·模擬預測）定義在正實數集上的函數滿足下列條件：
①存在常數，使得；②對任意實數，當時，恒有．
(1)求證：對于任意正實數、，；
(2)證明：在上是單調減函數；
(3)若不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【解析】（1）證明：令，，
則，
所以，即證；
（2）證明：設，則必，滿足，
由（1）知，
故，即，
所以在上是單調減函數．
（3）令，則，
故，
即，由于
所以，又，故．
1．（多選題）（2022年新高考全國I卷數學真題）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究
對于，因為為偶函數，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；
對于，因為為偶函數，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優解】特殊值，構造函數法.
由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因為，均為偶函數，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數，的圖象分別關于直線對稱，
又，且函數可導，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.
故選：BC.
【點評】方法一：根據題意賦值變換得到函數的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據題意得出的性質構造特殊函數，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優解．
2．（多選題）（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
【答案】ABC
【解析】方法一：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增，
因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
顯然，此時是的極大值，故D錯誤.
故選：.
3．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）若為偶函數，則 ．
【答案】2
【解析】因為為偶函數，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數，
所以.
故答案為：2.
4．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，
則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
4．(鏈接人B必修一P108T5)函數f(x)＝在區間[1,5]上的最大值為________，最小值為________．
答案：3　
5．(鏈接北師必修一P64T2)已知函數f(x)＝x2－2kx＋4在[5,20]上單調，則實數k的取值范圍是________．
答案：(－∞，5]∪[20，＋∞)
4．(鏈接蘇教必修一P119T5)已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B．
C． D．－
答案：B
解析：因為f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.故選B.
5．(鏈接北師必修二P4T3)已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數，且f(－1)＝2f(10)＋3，則f(2 023)＝________.
答案：－1
解析：由題意知f(10)＝f(3×3＋1)＝f(1)，又f(－1)＝2f(10)＋3，且f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝2f(1)＋3，所以－3f(1)＝3，即f(1)＝－1.所以f(2 023)＝f(674×3＋1)＝f(1)＝－1.
2. （北師必修1）若函數 的定義域是 ,且對任意的 ,都有 成立,試判斷 的 奇偶性.
證明: 因為函數 在 上滿足:
對任意的 ,都有
令 ,得 ,所以 .
令 ,得 , 即 .
所以函數 在 上是奇函數.
3. （北師必修1）已知函數 在定義域 上是減函數,求實數 的取值范圍.
解： 由題意,得 所以 .
1．（人教A版必修1）已知函數，.
（1）求、的單調區間；
（2）求、的最小值.
【解析】（1）函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，
所以，函數的減區間為，增區間為，函數的增區間為；
（2）由（1）知，函數在處取得最小值，
由于函數在定義域上單調遞增，則函數在處取得最小值.
2．（人教A版必修1）（1）根據函數單調性的定義證明函數在區間上單調遞增.
（2）討論函數在區間上的單調性.
（3）討論函數在區間上的單調性.
【解析】（1）證明且，
則.
.
又即.
在區間上單調遞增.
（2）且.
.
①當時，，又，
即.在上為減函數.
②當時，，又.
即在上為增函數.
（3）且，
則.
①當時，，又，即.
在上為減函數.
②當時，又，，即.
在上為增函數.
3．（人教A版必修1）設函數的定義域為I，區間，記.證明：
（1）函數在區間D上單調遞增的充要條件是：，都有；
（2）函數在區間D上單調遞減的充要條件是：，都有.
【解析】證明：（1）充分性：不妨設，則
即在D上單調遞增.
必要性：若在D上單調遞增.
則，不妨設，則.
.
即，都有.
（2）充分性：不妨設，則，
，即，
在D上單調遞減.
必要性：若在D上單調遞減.
，不妨設，則.
即，都有.
4．（人教A版必修1）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，畫出函數的圖像，并求出的解析式．
【解析】因為函數是定義在上的奇函數，所以圖像關于原點對稱且，圖像如圖所示
當時，，所以當時，，則，
整理有，所以的解析式為
5．（人教A版必修1）我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.
（1）求函數圖象的對稱中心；
（2）類比上述推廣結論，寫出“函數的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數為偶函數”的一個推廣結論.
【解析】（1）.
設，則.
為奇函數.
的圖象關于點對稱.
即的圖象的對稱中心是點.
函數的圖象關于直線成軸對稱圖形的充要條件是函數為偶函數.
7.（蘇教版必修1） 已知函數 ,對于任意的 ,試比較 與 的大小.
解： , ,
, ,即 ,
易錯點：判斷函數的奇偶性忽視定義域
易錯分析： 函數具有奇偶性的必要條件是定義域一定要關于原點對稱。如果定義域不關于原點對稱，一定是非奇非偶函數.
答題模板：判斷函數的奇偶性
1、模板解決思路
奇、偶函數定義域的特點：因為和需同時有意義，所以奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱．這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，因此要先考慮定義域．
2、模板解決步驟
第一步：求函數的定義域；
第二步：判斷其定義域是否關于原點對稱；
第三步：若是，則驗證與的關系；若不是，則非奇非偶函數；
第四步：得出結論．
【易錯題1】函數是 函數（填“奇”、“偶”、“既奇又偶”或“非奇非偶”）.
【答案】奇
【解析】對于函數，有，解得且，
所以，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，
，
所以，函數是奇函數.
故答案為：奇.
【易錯題2】下列函數中，是偶函數的有 （填序號）.
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5），；（6）.
【答案】（2）（3）（6）
【解析】對于（1），函數的定義域為，關于原點對稱，且，則函數為奇函數；
對于（2），函數定義域為，關于原點對稱，且，則函數為偶函數；
對于（3），函數的定義域為，關于原點對稱，，則函數為偶函數；
對于（4），函數定義域為，關于原點對稱，，則函數為奇函數；
對于（5），函數的定義域為，不關于原點對稱，不具有奇偶性，函數，為非奇非偶函數；
對于（6），函數的定義域為，關于原點對稱，，則函數為偶函數.
因此，為偶函數的有（2）（3）（6）.
故答案為（2）（3）（6）.
【易錯題3】函數的奇偶性為 .
【答案】奇函數
【解析】要使函數，必須滿足，解得，
所以函數的定義域為，關于原點對稱，
由可得，
所以函數可化為
因為，
所以函數是奇函數.
故答案為：奇函數
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第02講 函數的性質：單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值
1.考點分析
考點要求 考題統計 考情分析
（1）函數的單調性 （2）函數的奇偶性 （3）函數的對稱性 （4）函數的周期性 2023年I卷第4、11題，10分 2023年甲卷第13題，5分 2022年II卷第8題，5分 2022年I卷第12題，5分 2021年II卷第8題，5分 2021年甲卷第12題，5分 從近幾年高考命題來看，本節是高考的一個重點，函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性是高考的必考內容，重點關注周期性、對稱性、奇偶性結合在一起，與函數圖像、函數零點和不等式相結合進行考查．
課程標準： （1）借助函數圖像，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義． （2）結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義． （3）結合三角函數，了解周期性的概念和幾何意義． （4）會依據函數的性質進行簡單的應用．
3.考點分析
知識點1：函數的單調性
（1）單調函數的定義
一般地，設函數的定義域為，區間：
如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區間上是增函數．
如果對于內的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說在區間上是減函數．
①屬于定義域內某個區間上；
②任意兩個自變量，且；③都有或；
④圖象特征：在單調區間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是下降的．
（2）單調性與單調區間
①單調區間的定義：如果函數在區間上是增函數或減函數，那么就說函數在區間上具有單調性，稱為函數的單調區間．
②函數的單調性是函數在某個區間上的性質．
（3）復合函數的單調性
復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.
【診斷自測】（2024·高三·上海楊浦·期中）已知函數，.若成立，則下列論斷中正確的是（ ）
A．函數在上一定是增函數；B．函數在上一定不是增函數；
C．函數在上可能是減函數；D．函數在上不可能是減函數.
練習：練習：1．已知函數的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（ ）

A．是函數的增區間 B．是函數的減區間
C．函數在上是增函數 D．函數在上是減函數
2．下列函數中，在區間上是減函數的是（ ）
A． B． C． D．
知識點2：函數的最值
一般地，設函數的定義域為D，如果存在實數M滿足
①，都有；②，使得，則M是函數的最大值；
①，都有；②，使得，則M是函數的最小值.
【診斷自測】（2024·高三·北京·開學考試）函數的最小值為 .
知識點3：函數的奇偶性
函數奇偶性的定義及圖象特點
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做偶函數 關于軸對稱
奇函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做奇函數 關于原點對稱
【診斷自測】（2024·高三·河北唐山·期末）函數為奇函數，為偶函數，在公共定義域內，下列結論一定正確的是（ ）
A．為奇函數 B．為偶函數
C．為奇函數 D．為偶函數
知識點4：函數的周期性
（1）周期函數：
對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的任何值時，都有，那么就稱函數為周期函數，稱為這個函數的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做的最小正周期.
【診斷自測】若偶函數對任意都有，且當時，，則 ．
知識點5：函數的對稱性
(1)若函數為偶函數，則函數關于對稱．
(2)若函數為奇函數，則函數關于點對稱．
(3)若，則函數關于對稱．
(4)若，則函數關于點對稱．
【診斷自測】若函數y＝g（x）的圖象與y＝ln x的圖象關于直線x＝2對稱，則g（x）＝ ．
解題方法總結
1、單調性技巧
（1）證明函數單調性的步驟
①取值：設，是定義域內一個區間上的任意兩個量，且；
②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；
③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；
④得出結論．
（2）函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間．
（3）記住幾條常用的結論：
①若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；
②若和均為增(或減)函數，則在和的公共定義域上為增(或減)函數；
③若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；
④若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．
2、奇偶性技巧
(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.
(2)奇偶函數的圖象特征.
函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；
函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱.
(3)若奇函數在處有意義，則有；
偶函數必滿足.
(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同.
(5)若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記，，則.
(6)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數，如.
對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數模型
奇函數：①函數或函數．②函數．
③函數或函數
④函數或函數．
注意：關于①式，可以寫成函數或函數．
偶函數：①函數．②函數．③函數類型的一切函數．④常數函數
3、周期性技巧
4、函數的的對稱性與周期性的關系
（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；
（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；
（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且.
5、對稱性技巧
（1）若函數關于直線對稱，則．
（2）若函數關于點對稱，則．
（3）函數與關于軸對稱，函數與關于原點對稱．
題型一：單調性的定義及判斷
【典例1-1】（2024·陜西榆林·一模）已知函數在上單調遞增，則對實數，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例1-2】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）下列函數中，滿足“對任意的，使得”成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數的圖象恰如其形，因而得名三叉戟函數，因為牛頓最早研究了這個函數的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函數的圖象經過點，且.
(1)求函數的解析式；
(2)用定義法證明：在上單調遞減.
【變式1-2】（2024·高三·上海·期中）由方程確定函數，則在上是（ ）
A．增函數 B．減函數 C．奇函數 D．偶函數
【典例2-1】函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·高三·甘肅·開學考試）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
題型三：分段函數的單調性
【典例3-1】（2024·陜西商洛·一模）已知函數是定義在上的增函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知函數滿足對于任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】已知函數，若，都有成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】已知函數是R上的減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型四：利用函數單調性求函數最值
【典例4-1】（2024·全國·模擬預測）設，則函數的最大值為 ．
【典例4-2】若函數在 上的最小值為1，則正實數的值為 .
【方法技巧】
利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性，再求最值．常用到下面的結論：
1、如果函數在區間上是增函數，在區間上是減函數，則函數在處有最大值．
2、如果函數在區間上是減函數，在區間上是增函數，則函數在處有最小值．
3、若函數在上是嚴格單調函數，則函數在上一定有最大、最小值．
4、若函數在區間上是單調遞增，則的最大值是，最小值是．
5、若函數在區間上是單調遞減，則的最大值是，最小值是．
【變式4-1】（2024·上海嘉定·一模）函數 在 上的最大值和最小值的乘積為
【變式4-2】若函數 在 的最大值為2，則 的取值范圍是 .
題型五：利用函數單調性求參數的范圍
【典例5-1】（2024·全國·模擬預測）若函數在區間上不單調，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C． D．
【典例5-2】（2024·廣東佛山·二模）已知且，若函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
若已知函數的單調性，求參數的取值范圍問題，可利用函數單調性，先列出關于參數的不等式，利用下面的結論求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
【變式5-1】若是區間上的單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數且在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-4】若函數在區間內單調遞增，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型六：利用函數的單調性比較函數值大小
【典例6-1】（2024·寧夏銀川·一模）若，設，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（2024·寧夏石嘴山·三模）若定義在上的偶函數在上單調遞增，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知函數，記，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】函數，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2024·四川·模擬預測）若定義在上的偶函數在上單調遞增，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
題型七：函數的奇偶性的判斷與證明
【典例7-1】設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數
C．是奇函數 D．是奇函數
【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數的圖象經過點，則函數的奇偶性為（ ）
A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數
【變式7-1】（多選題）（2024·重慶·模擬預測）函數，，那么
A．是偶函數 B．是奇函數
C．是奇函數 D．是奇函數
【變式7-2】利用圖象判斷下列函數的奇偶性：
(1)(2)(3)；(4)；(5).
題型八：已知函數的奇偶性求參數
【典例8-1】已知函數是奇函數，則 ，若則 .
【典例8-2】已知函數的圖象關于原點對稱，是偶函數，則 .
【變式8-1】（2024·高三·湖北武漢·期末）函數為奇函數，則實數k的取值為 .
【變式8-2】已知函數的圖象關于軸對稱，則 ．
【變式8-3】已知函數定義域為，，若為偶函數，則實數的值為 ．
題型九：已知函數的奇偶性求表達式、求值
【典例9-1】已知函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，則的值是 .
【典例9-2】（2024·廣東湛江·二模）已知奇函數則 ．
【變式9-1】若定義在R上的偶函數和奇函數滿足，則的解析式為 .
【變式9-2】已知函數對一切實數都滿足，且當時，，則 ．
題型十：奇函數的中值模型
【典例10-1】函數在區間內的最大值為M，最小值為N，其中，則 ．
【典例10-2】對于函數 （其中 ），選取的一組值計算，所得出的正確結果一定不可能是（ ）
A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2
【方法技巧】
已知奇函數，，則
（1）（2）
【變式10-1】（2024·廣西·一模）是定義在R上的函數，為奇函數，則（ ）
A．－1 B． C． D．1
【變式10-2】設函數的最大值為5，則的最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【變式10-3】已知函數，且，則 ．
【變式10-4】設為奇函數，若在的最大值為3，則在的最小值為 .
【變式10-5】（2024·高三·安徽·期中）函數的最大值為，最小值為，若，則 ．
【變式10-6】（2024·高三·河南周口·開學考試）已知定義在上的函數滿足，若函數的最大值和最小值分別為，則 ．
【變式10-7】函數，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是 .
題型十一：利用單調性與奇偶性求解函數不等式
【典例11-1】已知函數是定義在上的偶函數，且在區間上單調遞增. 若實數滿足， 則的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【典例11-2】（2024·安徽安慶·三模）已知函數的圖象經過點，則關于的不等式的解集為（ ）
A．B．C． D．
【變式11-1】（2024·湖南永州·三模）已知函數，其中是自然對數的底數.若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式11-2】設函數，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式11-3】已知函數，則不等式的解集是
【變式11-4】（2024·天津河北·二模）已知函數，若，則實數的取值范圍是 .
題型十二：函數對稱性的應用
【典例12-1】已知函數，，，則 ．
【典例12-2】（2024·河南·模擬預測）已知函數的定義域為R，若為奇函數，且直線與的圖象恰有5個公共點，，，，，則 .
【方法技巧】
(1)若，則函數關于對稱．
(2)若，則函數關于點對稱．
【變式12-1】已知所有的三次函數的圖象都有對稱中心，，若函數，則 .
【變式12-2】若函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則 ．
【變式12-3】已知，函數對任意有成立，與的圖象有個交點為，…，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式12-4】已知函數滿足：是偶函數，若函數與函數圖象的交點為，，，，則橫坐標之和（ ）
A．0 B．m C． D．
變式12-5】（多選題）（2024·高三·黑龍江雞西·開學考試）對于定義在上的函數，下述結論正確的是（ ）
A．若，則的圖象關于直線對稱
B．若是奇函數，則的圖象關于點對稱
C．函數與函數的圖象關于直線對稱
D．若函數的圖象關于直線對稱，則為偶函數
題型十三：函數周期性的應用
【典例13-1】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在R上的函數滿足，為奇函數，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【典例13-2】（2024·山東青島·一模），，，則的值為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【變式13-1】已知函數滿足，，則等于
【變式13-2】（2024·廣東廣州·二模）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式13-3】（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數滿足，且當時，，則 .
題型十四：對稱性與周期性的綜合應用
【典例14-1】（多選題）（2024·江西贛州·二模）函數及其導函數的定義域均為R，和都是奇函數，則（ ）
A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱
C．是周期函數 D．
【典例14-2】（2024·高三·遼寧營口·期末）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；
（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；
（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且.
【變式14-1】（多選題）定義在上的函數與的導函數分別為和，若，，且，則下列說法中一定正確的是（ ）
A．為偶函數 B．為奇函數
C．函數是周期函數 D．
【變式14-2】（多選題）（2024·湖北·模擬預測）設定義在上的函數與的導函數分別為和.若，，且為奇函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數的圖象關于直線對稱 B．
C． D．
【變式14-3】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知函數，的定義域均為，其導函數分別為，．若，，且，則（ ）
A．函數為偶函數 B．函數的圖像關于點對稱
C． D．
【變式14-4】（多選題）（2024·福建寧德·三模）若定義在上的函數滿足，且值域為，則以下結論正確的是（ ）
A． B．
C．為偶函數 D．的圖象關于中心對稱
題型十五：類周期與倍增函數
【典例15-1】已知函數的定義域為,且滿足,當時,則函數在區間上的零點個數為（ ）
A． B． C． D．
【典例15-2】設函數的定義域為，滿足，且當時，若對任意，都有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
1、類周期函數
若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數值擴大倍．此函數稱為周期為的類周期函數．
2、倍增函數
若函數滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數值擴大倍．此函數稱為倍增函數．
【變式15-1】設函數的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是 .
【變式15-2】（2024·上海·二模）已知函數是定義在上的函數，且，則函數在區間上的零點個數為 .
題型十六：抽象函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性
【典例16-1】已知定義在上的函數對任意正數都有，當時，，
(1)求的值；
(2)證明：用定義證明函數在上是增函數；
【典例16-2】（2024·山西臨汾·三模）已知函數的定義域為，且，，則 ．
【方法技巧】
抽象函數的模特函數通常如下：
(1)若，則(正比例函數)
(2)若，則(指數函數)
(3)若，則(對數函數)
(4)若，則(冪函數)
(5)若，則(一次函數)
【變式16-1】（多選題）（2024·遼寧·二模）已知定義城為R的函數．滿足，且，，則（ ）
A． B．是偶函數
C． D．
【變式16-2】（多選題）（2024·廣西賀州·一模）已知函數的定義域為，且當時，，則下列說法正確的是（ ）
A．是奇函數B．為增函數
C．若實數a滿足不等式，則a的取值范圍為
D．
【變式16-3】定義在R上的連續函數滿足對任意 ，，.
(1)證明：；
(2)請判斷的奇偶性；
(3)若對于任意 ，不等式恒成立，求出m的最大值.
【變式16-4】（2024·河南南陽·模擬預測）定義在正實數集上的函數滿足下列條件：
①存在常數，使得；②對任意實數，當時，恒有．
(1)求證：對于任意正實數、，；
(2)證明：在上是單調減函數；
(3)若不等式恒成立，求實數的取值范圍．
1．（多選題）（2022年新高考全國I卷數學真題）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
2．（多選題）（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
3．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）若為偶函數，則 ．
4．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是
A． B． C． D．
1．(鏈接人B必修一P108T5)函數f(x)＝在區間[1,5]上的最大值為________，最小值為________．
2．(鏈接北師必修一P64T2)已知函數f(x)＝x2－2kx＋4在[5,20]上單調，則實數k的取值范圍是________．
答案：(－∞，5]∪[20，＋∞)
3．(鏈接蘇教必修一P119T5)已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B． C． D．－
4．(鏈接北師必修二P4T3)已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數，且f(－1)＝2f(10)＋3，則f(2 023)＝________.
5. （北師必修1）若函數 的定義域是 ,且對任意的 ,都有 成立,試判斷 的 奇偶性.
6. （北師必修1）已知函數 在定義域 上是減函數,求實數 的取值范圍.
7．（人教A版必修1）已知函數，.
（1）求、的單調區間；
（2）求、的最小值.
8．（人教A版必修1）（1）根據函數單調性的定義證明函數在區間上單調遞增.
（2）討論函數在區間上的單調性.
（3）討論函數在區間上的單調性.
9．（人教A版必修1）設函數的定義域為I，區間，記.證明：
（1）函數在區間D上單調遞增的充要條件是：，都有；
（2）函數在區間D上單調遞減的充要條件是：，都有.
10．（人教A版必修1）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，畫出函數的圖像，并求出的解析式．
11．（人教A版必修1）我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.
（1）求函數圖象的對稱中心；
（2）類比上述推廣結論，寫出“函數的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數為偶函數”的一個推廣結論.
12.（蘇教版必修1） 已知函數 ,對于任意的 ,試比較 與 的大小.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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